2023高考二輪復習講與練

專題07盤點求最值的六種方法

配方法

導數法

數形結合法

圓

錐

基本不等式法

交

匯

的

導數與立體幾何交匯的最值問題

一、利『法中

導數中極值與最值交匯的問題

1.已夕古量$4+）夾角為。，則COS。的最小值是

導數中不等式恒成立最值問題

1

A.-

3C請

【答案】D

,+0=J(q+Z?)2=小或+2a.b+￡=Jl+2+f=&+3,

=X,則

<2

力(。+。)a?b+b1+x?0)2

cose=

2,令/+1=/，則

M|a+?x-+3Xyjx+3x2(x2+3)

1

cos6=由/>1得0<1<1,

t>\,("1)(1+2)-2+1+1

則-2|：1+±1+1=-21-11(\19

+=一時，_2-1取得最大值一,

U4li,4Iv

r2V2

，cos。的最小值為」9

8

2.已知雙曲線。：《-彩=1（。＞0）的左、右焦點分別為寫、F2,過C的左頂點A作一條與

漸近線平行的直線與y軸相交于點8,點M為線段48上一個動點，當分別取得

最小值和最大值時，點M的縱坐標分別記為〃?、"，則二=（）

m

43-

A.-B.-C.3D.4

32

【答案】D

【分析】設點"的坐標為1，g（x+a）），其中-aWxWO,可得出例/MF；關于x的二次函

數關系式，利用二次函數的基本性質可求得當9-Mg取最小值和最大值時對應的工值，

可求得皿、”的值，即可得解.

【詳解】由題意可得匕=扃，c=2a，6（-2。,0）、月（2〃0）,雙曲線C的漸近線方程為

y=±y/3x,

不妨設直線AB的斜率為5則直線A3的方程為y=6（x+。），易得可。,后），設點”的

坐標為（x，G（x+。）），其中一aVxKO,MR=（-a-x,->/3（x+,MF?=（a-x,-6（x+a））,

222

所以，MFX-MF2=（-<7-X）（<7-X）+3（X+6Z）=4X+6ax+2a=4故當

x=-；a時,MJA/g取得最小值,此時帆=6{“一司=曰a,當x=0時,MFt-MF2^

得最大值，此時〃=JGa,因此，—=4.

m

3.拋物線y=4f上一點到直線y=4x-5的距離最短，則該點的坐標是.

【答案】（g，l

【分析】設拋物線上y=4/任意一點的坐標為（f,4f2）,利用二次函數的配方法可求出該

拋物線上一點到直線>=4%-5的最小值及其對應的t值，進而求出所求點的坐標.

【詳解】設拋物線上y=4d任意一點尸的坐標為。,4/），則點2到直線4x-y-5=0的

版一4產一5||4r2-4z+5|（2/-1V+414/i7

距離為"二西才=』^=1^'當'=5時’d取得最小值爺’

此時點尸的坐標為［;』）.

4.在A/WC中，角A,B,C所對邊分別為a,8,c,a=l,bcosA+cosB=2Z?,則￡=

b

AABC的面積的最大值為.

答案：2,g

解析：a=l,則Z?cosA+cos3=〃cosA+acosjB=2Z?,由正弦定理得

sinBcosA+sinAcosB=2sinB,sin(A+=2sinB,即

sinC=2sinB=>c=2/?=>—=2,由余弦定理得

b

c°s.七吐M戶+4/—15h2-i

4b2n一4從所以

2bc

所以5詡0=LsinAJx241-(也=」J_9〃+10._i

MBC22N4b24

16

+一.

49

當即匕=無時，S1BC取得最大值」.

933

5、在邊長為1的等邊三角形ABC中，￡＞為線段BC上的動點，OELA8且交AB于點E.

