上海市松江區(qū)2023-2024學年高一上學期期末質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知全集，集合，則______________.【答案】【解析】因為全集，集合，所以.故答案為：.2.用反證法證明命題“已知x、，且，求證：或”時，應(yīng)首先假設(shè)“___________”.【答案】且【解析】根據(jù)反證法的原理可知，求證或時，應(yīng)首先假設(shè)且.故答案為：且.3.已知方程的兩個根為，則_________.【答案】6【解析】由，得，所以.故答案為：6.4.函數(shù)的定義域是___________．【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足，所以函數(shù)定義域為.故答案為：.5.將化簡為有理數(shù)指數(shù)冪的形式_______________.【答案】【解析】.故答案為：.6.已知冪函數(shù)的圖象過點，則______.【答案】【解析】為冪函數(shù)，可設(shè)，，解得：，，.

故答案為：.7.設(shè)，為正數(shù)，且，則最小值是__________.【答案】2【解析】，當且僅當時取等號，則最小值是.故答案為：.8.已知，用、的代數(shù)式表示_________.【答案】【解析】由可得，所以.故答案為：.9.設(shè)為常數(shù)且，在上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】因為在上是嚴格增函數(shù)，所以，因為，所以在單調(diào)遞減，所以，又因為，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.10.已知關(guān)于的不等式有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是_________________.【答案】【解析】因為關(guān)于的不等式有實數(shù)解，所以，當時，，當時，，當時，，所以，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.11.已知函數(shù)是奇函數(shù).其定義域為，且滿足，當時，，則_________.【答案】【解析】由題意，所以是周期為4的周期函數(shù)，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當時，，所以.故答案：.12.已知函數(shù)的表達式為，若方程有四個不相等的實根，且，則值范圍是______________.【答案】【解析】當時，，函數(shù)關(guān)于直線對稱，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：，方程有四個不相等的實根，函數(shù)與有4個交點，由函數(shù)的圖象可知，即的取值范圍為：，由函數(shù)的圖象可知：，，且，，，，，，，令，，，設(shè)，則，，根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性其單調(diào)遞增，則，又，設(shè)，，對稱軸為，則，即，即范圍為.故答案為：．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.已知:整數(shù)能被2整除，：整數(shù)能被6整除，則是的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】充分性：因為：整數(shù)能被2整除，所以設(shè)此數(shù)為，則不一定為整數(shù)，即不一定能被6整除，故充分性不成立；必要性：因為：整數(shù)能被6整除，所以設(shè)此數(shù)為，則一定為整數(shù)，即一定能被2整除，故必要性成立，綜上所述，是的必要非充分條件.故選：B.14.已知，設(shè)，則與的值的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，當且僅當時等號成立，故.故選：D.15.若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個近似根(精確度為)可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由表格可得，函數(shù)的零點在之間，結(jié)合選項可知，方程的一個近似根(精確度為0.05)可以是1.42.故選：C.16.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為“取整函數(shù)”，如：，.現(xiàn)有關(guān)于“取整函數(shù)”的兩個命題：①集合是單元素集：②對于任意，成立，則以下說法正確的是（）A.①②都是真命題 B.①是真命題②是假命題C.①是假命題②是真命題 D.①②都是假命題【答案】A【解析】對于①：當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，則，不符合題意；當時，，則，不符合題意；當時，；則符合題意，不符合題意；綜上，是單元素集，故①正確；對于②：當為整數(shù)時，成立；當不為整數(shù)時，設(shè)（為整數(shù)，），當時，，，此時，成立；當時，，則，，此時，成立；當時，，，此時，成立；綜上，對于任意，成立，故②正確.故選：A.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知集合.（1）若，求和；（2）若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，所以，.（2）因為“”是“”的充分條件，所以，又因為，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.18.解下列不等式：（1）；（2）.解：（1）由，得，所以，解得或，所以不等式的解集為.（2）當，即時，，得，此時，，當，即時，，得，此時，，綜上所述，，即不等式的解集為.19.已知函數(shù)的表達式.（1）判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，并說明理由.（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)是奇函數(shù)？并說明理由.解：（1）在單調(diào)遞減，理由如下：任取，且，則，因為，，所以，所以，所以在單調(diào)遞減.（2）存在實數(shù)，使得函數(shù)是奇函數(shù)，理由如下：定義域關(guān)于原點對稱，由，則，則，即存在實數(shù)滿足題意，.20.近來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進而提升區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展活力，某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元/件）關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足（為常數(shù)，且），日銷售量（單位：件）關(guān)于第天的部分數(shù)據(jù)如下表所示：101520253090951009590已知第10天的日銷售收入為459元.（1）求的值；（2）給出以下四種函數(shù)模型：①;②；③；④.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量關(guān)于第天的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式：（3）設(shè)該工藝品的日銷售收入為函數(shù)（單位：元），求該函數(shù)的最小值.解：（1）因為第10天的日銷售收入為459元，所以，解得.（2）由表可知，隨的增加先增加后減小，模型①③④均為單調(diào)函數(shù)，所以②模型符合題意，所以代入，解得，所以.（2）由（1）知，，由（2）知，，所以，所以，當時，，當且僅當，即時取等號，當時，在單調(diào)遞減，所以，因為，所以函數(shù)的最小值為441.21.對于定義域為的函數(shù)，若存在區(qū)間(其中，使得函數(shù)同時滿足：①函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)或嚴格減函數(shù)；②當定義域是時，函數(shù)的值域也是,則稱是函數(shù)的“等域區(qū)間”（1）若區(qū)間是函數(shù)的“等域區(qū)間”，求實數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)是否存在“等域區(qū)間”，并說明理由；（3）若區(qū)間是函數(shù)的一個“等域區(qū)間”，求的最大值.解：（1）函數(shù)是R上的增函數(shù)，由區(qū)間是函數(shù)的“等域區(qū)間”，得，解得，所以.（2）函數(shù)在和上都單調(diào)遞增，假設(shè)是函數(shù)的“等域區(qū)間”，則在上單調(diào)，于是或，因此在