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其余的比較簡單,大家可以自己考慮。

3.坐標系{B}的位置變化如下:初始時,坐標系{A}與{B}重合,讓坐標系{B}繞

Zs軸旋轉。角;然后再繞XB旋轉。角。給出把對矢量,P的描述變為對V描述

的旋轉矩陣。

解:?.?坐標系{B}相對自身坐標系(動系)的當前坐標系旋轉兩次,為相對變換,齊次變

換順序為依次右乘。

,對V描述有AP=^TBP;

其中k=Rot(z,e)Rot(x,(/))?

9.圖2-10a示出擺放在坐標系中的兩個相同的楔形物體。要求把它們重新擺放

在圖2-10b所示位置。

(1)用數字值給出兩個描述重新擺置的變換序列,每個變換表示沿某個軸平移

或繞該軸旋轉。

(2)作圖說明每個從右至左的變換序列。

(3)作圖說明每個從左至右的變換序列。

解:(1)方法1:如圖建立兩個坐標系{。內yzj、{o2x2y2z2},與2個楔塊相固聯。

圖1:楔塊坐標系建立(方法1)

對楔塊1進行的變換矩陣為:7;=R”(y,90)R"(z,90);

對楔塊2進行的變換矩陣為:

4=7kms(-3,0,4)Rof(z,—90°);77?〃(x,90°)R"(z,180°);

'1000'

0105

其中n叮=;

20010

0001

0010-'00-12

10001000

所以:(=;T=

010020-104

0001_0001

對楔塊2的變換步驟:

①繞自身坐標系X軸旋轉90。;

②繞新形成的坐標系的Z軸旋轉180P;

③繞定系的Z軸旋轉-90。;

④沿定系的各軸平移(-3,0,4)。

方法2:如圖建立兩個坐標系{qxjZ]}、與參考坐標系重合,兩坐標系

與2個楔塊相固聯。

圖1:楔塊坐標系建立(方法2)

對楔塊1進行的變換矩陣為:7;=R”(y,90)R”(z,90);

對楔塊2進行的變換矩陣為:

4=7?即s(—2,0,9)7^〃s(4,0,0)Rof(y,90")Rof(x,180")Ro"z,-90°);

'0010'■00-12

10001000

所以:4=O

01000-109

_0001_0001_

備注:當建立的相對坐標系位置不同時,到達理想位置的變換矩陣不同。

(2)、(3)略。

2.圖3-11給出一個3自由度機械手的機構。軸1和軸2垂直。試求其運動方程

式。

解:方法1建模:

如圖3建立各連桿的坐標系。

圖3:機械手的坐標系建立

根據所建坐標系得到機械手的連桿參數,見表1。

表1:機械手的連桿參數

該3自由度機械手的變換矩陣:=RA2A3;

cOx0Lxc0xc02-sO20L2C02

0-cO,L,s0.s0c00LS3

4=;4=2222

01000010

00010001

cOy-sO300

s0cO00

4=3y?

0010

0001

方法二進行建模:

坐標系的建立如圖4所示。

圖4:機械手的坐標系建立

根據所建坐標系得到機械手的連桿參數,見表2。

表2:機械手的連桿參數

c0x—sOx00cO2-s020L]

s3.?c3,I0000-10

A1=;4=

0010s02c0200

00010001

74-s40L2

s4c3.00

A.=

j0010

0001

3.圖3-12所示3自由度機械手,其關節1與關節2相交,而關節2與關節3

平行。圖中所示關節均處于零位。各關節轉角的正向均由箭頭示出。指定本機

械手各連桿的坐標系,然后求各變換矩陣°工,工和2”。

解:對于末端執行器而言,因為單獨指定了末端執行器的坐標系,則要確定末端

執行器與最后一個坐標系之間的變換關系。

方法1建模:

按照方法1進行各連桿的坐標系建立,建立方法見圖5。

圖5:機械手的坐標系建立

連桿3的坐標系與末端執行器的坐標系相重合。機械手的D-H參數值見表3o

表3:機械手的連桿參數

注:關節變量4="=。3=仇=0。

將表3中的參數帶入得到各變換矩陣分別為:

1000100

04=00-100100

;'T=

010+%20010

00010001

-'1000'

100L4'

01000100

2

73=;3/T末-—

00100010

00010001

方法2建模:

按照方法2進行各連桿的坐標系建立,建立方法見圖6。

圖6:機械手的坐標系建立

3自由度機械手的D-H參數值見表40

表4:機械手的連桿參數

注:關節變量6]=%==。4=0。

將表4中的參數帶入得到各變換矩陣分別為:

'1000'1000'

010000-10

;72-—

001L}+L20100

00010001

-100人-100LJ

01000100

;3/T末一—

00100010

00010001

0104

0013

1.已知坐標系{C}對基座標系的變換為:c=;對于基座標系的微分

1000

0001

平移分量分別為沿X軸移動0.5,沿Y軸移動0,沿Z軸移動1;微分旋轉分量分別為

0.1,0.2和0。

(1)求相應的微分變換;

(2)求對應于坐標系{C}的等效微分平移與旋轉。

解:(1)對基座標系的微分平移:t/=[0.5,0,l]7;

對基座標系的微分旋轉:^=[0.1,0.2,0]7;

一000.20.5

00-0.10

-0.20.101

0000

0.2000.5-

-0.1000

相應的微分變換:de=M=

0-0.20.10.5

0000

(2)由相對變換。可知〃、。、aP,

4=〃.(3xp)+d)=0.5;a=0.(@xp)+d)=0.5;&=a?((Sxp)+d)=0

C

3=〃.方=0;0V=。5=0.1;8=a-8=Q.2

對應于坐標系{C}的等效微分平移:Z=[0.5;0.5;0];微分旋轉:0=[0;0.1;0.2[。

2.試求圖3.11所示的三自由度機械手的雅可比矩陣,所用坐標系位于夾手末端

上,其姿態與第三關節的姿態一樣。

解:設第3個連桿長度為

1)使用方法1建模,末端執行器的坐標系與連桿3的坐標系重合,使用微分變

換法。

圖7:機械手的坐標系建立

表5:D-H參數表

一,響-

c(%+%)_$(%+%)0L2ce2'響0o

0LSOs6cOy00

6(%+。3)22y

73=;z=;%=E

00100010

00010001

由上式求得雅可比矩陣:

L2s。300

L1c%00

000

000

000

011

2)使用方法2建模,使用微分變換法。

圖8:機械手的坐標系建立

表6:D-H參數表

c包+仇)_S(2+4)0.+LC3迅-s030L

。222

00-10s0C?300

;Z=3

S(%+a),(%+%)0L2S020010

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