2020年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學

考生注意：

1.答卷前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上。考生要認真核對答題卡上粘貼的條形

碼的“準考證號、姓名、考試科目〃與考生本人準考證號、姓名是否一致。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，監考員將試題卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合4={以*<2},B={R3—2X>0},貝lj

A.Q8=|x|x<|j-B.A^\B=0

c.408=［木<|■:D.AUB=R

2.為評估一種農作物的種植效果，選了"塊地作試驗田.這n塊地的畝產量(單位：kg)分別為X1，xz,…，

X",下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝產量穩定程度的是

A.Xl,X2,…，X”的平均數B.Xl,X2,Xn的標準差

C.X1,X2,X”的最大值D.Xi,X2....X。的中位數

3.下列各式的運算結果為純虛數的是

A.i(l+i)2B.i2(l-i)C.(1+i)2D.i(l+i)

4.如圖，正方形ABC。內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形

的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是

1

A.-

4

5.已知F是雙曲線C：x2-a=l的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1,3).則AAPF的

面積為

1123

A.§B.5C.-D.萬

6.如圖，在下列四個正方體中，A,B為正方體的兩個頂點，M,N,Q為所在棱的中點，則在這四個正方體

中，直接43與平面MNQ不平行的是

x+3y<3,

7.設x,y滿足約束條件x-y>t則z=x+y的最大值為

y>0,

A.0B.1C.2D.3

8..函數丁=上四■的部分圖像大致為

1-COSX

9.已知函數/(x)=lnx+ln(2-x),則

A./(x)在(0,2)單調遞增B.f(x)在(0,2)單調遞減

C.y=/(x)的圖像關于直線x=l對稱D.y=/(x)的圖像關于點(1，。)對稱

10.如圖是為了求出滿足3"-2">1000的最小偶數”，那么在。*和匚二|兩個空白框中，可以分別填入

/輸出〃/

A.A>1000和n=n+lB.A>1000和n=c+2

C.AS1000和n=n+lD.4<1000和n=n+2

11.△ABC的內角A、8,C的對邊分別為a、b、c。已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=&,則

C=

兀兀兀兀

A.—B.-C.-D.一

12643

22

12.設A、8是橢圓C：一V+上v-=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足NAMB=120。，則m的取值范圍

3m

是

A.(0,l]U[9,+co)B.((),向U[9,+oo)

C.(0,l]U[4,+co)D.((),6]U[4,+8)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量。=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與。垂直，則m=.

14.曲線丁=%2+，在點(1,2)處的切線方程為.

X

jlTI

15.已知aw(0,—),tana=2,則cos(a——)=。

24

16.已知三棱錐S-48C的所有頂點都在球。的球面上，SC是球。的直徑。若平面SGAJ_平面5CB,SA=ACf

SB=BC,三棱錐S-48C的體積為9,則球。的表面積為。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。

（一）必考題：60分。

17.（12分）

記5n為等比數列｛q｝的前n項和，已知S2=2,S3=-6.

（1）求｛。”｝的通項公式；

（2）求分,并判斷S+1,Sn,5/2是否成等差數列.

18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，48〃8,且NBAP=NCDP=90

(1)證明：平面PABJ■平面PAD；

Q

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAP。=90,且四棱錐P-ABCD的體積為屋求該四棱錐的側面積.

19.（12分）為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔30min從該生產線上隨機抽取一個

零件，并測量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸10.110.010.0

9.959.969.969.929.98

214

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.210.110.010.010.0

9.919.229.95

63245

經計算底痣116“97―七rj"""1刀6中5l~i磨16-一.…⑵

1616

Z（i—8.5）2*18.439,￡（玉_于）?_8.5）=-2.78,其中x,為抽取的第i個零件的尺寸，i=1,2,…,16.

/=!i=l

（1）求（七①（1=1,2,…,16）的相關系數r,并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進

行而系統地變大或變小（若|川＜0.25,則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小）.

（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在（亍-3s,元+3s）之外的零件，就認為這條生產線在這一天的

生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.

（i）從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產過程進行檢查？

（ii）在叵-3s,元+3s）之外的數據稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產線當天生產的零件尺寸

的均值與標準差.（精確到0Q1）

才（七一元）（丫一刃

附：樣本（1,％）（i=l,2,…的相關系數「=。'T，V0.008?0.09.

