二十染色問題（2）

年級班姓名得分

1.下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個房間都有通向任何

一個鄰室的門.有人想從某個房間開始,依次不重復地走遍每一個房間，他的想法

能實現嗎？

2.展覽會有36個展室（如圖），每兩相鄰展室之間均有門相通.能不能從入口

進去,不重復地參觀完全部展室后,從出口出來呢？

3.圖中的16個點表示16個城市,兩個點之間的連線表示這兩個城市有公路

相通.問能否找到一條不重復地走遍這16座城市的路線？

4.下圖是由4個小方格組成的“L”形硬紙片,用若干個這種紙片無重疊地

拼成一個4義〃的長方形，試證明：〃一定是偶數.

5.中國象棋盤上最多能放幾只馬互不相“吃”（“馬”走“日”字,另不考慮

“別馬腿”的情況）.

6.能否用一個田字和15個4x1矩形覆蓋8x8棋盤？

田

7.能否用1個田字和15個T字紙片，拼成一個8x8的正方形棋盤?

田

8.在8x8棋盤上，馬能否從左下角的方格出發,不重地走遍棋盤,最后回到起

點?若能請找出一條路,若不能,請說明理由.

9.下面三個圖形都是從4x4的正方形分別剪去兩個1x1的小方格得到的，問

可否把它們分別剪成1x2的七個小矩形？

10.把三行七列的21個小格組成的矩形染色，每個小格染上紅、藍兩種色中

的一種.求證:總可以找到4個同色小方格,處于某個矩形的4個角上（如圖）

紅紅紅紅

11.17個科學家互相通信,在他們的通信中共討論3個問題,而任意兩個科學

家之間僅討論1個問題.證明：至少有3個科學家，他們彼此通信討論的是同一個

問題.

12.用一批1x2x4的長方體木塊,能不能把一個容積為6x6x6的正方體木箱

充塞填滿?說明理由.

13.在平面上有一個27x27的方格棋盤,在棋盤的正中間擺好81枚棋子,它們

被罷成一個9x9的正方形.按下面的規則進行游戲:每一枚棋子都可沿水平方向

或豎直方向越過相鄰的棋子,放進緊挨著這枚棋子的空格中，并把越過的這格棋

子取出來.問:是否存在一種走法,使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子？

14.12x12的超極棋盤上，一匹超級馬每步跳至3x4矩形的另一角（如圖）.問

能否從任一點出發遍歷每一格恰一次，再回到出發點（這種情況又稱馬有“回

路”）？

□

彳

答案

1.不能.對房間染色，使最下面的兩個房間染成黑色,與黑色相鄰的房染成

白色,則圖中有7個黑色房間和5個白色房間.如果要想不重復地走過每一個房間,

黑色與白色房間數應該相等.故題中的想法是不能實現的.

2.不能.對展室進行染色，使相鄰兩房間分別是黑色和白色的.此時入口處

展室的顏色與出口處展室的顏色是相同的,而不重復參觀完36個展室，入口與出

口展室的顏色應該不相同.

3.不能.對這16個城市進行黑白相間的染色,一種顏色有9個,另一種顏色

有7個.而要不重復地走遍這16個城市,黑色與白色的個數應該相等.

4.如凰對4x〃長方形的各列分別染上黑色和白色.任一L形紙片所占的方

格只有兩類:第一類占3黑1白，第二類占3白1黑.

n個

設第一類有a個，第二類有b個，因為涂有兩種顏色的方格數相等，故有

3b+a=3a+b,即a=b,也就是說第一類與第二類相等,因此各種顏色的方格數都是4

的倍數，總數是8的倍數,從而n是偶然.

5.將棋盤黑白相間染色，由“馬”的走法可知,放在黑點上的“馬”，只能

吃放在某些白點上的馬.整個棋盤上黑、白點的個數均為45,故可在45個黑點放

上馬,它們是不能互吃的.

6.如圖的方式對棋盤染色.那么一個田字形蓋住1個或3個白格,而一個

4x1的矩形蓋住2個白格.這樣一來一個田字和15個4x1的矩形能蓋住的白格數

是一個奇數，但上圖中的白格數是一個偶數，因此一個田字形和15個4x1的矩形

7.將棋盤里黑白相間涂色.一個田字形蓋住2個白格,一個T字形蓋住3

個或1個白格.故1個田字和15個T字蓋住的白格數是一個奇數，但棋盤上的白

格數是一個偶數.因此一個田字形和15個T字形不能蓋住8x8的棋盤.

