第一章線性空間與線性變換

（以下題目序號與課后習題序號不一定對應，但題目順序是一致的，

答案為個人整理，不一定正確，僅供參考，另外，此答案未經允許不

得擅自上傳）

例1.1試證，所有〃階對稱矩陣組成也#維線性空間；

所有?階反對稱矩陣組成加產維線性空間.

證明；用及表示〃階矩陣中除第，.行.第，列的元索為1外，

其余元素全為0的矩陣?用￡,（，<八1=1,2,3.”-1）表示n階

軍陣中除第i行第J列元索與第j行第，列元素為1外，其于元素

全為。的矩陣.

顯然,扁,&都是對標矩陣，&有“個，&有"（":1）個?不難

證明&是線性無關的，且任何一個對稱矩陣都可用這八十

攻守=更嚶2個矩陣線性表示此即對稱矩陣組成曾山

維線性空間.

同樣可證所有，，階反對稱矩陣組成的線性空間的維數為

“5—1）

2>

評注：欲證一個集合在加法與數乘兩種運算下是一個

她產維線性空間?只需找出四產個向■線性無關,并且集

合中任何一個向量都可用這口抖個向量線性表示即可?

例1.5在火2X2中求矩陣

「I21

A=

LO3」

—廿「111「111「1n「101

在基E】=,￡產?￡j=|，品=下的坐

Li】」LioJLooJLoo」

標?

?t方注一設+八星+工摳s+九&

*11110

+h+

.0+北;〕-0oJL00」

故

?}2]「4+小+心+7,X)+

.03」L不+72

于是

X|+X：4-X,4-JT4=1,x,+X,4-X,=2

』+與=0"i=3

解之得

4=3.-3,1,=2,不工-1

即4在段下的坐標為（3,—3,2,一1尸.

方法二應用同構的概念,R”?是一個四維空間，井且可將矩

陣A看作（1.2,0,3）1號,&,昌，瓦可看作（1,1,1,1戶，（1.1,1.

o）T,（ia,o,o）T,（i,o,o,o）T.于是有

因此4在局?&,5,當下的坐標為[3,-3,2,-1]T.

評注：只需按照向量坐標定義計算.

例】，6試證：在代"中矩陣

ririr?10

9%—

i.o1.Ll0」-11

線性無關

解：設■①+%及+同*+入戶產。

即

**l+—+&+3防+&+-]

==0

-+用+kt+般+A」

于是

鬲+A+3+機=o?3+品+&=o

用+A+4?=0,瓦+A1+0=0

解之得

B=A=A,=A,=0

故66,a線性無關.

例1.10已知R4中的兩組基

%=[1，—1,0,0]T,，=[0,1,-1.07，

T

5=[0.0.1,—1了，a4=[l,0,0,l]

A=[2.1?—1.1JT,冉=[0,3.1,01T,

A=[5.3.2.1尸,A=[6.6,1,3]T.

求，(1)由基，,a,■，a,到基A，向，內屈的過渡矩陣，

(2)求向,f=口,0,1，0丁在基自,民,艮，向下的坐標.

解，(1)設

國-卬必,6,見]產

將6與A，區B&代人上式得

故過渡矩陣

00

-110

01

00

-2一2

12

3_5_

4

~2~2

125

2~2

_3

8

.72~2

⑵設

Tyi

0>2

iA?A>A)

將A，內6坐標代人上式后整理得

r7'

9

8

27

1

T

2

27.

評注：只需將a,旦代人過渡矩陣的定義［伐，

修,6，aJP計算出P-

倒1.12已知

or,=[1,2,1,07,a?=〔一

A=[2,-1,0」]'.A=口，-1,3,71r

求span{6,6}與&pan{A響）的和與交的基和維數?