20.(12分)設48為曲線C：y=二上兩點，A與8的橫坐標之和為4.

4

(1)求直線AB的斜率；

(2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線A8平行，且AM18M,求直線AB的方程.

21.(12分)

己知函數/(X)=e"(e*-a)-a2x.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若/(x)20,求a的取值范圍.

(-)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。

22.［選修4一4：坐標系與參數方程］(10分)

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(9為參數)，直線/的參數方程為

［y=sm/

+4%為參數).

1丫=1一,

(1)若a=-l,求C與/的交點坐標：

(2)若C上的點到/的距離的最大值為J萬，求a.

高中數學高考專題復習06立體幾何(解答題)

1.【2019年高考全國I卷理數】如圖，直四棱柱A8CM囚GOi的底面是菱形，A4i=4,AB=2,ZBAD=60°,

E,M,N分別是8C,BBi,A。的中點.

(1)證明：MN〃平面CQE；

(2)求二面角A-M4-N的正弦值.

2.【2019年高考全國II卷理數】如圖，長方體的底面ABCO是正方形，點E在棱AAi上,

BE±ECt.

(1)證明：BE,平面ESG；

(2)若AE=A|E,求二面角B-EC-G的正弦值.

3.【2019年高考全國III卷理數】圖1是由矩形AQE8,RMABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中

AB=\,BE=BF=2,ZFBC=60°,將其沿A3,BC折起使得BE與BF重合，連結QG,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABCJ_平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

4.【2019年高考北京卷理數】如圖，在四棱錐P-ABC。中，PA，平面ABC。,8,A3〃BC,PA=AO=CD=2,

PF1

BC=3.E為PD的中點，點尸在PC上，且一=-.

PC3

(1)求證：。_1平面尸4)；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

(3)設點G在PB上，且上=2.判斷直線4G是否在平面AEF內，說明理由.

PB3

5.[2019年高考天津卷理數】如圖，平面ABC。，CF//AE,AD//BC,AD±AB,

AB=AD=\,AE=BC=2.

(1)求證：BE〃平面AOE；

(2)求直線CE與平面8DE所成角的正弦值；

(3)若二面角七一5。-歹的余弦值為:，求線段CE的長.

6.【2019年高考江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABC—45G中，D,E分別為BC,AC的中點，AB=BC.

求證：(1)AIBI〃平面。ECi；

(2)BEl.CtE.

7.【2019年高考浙江卷】如圖，已知三棱柱ABC—4與￡,平面4ACG，平面A8C,NA3C=90°,

ZBAC=30。,AA=A。=AC,E,F分別是AC,A.B,的中點.

(1)證明：EF±BC；

(2)求直線EF與平面4BC所成角的余弦值.

Cl

8.【2018年高考全國I卷理數】如圖，四邊形A5CD為正方形，分別為的中點，以DF為

折痕把△OFC折起，使點C到達點P的位置，且P尸上BF.

(1)證明：平面平面ABED；

(2)求0P與平面ABED所成角的正弦值.

9.【2018年高考全國n卷理數】如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB=BC=2五,PA=PB=PC=AC=4,O

為AC的中點.

(1)證明：POJ_平面ABC；

(2)若點M在棱上，且二面角C為30。，求PC與平面所成角的正弦值.

10.【2018年高考全國m卷理數】如圖,邊長為2的正方形A8CD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直,

M是CD上異于C，O的點.

(1)證明：平面4WO,平面四0C;

(2)當三棱錐"-AfiC體積最大時,求面與面MCD所成二面角的正弦值.

11.【2018年高考江蘇卷】如圖，在正三棱柱ABC-A冏G中，AB=A4=2,點P,。分別為A同，BC的中

點.

(1)求異面直線8尸與AG所成角的余弦值；

(2)求直線CG與平面AQC所成角的正弦值.

12.【2018年高考江蘇卷】在平行六面體ABC。-A4G。中，AA]=AB,AB]±B]C,.

求證：(1)平面4片。；

(2)平面48片4，平面.

13.【2018年高考浙江卷】如圖，已知多面體A3C45G,A】A,BiB,GC均垂直于平面A3C,ZABC=120°,

AA=4,CiC=l,AB=BC=B\B=2.