8.將棋盤黑白相間地染色后，馬的走法是從一種顏色的格子跳到另一種顏

色.棋盤上有32個白格與32個黑格,故馬可能跳遍整個棋盤.圖中給出了一種走

法.

54535363

61850903

44545353

74509418

45443536

27696321

44453635

58341272

2362111

5

0032163

2621121

4

9417450

12211

628

97325

2122

1739

8864

9.先對4x4的棋盤黑白相間的涂色（如圖），這道題的實際問題是問7個

1x2矩形能否分別復蓋剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三個棋盤.若7個

1x2矩形可以復蓋剪殘的棋盤，因為每個1x2矩形均可蓋住一個白格和一個黑格,

所以棋盤的白格與黑格數目應該相等.都是7個.而剪去A格和C格的棋盤⑵有

5個白格8個黑格,剪去A.D的棋盤⑶有5個白格8個黑格，因此這兩個剪損的

棋盤均不能被7個1x2矩形復蓋,也就不能剪成7個1x2的矩形.

三形所復蓋.下面給出一種剪法:

10.在第一行的7格中必有4格同色,不妨設這4格位于前4個位置,且均

為紅色.

然后考慮前4列構成的3x4矩形.若第二行和第3行中出現2個或2個以上

的紅色格子.則該行的兩個紅色格子與第一行的紅色格子就組成一個4角同為紅

色格子的矩形.

若不然,則第2、3行中都至少有3個藍格在前4列中，不妨設第2行前3格

為藍色，顯然第三行中的前3格中至少有2個藍格，故在二、三行的前4列中必

存在四角都是藍色的矩形.

11.將17個科學家用17個點代表,兩點之間連結的線段表示兩個科學家之

間討論的問題.用三種顏色給這些線段染色,表示三個問題，于是問題就變成：給

17個點之間的所有連結線段用三種顏色染色,必有同色三角形.

從任意一點,不妨設從A向其他16點4,A?,…ZU共可連成16條線段,用三

種顏色染色，由抽屜原則可知，必有6條線段同色.設這6條線段為44“4U…

且同為紅色.

考慮4,4,4,4,4,4這六點之間的連線，若有一條為紅色，（如44為紅

色），則三角形A44為紅色的同色三角形.

若這六點之間的連線中，沒有一條是紅色的，則它們之間只能涂兩種顏色.考

慮從4引出的五條線段A,A244A4A,A5Ade,由抽屜原理知,其中必有三條

是同色的.不妨設這三條為44A4AA,且同為藍色.若三角形人44的三邊中

有一條為藍色的，則有一個藍色的三角形存在;若三角形三邊都不是藍色

的，則它的三邊是同為第三色的同色三角形.

12.把正方體木箱分成27個小正方體,每個小正方體的體積為2x2x2=8.將

這些正方體如右圖黑白相間染上色.顯然黑色2x2x2的正方體有14個，白色

2x2x2小正方體有13個.每一個這樣的正方體相當于8個1x1x1的小正方體.

將1x2x4的長方體放入木箱,無論怎么放,每個長方體木塊蓋住8個邊長為1

的單位正方體,其中有4個黑色的,4個白色的.木箱共含6x6x6=216個單位正方

體,26個長方體木塊共蓋住8x26=208個單位正方體,其中黑白各占104個,余下

216-208=8個單位正方體是黑色的.但是第27個1x2x4長方體木塊不管怎樣放,

也無法蓋住這8個黑色單位正方體.

13.如圖，將整個棋盤的每一格都分別染上紅、白、黑三種顏色，這種染色

方式將棋盤分成了三個部分.按照游戲規則,每走一步,有兩種顏色方格中的棋子

數分別減少了1個,而第三種顏色的棋子數增加了一個.這表明每走一步,每個部

分的棋子的奇偶性要發生改變.

因為一開始時,81枚棋子擺成一個9x9的正方形,顯然三個部分的棋子數是

相同的,從而每走一步,三部分中的棋子數的奇偶性是相同的.如果走了若干步以

后,棋盤上恰好剩下一枚棋子,則兩部分上的棋子數為偶數,而另一部分上的棋子

數為奇數.這種結果是不可能出現的.

14.用兩種方法對超級棋盤染色.

首先，將棋盤黑白相間染色,則馬每跳一步,它所在的方格就要改變一次顏色.