解：因為

span{6，%>+span{耳）=span{5,區，尾）

由于秩〈6,向?q}=3,且q,%,耳是向量6,a?,四，鳥的一個

極大線性無關組，所以和空間的維數是3,基為5.6,

方法一設fGspan{ai，.}n?pan{Pi.A）,于是由交空間定

義可知

6=+4a?=16+-A

此即

解之得

*1=—，1，卜2=4/1.八二一必&為任意數）

于是

￡=g+ktat=45,2,3"丁（很顯然e=/￡+Z,A）

所以交空間的維數為1，基為[-5,2,3,4了.

方法二不難知

span（or,,a,}=span{a】，&},span（網，耳}=span{R.Q\}

其中&=[-2,—2.0.17,陽=[一生2,1.0F又span{6,“I

也是線性方程組

?l=孫一2彳4

V

4=2x）—不

的解空間.span（伐，氏。是線性方程組

卜——等J+H

lx2=2JT3".r4

的解空間，所以所求的交空間就是線性方程組

工=xz--2i^

=24-

113.

0=-于“3+201，

12=不一勺

的解空間，容易求出其基礎解系為［-5,2,3,4了，所以交空間的維

數為1,基為［-5,2,3,4了.

評注：本題有幾個知識點是很重要的.（1）spaM］,/,…，

6）的基底就是—6的極大線性無關組?維數等于秩{'；

a,}.（2）span{ar|?a2}+span{A—spania,?a?,A?ft）.

（3）方法一的思路，求交span{%,a?}Plspan{A，區）就是求向量

e,既可由6，%線性表示，又可由伍,區線性表示的那部分向量.

（4）方法二是借用“兩個齊次線性方程組解空間的交空間就是聯

立方程組的解空間”,將本題已知條件改造為齊次線性方程組來求

解,

?1.7設RO1.是所有次數小于4的實系數多項式組成的

線性空間，求多項式戶（才）=1+2］，在基1,才一1,（不一1兒

（工一1尸下的坐標.

解；方法一（用線性空間理論計算）

R（H）=1+213=

L2」

yt

ar?

=[1,JT~1,（X—I）?,（才一1）〕

JL

又由于

[1,才-1.（-T_1）1（/-D3]

-1—11-1

01-23

=[lHI?，工日

001一3

.0001-

于是pGr）在基1,1-1，（/一1）2,（才一1尸下的坐標為

~yC1-11-1一TT-3-

01一2306

001一306

9001.2-2-

方法二將。（幻=1+2上3根據幕級數公式技工一1展開可

得

戶Gr）=1+2/

=?（1）+0（1）（丁-1）+-I）1+-1尸

乙！JI

=3+6（工一1）+6（z—+2（z—1））

因此在基1.工一1,G-I）,.5-1＞下的坐標為[3,6,6,

2了.

評注；按照向量坐標定義計算，第二種方法比第一種方法更

簡單一些.

例1.23設W是線性空間冰上的線性變換?它在R3中基

6,。2,5下的矩陣表示是

■123-

A=-103

.215.

(1)求//在基&=5,氐=■十6，4=6+6+。3下的矩陣

表示?

(2)求、,#在基％,%，一下的核與值域.

解：(1)由朝意知

*1Ir

EA*A?A]=oil

-O01.

設W在基A，區￡下的矩陣表示是心則

(2)由于141#。，故AX-0只有零解.所以“的核是零空

間.由維數定理可知〃的值域是線性空間尺\

1-12設線性變換.*在基,1.1,1『,4=[八

0,—1)..《＜0,1,1了下的矩陣表示為

■1o-r

A—110

L123.

(1)求H在基4=[1,0.0了,62=[0/，0丁后三[0,0，1了下

的矩陣表示?

(2)求、"的核與值域.

1-12.解?(1)由題意知

、一110'

[5,(X2,%]=[Wz,jJ1。1

-1-1L

，,，a,]=「%,。?,4]從

于是

110

101

I.1~11.

--11-r

=1-aj01-1

.101.

=[因，。工，見]尸

其中

1-]

01-1

101.

即為所求過渡矩陣?