DF//AB且交AC于點F,則|2射+萬萬的值為（萬市+萬行）?萬才的最小值為

11

【答案】20

【解析】設HE=x,x&(0,0，:△ABC為邊長為1的等邊三角形，DELAB,:.NBDE

=30°,BD=2x,DE=y]3x,DC=\~2x,-：DF//AB,，△￡)尸C為邊長為1一2》的等

邊三角形，

2222

DEA.DF,：.(2BE+~DF)=4BE+4BE-DF+DF=4x+4x(l-2r)Xcos00+E,

(1-2JV)2=1,.,.|2BE+DF|=1.V(DE+DF)DA=(DE+DFXDE+-EA)

=DE2+~DF-~EA=(y[3x)2+(\—2x)X(\—x)=5x2—3x+I=5(*一卷)+/,

3—>—>—?11

所以當*=而時，(OE+OQ-DA的最小值為彌.

6.如圖，在長方體ABC。-A4G。中，E是AA的中點，點尸是A。上一點，

A8=A4,=2,BC=3,A少=1,動點P在上底面AdGA上，且滿足三棱錐P—跳戶

的體積等于1，則直線CP與DDI所成角的正切值的最小值為,

【分析】建立空間直角坐標系，設P(皿〃,2)(0<加<3,0<〃<2),通過向量法算出點P到

平面班E的距離，結合三棱錐P-班尸的體積等于1可得到2%-〃=2,再通過向量法計

算直線CP與。A所成角的余弦值的范圍，繼而算出答案.

【詳解】以0為坐標原點，分別以。4DC,0A所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間

P(/?,n,2)(0<m<3,0<n<2),則尸(2,0,0),￡(3,0,1),8(3,2,0),C(0,2,0),D、(0,0,2),

F5=(1,2,0),EE=(1,0,1),CP=(辦〃一2,2),0〃=(0,0,2),設平面瓦芯的法向量為

a=(x,y,z),

。?斤B=x+2y=0-?

則《>，令x=2,則z=—2,y=-l,所以平面母上的一個法向量

a-FE=x+z=0

"七,|2/n-8-rt|

因為EP=(m—3,〃,l),所以點P到平面BFE的距離d=

lfll3

因為EF=JT+『=垃,BF=BE=&+*=5

所以在等腰/\BFE中，B到FE的高為(后-凈、場，所以

2

°_1/3逝_3

S.BFE=,xJ2=—,

因為='xSxd='x3xd=1,所以d=l^_-_?1=2,所以2/n—〃=2或

3323

TT

2m-n=14(舍去)，設直線CP與。□所成的角為6，則所以

CPDD,4

2x^m2+(〃-2)2+4

222,6

Qm2+（2加-4）2+4,5/一16m+20/（租8尸?363，所以cos。的最大

值為立,

3

712

此時，最小，此時tan。最小，因為si/e+ccMenl，且6e[0,—],所以sin8=-,

23

2

32^52亞

所以tan6n=卡=不一，即直線CP與。2所成角的正切值的最小值為至3.

7、35

T

2S

7.記S“為數列｛4,｝的前〃項和.已知一+〃=2。,,+1.

n

（1）證明：｛《,｝是等差數列；（2）若4，%，4成等比數列，求S”的最小值.

【答案】（1）證明見解析；（2）-78.

【分析】⑴依題意可得2S“+/=2〃““+",根據a"=1二。.，作差即可得

到an-a,—=1,從而得證；

（2）由（1）及等比中項的性質求出%,即可得到｛4｝的通項公式與前w項和，再根據二

次函數的性質計算可得.

2S

【解析】（1）因為—^+〃=2々〃+1,即2S〃+〃~=2〃。〃+"①，

n

當〃22時，2s〃_]+（H-1）2=2（〃一1）4_]+（%一1）②，

①一②得，2S“十優-2S〃_1-（〃-1）=+〃-2（〃—1）?1-?（〃-1）,

=

即2tzz;+2/1—12/74/〃一2（〃-1）q?_]+1,即2（〃一1）一2（〃-1）〃〃_]=2（〃-1）,

所以凡一4.產1，a22且〃eN*,所以｛q｝是以1為公差的等差數列?