(1)證明:AS上平面AiSG；

(2)求直線AG與平面ABBi所成的角的正弦值.

14.【2018年高考北京卷理數】如圖，在三棱柱ABC-A4G中,CCJ平面ABC,D,E,F,G分別為儀，

AC,AG，網的中點，A8=BC=石，AC=AA]=2.

(1)求證：AC_L平面8EF；

(2)求二面角-G的余弦值；

(3)證明：直線尸G與平面8。相交.

15.【2018年高考天津卷理數】如圖，AZ)〃BC且4￡＞=2BC,A￡＞，CO,EG〃AE＞且EG=AO,CD//FG

且CD=2FG,OG_L平面ABC。，DA=DC=DG=2.

(1)若M為C尸的中點，N為EG的中點，求證：MN〃平面CDE；

(2)求二面角E—BC—尸的正弦值；

(3)若點P在線段OG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60。，求線段DP的長.

16.【2017年高考全國I卷理數】如圖，在四棱錐P-ABCO中，AB//CD,且N84P=NCQP=90.

(1)證明：平面附8J_平面BAD；

(2)若%=PZ)=4B=OC,ZAPD=90，求二面角A-PB-C的余弦值.

17.【2017年高考江蘇卷】如圖，在三棱錐A-BCD中，ABLA。，BC1.BD,平面43。，平面BCQ,點E,

尸(E與A,。不重合)分別在棱4。，上，且EFL4D

求證：(1)EF〃平面48C；

(2)AD±AC.

18.【2017年高考江蘇卷】如圖，在平行六面體A8CEM/iGA中，A4iJ_平面ABC。，S.AB=AD=2,A4i=

5ZBAD=120°.

(1)求異面直線48與4G所成角的余弦值；

(2)求二面角B-AQ-A的正弦值.

19.【2017年高考山東卷理數】如圖，兒何體是圓柱的一部分，它是由矩形A3CD(及其內部)以A3邊所

在直線為旋轉軸旋轉120。得到的，G是0/7的中點.

(1)設P是CE上的一點，且APLBE,求NC8P的大小；

(2)當A8=3,4)=2時，求二面角E-AG-C的大小.

20.【2017年高考全國n理數】如圖，四棱錐P-ABC。中，側面PAQ為等邊三角形且垂直于底面A8CD,

A8=6C=2AO,N8AQ=ZABC=90°,E是尸。的中點.

2

(1)證明：直線CE〃平面"8；

(2)點M在棱PC上，且直線與底面ABCC所成角為45°，求二面角M—AB—。的余弦值.

21.【2017年高考全國III理數】如圖，四面體ABCQ中，AABC是正三角形，△ACQ是直角三角形，ZABD=

ZCBD,AB=BD.

D

(1)證明：平面ACC平面ABC；

(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-

C的余弦值.

22.【2017年高考浙江卷】如圖，已知四棱錐P-ABCQ,是以AO為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,

CDLAD,PC=AD=2DC=2CB,E為尸。的中點.

(1)證明：CE〃平面PA8；

(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

23.[2017年高考北京卷理數】如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面ABCD為正方形，平面PAOL平面ABCD,

點M在線段尸8上，PD〃平面MAC,PA=PD=y[6>AB=4.

(1)求證：M為PB的中點;

(2)求二面角2-PD-A的大小；

(3)求直線MC與平面所成角的正弦值.

24.【2017年高考天津卷理數】如圖，在三棱錐P/BC中，以，底面ABC,NB4C=90°.點。,E,N分

別為棱以，PC,BC的中點，M是線段AO的中點，PA=AC=4,AB=2.

(1)求證：MN〃平面B￡>E；

求二面角C-EMW的正弦值;

已知點〃在棱用上，且直線NH與直線8E所成角的余弦值為立，求線段AH的長.

