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其余的比較簡單,大家可以自己考慮。
3.坐標系{B}的位置變化如下:初始時,坐標系{A}與{B}重合,讓坐標系{B}繞
Zs軸旋轉。角;然后再繞XB旋轉。角。給出把對矢量,P的描述變為對V描述
的旋轉矩陣。
解:?.?坐標系{B}相對自身坐標系(動系)的當前坐標系旋轉兩次,為相對變換,齊次變
換順序為依次右乘。
,對V描述有AP=^TBP;
其中k=Rot(z,e)Rot(x,(/))?
9.圖2-10a示出擺放在坐標系中的兩個相同的楔形物體。要求把它們重新擺放
在圖2-10b所示位置。
(1)用數字值給出兩個描述重新擺置的變換序列,每個變換表示沿某個軸平移
或繞該軸旋轉。
(2)作圖說明每個從右至左的變換序列。
(3)作圖說明每個從左至右的變換序列。
解:(1)方法1:如圖建立兩個坐標系{。內yzj、{o2x2y2z2},與2個楔塊相固聯。
圖1:楔塊坐標系建立(方法1)
對楔塊1進行的變換矩陣為:7;=R”(y,90)R"(z,90);
對楔塊2進行的變換矩陣為:
4=7kms(-3,0,4)Rof(z,—90°);77?〃(x,90°)R"(z,180°);
'1000'
0105
其中n叮=;
20010
0001
0010-'00-12
10001000
所以:(=;T=
010020-104
0001_0001
對楔塊2的變換步驟:
①繞自身坐標系X軸旋轉90。;
②繞新形成的坐標系的Z軸旋轉180P;
③繞定系的Z軸旋轉-90。;
④沿定系的各軸平移(-3,0,4)。
方法2:如圖建立兩個坐標系{qxjZ]}、與參考坐標系重合,兩坐標系
與2個楔塊相固聯。
圖1:楔塊坐標系建立(方法2)
對楔塊1進行的變換矩陣為:7;=R”(y,90)R”(z,90);
對楔塊2進行的變換矩陣為:
4=7?即s(—2,0,9)7^〃s(4,0,0)Rof(y,90")Rof(x,180")Ro"z,-90°);
'0010'■00-12
10001000
所以:4=O
01000-109
_0001_0001_
備注:當建立的相對坐標系位置不同時,到達理想位置的變換矩陣不同。
(2)、(3)略。
2.圖3-11給出一個3自由度機械手的機構。軸1和軸2垂直。試求其運動方程
式。
解:方法1建模:
如圖3建立各連桿的坐標系。
圖3:機械手的坐標系建立
根據所建坐標系得到機械手的連桿參數,見表1。
表1:機械手的連桿參數
該3自由度機械手的變換矩陣:=RA2A3;
cOx0Lxc0xc02-sO20L2C02
0-cO,L,s0.s0c00LS3
4=;4=2222
01000010
00010001
cOy-sO300
s0cO00
4=3y?
0010
0001
方法二進行建模:
坐標系的建立如圖4所示。
圖4:機械手的坐標系建立
根據所建坐標系得到機械手的連桿參數,見表2。
表2:機械手的連桿參數
c0x—sOx00cO2-s020L]
s3.?c3,I0000-10
A1=;4=
0010s02c0200
00010001
74-s40L2
s4c3.00
A.=
j0010
0001
3.圖3-12所示3自由度機械手,其關節1與關節2相交,而關節2與關節3
平行。圖中所示關節均處于零位。各關節轉角的正向均由箭頭示出。指定本機
械手各連桿的坐標系,然后求各變換矩陣°工,工和2”。
解:對于末端執行器而言,因為單獨指定了末端執行器的坐標系,則要確定末端
執行器與最后一個坐標系之間的變換關系。
方法1建模:
按照方法1進行各連桿的坐標系建立,建立方法見圖5。
圖5:機械手的坐標系建立
連桿3的坐標系與末端執行器的坐標系相重合。機械手的D-H參數值見表3o
表3:機械手的連桿參數
注:關節變量4="=。3=仇=0。
將表3中的參數帶入得到各變換矩陣分別為:
1000100
04=00-100100
;'T=
010+%20010
00010001
-'1000'
100L4'
01000100
2
73=;3/T末-—
00100010
00010001
方法2建模:
按照方法2進行各連桿的坐標系建立,建立方法見圖6。
圖6:機械手的坐標系建立
3自由度機械手的D-H參數值見表40
表4:機械手的連桿參數
注:關節變量6]=%==。4=0。
將表4中的參數帶入得到各變換矩陣分別為:
'1000'1000'
010000-10
;72-—
001L}+L20100
00010001
-100人-100LJ
01000100
;3/T末一—
00100010
00010001
0104
0013
1.已知坐標系{C}對基座標系的變換為:c=;對于基座標系的微分
1000
0001
平移分量分別為沿X軸移動0.5,沿Y軸移動0,沿Z軸移動1;微分旋轉分量分別為
0.1,0.2和0。
(1)求相應的微分變換;
(2)求對應于坐標系{C}的等效微分平移與旋轉。
解:(1)對基座標系的微分平移:t/=[0.5,0,l]7;
對基座標系的微分旋轉:^=[0.1,0.2,0]7;
一000.20.5
00-0.10
-0.20.101
0000
0.2000.5-
-0.1000
相應的微分變換:de=M=
0-0.20.10.5
0000
(2)由相對變換。可知〃、。、aP,
4=〃.(3xp)+d)=0.5;a=0.(@xp)+d)=0.5;&=a?((Sxp)+d)=0
C
3=〃.方=0;0V=。5=0.1;8=a-8=Q.2
對應于坐標系{C}的等效微分平移:Z=[0.5;0.5;0];微分旋轉:0=[0;0.1;0.2[。
2.試求圖3.11所示的三自由度機械手的雅可比矩陣,所用坐標系位于夾手末端
上,其姿態與第三關節的姿態一樣。
解:設第3個連桿長度為
1)使用方法1建模,末端執行器的坐標系與連桿3的坐標系重合,使用微分變
換法。
圖7:機械手的坐標系建立
表5:D-H參數表
一,響-
c(%+%)_$(%+%)0L2ce2'響0o
0LSOs6cOy00
6(%+。3)22y
73=;z=;%=E
00100010
00010001
由上式求得雅可比矩陣:
L2s。300
L1c%00
000
000
000
011
2)使用方法2建模,使用微分變換法。
圖8:機械手的坐標系建立
表6:D-H參數表
c包+仇)_S(2+4)0.+LC3迅-s030L
。222
00-10s0C?300
;Z=3
S(%+a),(%+%)0L2S020010
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