(2)由(1)可得%=4+3,%=。1+6,“9=4+8，又如，。7，。9成等比數列，所

以外,=a4-a9,

即3+6)2=(%+3>3+8),解得q=-12,所以4=〃-13,

由1”。12251(25丫625

所以S,=~12nd——---乙=一幾-------n=—\n------------，所以，i〃=12或〃=13時

〃2222(2J8

(\S?n)/mi.n=-78.

v-21

8.已知橢圓三+>2=1上兩個不同的點A,B關于直線丁=〃優+1對稱.

(I)求實數加的取值范圍；(II)求A4OB面積的最大值(。為坐標原點).

【解析】(I)由題意知〃7#0,可設直線AB的方程為y=—

m

1,

y=x+0

,m消去y,得(,+-^)/一a"+加-1=0.

由《

x.2m~m

—+y-7=1

I2

1f

因為直線y=——x+b與橢圓—+y2=l有兩個不同的交點，所以

m2

4

A=-2/?2+2+—>0,①

2mbm2b代入直線方程y=〃ir+g解得

設M為A3的中點，則M(-)

m~+2m~+2

2

,m+2八

②

由①②得加〈一YS或加

3>T-

」o3

、格rr____、-2，+2廠+—

(II)令^=一€(-空,0)1，(0,空)，則IA例=7^7?^------：~~2、

m22.1.1

IH--

2

21

r+-

且。到宜線A3的距離d=-7=.設AAOB的面積為S(f),所以

Vr+1

S(t)^-\AB\-d=-J-2(t2--)2+2,當且僅當*=!■時，等號成立.

22V222

故ZVIOB面積的最大值為立.

2

二、利用導數求最值

71

1.函數y=x+2cosx在區間0,—上的最大值是()

7T7Vnr八冗匚;71

A.—F1B.—卜<2C.—Fv3D.一

3462

【答案】C

式

【分析】利用導數分析函數y=x+2cosx在區加0,-上的單調性，進而可求得函數

兀

y=x+2cosx在區間0,—上的最大值.

JT

【詳解】對于函數y=x+2cosx,V=l-2sinx.當0<x<一時，/=l-2sinx>0；

6

jrjrJl1

當一<九v—時，y'=l-2siniv0.所以，函數y=x+2cos］在區間0,丁上單調遞增，

62L6J

［7171

在區間“，彳上單調遞減.

2_

所L-以,，^max=7冗+?2C0S7兀=T兀+^二-

666

【點睛】利用導數求解函數在區間上的最值時，首先要注意區分函數最值與極值的區別.求

解函數的最值時，要先求函數y=/(x)在k力］內所有使r(x)=o的點，再計算函數

>=“力在區間內所有使r(x)=o的點和區間端點處的函數值，最后比較即得.

2.已知數列｛/｝中滿足卬=15,冬±1二?=2,則@的最小值為()

nn

_27

A.7B.2V15-1C.9D.一

4

【答案】D

【解析】由題意知，an+l-an=2n,.二/一4=2?1,%一。2二2?2,

%一a,i=2(〃T)，將以上〃個式子相加，得

22

an-at=2(1+2+3H—=~~+〃~~—=n-n,所以a“=n—n+15,

二"=〃+"一1,令g(x)=x+3—1,g，(x)=i_l1=:L^,當xe[0,3]時，

nnxx~x

g'(x)<0，

當XW[4,H8),g'(x)>0,g(3)=3+5-l=7,g⑷=4+3-1=?，故最小最值?，

故答案為D.

3.(多選)下列說法正確的是()

A.”x)=x+e的最小值為1B./(x)=J(x>0)的最小值為1

￡X

c.f(x)=x-lnx(x>0)的最小值為1D.〃_1)=泥：(》>0)的最小值為1

【答案】AC

【詳解】對于A,因為〃x)=x+所以:(力=1一/=_!,所以函數〃x)在(7,0)上

單調遞減，在(0,+e)上單調遞增，故函數f(x)的最小值為f(O)=l,A選項正確；

對于B因為f(x)=C(x>o),所以r(x)=.(：]),所以函數因為)在(0,1)上單調遞減,

XX

在(1，日)上單調遞增，故函數/(X)的最小值為f(l)=e,B選項錯誤；

對于C,因為〃x)=x—lnx(x>0),所以r(x)=l-：=?,所以函數/(x)在(0,1)上單

調遞減，在(1，+~)上單調遞增，故函數的最小值為了⑴=1,C選項正確；

對于D,因為/(x)=/(x>0)，所以廣冒=1+妻卜()=4〔”1所以函數廣⑺在

(0,1)上單調遞減，在(1，內)上單調遞增，故函數f(x)的最小值為/1(l)=e,D選項錯誤.

