2023－2024學年度第一學期教學質量抽測九年級數學試題（A）溫馨提示：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共8頁．滿分120分．考試用時120分鐘．2．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的學校、姓名、準考證號填寫在答題卡中規定的位置上．3．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答案不能答在試題卷上．4．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、選擇題：本大題共10個小題，在每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．每小題涂對得3分，滿分30分．1.下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.科克曲線 B.笛卡爾心形線 C.阿基米德螺旋線 D.趙爽弦圖【答案】A【解析】【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A、科克曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；B、笛卡爾心形線是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C、阿基米德螺旋線不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D、趙爽弦圖不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．2.用配方法解方程，下列變形正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在本題中，把常數項1移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數4的一半的平方．【詳解】把方程的常數項移到等號的右邊，得到：，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得到：，配方得：，故選D．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣配方法．配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方；選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．3.如圖，為的直徑，半徑的垂直平分線交于點C，D，交于點E，若，則的長為（）A. B.4 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根據是半徑的垂直平分線，可得，用勾股定理解求出，由垂徑定理可得．【詳解】解：如圖，連接．為的直徑，，，是半徑的垂直平分線，，，，，故選C．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，垂直平分線的定義，解題的關鍵是掌握垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧．4.如圖，將繞點逆時針旋轉，得到，若點在線段的延長線上，則的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．由旋轉的性質可得，，由等腰三角形的性質可求解．【詳解】解：將繞點逆時針旋轉得到，，，，故選：D．5.如圖，過原點，且與兩坐標軸分別交于點，點的坐標為，點是第三象限內上一點，，則的半徑為（）A.4 B.5 C.6 D.【答案】B【解析】【分析】由題意知，由，可得為的直徑，由四點共圓，可求，則，然后求直徑，求半徑即可．【詳解】解：∵點的坐標為，∴，∵，∴為的直徑，∵四點共圓，∴，∴，∴，∴半徑為5，故選：B．【點睛】本題考查了的圓周角所對的弦為直徑，圓內接四邊形對角互補，含的直角三角形，三角形內角和定理等知識．熟練掌握的圓周角所對的弦為直徑，圓內接四邊形對角互補，含的直角三角形是解題的關鍵．6.如果將拋物線向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據向下平移，縱坐標相減，即可得到答案．【詳解】解：拋物線向下平移1個單位，拋物線的解析式為，即．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，解題的關鍵是掌握向下平移個單位長度縱坐標要減．7.如圖，六邊形是的內接正六邊形，設正六邊形的面積為的面積為，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查正多邊形和圓，三角形的面積，全等三角形的判定，關鍵是由正六邊形的性質證明．連接、、、，由正六邊形的性質得到、、、、、把圓六等分，推出，得到、是等邊三角形，由證明，得到的面積的面積，同理：的面積的面積，的面積的面積，因此的面積的面積的面積的面積，即可得到答案．【詳解】解：連接、、、，六邊形是的內接正六邊形，、、、、、把圓六等分，，，、是等邊三角形，，，，的面積的面積，同理：的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積的面積的面積，，．故選：A．8.