不妨設第奇數步跳入白格.

其次，將棋盤的第3,4,5及8,9,10這六行染成黑色,其余六行染成白色.在此

種染色方式下,馬從白格一定跳入黑格.又因黑白格總數相同，馬要遍歷每一格恰

一次又回到出發點，因此，馬從黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨設馬第奇

數步跳入白格.

但是對于一種滿足要求跳法,在兩種染色方式下第奇數步跳入的格子的全體

是不同的,這顯然是不可能的，故題目要求的跳法是不存在的.

準確值

ABC

—+—d----

1.已知A.B.C都是非0自然數，2416的近似值是6.4,那么它的準確值是

多少？

解答：答案為6.375或6.43755.~

ABC2A+4B+C

—+—+---=----------------?6.4

因為241616

所以8A+4BV=102.4,由于A、B、C為非0

自然數，因此8A+4B底為一個整數，可能是

102,也有可能是103.~

—=6.375

當是102時,16

比較A,B的大?。?/p>

—=6.4375

當是103時，16A=15',B=5”

面積計算

一、復習舊知

計算平面圖形的面積時，有些問題乍一看，在已知條件與所求問題之間找不

到任何聯系，會使你感到無從下手。這時，如果我們能認真觀察圖形，分析、研

究已知條件，并加以深化，再運用我們已有的基本幾何知識，適當添加輔助線，

搭一座連通已知條件與所求問題的小“橋”，就會使你順利達到目的。

二、新課講解

重難點:

例求下面各個圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）。

考點：

例2、計算下面圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）。

易混點：

例3、如圖所示，兩圓半徑都是1厘米，且圖中兩個陰影部分的面積相等。

求長方形ABOQ的面積。

例4、如圖所示，圓的周長為12.56厘米，AC兩點把圓分成相等的兩段弧,

陰影部分①的面積與陰影部分②的面積相等，求平行四邊形ABCD的面積。

例5、如圖所示，直徑BC=8厘米，AB=AC,D為AC的中點，求陰影部分

的面積。

?【鞏固練習】

1、如圖所示，AB=BC=8厘米，求陰影部分的面積。

?【典型例題】

例6、如圖所示，求陰影部分的面積（單位：厘米）。

4

例7、圖是兩個完全一樣的直角三角形重疊在一起，按照圖中的已知條件

求陰影部分的面積（單位：厘米）。

120

例8、如圖所示，圖中圓的直徑AB是4厘米，平行四邊形ABCD的面積是7

平方厘米，NABC=30度，求陰影部分的面積（得數保留兩位小數）。

例9、如圖所示，求陰影部分的面積（單位：厘米。得數保留兩位小數）。

例10、如圖所示，求圖中陰影部分的面積。

/5。爹

H—io-?