4.若正項遞增等比數列｛4｝滿足1+(生一%)+幾3-%)=°(幾e段，則?8+陽的最小

值為()

992727

A.---B.-C.—D.----

4444

【答案】C

【解析】設等比數列的公比為q(q>D,1+(a2-a4)+X(a3-a5)=0,可得X

則as+Xa,產++—+唾一。必=%++“洶-4%=%+冬_一4=_jL,

a、一a、%—CLyq—1%—%q~—1q~—1

令t=q2―1,

(t>0),q2=t+l,貝ij設f(t)=

/”+1)3a)=3/(/+1丁+1丫

.21-,?2

當1;>一時，f(t)遞增；當0<t<一時，f(t)遞減.可得t=一處，此時q=---,f(t)

2222

2727

取得最小值,且為彳，—的最小值為7

5.已知一正四棱柱(底面為正方形的直四棱柱)內切于底面半徑為1,高為2的圓錐，當正四

棱柱的體積最大時該正四棱柱的底面邊長為()

A迫B盅

A.3D.3

C.V2D.2yf2

【答案】A

【解析】如圖，圓錐的高PV分別交正四棱柱上下底面于M,N兩點,

NE=1,PN=2.令正四棱柱的底面邊長為a,則8M=3-".易知就不=赤,

ZML)N匕

PN

：.PM=—MB=yf2af，MN=2—也a,工V正值枝柱=層(2—也0,其中

￡(0,6).求導令y=4〃-3W屏，當0<〃<邛^時，),0,當時,

y<0,在(0,用上單調遞增，在殍，啦)上單調遞減，故當正四棱柱體積最大時,

該正四棱柱的底面邊長為斗

6.函數式x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

【答案】1

122x—2

【解析】當X>］時，7U)=2x-l—21nx,/(x)=2-.令/(x)>0,得x>1,令廣(x)

<0,

得3Vx<1，所以人丁)在(J,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，所以7(X)min=/(l)

=1.

當0〈W時，,/(x)=l—2x—21nx"(》)=一2一5=匚尸<0，所以危)在(°，(上

單調遞減，

所以./(x)min=(』)=-21n)=21n2>1.所以凡r)的最小值為1.

7.函數/(x)=(1-V)(x2+辦+價的圖像關于直線X=-2對稱，則/(幻的最大值是一

【答案】16

解析：由/(無)圖像關于直線X=-2對稱,則0=/(-1)=/(-3)=[1-(-3)2][(—3>-3。+6，

0:/⑴=/(一5)=[l-(-5)2][(-5)2-5a+Z?],解得a=8,b=15,/(x)

(1—x2)(x2+8尤+15),

/'(x)=—2x(x~+8x+15)+(1—冗2)(2尤+8)=—4(/+6x?+7x—2)=

—4(x+2)(x+2+>/5)(x+2-Vs)

當x￡(—8,—2—\[5)U(—2,-2+\/5)時，f>0,當x￡(—2—V5,—2)U

(一2+石，+8)時，/a)vo,???/(%)在(-8,一2-石)單調遞增，在(-2-右,

—2)單調遞減，在(-2,-2+逐)單調遞增，在(-2+石，+8)單調遞減，故當工二-2-君

和x=—2+>/5時取極大值，/(—2—\[5)=/(—2+5/5)-16.

8.己知函數/.(x)=x2-ar-Inx.

(1)當。=—1時，求函數/(x)的單調區間；

(2)若函數/(x)的最小值為-求參數。的值.