(3)

21

8

2020年全國統一高考數學試卷（文科）

題號一二三總分

得分

一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合4={X|/-3X-4<0},B={-4,1,3,5},則4nB=（）

A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.[1,3}

2.若z=l+2i+i3,則|z|=（）

A.0B.1C.V2D.2

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正

方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值

為（）

A.-B.'C.四D.①

4242

4.設。為正方形ABC。的中心，在。，A,B,C,。中任取3點，則取到的3點共線的概率為（）

5.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度單位：°C）的關系，在20個不同的溫度條

由此散點圖，在10久至40久之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率），和溫度x的回歸方程類

型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx

6.已知圓/+y2—6x=o,過點（1,2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

7.設函數/'（X）=C0S（3X+$在［一兀,用的圖象大致如圖，則/（X）的最小正周期為（）

8.設出0。34=2,貝114一。=()

9.執行如圖的程序框圖，則輸出的n=（）

A.17B.19C.21D.23

a2

10.設｛ci"｝是等比數列，且％+。2+。3=1，a2+3+?4=>則a6+a7+a8=()

A.12B.24C.30D.32

11.設Fi，尸2是雙曲線C：/-9=1的兩個焦點，。為坐標原點，點P在C上且|OP|=2,則的面

積為()

A.；B.3C.-D.2

22

12.已知A,SC為球0的球面上的三個點，OOi為44BC的外接圓.若。01的面積為4兀,AB=BC=AC=

。。1，則球O的表面積為()

A.64?rB.487rC.367rD.32兀

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

2x4-y—2<0,

13.若x,y滿足約束條件無一y-lNO,貝舊=x+7y的最大值為.

',y+1>0,

14.設向量五=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若五13,則m=.

15.曲線丫=伍》+刀+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

n

16.數列｛a夕滿足%+2+(-l)an=3n-1,前16項和為540,則%=.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.某廠接受了一項加工業務，加工出來的產品(單位：件)按標準分為A,B,C,。四個等級.加工業務約

定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于￡>級品，廠家

每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業務.甲分廠加工成本費為25元/件,

乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業務，在兩個分廠各試加工了100件這

種產品，并統計了這些產品的等級，整理如下：

甲分廠產品等級的頻數分布表

等級ABCD

頻數40202020

乙分廠產品等級的頻數分布表

等級ABCD

頻數28173421

(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據，廠家應選哪個分廠承接

加工業務？

18.△4BC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知B=150。.

(1)若a=V3c.b=2V7,求仆ABC的面積；

(2)若+y/3sinC=孝，求C.

19.如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內接正三角

形，P為。。上一點，/.APC=90°.

(1)證明：平面PABJ■平面PAC；

(2)設。0=或，圓錐的側面積為日兀，求三棱錐P-48C的體積.

20.已知函數/(x)=e*-a(久+2).

(1)當a=l時，討論/(%)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

2

21.已知A,8分別為橢圓氏京+y2=1?>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，布.旗=8.P為直線x=6

上的動點，幺與E的另一交點為C,與E的另一交點為￡>.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

22.在直角坐標系xOy中，曲線Q的參數方程為二;靠;'(t為參數).以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸

建立極坐標系，曲線的極坐標方程為4pcos0-16Psm0+3=0.

(1)當k=l時，Q是什么曲線？

(2)當々=4時，求G與C2的公共點的直角坐標.

23.已知函數/(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖象；

(2)求不等式/(x)>/(X+1)的解集.

y.

1

o1

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={幻％2-3%-4<0}=(-1,4),B={-4,1,3,5),

則4CB={1,3},

故選：D.

求解一元二次不等式化簡A,再由交集運算得答案.

本題考查交集及其運算，考查一元二次不等式的解法，是基礎題.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了復數的定義以及復數模的求法，是基礎題.

根據復數的定義化簡原式，并通過模長公式求解即可.

【解答】

解：z=l+2i+i3=l+2i—i=l+i,

22

A\z\=Vl+I=y/2-

故選：C.

3.【答案】C

【解析】解：設正四棱錐的高為力，底面邊長為小側面三角形底邊上的高為”,

h2=-ah'

則依題意有：2

Hi—)，

因此有方2一G)2==4(}_2(?)—1=0=￡=宇(負值舍去)；

故選：C.

先根據正四棱錐的幾何性質列出等量關系，進而求解結論.

本題主要考查棱錐的幾何性質，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了古典概型概率問題，屬于基礎題.

根據古典概率公式即可求出.

【解答】

解：。，A,B,C,。中任取3點，共有盤=10,

其中共線為A,O,C和3,O,。兩種，

故取到的3點共線的概率為P=W，

故選：A.

