J與質量大小、質量分布、轉軸位置有關演示程序：影響剛體轉動慣量的因素

質量離散分布的剛體

質量連續分布的剛體

dm為質量元，簡稱質元。其計算方法如下：質量為線分布質量為面分布質量為體分布5.3定軸轉動的轉動慣量最全的轉動慣量的計算例題1求質量為m，長為l的均勻細棒對下面轉軸的轉動慣量：(1)轉軸通過棒的中心并和棒垂直；(2)轉軸通過棒的一端并和棒垂直。有將代入上式，得：解：(1)在棒上離軸x處，取一長度元dx（如圖所示），如果棒的質量線密度為

，則長度元的質量為dm=

dx，根據轉動慣量計算公式：最全的轉動慣量的計算（2）當轉軸通過棒的一端A并與棒垂直時OAldxx最全的轉動慣量的計算例題2）半徑為R的質量均勻分布的細圓環，質量均為m，試分別求出對通過質心并與環面垂直的轉軸的轉動慣量。R最全的轉動慣量的計算例題3求質量為m、半徑為R、厚為h的均質圓盤對通過盤心并與盤面垂直的軸的轉動慣量。dm為薄圓環的質量。以

表示圓盤的質量體密度解：如圖所示，將圓盤看成許多薄圓環組成。取任一半徑為r，寬度為dr的薄圓環，此薄圓環的轉動慣量為最全的轉動慣量的計算代入得J與h無關一個質量為m、半徑為R的實心圓柱體對其中心軸的轉動慣量也與上述結果相同。最全的轉動慣量的計算例4）求一質量為m的均勻實心球對其一條直徑為軸的轉動慣量。解：一球繞Z軸旋轉，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質量：其轉動慣量：YXZORrdZZ最全的轉動慣量的計算最全的轉動慣量的計算（2）薄板的正交軸定理yxzo（1）平行軸定理dJCJDC最全的轉動慣量的計算常見剛體的轉動慣量最全的轉動慣量的計算解:受力分析取任一狀態,由轉動定律例題1一長為l,質量為m的勻質細桿豎直放置,其下端與一固定鉸鏈o相連,并可繞其轉動.當其受到微小擾動時,細桿將在重力的作用下由靜止開始繞鉸鏈o轉動.試計算細桿轉到與鉛直線呈

角時的角加速度和角速度.Po

最全的轉動慣量的計算初始條件為：

=0，

=0最全的轉動慣量的計算例題2一個質量為M，半徑為R的定滑輪（當作均勻圓盤）上面繞有細繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落h高度時的速度和此時滑輪的角速度。對物體m，由牛頓第二定律，滑輪和物體的運動學關系為解：對定滑輪M，由轉動定律，對于軸O，有最全的轉動慣量的計算物體下落高度h時的速度這時滑輪轉動的角速度以上三式聯立，可得物體下落的加速度為最全的轉動慣量的計算圓柱對質心的轉動定律：純滾動條件為：圓柱對質心的轉動慣量為：例題3一質量為m、半徑為R的均質圓柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動，力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為l，如圖所示。求質心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。lFacbf解：設靜摩擦力f的方向如圖所示，則由質心運動方程最全的轉動慣量的計算聯立以上四式，解得：由此可見，靜摩擦力向前。時，當02<>fRl，靜摩擦力向后；時，當02><fRl最全的轉動慣量的計算例一靜止剛體受到一等于M0（N.m)的不變力矩的作用,同時又引起一阻力矩M1，M1與剛體轉動的角速度成正比,即|M1|=

a(Nm),(a為常數)。又已知剛體對轉軸的轉動慣量為J,試求剛體角速度變化的規律。M+M0M1已知：M0M1=–a

J|t=0=0求：

（t）=？解：1）以剛體為研究對象；2）分析受力矩3）建立軸的正方向；4）列方程：J最全的轉動慣量的計算M+M0M1=–a

解：4）列方程：分離變量：最全的轉動慣量的計算例）設一細桿的質量為m，長為L，一端支以樞軸而能自由旋轉，設此桿自水平靜止釋放。求：1）當桿與鉛直方向成角時的角加速度：2）當桿過鉛直位置時的角速度：

3)當桿過鉛直位置時，軸作用于桿上的力。已知：m，L求：

，，N解：1）以桿為研究對象受力：mg，N（不產生對軸的力矩）建立OXYZ坐標系

ZNmgYXOL最全的轉動慣量的計算建立OXYZ坐標系（并以Z軸為轉動量的正方向）ZmgYXON故取正值。沿Z軸正向，

L最全的轉動慣量的計算2）

=？兩邊積分：

ZmgYXON

最全的轉動慣量的計算2）

=？3）求N=？軸對桿的力，不影響到桿的轉動，但影響質心的運動，故考慮用質心運動定理來解。ZmgYXON

最全的轉動慣量的計算ZNmgmgNNYNX3）求N=？寫成分量式：CYXONC求N，就得求，即C點的加速度，現在C點作圓周運動，可分為切向加速度和法向加速度但對一點來說，只有一個加速度。故這時：….實際上正是質心的轉動的切向加速度….實際上正