【答案】(1)單調減區間為(og),單調增區間為(2)a=2e-J

【分析】

(1)對函數/(x)求導，然后說明每個區間導數的符號，進而求出函數的單調區間；

(2)求導尸(力=2/.一1,判斷函數的單調性可知((力=0存在唯一根%>0,進而知

/(FLn=/(與)=一/,即x；-aro-lnxo=-e2,結合已知與?+111%-l-e?=0,令

/(x)=x2+lnx-l-^(x>0),判斷函數的單調性且"e)=0,即可得解.

【詳解】(1)當a=—1時，/(q=『+%-加宜%>0),求導/Q)=2x+1」=+1

XX

令/'(x)=0,HP2X2+X-1=(2X-1)(X+1)=0,則玉=-1(舍)；

團當小)<0,/(x)在區間(0,；)單調遞減;當xeg+8),_f(x)>0,/(x)

在區間(：，+小調遞增；回函數“X)的單調減區間為(0，；),單調增區間為(J，+8)；

(2)/(x)=x2-ax-lnx(x>0),求導得：fr(x)=2x-a--=^X~ax~^,

XX

令M%)=2%2-?-1,則A=/+8>0，且〃(X)開口向上，.0)=-1,回存在公>0,使得

當X￡(O,X(J,/z(x)<0,/(%)在區間(0,為)單調遞減;當X￡(X0,+8),/(x)>0,/(X)在

區間(毛,M)單調遞增；/(XLin=/(/)=",即年—畛一皿/二川，又2/2一/7=0,

2

兩式相減得：x0+Inx0-1-=0,

令，(x)=%2+lnx-l-^2(x>0),求導/(%)=2尢+1>0(尤>0),

x

回函數心)在區間(0,+8)單調遞增,且，(數=。團函數心)=0有唯?解Xo=e,

^e~—ae—\r\e=—e2?解得〃=2e—.

e

三、利用基本不等式求最值

1.在中，角A,8,C的對邊分別為。渣,。，且2cos3=2a+b,若一ABC的面積為

s=Gc,則必的最小值為()

A.28B.36C.48D.56

【答案】C

〃2.「2_122.2_12

【解析】由條件及余弦定理的推理得2c?==2a+b,整理得

2aca

a2+b2—c2=—ab,cosC=——=——,可得C=^^.又

lab23

S=>]3c=—absin^-=^-ah,可得c=或.

2344

2乃

c1-a2+b2-2abcos——=a2+b2+ab>3ab,當且僅當a=b時等號成立,/.

3

^>3ab,解得彷248.故"的最小值為48.選C.

16

2、在△ABC中，點P滿足”=2萬不，過點尸的直線與AB,AC所在直線分別交于點M,

N,

若筋=加商，俞=〃就。〃>0,”>0),則帆+2”的最小值為()

A.3B.4

【答案】A

【詳解】如圖，易知41+BP=AB+1(AC—AB)=^AB+|AC=-^AM+^AN.

2〃n6序-3〃

,：M,P,N三點共線'二茄+五=1'：，m=3n-2,則團+2〃=3〃一2+2〃=3“一2

252

r(3n—2)2+T(3M-2)+T「iq

；-------―――加〃-2)+而亂］+冷s9X2+》s,

當且僅當(3〃-2)=77"二；，即，〃=”=1時等號成立.

(3〃-2)

3.已知拋物線C：V=4x的焦點為尸，過點尸分別作兩條直線J4,直線。與拋物線C

交于A、B兩點，直線A與拋物線C交于O、E兩點，若4與6的斜率的平方和為1,則|陰+|。目

的最小值為()

A.16B.20C.24D.32

【答案】C

【詳解】拋物線C：y2=4x的焦點F(L0),設直線［y=k^V),直線昨尸似尸1),由

題意可知，則蠟+%」=1,聯立|)’,=4("T)整理得：k2xi-Q婷+4口+婷=0，設4%，y,),

2k2+444

Bg,%),則占+占=-^-=2+77,設。(如y3),￡(X4,X.),同理可得：X3+玉=2+廣，

攵1K1*2

由拋物線的性質可得：|A3|=X|+々+〃=4+與，。同=工3+工4+〃=4+［~,回

1一1444(婷+右2)44

AB\+DE\=8H-Hr=8H------z~z=8Hz~rN84-----z-----z—=24

III?62"2”2“22Ir2.2，

八］八＜］八八1］八,(八*1?、2、2

當且僅當⑹=妙=；時，上式“="成立.回明+|期的最小值24.