5.【答案】D

【解析】解：由散點圖可知，在10久至40式之間，發芽率y和溫度x所對應的點(x,y)在一段對數函數的曲線

附近，

結合選項可知，y=a+4nx可作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型.

故選：D.

直接由散點圖結合給出的選項得答案.

本題考查回歸方程，考查學生的讀圖視圖能力，是基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：由圓的方程可得圓心坐標C(3,0),半徑r=3；

設圓心到直線的距離為d,則過。(1,2)的直線與圓的相交弦長=23—d2,

當d最大時|AB|最小，當直線與CO所在的直線垂直時4最大，這時d=\CD\=7(3-I)2+(2-0)2=2癥,

所以最小的弦長|AB|=2J32-(2或型=2，

故選：B.

由相交弦長|4B|和圓的半徑r及圓心C到過。(1,2)的直線的距離d之間的勾股關系，求出弦長的最小值，即

圓心到直線的距離的最大時，而當直線與C。垂直時d最大，求出d的最大值，進而求出弦長的最小值.

本題考查直線與圓相交的相交弦長公式，及圓心到直線的距離的最大時的求法，屬于中檔題.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查三角函數的圖象和性質，主要是函數的周期的求法，運用排除法是迅速解題的關鍵，屬于中檔題.

由圖象觀察可得最小正周期小于與，大于雪，排除A,。；再對照選項B,C求得3,代入/(-與)=0計算,

即可得到結論.

【解答】

解：由圖象可得最小正周期小于九一(一書=子，大于2X("9=華，排除A,D；

由圖象可得/(-?)=cos(—?3+勺=0,

yyo

即為——3+巳=kTl+三，kEZ9(*)

962

若選8,即有3=要=孩，由一?X￥+%="+或可得k不為整數，排除B；

若選C,即有3=1=|,由一等可得k=-l，成立.

349262

故選：C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了對數和指數的運算性質，屬于基礎題.

直接根據對數和指數的運算性質即可求出.

【解答】

解：因為出。%4=2,則log34a=2,則4a=32=9

則戶=*=孑

故選:B.

9.【答案】C

【解析】解：n=1,S=0,

第一次執行循環體后，5=1,不滿足退出循環的條件，n=3；

第二次執行循環體后，5=4,不滿足退出循環的條件，n=5；

第三次執行循環體后，S=9,不滿足退出循環的條件，n=7；

第四次執行循環體后，5=16,不滿足退出循環的條件，n=9；

第五次執行循環體后，5=25,不滿足退出循環的條件，n=ll；

第六次執行循環體后，5=36,不滿足退出循環的條件，n=13；

第七次執行循環體后，S=49,不滿足退出循環的條件，n=15；

第八次執行循環體后，5=64,不滿足退出循環的條件，n=17；

第九次執行循環體后，5=81,不滿足退出循環的條件，n=19；

第十次執行循環體后，5=100,不滿足退出循環的條件，n=21；

第十一次執行循環體后，5=121,滿足退出循環的條件，

故輸出“值為21,

故選：C.

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量n的值，分析循環中各變量值的變

化情況，可得答案.

本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題.

10.【答案】D

【解析】解：｛冊｝是等比數列，且由+&2+。3=1，

則。2+=q(&++。3)，即q=2,

55

???a6+a7+a8=q(a1+a2+a3)=2x1=32>

故選：D.

根據等比數列的性質即可求出.

本題考查了等比數列的性質和通項公式，屬于基礎題.

11.【答案】B

【解析】解：由題意可得a=1,b=V3>c=2,

二I&F2I=2c=4,

???IOPI=2,

???△PF1F2為直角三角形，

???PF11PF2，

222

A|PF1|+|PF2|=4C=16,

-\\PF1\-\PF2\\=2a=2,

22

|PF1|+|PF2|-2|PF1|-|PF2|=4,

???|PFII“PF2|=6,

：?△PF/2的面積為S=11^11?\PF2\=3,

故選：B.

先判斷△PF1F2為直角三角形，再根據雙曲線的定義和直角三角形的性質即可求出.

本題考查了雙曲線的性質，直角三角形的性質，雙曲線的定義，三角形的面積，屬于中檔題.

12.【答案】A

【解析】解：由題意可知圖形如圖：O。1的面積為4兀，可得。遇=2,則

|幽=ABsin60°,“01=當AB,

AB=BC=AC=。。1=2V3.