在平面直角坐標系中，的圖象經過點兩點，若，，則與的大小關系是（）A. B. C. D.無法確定【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了二次函數圖像上點的坐標特征，熟練掌握運用函數圖像比較函數值的大小是解題的關鍵．通過比較點到軸的距離即可得到答案．【詳解】解：拋物線對稱軸軸，而，，故，故選A．9.某商場銷售的某種商品每件的標價是80元，若按標價的八折銷售，仍可盈利24元，市場調查發現：在以標價打八折為銷售價的基礎上，該種商品每星期可賣出220件，該種商品每降價1元，每星期可多賣20件．設每件商品降價x元（x為整數），每星期的利潤為y元．以下說法錯誤的是（）A.每件商品進價為40元B.降價后每件商品售價為元C.降價后每周可賣件D.每星期的利潤為【答案】D【解析】【分析】設商品進價為a元，根據“按標價的八折銷售，仍可盈利24元”，列出方程求出商品進價，即可逐個進行判斷．【詳解】解：A、設商品進價為a元，，解得：，∴每件商品進價為40元，故A正確，不符合題意；B、降價后每件商品售價為元，故B正確，不符合題意；C、降價后每周可賣件，故C正確，不符合題意；D、每星期的利潤為，故D錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，二次函數的實際應用，解題的關鍵是求出商品進價，根據題意，找出等量關系．10.表中所列的6對值是二次函數圖象上的點所對應的坐標，其中．100根據表中信息，下列4個結論：①；②；③；④如果，那么當時，直線與該二次函數圖象有一個公共點，則；其中正確的有（）個．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系．二次函數系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定．①由二次函數的對稱性可得對稱軸為直線，可直接判斷；②由對稱軸的位置及且，可知在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，由此可判斷a的符號，進而可判斷b和c的符號；③由上述判斷可知，當時，，結合可判斷；④根據題中給出的數據，可求得函數解析式，進而可判斷時，y的取值范圍，進而可判斷．【詳解】解：①由表格可知，當和時，函數值相等，∴對稱軸為直線，∴，即，故①正確，符合題意；②由表格可知，，且，∴在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，∴，∴，由表格可知，當和時，函數值相等，又∵，，∴，∴，故②錯誤；③由上分析可知，當時，，又∵，∴，故③正確；④當，時，可知函數過點，∵對稱軸為直線，∴拋物線跟x軸的另一個交點，∴函數的解析式可設為，∵，∴，解得，∴函數解析式為：，畫出函數圖象如圖所示：當時，，當時，，又拋物線的頂點坐標為，∴當時，直線與該二次函數圖象有一個公共點；∴若直線與該二次函數圖象有一個公共點，則或；故④錯誤．故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二．填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）11.已知點的坐標為，則關于原點對稱的點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查關于原點對稱的點的坐標特征，熟練掌握關于原點對稱的點的坐標特征是解題的關鍵．根據關于原點對稱的點的坐標特征即可得到答案．【詳解】解：關于原點對稱的點的坐標特征為橫、縱坐標全變為相反數，故點的坐標為，則關于原點對稱的點的坐標為，故答案為：．12.如圖，是的內切圓，，則的大小是______．【答案】##120度【解析】【分析】本題主要考查了三角形的內切圓和內心、三角形內角和定理等知識，理解并掌握內切圓和內心的性質是解題關鍵．根據題意可知是的內心，易得求得，，再利用三角形內角和定理解得，進而可得，然后利用三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：∵是的內切圓，即是的內心，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案為：．13.如圖，、分別與相切，切點分別為A、B，，，若為的直徑，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】【解析】【分析】可求，，從而可求，，可得，由即可求解．【詳解】解：、分別與相切，，，是等邊三角形，，，，，，是直徑，，，，，，，，．故答案：．【點睛】本題考查了切線長定理，切線的性質，等邊的三角形的判定及性質，扇形面積公式，特殊角的三角函數值，直角三角形的特征等，掌握相關的性質及公式是解題的關鍵．14.如圖，是正方形內一點，將繞點順時針方向旋轉后與重合，若，則______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了旋轉的性質，正方形的性質，勾股定理，根據旋轉的性質得到，是解答此題的關鍵．【詳解】解：由題可知：，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，故答案為：．15.如圖，內切于正方形，為圓心，作，其兩邊分別交于點，若，則的面積為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，切線的性質等知識．