4.三棱柱A8C-48C1中，AB=BC=AC,側棱A4i，底面ABC,且三棱柱的側面積為34.

若該三棱柱的頂點都在同一個球O的表面上，則球O的表面積的最小值為.

【答案】4n

【解析】如圖，：三棱柱為正三棱柱，.?.設AiG="，BBi=h,

二三棱柱的側面積為3a-h=3小，小.

又球O的半徑/?=

當且僅當卡=4，且ah=y13,即a=坐,〃=啦時，等號成立.球O的表面積5=

4兀/?224兀

5.已知菱形A5C。，AB=BD=2,現將A48O沿對角線BQ向上翻折，得到三棱錐

A-BCD,若點E是AC的中點，ABDE的面積為，，三棱錐A-5CO的外接球被平面

8OE截得的截面面積為S2,則S1?邑的最小值為

答案：2兀

解析：如圖，取3。的中點尸，連接所，DE，BE，CF,A尸，因為CF=AF=J5，

E是中點，所以EFLAC,設NEFC=a(O<a<]),所以EE=Gcos。，

S,=-BDEF=y/3cosa,由ACJ_3E,AC_L￡>E得AC_L平面3。石，由球心。到

2

點AC的距離相等，知球心0在平面或史上，又球心。到點氏。的距離相等，得球心O

在直線Er上，則三棱錐A-5CD的外接球被平面班史截得的截面圓的半徑等于球的半

徑，設為R,且R?=0/2+FO2=Qg2+A￡2,

所以1+0尸=(685&-。尸)2+35m2。，得0/=-^-------，所以叱=―L-+1,

，3cosa3cosa

所以S,=4(一/+1),故

3cosa

5?邑二&4(----L-+1)?cosa=6萬(——-——+cos022"，

3cos~a3cosa

當cosa='3時等號成立，故的最小值等于2%.

3

A

2Z?——c

6.在AA8C中，內角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且cosC=-------.

2a

(1)求角A的大小；

(2)若A4BC的周長為6,求AA3C面積S的最大值.

【分析】

2Z?—c

(1)在cosC=-------中，利用余弦定理化角為邊，可得。2+。2一。2=歷，再結合

b1+c2-a2

cosA=,即得解;

2bc

(2)由余弦定理。2=。2+o2—2歷cosM以及a+z?+c=6可得機'W4,再利用面積公式

3

S='仇'sinA即得解

2

【詳解】⑴由余弦定理，得竺也二￡1=絲二￡,即〃+/—.2=2/一兒，

2ah2a

r222i

則02+02一。2=",，所以cosA=+C一。=工又0＜A＜一,所以4=工.

2bc23

JT

(2)由題意，a+b+c=6,根據余弦定理，得。2=b2+C?—28ccos1=〃+C?一人。，

則6=a-hb-hc=4b1-\-c2-be+b+c>\[bc+2\[bc=3>fbc9所以力c、<4，當旦僅當

0=c=2時取“=”.所以，AABC面積S=LbcsinA=@bc?J^，故AABC面積S

24

的最大值為6.

2222

7.已知。＞匕＞0,曲線「由曲線G：-+齊■=1(y20)和曲線G：~'＞'―表'=l(y＜0)組成，其

中曲線G的右焦點為月(2,0),曲線c2的左焦點F2(-6,0).

(1)求＞的值;

(2)若直線/過點心交曲線C1于點A,B,求48月面積的最大值.

【答案】⑴⑵最大值為峋叵.