外接球的半徑為：R=JA0：+。0盛=4,

球O的表面積：4x42xJi=647r.

故選：A.

畫出圖形，利用已知條件求出。01，然后求解球的半徑，即可求解球的表

面積.

本題考查球的內接體問題，球的表面積的求法，求解球的半徑是解題的關鍵.

13.【答案】1

2%+y—240,

【解析】解：X,y滿足約束條件x-y—l20,,

（y+1>0,

不等式組表示的平面區域如圖所示，

由仁芝_二,°，可得做1,0）時,目標函數z=x+7y,可得y=

1.1

一尹+產

當直線y=-^x+^z，過點A時，在），軸上截距最大，

此時z取得最大值：1+7x0=1.

故答案為：1.

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可.

本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題.

14.【答案】5

【解析】解：向量五=(1,一1),b=(m+l,2m-4)，若五_L方,

則五?b=m+1—(2m-4)=-m+5=0，

則m—5,

故答案為：5

根據向量垂直的條件可得關于m的方程，解之可得結果.

本題考查了向量的垂直的條件和向量數量積的運算，屬于基礎題.

15.【答案】y=2x

【解析】

【分析】

本題考查導數的運用：求切線的方程，考查直線方程的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題.

求得函數y=bix+x+l的導數，設切點為可得切線的斜率，解方程可得切點，進而得到所求切線

的方程.

【解答】

解：y=Inx+x+1的導數為y'=：+1,

設切點為(ni,n),可得k=l+\=2,

解得m=1,即有切點(1,2),

則切線的方程為y-2=2(x—1),即y=2x,

故答案為：y=2x.

16.【答案】7

【解析】解：由an+2+(-l)na?=3n-1,

當“為奇數時，有an+2-an=3n-1,

可得斯—O-n-2=3(n—2)—1,

a3—aj=3-1—1,

累加可得a”—的=3[1+34------卜(n—2)]——

71-1

[l+(n-2)]?—n-1(n-l)(3n-5).

=□---------------------------------；

224

當〃為偶數時，an+2+an=3n-1,

可1*尋Q4+=5,CLQ+=17,@12+Qj,0=29,QI6+014=41.

可得。2+。4■1----H。16=92.

???Qi+a3H------Fa15=448.

8%+；(0+8+40+96+176+280+408+560)=448,

8al=56,即％=7.

故答案為：7.

在已知數列遞推式中，分別取〃為奇數與偶數，可得即一冊_2=3(71-2)—1與即+2+即=371—1,利用累

加法得到〃為奇數時即與的的關系，求出偶數項的和，然后列式求解的.

本題考查數列遞推式，考查等差數列的前"項和，考查運算求解能力，是中檔題.

17.【答案】解：(1)由表格可得，甲分廠加工出來的一件產品為A級品的頻數為40,故頻率為盤=0.4,

乙分廠加工出來的一件產品為A級品的頻數為28,故頻率為喘=0.28,

故甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率分別是0.4,0.28；

(2)由表格可知甲分廠加工四個等級的頻率分別為0.4,0.2,0.2,0.2,

故其平均利潤為(90-25)x0.4+(50-25)x0.2+(20-25)x0.2+(-50-25)x0.2=15(元);

同理乙分廠加工四個等級的頻率分別為0.28,0.17,0.34,0.21,

故其平均利潤為(90-20)X0.28+(50-20)x0.17+(20-20)X0.34+(-50-20)X0.21=10(元)；

因為15>10,所以選擇甲分廠承接更好.

【解析】(1)根據表格數據得到甲乙A級品的頻數分別為40,28,即可求得相應頻率;

(2)根據所給數據分別求出甲乙的平均利潤即可.

本題考查頻率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題.

18.【答案】解：中，B=150°,a=Wc,b=2?,

222

a+c-b3C2+C2-28V3

COSBo=------------=------—=--------，

2ac2y/3c22

??C=2.jQ,—2^3r

???S&ABC=^acsinB=1-2遮?2-1=V3.

(2)sinA+y/3sinC=

即sin(180。-150°-C)+y/3sinC=號

化簡得三cosC+—sinC=—?