例11、如圖所示,求陰影部分的面積（單位：厘米）

6rx

ADB

列12、如圖所示，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）。

臉

6

13、如圖所示，AABC是等腰直角三角形,求陰影部分的面積（單位：厘

米）。

A

2

B

例14、如圖所示，三角形ABC是直角三角形，AC長4厘米，BC長2厘米。

以AC、BC為直徑畫半圓，兩個半圓的交點在AB邊上。求圖中陰影部分的面積。

六年級奧數第三講工程問題

顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關的數學問題。其實，這類題目的內

容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內容。

在分析解答工程問題時，一般常用的數量關系式是：

工作量=工作效率X工作時間,

工作時間=工作量+工作效率，

工作效率=工作量4?工作時間。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數1表示，也可

以是部分工程量，常用分數表示。例如，工程的一半表示成，工程的三分

之一表示為,十小

效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，

根據題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。

工作效率的單位是一個復合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時”等。

但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。

例1單獨干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合

干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲

隊單獨干需100天，甲的工作效

率是擊；同理，乙隊的工作效率是高。兩隊合干的工作效率是（++焉）。

由“工作量=工作效率X工作時間”，50天的工作量是

（^―+—^―）x50=—+—=—（1--）+――=25（天）o

k100150，236—50

剩下的工作量是（1-令。由“工作時間=工作量+工作效率”，剩下的工

作量由乙隊干還需

例2某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時

甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉做新的工程，那么乙隊又做了18天才完成任

務。問：甲隊干了多少天？

分析：將題目的條件倒過來想，變為“乙隊先干18天，后面的工作甲、乙兩隊

合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。

解：（1*詞+信+臺

213

=（1-5）+而=父2。=12（天）。

例3單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個

隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結果一共用了6天完成這一工程。問：甲

隊實際工作了幾天？

分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，

剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了

[1-（+）6H=3

B^X^（天）°

例4一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時

做，那么完成任務時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？

分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，

/（豪蘇=12C時）。

再求出每小時張比王多做的零件數，60-12=5（個）。

最后求出這批零件的蛾，5+（/-疝=300（個）。

例5—水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單

開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水

管，那么再過多長時間池內將積有半池水？

分析與解：以滿池水為單位1。1時放水管可使水增加;，排水管可使水

減少同時開1時，可使水增加3-方。放水管打開1時后，池內己經有（

的水，與半池水還差G-》，所以要達到半池水，還需

弄得=5：（時）。

例6甲、乙二人同時從兩地出發，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40

分鐘。出發后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再

出發后多長時間兩人相遇？

分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時

間、路程、速度三者的關系來解答。甲出發5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加

上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作,

甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看

出，這道題應該用工程問題的解法來解答。

解：（l,xl5）+焉+點1+±=15（分）。

1.某工程甲單獨干10天完成，乙單獨干15天完成，他們合干多少天才可完成

工程的一半？

2.某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先干了6天后轉交給

乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨

工作的天數。

3.一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工?，F在合挖12天后，剩下的乙隊單

獨又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少天？

4甲、乙二人植樹，若單獨完成則甲比乙所需的時間多;。若兩人合干，

則完成任務時乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵？

5.修一段公路，甲隊獨做要用40天，乙隊獨做要用24天?，F在兩隊同時從兩

端開工，結果在距中點750米處相遇。這段公路長多少米？

6.蓄水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管需18時注滿，單開乙管需24時注滿。

如果要求12時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時間？

7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時，比快車從

乙地到甲地多用:的時間。如果兩車同時開出，那么相遇時快車比慢車多行

40千米。求甲、乙兩地的距離。

答案與提示練習5

L3天。解：卜舄+書=3（天）。2」4天。

解：［l-±X（6+10）］+±-10=14（天）。

解：一的工作效率為⑵+24片,

甲隊單獨挖需L（..）=120（天）。

解：乙的工作效率是甲的，所以乙完成工作量的甲完成這批樹

4?

共有50+（y--）=350（棵）。

qf11111心、

解：750X2-1（---）X［1+（-+-）］|=6000（米）。

6.8時。提示：甲管12時都開著，乙管開

+1=8（時）。

lo7.280千米。

解：快車從乙地到甲地用8+（1+1）=6（時）。兩車相遇需

11、24公、

6+P=T（時）'