【分析】(1)根據橢圓和雙曲線的焦點即可列出式子求解；

(2)設出直線/的方程，與橢圓聯立，利用韋達定理可表示出三角形的面積，即可求出最

值.

【詳解】⑴由題意：耳(2,0),K(-6,0),J"：+?：=?,解得，=了即卜=2逐

“2-6=4\b2=16\b=4

22

(2)由(1)知，曲線G:L+^-=l(”0),點入(-6,0),設直線/的方程為：x=my-6(〃?>0),

2016

x=my-6

二聯立y2得：(5+4/M2)y2-48/?^+64=0,A=(48w)2-4x64x(5+4w2)>0,

---F—=1

12016

又"2>0,m>\y

設人（芭，乂），3（孫必），；』+%=<>2，=2'

J4-4/7?3+4〃Z

仄一必|=Jbi+yjf%=，

-'-AB/面積S=1恒Fj|y_y2|=1x8x1自石-1=64后x'wl］，令t=［府.1>0,

21"T25+4/5+4m2

。646.64石16-r-

.?.相2=產+1,=f"丁，當且僅當f==,即〃?=丫”時等號成立，所以

4t+-22

t

A84面積的最大值為峋叵.

3

8.如圖，已知點P（2,2）是焦點為尸的拋物線C:〉2=2px（p<0）上一點，A,B是拋物線C

上異于尸的兩點，且直線用，PB的傾斜角互補，若直線雨的斜率為左任<1）.

⑴求拋物線方程；

⑵證明：直線AB的斜率為定值并求出此定值；

⑶令焦點F到直線AB的距離d,求冊一向的最大值.

【答案】⑴y?=2x⑵證明見解析，-;⑶竽

【分析】

（1）待定系數法求解拋物線方程；（2）設出直線方程，聯立后得到A點縱坐標，同理得

到8點縱坐標，從而求出直線A8的斜率；（3）在前兩間基礎上用斜率/表達出

5k--

dd16

\F^~\FB\=45'7一亓—'換元后使用基本不等式求出最大值?

產力+16

【解析】

⑴將點P（2,2）代入拋物線方程可得：p=\,拋物線C：V=2x

⑵設PA-.y-2=k（x-2）（k>1），與拋物線方程聯立可得：

,2、AAi八4-4Z2—2k皿2+24

始-2y+4-必=。'口科=7=%=7,用Zl可ZF得J：%=-丁

.=?-%=%-%=2=」i

因此，"x-xy；y；”+為2,^\ik=--.

AH-----------ABz

22

1f2(l-?y2-2k'//、>>\

n2(1+%)--2+2k

（3）由（1）可知，kB-----7^-----,-----：-----

AB2k1k

\/

2-2A:U2(一)[2-2/

因止匕AB：y---:—=>x+2y-=0

k2

]_____J_=閥一回="4=XB-XA=32K

團網質T兩畫K+L+l%"(…少;25人2*16

16(5公_4快

0J__J__5^-4__32^___

|M|\FB\2回25k4-24^+16近25/-24r+16

44

5?」65kl

164

3令1=5%—,由"1得，>1

25人24+工非,-"+16k

d____d__^_t_161<16I275

回國一畫[yr+]6y2標一丁

當且僅當/=4=5%-，=4=々=＞普時取等號.向一向的最大值為手.

四、數形結合求最值

1.在矩形A8CO中，AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與8。相切的圓上,

若AP=2AB+4AO,則4+〃的最大值為（）

A.3B.2ac.75D.2

【解析】A

【解析】如圖建立直角坐標系，

2

則4(0,1),3(0,0),。(2,1),P(x,y),山等面積法可得圓的半徑為太，所以圓的方程

為3-2)2+9=1

，所以AP=(x,y—1),AB=((),—1),A。=(2,0),由

x=2〃

AP-AAB+/.lAD.得4

y—1=-X

YXX

所以；1+〃=1一丫+1,設2=力一丁+1,即耳一y+l—z=0,點P(x,y)在圓上，所以圓

心到直線

'—y+l—z=0的距離小于半徑，所以解得1WZW3,所以z的最大值

25石

為3,即幾