熟練掌握正方形的性質，全等三角形的判定與性質，切線的性質是解題的關鍵．如圖，連接，證明，則，，的半徑為5，然后求面積即可．【詳解】解：如圖，連接，∵正方形，∴，，，∵，∴，，，∴，∴，∴，∵內切于正方形，∴的半徑為5，∴的面積為，故答案：．16.現有是關于的二次函數，則下列描述正確的是______．（填序號）①當時，函數圖象的頂點坐標為；②當時，函數圖象在軸上截得的線段的長度不小于；③當時，函數圖象總過定點；④若函數圖象上任取不同的兩點，則當時，函數在時一定能使成立．【答案】①③##③①【解析】【分析】本題主要考查了二次函數圖象與性質、拋物線與軸交點、一元二次方程的應用等知識，理解并掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．將代入函數解析式并化為頂點式，即可判斷①；求得該函數圖象與軸交點，進而求得的值，即可判斷②；由，可知當時，的值與無關，進而求得該函數圖象經過的定點坐標，即可判斷③；當時，確定該函數圖象的對稱軸及開口方向，易知當時，只有當對稱軸在右側時，才隨的增大而增大，即可判斷④．【詳解】解：當時，該函數為，∵，∴該函數圖象的頂點坐標為，故①正確；當時，由可得，，則，∴，∴，，∴，∴該函數圖象在軸上截得的線段的長度大于，故②錯誤；當時，，當時，的值與無關，此時，，當時，，當，，∴該函數圖象總過定點和，故③正確；當時，該函數圖象的對稱軸為，拋物線開口向下，故時，只有當對稱軸在右側時，才隨的增大而減小，即成立，故④錯誤．綜上所述，描述正確的是①③．故答案：①③．三．解答題：（本大題共12個小題，滿分72分．解答時請寫出必要的演推過程．）17.解方程：（1）（2）．（3）（4）【答案】（1），（2），（3），（4），【解析】【分析】（1）利用直接開平方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用配方法解一元二次方程即可；（4）利用公式法解一元二次方程即可；【小問1詳解】解：原方程化為，開方，得，∴，；【小問2詳解】解：原方程化為，即，∴或，∴，；【小問3詳解】解：移項，得，配方，得，即，開方，得，∴，；【小問4詳解】解：，，，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的各種解法及其步驟，正確求解是解答的關鍵．18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC三個頂點的坐標分別為A（﹣2，﹣1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．△ABC關于原點O對稱的圖形是△A1B1C1．（1）畫出△A1B1C1；（2）BC與B1C1的位置關系是，AA1的長為；（3）若點P（a，b）是△ABC一邊上的任意一點，則點P經過上述變換后的對應點P1的坐標可表示為．【答案】（1）見解析；（2）BCB1C1，；（3）（-a，-b））【解析】【分析】（1）根據中心對的兩個圖形對應點的坐標互為相反數畫出圖形即可；（2）根據圖形可得出BCB1C1，根據勾股定理得出AA1的長為；（3）根據中心對的兩個圖形對應點的坐標互為相反數得出P1的坐標．【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）∵B（-4,1），C（-3,3），，∴BCB1C1，＝；故答案為BCB1C1，；（3）∵點P（a，b）是△ABC一邊上的任意一點，△ABC關于原點O對稱的圖形是△A1B1C1．∴點P經過上述變換后的對應點P1的坐標可表示為，故答案為．19.已知關于x的一元二次方程有兩根分別為、．（1）求m的取值范圍；（2）若，求m的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式即可求解；（2）根據一元二次方程根與系數的關系，得出，，結合m的取值范圍，即可求解．【小問1詳解】解：∵，，，，；【小問2詳解】解：∵，，∴解得：或∴．【點睛】本題主要考查了已知一元二次方程根的情況求參數的取值范圍，一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是熟練掌握當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根，以及一元二次方程根與系數關系：．20.已知：和圓外一點，求作：過點的的切線．作法：①連接；②分別以，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于兩點，連接，交于點．③以為圓心，長為半徑作，交于點；④作直線．所以直線為的切線．（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．，，是線段的______（______）（填推理的依據）．．為的直徑，在上（______）（填推理的依據）．半徑，半徑．直線為的切線（______）（填推理的依據）．【答案】（1）見解析（2）垂直平分線；到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；直徑所對的圓周角是直角；經過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【解析】【分析】（1）根據幾何語言畫出對應的幾何圖形即可；（2）先由垂直平分線的判定可得是線段的垂直平分線，從而得到，再由圓周角定理可得，由此即可得證．