設B是線性變換、/在基的出，勒下的矩陣表示，即

,"［備，￡?,￡,］—［品.。.與］8

于是

■11on

B=P'AP-220

.302J

(2)由于方程組AX=0的基礎解系是口，一1，1丁，所以

”的核子空間

N(A)=span{or：一/十a,}nspan{[-2,2,3]，}

”的值坡

火(4)=span((a]).(cfj),))

=span{6+or?-+2a31—6+3a3}

=span{[0.0.-1Y，[1.2」]T,[I,2.2了}

=span([0.0,1了，[1.2.0丁)

(此處注意線性變換的核空間與矩陣核空間的區別)

1.9.利用子空間定義，R(A)是C"的非空子集，即驗證R(A)對C"滿足加

法和數乘的封閉性。

1.1。證明同1.9o

1.11.dimR(A)=rankA,dimN(A)=〃-rankA(解空間的維數)

例L21求矩陣A的列空間區(A)與核空間

解：A的列空間R(A)為

R(A)=span{[l,O,l]T.C1.4.ir?[6*2.6]T)

=span<Cl,0,l]T?Cl.4,1]T1

=span{[l,0,1,0]1)

又由于A的核空間為M=0的解空間，其基礎解系為111，

1.-27

所以

N(A)=span{[ll.l.—2]T}

(2)A的列空間R(A)為

R(A)=span{[0.-1.3,O]T,[2,-4.1?5]T,[-4,5,7,-10]Tl

=span{[0,—l,3,0]T.[2,-,4,1,5]1)

A的核空間為4X=0的解空間,其基礎解系為(一3?2,1)T

所以

N(A)=span{]-3.2.1]7)

1.13.提示：設A=(%),—=?),分別令X=X,=(0,0,...1,0,0,…尸(其中1

r

位于X,?的第i行)，代入XAX=0,得冊=0;令

x=x(>=(0,0...,1,0,0...1,0,0.../(其中1位于招的第i行和第j行),代入

r

XAX=0,得a：i+與+ajt+ajj=0,由于au=a方=0,則為+%=0,故

A「=-A,即A為反對稱陣。若X是〃維復列向量，同樣有冊=0,

旬+町=0,再令X=x；=(0,0,...i,0,0,...1,0,…尸(其中i位于X”的第i行，1

位于Xg的第j行）,代入X"AX=O,得4+0+i（%-陽）=0,由于

cijj—a0=0,cij——cig,貝Ucijjcij=0,占攵A=0

1.14.A8是Hermite矩陣,則（AB）H=BHAH=BA=AB

1.15.存在性：令8=處義1=上及，A=8+C,其中A為任意復矩

22

陣，可驗證8"=B,C"=-C

唯一性：假設A=3|+G，B/=B|，G"=-G，且8尸B，GHC，由

A"=B「+G”=8「G，得B]J丁=§c=.丁=。（矛盾）

能”|+修I"

叫其%。…觸卜。

=一|八IV]17

Jr。陰"

，i"A⑷?鄧…例期

7I)/水仍.”刈/小：

八人&俄二月工什心鳥兒

取"噂和蜉獷Mi何同”心口

外加#喑大

，/氫虹曲多整?

A7.中正啰吟咫…

勿從"=/7a卜"

/.次怒/依勿碗，

廣A少才

〈似歷?

>.>1

例1?27求矩陣A的特征值與特征向量.

解：(1)A的特征多項式

A-10

ME一4|二4A—40=(A-2尸

2-1A-2

A的特征值兒=&=A3nz.

當入=2時，特征矩陣

2-1O-2-1O-

AE-A=4-20—?000

2-10」一000.

xt=2x

對應于特征值4=2的線性無關特征向量為：5=口，2.0了,，=

[0,0,1]1于是屬于特征值4二2的全部特征向像為吊6十八，,其

中居出不全為零.