222

sin(C+30。)=4，

V0°<C<30°,

???30°<C+30°<60°,

???C4-30°=45°,

AC=15°.

【解析】(1)根據題意，B=150°,通過余弦定理，即可求得c=2,a=2V3,進而通過三角形面積公式=

-acsinB=2^3-2--=y/3.

222

(2)通過三角形三邊和為180。，將4=180。-150。-C代入sin4+遮sinC=￥，根據C的范圍，即可求得。=

15°.

本題主要考查解三角形中余弦定理的應用，結合三角恒等變換中輔助角公式的應用，屬于基礎題.

19.【答案】解：（1）連接。4,OB,OC,AaBC是底面的內接正三角形,

所以4B=BC=4C.

O是圓錐底面的圓心，所以：04=0B=0C,

所以AP=BP=CP=OA2+OP2=OB2+OP2=OC2+OP2,

所以△APB三△BPC=^APC,

由于N4PC=90°.

所以44PB=乙BPC=9。。

所以AP_LBP,CP1BP,AP,PCu平面4PC,

由于4PCCP=P,

所以BP_L平面APC,

由于BPu平面PAB,

所以：平面PAB1平面PAC.

(2)設圓錐的底面半徑為匕圓錐的母線長為I,

所以/=V2+r2.

由于圓錐的側面積為百兀，

所以兀-r-y/2+r2=A/3TT,整理得(N+3)(r2—1)=0,

解得r=1.

所以AB=Jl+l-2xlxlx(-|)=V3.

由于/P2+8p2=4^2,解得ap=

則：/TBC=：X；xJ|x*x*=苧.

【解析】(1)首先利用三角形的全等的應用求出4P，BP,CP1BP,進一步求出二面角的平面角為直角，進

一步求出結論.

(2)利用錐體的體積公式和圓錐的側面積公式的應用及勾股定理的應用求出結果.

本題考查的知識要點：面面垂直的判定和性質的應用，幾何體的體積公式的應用，主要考查學生的運算能力

和轉換能力及思維能力，屬于中檔題型.

20.【答案】解：由題意,f(約的定義域為(-8,+8),且/(%)=婚一Q.

(1)當a=l時，=令/(x)=0,解得％=0.

二當％E(-8,0)時，(。)<o,/(%)單調遞減，

當%€(0,+8)時，f(x)>0,/(%)單調遞增.

/(%)在(一8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增；

(2)①當a40時，f'(x)=e，-Q>0恒成立，/(X)在(-8,+8)上單調遞增，不合題意;

②當a>0時，令/。)=0,解得％=Ina,

當%G(一8,加Q)時，f(x)<0,f(%)單調遞減,

當%6(仇見+8)時，f'(x)>0,f(x)單調遞增.

:./(%)的極小值也是最小值為/'(ma)-a-a(lna+2)=—a(l+Ina).

又當％T—8時，f(X)T+8,當％T+8時，/(X)->H-OO.

???耍使/(%)有兩個零點，只耍/(仇Q)V0即可，

則1+Ina>0,可得Q〉e

綜上，若/Xx)有兩個零點，則a的取值范圍是(%+8).

【解析】(1)當a=1時，/''(x)=e、-1,求出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，再由導函數在

各區間段內的符號求得原函數的單調性；

(2)當aWO時，［。)=/一。>0恒成立，f(x)在(-8,+8)上單調遞增，不合題意；當a>0時，利用導數

可得函數單調性，得到函數極值，結合題意由極小值小于0即可求得。的取值范圍.

本題考查利用導數研究函數的單調性，訓練了利用導數求極值，考查利用函數零點的個數求參數的取值范圍,

是中檔題.

21.【答案】解：(1)由題設得,A(-a,0),B(a,O),G(0,l),則怒=

(a,1),GB=(a,-1)>

由布?布=8得a?-1=8,即a=3,

所以E的方程為q+y2=i.

(2)設CQi，%),。(超而，P(6,t),

若tH0,設直線CD的方程為x=my+n,由題可知，-3<n<3,

由于直線PA的方程為y=：(x+3),所以%="小+3),同理可得刈=沁2-3),

于是有3yl(小-3)=y2(x1+3)①.

由于遺+另=1,所以通=_9嗯

99

mn

將其代入①式，消去%2-3,可得27yly2=