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其余的比較簡單，大家可以自己考慮。

3.坐標系｛B｝的位置變化如下：初始時，坐標系｛A｝與｛B｝重合，讓坐標系｛B｝繞

Zs軸旋轉。角；然后再繞XB旋轉。角。給出把對矢量,P的描述變為對V描述

的旋轉矩陣。

解：?.?坐標系｛B｝相對自身坐標系(動系)的當前坐標系旋轉兩次，為相對變換，齊次變

換順序為依次右乘。

，對V描述有AP=^TBP；

其中k=Rot(z,e)Rot(x,(/))?

9.圖2-10a示出擺放在坐標系中的兩個相同的楔形物體。要求把它們重新擺放

在圖2-10b所示位置。

(1)用數字值給出兩個描述重新擺置的變換序列，每個變換表示沿某個軸平移

或繞該軸旋轉。

(2)作圖說明每個從右至左的變換序列。

(3)作圖說明每個從左至右的變換序列。

解：(1)方法1:如圖建立兩個坐標系｛。內yzj、｛o2x2y2z2｝,與2個楔塊相固聯。

圖1：楔塊坐標系建立(方法1)

對楔塊1進行的變換矩陣為：7；=R”(y,90)R"(z,90)；

對楔塊2進行的變換矩陣為：

4=7kms(-3,0,4)Rof(z,—90°)；77?〃(x,90°)R"(z,180°)；

'1000'

0105

其中n叮=；

20010

0001

0010-'00-12

10001000

所以：(=；T=

010020-104

0001_0001

對楔塊2的變換步驟：

①繞自身坐標系X軸旋轉90。；

②繞新形成的坐標系的Z軸旋轉180P；

③繞定系的Z軸旋轉-90。；

④沿定系的各軸平移(-3,0,4)。

方法2：如圖建立兩個坐標系｛qxjZ]｝、與參考坐標系重合，兩坐標系

與2個楔塊相固聯。

圖1：楔塊坐標系建立(方法2)

對楔塊1進行的變換矩陣為：7；=R”(y,90)R”(z,90)；

對楔塊2進行的變換矩陣為：

4=7?即s(—2,0,9)7^〃s(4,0,0)Rof(y,90")Rof(x,180")Ro"z,-90°)；

'0010'■00-12

10001000

所以：4=O

01000-109

_0001_0001_

備注：當建立的相對坐標系位置不同時，到達理想位置的變換矩陣不同。

(2)、(3)略。

2.圖3-11給出一個3自由度機械手的機構。軸1和軸2垂直。試求其運動方程

式。

解：方法1建模：

如圖3建立各連桿的坐標系。

圖3：機械手的坐標系建立

根據所建坐標系得到機械手的連桿參數，見表1。

表1：機械手的連桿參數

該3自由度機械手的變換矩陣：=RA2A3；

cOx0Lxc0xc02-sO20L2C02

0-cO,L,s0.s0c00LS3

4=；4=2222

01000010

00010001

cOy-sO300

s0cO00

4=3y?

0010

0001

方法二進行建模：

坐標系的建立如圖4所示。

圖4：機械手的坐標系建立

根據所建坐標系得到機械手的連桿參數，見表2。

表2：機械手的連桿參數

c0x—sOx00cO2-s020L]

s3.?c3,I0000-10

A1=；4=

0010s02c0200

00010001

74-s40L2

s4c3.00

A.=

j0010

0001

3.圖3-12所示3自由度機械手，其關節1與關節2相交，而關節2與關節3

平行。圖中所示關節均處于零位。各關節轉角的正向均由箭頭示出。指定本機

械手各連桿的坐標系，然后求各變換矩陣°工，工和2”。

解：對于末端執行器而言，因為單獨指定了末端執行器的坐標系，則要確定末端

執行器與最后一個坐標系之間的變換關系。

方法1建模：

按照方法1進行各連桿的坐標系建立，建立方法見圖5。

圖5：機械手的坐標系建立

連桿3的坐標系與末端執行器的坐標系相重合。機械手的D-H參數值見表3o

表3：機械手的連桿參數

注：關節變量4="=。3=仇=0。

將表3中的參數帶入得到各變換矩陣分別為:

1000100

04=00-100100

；'T=

010+%20010

00010001

-'1000'

100L4'

01000100

2

73=;3/T末-—

00100010

00010001

方法2建模：

按照方法2進行各連桿的坐標系建立，建立方法見圖6。

圖6：機械手的坐標系建立

3自由度機械手的D-H參數值見表40

表4：機械手的連桿參數

注：關節變量6]=%==。4=0。

將表4中的參數帶入得到各變換矩陣分別為:

'1000'1000'

010000-10

；72-—

001L｝+L20100

00010001

-100人-100LJ

01000100

;3/T末一—

00100010

00010001

0104

0013

1.已知坐標系｛C｝對基座標系的變換為：c=;對于基座標系的微分

1000

0001

平移分量分別為沿X軸移動0.5,沿Y軸移動0,沿Z軸移動1；微分旋轉分量分別為

0.1,0.2和0。

（1）求相應的微分變換；

（2）求對應于坐標系｛C｝的等效微分平移與旋轉。

解：（1）對基座標系的微分平移：t/=[0.5,0,l]7；

對基座標系的微分旋轉：^=[0.1,0.2,0]7；

一000.20.5

00-0.10

-0.20.101

0000

0.2000.5-

-0.1000

相應的微分變換：de=M=

0-0.20.10.5

0000

（2）由相對變換。可知〃、。、aP,

4=〃.(3xp)+d)=0.5；a=0.(@xp)+d)=0.5；&=a?((Sxp)+d)=0

C

3=〃.方=0；0V=。5=0.1；8=a-8=Q.2

對應于坐標系｛C｝的等效微分平移：Z=[0.5;0.5;0]；微分旋轉：0=[0;0.1;0.2[。

2.試求圖3.11所示的三自由度機械手的雅可比矩陣，所用坐標系位于夾手末端

上，其姿態與第三關節的姿態一樣。

解:設第3個連桿長度為

1）使用方法1建模，末端執行器的坐標系與連桿3的坐標系重合，使用微分變

換法。

圖7：機械手的坐標系建立

表5：D-H參數表

一,響-

c（%+%）_$（%+%）0L2ce2'響0o

0LSOs6cOy00

6（%+。3）22y

73=；z=；%=E

00100010

00010001

由上式求得雅可比矩陣:

L2s。300

L1c%00

000

000

000

011

2）使用方法2建模，使用微分變換法。

圖8：機械手的坐標系建立

表6：D-H參數表

c包+仇）_S（2+4）0.+LC3迅-s030L

。222

00-10s0C?300

；Z=3

S（%+a），（%+%）0L2S020010