(2)A的特征多項式

A-1—1

|AE-A|=-1A

-1—1A

4的特征值兒=A=-1,A=2一

當2=—1時，椅征矩陣

工1=一工￡一天

對應于峙征值4=一1的線性無關特征向量為:6=[-1,1,0了,

6=[-1?0，1丁，干是屬于特征值4=-1的全部特征向量為

?其中A1，上2不全為零?

當入=2時,特征矩陣

-2一10

AE—A=-12-101-1

1-1L000」

=J's?72=13

對應于特征值a=2的線性無關特征向■為《,=［】，1,1丁，于是

屬于特征值A-2的全部特征向量為九/?其中3不為零.

第二章酉空間和酉變換

其黜犯空得,：湍楙必口林岫剛州附

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-21-1I-：［?求NS)的標準正

例3.4巳知A=

.11011-

交基.

S：根據核空間的定義可知N(A)是方程用

*21-117

0。的解空間，解得它的基岫斛系為

-11-I01-

a>=[。，1,1,0,01T?a：=[-1,1,0,1,0]T,

.，=[4,-5,0,0,1尸

從而N(4)xspan{6，6必).

首先應用Schmidt正交化方法得到

A=5n[1,1,1,0,0]T,

a,(“?Pi〉n1a

向=._砥"=._/

■11一

=［一一萬,1,0］?

n_c(djA)a(%，A)a

A=6-藕而4~百尸

S一凡電+袁K4，-f4rT,11T,

然后再將4,S,R單位化后，可得一個標準正交基

幾=①=「。力左。?叮’

yATIo/To/ioZIo

兀=E"cr~丁E-Ek'n。l］T'

y_戛r766135-,T

=FT-右r/方浮端

所以人.匕,九即為NGO的標準正交基.

歷吃”:嬴……W

團寸然工;募……

L*黨址般加必為…”‘

■mw曾工:[7制他相X"）

11喘墟洛4s7

-叱比X器口皿

柒■利經工七；

心-*/，（*

H

…5,x。

■”）中―“?"，：[

二J1「尢心十…+為於。。<

—$父F初，JM牝3X

：F哪靄常磐

-“尸性如二附犯小力」

4場0"刎典型

（注意實空間與復空間部分性質的區別）

2.8法二：設4=(與心,..4)(0,0,...1,0,...0尸=(4勺,..4/(1在第i行);

ej=(el,e2,...ellXO,O,..A,O,...O)'=(e?e2,...en)Y(1在第j行)

根據此題內積定義(e”e,)=。X=\l]

110i^j

故q,e2，...e.是V的一個標準正交基。

I）儕-小赧率可

事［…"⑺『3

“機刎”。砰”飛尸Q1

皆斕第耀航2%

今就；；aL哪心

呼^痛端

僅二gIM

［拉坤?］B"*J36J、I"

W“M卜。SB邛&職）

；您；；髭?以“

（注意，在無特別定義的情況下，內積的定義默認為（x,y）=y〃x）

例3.21求正交矩陣。，使Q7Q為對角矩陣，巳知

?I10-「

11-10

A=

0-111

「101L

M（首先求出矩陣A的符征多項式iAE-A|=*-l）'"-3>

（AFI）.

當4=3時，求得矩陣A的屬于特征值A-3的單位特征向重

為6=萬2?

當入=一1時,求得矩陣A的屬于特征值a=-1的單位特征

向量為&=[一寺，f.1?T?

當A=1時.求得矩陣A的屬于特征值人=】的單位特征向最

為&-[為°,/，小&=[d方，

取

LI

2F0

11

0

2VT

Q=

11

0

27T

1

0TTJ

于是有

000'

-100

010

L0001.

例3.18已知下列正規矩陣，求酉矩陣U,使得為對角

矩陣.

0一1il卜+3i4i一6一2『

(1)4=100.(2)4=-4i4-3i-2-6i

OJ16+2i

0一2一6i0

'0-1i'

B：(1)A=100

.i00.

首先求出矩陣A的特征多項式為|M一▲|=M#+2),所以A

的特征值為A,—V~Zi,%=—V~2i?Aj—0.