【小問1詳解】解：如圖，即為所作，；【小問2詳解】解：連接，，，，是線段的垂直平分線，（到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上），，為的直徑，在上，（直徑所對的圓周角是直角），半徑，半徑，直線為的切線（經過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線），故答案為：垂直平分線；到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；直徑所對的圓周角是直角；經過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【點睛】本題考查了作圖—復雜作圖，此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了線段垂直平分線的判定與性質、圓周角定理和切線的判定與性質．21.有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？解：設每輪傳染中平均一個人傳染了個人，（1）用含x的解析式表示：第一輪后共有①______人患了流感；第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了x個人，第二輪后共有②______人患了流感；（2）根據題意，列出相應方程為③______；（3）解這個方程，得④______；（4）根據問題的實際意義，平均一個人傳染了⑤______個人．【答案】（1），（2）（3）（4）10【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找出等量關系列出方程是解答本題的關鍵．（1）設這種流感的傳播速度是一人可才傳播給x人，則一輪傳染以后有人患病，第二輪傳染的過程中，作為傳染源的有人，一個人傳染x個人，則第二輪又有人患病，則兩輪后有人患病；（2）據兩輪后有人患病，即可列方程求解；（3）利用直接開平方法解方程；（4）根據問題的實際意義得出答案．【小問1詳解】由題意可得，第一輪后共有人患了流感；第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了個人，第二輪后共有人患了流感；故答案為：，；【小問2詳解】根據題意，列出相應方程為，即．故答案為：；【小問3詳解】，開平方得，，解得，故答案為：；【小問4詳解】根據問題的實際意義，不符合題意，應該舍去，，即平均一個人傳染了10個人．故答案為：10．22.求證：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，根據命題畫出圖形并根據圓的隱含條件半徑相等進行證明是解題的關鍵．先根據已知畫圖，然后寫出已知和求證，再進行證明即可．【詳解】已知：如圖，是的一條弦，是的一條直徑，并且，垂足為點．求證：證明：連接，則．在等腰三角形中，，．點和點關于對稱．關于對稱，當圓沿著直徑對折時，點與點重合，∴與重合，與重合．∴.23.已知二次函數，它的圖象頂點為，并且與軸交于點．（1）直接寫出的坐標．（2）畫出這個二次函數的圖象．（3）當時，結合圖象，直接寫出函數值的取值范圍．（4）若直線也經過兩點，直接寫出關于的不等式的解集．【答案】（1），（2）作圖見詳解（3）當時，函數值的取值范圍（4）當或時，【解析】【分析】（1）將二次函數一般式配方為頂點式可求出頂點坐標，令可求出與縱軸的交點，由此即可求解；（2）根據題意分別求出二次函數與橫軸的交點，頂點坐標，連線即可求解；（3）根據自變量的取值范圍求對應的函數值，由此即可求解；（4）運用待定系數法求出直線的解析式，圖形結合分析即可求解．【小問1詳解】解：二次函數化為頂點式得，，∴二次函數的頂點坐標為，∴，∵二次函數與軸交于點，∴令，則，∴．【小問2詳解】解：設二次函數與橫軸交于點（點在點的左邊），令，則，解得，，，∴，，且，，∴作圖如下，【小問3詳解】解：二次函數，當時，；當時，；∵二次函數的對稱軸為，且，∴當時，；∴當時，函數值的取值范圍．【小問4詳解】解：已知，，直線也經過兩點，∴，解得，，∴過兩點的直線的解析式為，如圖所示，∴當時，；當時，；∴當或時，．【點睛】本題主要考查二次函數圖象，一次函數圖象的綜合，掌握二次函數圖象的性質，待定系數法求一次函數解析式，圖形結合分析是解題的關鍵．24.如圖，是的直徑，是的一條弦，連接（1）求證：（2）連接,過點作交的延長線于點，延長交于點，若為的中點，求證：直線為的切線．【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）設交于點，連接，證明，故可得，于是，即可得到；（2）連接AD，解出，根據為直徑得到，進而得到，即可證明，故可證明直線為的切線．【小問1詳解】證明：設交于點，連接，由題可知，，，，，，，，，；【小問2詳解】證明：連接，，，同理可得：,，∵點H是CD的中點，點F是AC的中點，，，，，為的直徑，，，，，，，直線為的切線．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質，同弧所對的圓周角相等，圓周角定理，直線平行的判定與性質，三角形的內角和公式，證明三角形全等以及證明平行線是解題的關鍵．25.如圖，已知拋物線的對稱軸是直線，且與x軸相交于A、B兩點（B點在A點的右側），與y軸交于C點．（1）求A點、B點坐標；（2）求直線的解析式；（3）點P是直線上方的拋物線上的一動點（不與B、C重合），是否存在點P，使的面積最大．若存在，請求出的最大面積，若不存在，試說明理由．【答案】（1）點A的坐標為，點B