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上海市松江區(qū)2023-2024學年高一上學期期末質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學試卷一、填空題(本大題共有12題,滿分54分,第1~6題每題4分,第7~12題每題5分)考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知全集,集合,則______________.【答案】【解析】因為全集,集合,所以.故答案為:.2.用反證法證明命題“已知x、,且,求證:或”時,應(yīng)首先假設(shè)“___________”.【答案】且【解析】根據(jù)反證法的原理可知,求證或時,應(yīng)首先假設(shè)且.故答案為:且.3.已知方程的兩個根為,則_________.【答案】6【解析】由,得,所以.故答案為:6.4.函數(shù)的定義域是___________.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義,需滿足,所以函數(shù)定義域為.故答案為:.5.將化簡為有理數(shù)指數(shù)冪的形式_______________.【答案】【解析】.故答案為:.6.已知冪函數(shù)的圖象過點,則______.【答案】【解析】為冪函數(shù),可設(shè),,解得:,,.
故答案為:.7.設(shè),為正數(shù),且,則最小值是__________.【答案】2【解析】,當且僅當時取等號,則最小值是.故答案為:.8.已知,用、的代數(shù)式表示_________.【答案】【解析】由可得,所以.故答案為:.9.設(shè)為常數(shù)且,在上是嚴格增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】因為在上是嚴格增函數(shù),所以,因為,所以在單調(diào)遞減,所以,又因為,所以,即實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.10.已知關(guān)于的不等式有實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是_________________.【答案】【解析】因為關(guān)于的不等式有實數(shù)解,所以,當時,,當時,,當時,,所以,即,解得或,所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.11.已知函數(shù)是奇函數(shù).其定義域為,且滿足,當時,,則_________.【答案】【解析】由題意,所以是周期為4的周期函數(shù),又函數(shù)是上的奇函數(shù),且當時,,所以.故答案:.12.已知函數(shù)的表達式為,若方程有四個不相等的實根,且,則值范圍是______________.【答案】【解析】當時,,函數(shù)關(guān)于直線對稱,畫出函數(shù)的圖象,如圖所示:,方程有四個不相等的實根,函數(shù)與有4個交點,由函數(shù)的圖象可知,即的取值范圍為:,由函數(shù)的圖象可知:,,且,,,,,,,令,,,設(shè),則,,根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性其單調(diào)遞增,則,又,設(shè),,對稱軸為,則,即,即范圍為.故答案為:.二、選擇題(本大題共有4題,滿分18分,第13、14題每題4分,第15、16題每題5分)每題有且只有一個正確答案,考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置,將代表正確選項的小方格涂黑.13.已知:整數(shù)能被2整除,:整數(shù)能被6整除,則是的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】充分性:因為:整數(shù)能被2整除,所以設(shè)此數(shù)為,則不一定為整數(shù),即不一定能被6整除,故充分性不成立;必要性:因為:整數(shù)能被6整除,所以設(shè)此數(shù)為,則一定為整數(shù),即一定能被2整除,故必要性成立,綜上所述,是的必要非充分條件.故選:B.14.已知,設(shè),則與的值的大小關(guān)系是()A. B.C. D.【答案】D【解析】因為,所以,當且僅當時等號成立,故.故選:D.15.若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算,其參考數(shù)據(jù)如下:那么方程的一個近似根(精確度為)可以是()A. B.C. D.【答案】C【解析】由表格可得,函數(shù)的零點在之間,結(jié)合選項可知,方程的一個近似根(精確度為0.05)可以是1.42.故選:C.16.設(shè),用表示不超過的最大整數(shù),則稱為“取整函數(shù)”,如:,.現(xiàn)有關(guān)于“取整函數(shù)”的兩個命題:①集合是單元素集:②對于任意,成立,則以下說法正確的是()A.①②都是真命題 B.①是真命題②是假命題C.①是假命題②是真命題 D.①②都是假命題【答案】A【解析】對于①:當時,,不符合題意;當時,,不符合題意;當時,,則,不符合題意;當時,,則,不符合題意;當時,;則符合題意,不符合題意;綜上,是單元素集,故①正確;對于②:當為整數(shù)時,成立;當不為整數(shù)時,設(shè)(為整數(shù),),當時,,,此時,成立;當時,,則,,此時,成立;當時,,,此時,成立;綜上,對于任意,成立,故②正確.故選:A.三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知集合.(1)若,求和;(2)若“”是“”的充分條件,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)因為,所以,所以,.(2)因為“”是“”的充分條件,所以,又因為,所以,所以,所以實數(shù)的取值范圍為.18.解下列不等式:(1);(2).解:(1)由,得,所以,解得或,所以不等式的解集為.(2)當,即時,,得,此時,,當,即時,,得,此時,,綜上所述,,即不等式的解集為.19.已知函數(shù)的表達式.(1)判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性,并說明理由.(2)是否存在實數(shù),使得函數(shù)是奇函數(shù)?并說明理由.解:(1)在單調(diào)遞減,理由如下:任取,且,則,因為,,所以,所以,所以在單調(diào)遞減.(2)存在實數(shù),使得函數(shù)是奇函數(shù),理由如下:定義域關(guān)于原點對稱,由,則,則,即存在實數(shù)滿足題意,.20.近來,國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟”,以滿足不同層次的多元消費,并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè),進而提升區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展活力,某夜市的一位工藝品售賣者,通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn):該工藝品在過去的一個月內(nèi)(以30天計),每件的銷售價格(單位:元/件)關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足(為常數(shù),且),日銷售量(單位:件)關(guān)于第天的部分數(shù)據(jù)如下表所示:101520253090951009590已知第10天的日銷售收入為459元.(1)求的值;(2)給出以下四種函數(shù)模型:①;②;③;④.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量關(guān)于第天的變化關(guān)系,并求出該函數(shù)的解析式:(3)設(shè)該工藝品的日銷售收入為函數(shù)(單位:元),求該函數(shù)的最小值.解:(1)因為第10天的日銷售收入為459元,所以,解得.(2)由表可知,隨的增加先增加后減小,模型①③④均為單調(diào)函數(shù),所以②模型符合題意,所以代入,解得,所以.(2)由(1)知,,由(2)知,,所以,所以,當時,,當且僅當,即時取等號,當時,在單調(diào)遞減,所以,因為,所以函數(shù)的最小值為441.21.對于定義域為的函數(shù),若存在區(qū)間(其中,使得函數(shù)同時滿足:①函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)或嚴格減函數(shù);②當定義域是時,函數(shù)的值域也是,則稱是函數(shù)的“等域區(qū)間”(1)若區(qū)間是函數(shù)的“等域區(qū)間”,求實數(shù)的值;(2)判斷函數(shù)是否存在“等域區(qū)間”,并說明理由;(3)若區(qū)間是函數(shù)的一個“等域區(qū)間”,求的最大值.解:(1)函數(shù)是R上的增函數(shù),由區(qū)間是函數(shù)的“等域區(qū)間”,得,解得,所以.(2)函數(shù)在和上都單調(diào)遞增,假設(shè)是函數(shù)的“等域區(qū)間”,則在上單調(diào),于是或,因此在
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