對于特征值Ci,求得一個特征向=i,l]T.

對于特征值一/妻i.求得一個特征向=

對于特征值o,求得一個特征向量x,=[o,i,ir.

由于A為正規矩陣,所以*】，M，尤是彼此正交的，只需分

別將工，單位化即可

C_X

2

0

國

2

C

2-

而且有

■Zfio。-

肥解/=0—70

Loooj

4+3i4i—6-2i

(2)A=-4i4—3i—2-6i

￡+2i-2—6i0.

解：首先求出矩陣A的特征多項式為以E-A[=(￥+81)

Q—9),所以A的特征值為&-9i"產9i.A=9,

對于特征值一所，求得一個椅征向量*>=[一;

r11T

對于特征值9i,求得一個椅征向量M=[i,一.

?11丁

對于特征值9,求得一個特征向量*3=i.l.-v?

由于4為正規矩陣?所以心，蒞，*2是彼此正交的，只需分

別將￡l，*2，X］單位化即可

于是取

生如

3TT

22

33

21

33

從而有

一9i00

UKAU=09i0

009.

2.15先求得C使C"AC=A，假設P=CB,使尸"AP=/,則有（8對尸=A，

依次式求得B,進而求得P。（此方法不一定正確）

2.16將（％g,進行列變換化為階梯型知可取小a?為其中兩個

基，另兩個基可取%=（。，0,1，。）'，=（。，0,0?，化標準正交基略。

2.17略

第二章矩陣的分解

例小9求下列矩陣的Jordan標準形及其相似變換矩陣P.

■210-1

■2-1-r

0201

(1)2-1-2⑵

0021

.-112.

,0002

解：(1)記

■2-1-1,

A?2—1—2

112」

首先求出A的Jordan標準形

2—211In

—A=—22+12----4-1

.1-12J.(A-1)?

那么，A的初等因子為。一】)，(久一?故A的Jordan標準形為

“】'

J=1

.11-

再設P=UG，*z，X.J,由P一AP=J得

由此可得方程組

(￡—A)X1=0

y(E—4)X2=-X、

(E—A)X3=0

首先解第一個方程,可得基礎解系為&=11,1.0了?比=口,0.1了，

不妨選取鶯=[1?1.01r.但是不能簡單選取*..=[1，0?1了.因為

M還要保證非齊次線性方程組(/一4)，=一心有解.又由于第

三個方程與第一個方程是同解方程組，所以其的任意解具有形式

X]=(q&+c?小)=《Ci+r”，G?O)T.

為了使第二個方程有解?可選的值使下面的兩個矩陣的

秩相等

--11V

￡-A=-222

?1一1一L

只要選取5=2,。2=一】即可.于是&=口,2,-1丁，將其代人

第二個方程，并解之得治=口，1，1了?容易驗證線性無

關，所以取

11r

P=121

,0-11J

且有PAP=J.

(2)記

210一r

0201

0021

.0002.

首先求出A的Jordan標準形

2—2-10-1一

0A-20-1

-A=、、，

004一2"1

一0002一2-

1

fA-2

.一2尸.

那么A的初等因子為久一2,。一2尸.從而A的Jordan標準形為

7100-

0210

J=

0020

.0002.

再求相似變換矩陣P，設/=[*1，*2，*，?*/且有「一么?=人即

■2100-

,X,*J=QxxI,x4j?

yyt002O1

.0002」

于是可得方程組

AX1-2乜，AX.=%+2X：,

AX.=X2+2"AX{=2X,

先求解線性方程組A*i=2X（和=這是同解線性方程

組，可得其全部解為居[】.。,0,0了+花[0.0",0]二防，電不全為

零?為使A/=M+2*?有解，取X尸[1.0。01，求出（4--2E）

解=居的全部解為M、14,0]T,為了使A*-]2+2鼠有解.取

乙=0」2±】，再求解（4-2^）13=*2=[0,1,1,0丁，其全部解為

[O.g,0,6？]T.