相遇時快車比慢車多行全程的（：』）X普=:，所以甲、乙兩地相距

40*1=280（千米）。

一、單獨修一條公路，甲工程隊需100天完成，乙工程隊需150天完成。甲、

乙兩工程隊合修50天后，余下的工程由乙工程隊單獨做，還需幾天才能完成？

解：設全部工程量為“1”，則甲隊的工作效率為：，

乙隊的工作效率為：，

余下的工作量為：。

故還需：（天）。

答：余下的工程由乙獨做還需25天完成。

（綜合算式為：（天））

二、單獨完成某項工程，甲、乙、丙三人分別需10小時、15小時、20小時,

開始三人一起干，后因工作需要，甲中途調走了，結果共用了6小時完成了這項

工作。問甲實際工作了多少小時？

解法一：甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，由此得，甲

實際的工作時間為：

（小時）。

解法二：甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，由此得，甲

實際的工作時間為：

（小時）。

三、一件工作，甲5小時完成了全部工作的，乙6小時又完成剩下工作的一

半，最后，余下的工作由甲、乙合做，還需幾小時才能完成？

解：甲的工作效率為：，

乙的工作效率為：，

余下的工作量為：，

甲、乙的工作效率和為：。

于是，還需（小時）。

答：還需小時才能完成任務。

（綜合算式：（小時））四、一項工程，甲單獨做9小時完成，乙單獨做需

12小時。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙……的順序輪流工作，每天每次工

作1小時。那么，完成這項工程共需要幾小時？

解：甲的工作效率為，乙的工作效率為，甲工作1小時，乙再工作1小時，即

一個循環完成工作量為，由知，最多可以有5次循環，而5次循環將完成工作

量：，還剩下的工作量，剩下的工作量甲僅需（小時）即可完成。因此，共需

（小時）完成這項工程。

五、一批零件，甲獨做20小時完成，乙獨做30小時完成。如果甲、乙兩人

同時做，那么完成任務時乙比甲少做60個零件。這批零件共有多少個？

解：甲的工作效率為，乙的工作效率為，兩人合做所需時間為：（小時）。

甲、乙兩人的工作效率之差為。

從而兩人的工作量的差為。

這的工作量為60個零件，因此，共有零件（個）。

綜合算式為：（個）

答：這批零件共有300個。

六、一項工程，甲單獨做需12天完成，乙單獨做需9天完成。若甲先做若干

天后乙接著做，共用10天完成，則甲做了多少天？

一、某工程，甲隊單獨做24天完成，乙隊單獨做30天完成。甲、乙兩隊合

做8天后，余下的工作由丙隊單獨做，又做了6天才完成。問這項工程由丙隊單

獨做需幾天完成？

解：（天）。

答：余下的工程由丙隊單獨做需15天完成。

二、一項工程，甲隊獨做20天完成，乙隊獨做30天完成。現由兩隊一起做,

其間甲隊休息了3天，乙隊也休息了若干天，這樣，從開始到工程完成共用了

16天。問乙隊休息了多少天？

解：（天）。

三、一件工程，小明4小時完成了全部工作的，小軍5小時又完成了剩下任

務的，最后余下的部分由小明與小軍合做。問完成這項工作共用多少小時？

解：（小時）。

答：完成這項工作共用了小時。

四、一件工程，甲獨做需24小時，乙獨做需18小時。若甲先做2小時，然

后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做2小時，再由乙獨做1小時……兩人如此

交替工作。問完成任務時共用多少小時？

解：甲做2小時，乙做1小時為一個循環。

一個循環完成工作量：，

七個循環完成工作量：，

余下的工作量由甲完成，需：（小時）。

于是，完成這項任務共需：（小時）。

答：完成任務時共用小時。

五、有一批待加工的零件，甲單獨做需4天，乙單獨做需5天，如果兩人合

作，那么完成任務時，甲比乙多做了20個零件。問這批零件共有多少個？

解：完成任務所需的時間為（天），

此時，甲比乙多完成工作量，

于是，這批零件共有（個）。

答：這批零件共有180個。

六、單獨完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天。若甲先獨做若干天后

乙單獨做，則共用26天完成工作。問甲做了多少天？

七、打印一份稿件，甲單獨打需50分鐘完成，乙單獨打需30分鐘完成?，F

在甲單獨打若干分鐘后乙接著打，共42分鐘打完。問甲完成了這份稿件的幾分

之幾？

一、單獨修一條公路，甲工程隊需100天完成，乙工程隊需150天完成。甲、

乙兩工程隊合修50天后，余下的工程由乙工程隊單獨做，還需幾天才能完成？

解：設全部工程量為“1”，則甲隊的工作效率為：，

乙隊的工作效率為：，

余下的工作量為：。

故還需：（天）。

答：余下的工程由乙獨做還需25天完成。

（綜合算式為：（天））

二、單獨完成某項工程，甲、乙、丙三人分別需10小時、15小時、20小時，

開始三人一起干，后因工作需要，甲中途調走了，結果共用了6小時完成了這項

工作。問甲實際工作了多少小時？

解法一：甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，由此得，甲

實際的工作時間為：

（小時）。

解法二：甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，由此得，甲

實際的工作時間為：

（小時）。

答：甲實際工作了3小時。

三、一件工作，甲5小時完成了全部工作的，乙6小時又完成剩下工作的一

半，最后，余下的工作由甲、乙合做，還需幾小時才能完成？

解：甲的工作效率為：，

乙的工作效率為：，

余下的工作量為：，

甲、乙的工作效率和為：。

于是，還需（小時）。

答：還需小時才能完成任務。

（綜合算式：（小時））

四、一項工程，甲單獨做9小時完成，乙單獨做需12小時。如果按照甲、乙、

甲、乙、甲、乙……的順序輪流工作，每天每次工作1小時。那么，完成這項工

程共需要幾小時？

解：甲的工作效率為，乙的工作效率為，甲工作1小時，乙再工作1小時，即

一個循環完成工作量為，

由知，最多可以有5次循環，而5次循環將完成工作量：，

還剩下的工作量，剩下的工作量甲僅需

（小時）即可完成。因此，共需（小時）完成這項工程。

五、一批零件，甲獨做20小完成，乙獨做30小時完成。如果甲、乙兩人同

時做，那么完成任務時乙比甲少做60個零件。這批零件共有多少個？

解：甲的工作效率為，乙的工作效率為，兩人合做所需時間為：（小時）。

甲、乙兩人的工作效率之差為。從而兩人的工作量的差為。這的工作量

為60個零件，因此，共有零件（個）。綜合算式為：（個）答：這批零件共

有300個。

六、一項工程，甲單獨做需12天完成，乙單獨做需9天完成。若甲先做若干

天后乙接著做，共用10天完成，則甲做了多少天？

一、答：甲做了4一、甲、乙、丙三人合挖一條水渠，甲、乙合挖5天挖了

水渠的1，乙、丙合挖2天挖了余下的剩下的又由甲、丙合挖5天剛好

34

挖完，問甲、乙、丙三人單獨挖這條水渠分別需栗多少天？

解：甲、乙的工作效率之和為工+5=工，

315

乙、丙的工作效率之和為（1一工卜工+2=-5~,

I3J412

甲、丙的工作效率之和為（1—1）x[1—

由此可知，甲、乙、丙三人的工作效率之和為

111

------1--------1------2

151210'4

從而甲的工作效率為=—,

81224

乙的工作效率為

81040

7

丙的工作效率為---

815120

于是，甲單獨完成需24天，乙單獨完成需40天，丙單獨完成需注2=174

77

天。

答：甲、乙、丙單獨完成這條水渠分別需24天、40天、17,天。

7

二、將一空池加滿水，若同時開啟1、2、3號進水管，則20分鐘可以完成；

若同時開啟2、3、4號進水管，則21分鐘可以完成；若同時開啟1、3、4

號進水管，則28分鐘可以完成；若同時開啟1、2、4號進水管，則30分鐘

可以完成。求若同時開啟1、2、3、4號進水管，則需多少分鐘可以完成？

若單開1號進水管，則多少分鐘可以完成？

解：1、2、3號進水管的工作效率和為二

2、3、4號進水管的工作效率和為上,

1、3、4號進水管的工作效率和為工，

28

1、2、4號進水管的工作效率和為」-。

30

相加后除3即得1、2、3、4號進水管的工作效率和：

（1111\a1

（20212830）18

從而同時開啟1、2、3、4號進水管需時

14--=18（分）。

18

再結合前面的條件可知，1號進水管的工作效率為

J___11

18-21-726

于是，單開1號進水管需時1+二一=126（分）。

126

答：同時開啟1、2、3、4號進水管，需時18分鐘。單開1號進水管需時126

分鐘。

三、單獨完成一件工作，甲比規定時間提前2天完成，乙則要比規定時間推

遲3天完成。如果先讓甲、乙兩人合做2天，再由乙單獨完成剩下的工作，

那么剛好在規定時間完成。問甲、乙兩人合干需多少天完成？規定時間是幾

天？

解：由題設知，乙比甲多用2+3=5（天），且甲做2天相當于乙做3天，即乙所需時

間為甲所需時間的|倍，從而，甲所需時間為5+1,-1）=10（天）。

（這是差倍問題），乙所需時間為10x±=15（天），