于是取乂=[1,0,0,0）,花=10/，1.0了,*3=10」,0.1丫.

*.2[0?0,1,。了.從而

1000-

0110

0101

.0010.

且有p-乂p=J.

1

注:例2.9(1)中的Jordan標準型有誤,11，Jordan標準

1

型不唯一，各Jordan塊之間可以互換，互換的原則是：同一特征值

對應的Jordan塊之間可以互換；不同特征值對應的Jordan塊整體可

以互換。

例2.1求下列入矩陣的Smith標準形.

--A+124一］A

「#一10'

<1)AA2-A<2)

0(A-1),-

-￥十1A1A—1—A1,

B：(1)用初等變換方法求解.

?一4+1辦一1-A+12A-1r

A￥A矛0-

.X+1A*+A-1.A?41川+人一11.

0

q

1

0

.0

(2)利用行列式因子方法求解，首先求出

D,(A)=2一1,DZ(A)=(2一!),(；+【)

于是

3

4,(才)工Z>t(A>=久-I,=%.梁=。-1)(A4-1)

從而其Smith標準形為

Z—10■

.0(A-1)3(A4-1).

評注：求人-矩陣的Smhh標準形常用的方法有兩種，初等變

換法與行列式因子、不變因子法.根據所給庭目不同，第一個題目

采用初等變換法較好.而后兩個題目用行列式因子法求解更方

使些?

燈-尸14句內切

Mm/■力

必訃嚅Ahl:-"之陰小抗冽也

c>?(V''

也小力卡?.

M川牛牌沈劭叫內甲八:；何I少加"

方仰砒，

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3.7、3.8同3.1

例211試寫出Jordan標準形均為

100'

J=021

一002.

的兩個矩陣4,&

解：用兩種方法求解此題.

方整一相似變換矩陣的方法?對干任意一個可逆矩陣P?

矩陣PJP-'均與矩陣J相似，從而其Jordan標準形必為J,于是任

取兩個不同的可逆矩陣P,即可得到兩個矩陣A.3.

方法二矩陣秩的方法.設A（或8）的Jordan標準形為

1。0-

021

.002」

從而4（或的Smith標準形為

1■

1

-。一2）2。一]）一

由此可知A（或8）的行列式因子為

D,（A）=1.D式入）=],￡>式4）=（A-l）（A-2>

這樣的矩陣A（或E）有很多,取表達式較為簡單的矩陣，下列任何

一種矩陣都可以

'200-■10O'"200-

?10V*20V?20

.**Z..**2_.??1.

2**-1**2*?

01?02*02*

.002..002..001

下面分析“，”處元索取何值時才能保證以1為主對角元的

Jordan塊只有一個，以2為主對角元的Jordan塊也只有一個.根

據求矩陣Jordan標準形的第二種方法（矩陣秩的方法），只要使

r（A-2￡）=2或r（B-2E）=2

即可.例如

200-20-1

921■010

.001..002.

均可以.但

200"1-10

020021

L05'o02-

都不可以.

例2.13用矩陣的Jordan標準形求解線性微分方程組

一5

出=-4*1+

:

<dx

——4J"(+3~r

dr2

駕

口—不

.="Hx,+8

這里X,"2，才3都是，的函數：

解:對方程組的系數矩陣A求出其Jordan標準形J以及相

-一-I10-

似變換矩陣P.且P，其中4=-430,/=

_188—1.

1I001

oi

011?作變量替換△=產.那么原

.0021J4

方程組可化成

虹

也

也

也

蛆

市

即

旨=y+y

可求得M=*?+￡/〃，，2=A￡,”=4通-'?于是

>,（/）=+心內

<”］（，）u2y+用（2,+1）必

|xj（l）=4A?+6式41+2）e'+及支'

其中跖.八，酊為任意常數，

3.11方法同上

3.12由屋=。知A的特征值全為0（7》/0,獨=疝=>4。=/％）,則4+/

的特征值全為