2

于是，甲、乙合做需時1+（需+:）=6（天）。

規定時間為10+2=12（天）（或15-3=12（天））。

答：甲、乙合做需6天，規定時間為12天。

四、一件工作甲先做6小時，乙再接著做12小時可以完成；甲先做8小時，

乙接著做6小時也可以完成。問：如果甲先做3小時，那么乙再做幾小時就

可以完成？甲、乙單獨完成分別要多少小時？

解：比較可知，甲1小時的工作量等于乙3小時的工作量，由此，

甲單獨做需:6+12-3=10（小時）。

乙單獨做需：12+3x6=30（小時）。

若甲先做3小時，則乙還需做

12+3x（6-3）=21（小時），

或3x（10-3）=21（小時）。

答：甲先做3小時，乙再做21小時完成；甲、乙單獨完成分別需10小時、30

小時。

五、甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人輪流去做，

恰好整數天完成。若按乙、丙、甲的順序每人一天輪流去做，則比原計劃多

用L天；若按丙、甲、乙的順序每人一天輪流去做，則比原計劃多用工天。

23

已知甲單獨做完這件工作要13天，問：甲、乙、丙三人一起做這件工作要

用多少天完成？

解：由題設甲的工作效率為工，而對于甲、乙、丙次序的安排，結束工作的只

13

可能為甲或乙。分兩種情況討論：

(1)結束工作的是甲。此時，第一種安排的收尾是甲做1天，第二種安排的收

尾為乙做1天，丙做,天，第三種安排的收尾為丙做1天，甲做工天。但這三種

23

收尾的工作量相等。所以，比較可知，丙的工作效率為甲的4,乙的工作效率也

3

2

為甲的4。從而，原計劃的工作時間為

3

12123

H--x——I---x—x3=16-,

1331337

不是整數，與題設矛盾，即這種情況不可能。

(2)結束工作的是乙。此時，第一種安排的收尾為甲做1天，乙做1天；第二

種安排的收尾為乙做1天，丙做1天，甲做工天；第三種安排的收尾為丙做1

2

天，甲做1天，乙做g天。但這三種收尾工作量都相等，所以，比較可知，丙的

工作效率為甲的,，乙的工作效率為甲的3。從而，原計劃的工作時間為

24

2+x3=17（天）

為整天，符合要求。

因此，甲、乙、丙一起完成這件工作需

113117

--1--x——I---x—=5-（天）。

131341329

7

答：甲、乙、丙合做需5：天。

甲、乙、丙三人合作完成一件工程，共得報酬1800元。已知甲、乙先合

做8天完成工程的工，接著乙、丙合做2天完成余下的工，最后三人合做5

34

天完成全部工程。今按勞取酬，問甲、乙、丙三人每人可得報酬多少元？

解：甲、乙的工作效率和為8

324

乙、丙的工作效率和為卜一：卜；+2=5,

甲、乙、丙的工作效率和為（1—￡）x[1—；卜5=\,

于是甲的工作效率為士-二1

60

乙的工作效率/一

60-40

丙的工作效率為」~-二-7

從而,

1024120

甲應得報酬1800x—x（8+5）=390（元）,

乙應得報酬1800x—x（8++25）=675（元）,

7

丙應得報酬1800x^x（2+5）=735（元），

或1800-390-675=735（元）

答：甲、乙、丙三人每人可得報酬390元、675元、735元。

天。一項工程，甲、乙兩隊合做需12天完成，乙、丙兩隊合做需15天完成，甲、

丙兩隊合做需20天完成。問甲、乙、丙單獨完成分別需多少天？三隊合作需多

少天完成？

解：甲、乙的工作效率和為1?，

12

乙、丙的工作效率和為

15

甲、丙的工作效率和為

20

于是，甲、乙、丙三人的工作效率和為但+，+口+2=4，

（121520）10

即甲、乙、丙三人合做需10天。

甲、乙、丙的工作效率分別為

11_111_111_1

10-15-30'T0-20-20'T0-T2-60

于是，甲、乙、丙單獨做分別需要30天、20天、60天。

答：甲、乙、丙單獨完成分別需要30天、20天、60天，三隊合作需10

天。

一、某工程由一、二、三三個小隊合干需8天完成；由二、三、四三個

小隊合干需10天完成；由一、四兩個小隊合干需15天完成。問二、三隊合干需

多少天完成？四小隊合干需多少天完成？

解：一、二、三小隊的工作效率和為工，二、三、四小隊的工作效率和為工,

810

一、四小隊的工作效率和為工。

15

于是,三、四小隊的工作效率和為:

由此，二、三隊合干需—=12匕（天）,

1919

四個隊合干需史=6。（天）。

77

答：二、三隊合干需12乜天，四小隊合干需69天。

197

二、一件工程，甲、乙合做6天能完成之。如果單獨做，那么甲完成!

63

與乙完成L所需的時間相等。問甲、乙單獨做分別需多少天？若按甲、乙、甲、

2

乙……的順序每人一天輪流，則需多少天完成任務？

三、某工程由哥哥單獨做40天，再由弟弟做28天可以完成。現在兄弟

兩人合做35天就完成了。如果先由哥哥獨做30天，再由弟弟單獨做，那么還要

工作多少天才能完成這項工程？

解：由比較可知，哥哥（40-35）天的工作量等于弟弟（35-28）天的工作

量，即哥哥5天的工作量等于弟弟7天的工作量。

于是，弟弟還要工作35+7x[（35-30）+5]=42（天）

答：弟弟還要工作42天才能完成這項工程。

四、甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天

輪流去做，恰好整數天做完，并且由乙結束工作。若按乙、丙、甲的順序輪流去

做，則比原計劃多用工天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則比原計劃多用工

23

天。已知甲單獨做完這件工作需要22天，那么甲、乙、丙三人合做要用多少天

才能完成？

解：只考慮收尾工作，

第一種安排收尾為甲1天，乙1天；

第二種安排收尾為乙1天，丙1天，甲,天；

2

第三種安排收尾為丙1天，甲1天、乙L天。

3

比較可知，丙的工作效率為甲的工，乙的工作效率為甲的3,由此可得原

計劃需

------1------x——I-------x—x3+2=29（天）

22224222

符合題意，因此，甲、乙、丙三人合做需:

7

------1------x―-1-------X—9-（天）

22224222

7

答：甲、乙、丙三人合做要用9：天才能完成。

工程問題1.甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.

丙水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小

時后，再打開排水管丙，產水池注滿還是要多少小時？

解：1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率

9/80X5=45/80表示5小時后進水量

1-45/80=35/80表示還要的進水量

35/804-(9/80-1/10)=35表示還要35小時注滿

答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。

2.修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊

合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來

的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九?，F在計劃16天修完這條水渠,

且要求兩隊合作的天數盡可能少，那么兩隊要合作幾天？

解：由題意得，甲的工效為1/20,乙的工效為1/30,甲乙的合作工效為

1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效〉甲的工效〉乙的工效。

又因為，要求''兩隊合作的天數盡可能少”，所以應該讓做的快的甲多做，16天

內實在來不及的才應該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數盡可能

少”。

設合作時間為x天，則甲獨做時間為(16-x)天

1/20*(16-x)+7/100*x=l

x=10答：甲乙最短合作10天

3.一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成?，F在先請

甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少

小時？

解：由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的

工作量

(1/4+1/5)義2=9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作

量。

根據“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙

做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。

所以1—9/10=1/10表示乙做6-4=2小時的工作量。

1/104-2=1/20表示乙的工作效率。

14-1/20=20小時表示乙單獨完成需要20小時。

答：乙單獨完成需要20小時。

4.一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替

輪流做，那么恰好用整數天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，

第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做

這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？

解：由題意可知

1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+...+1/甲=1

1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+...+1/乙+1/甲X0.5=l

(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結束必須如上所示，否

則第二種做法就不比第一種多0.5天)

1/甲=1/乙+1/甲X0.5(因為前面的工作量都相等)

得至1/甲=1/乙X2

又因為1/乙=1/17

所以1/甲=2/17,甲等于17?2=8.5天

5.師徒倆人加工同樣多的零件。當師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當

師傅完成了任務時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？

答案為300個

1204-(4/54-2)=300個

可以這樣想：師傅第一次完成了1/2,第二次也是1/2,兩次一共全部完工，那么

徒弟第二次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5,剛好是

120個。

6.一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均

每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？

答案是15棵

算式:14-(1/6-1/10)=15棵

7.一個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水

放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完?，F在先打開甲管，當水池水

剛溢出時，打開乙，丙兩管用了18分鐘放完，當打開甲管注滿水是，再打開乙管,

而不開丙管，多少分鐘將水放完？

答案45分鐘。

14-(1/20+1/30)=12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數。

1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘

的水，也就是甲分鐘進的水。

1/24-18=1/36表示甲每分鐘進水

最后就是1+(1/20-1/36)=45分鐘。

8.某工程隊需要在規定日期內完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去

做，要超過規定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如

期完成，問規定日期為幾天？

答案為6天

解：

由“若乙隊去做，要超過規定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單

獨做，恰好如期完成，”可知：

乙做3天的工作量=甲2天的工作量

即：甲乙的工作效率比是3：2

甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3

時間比的差是1份

實際時間的差是3天

所以3+(3-2)X2=6天，就是甲的時間，也就是規定日期

方程方法：[1/x+l/(x+2)]X2+1/(x+2)X(x-2)=1解得x=6

9.兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細蠟燭要1小時,

一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩

支蠟燭同時熄滅，發現粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？

答案為40分鐘。

解：設停電了x分鐘

根據題意列方程

l-l/120*x=(l-l/60*x)*2

解彳導x40

明明和樂樂在同一所學校學習，一天班主任老師問他倆各人的家離學校有多遠。

明明說：“我放學回家要走10分鐘”，樂樂說：“我比明明多用4分鐘到家