備注：紅色字體部分重點(diǎn)識(shí)記

人教版必修一

第一章集合與函數(shù)概念

1.1集合

知識(shí)點(diǎn)梳理

(-)集合

1.集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對象叫元素。

2.集合中的元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性。

說明：

(1)對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對象或者是或者不是這

個(gè)給定的集合的元素。

(2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個(gè)集

合時(shí)，僅算一個(gè)元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較

它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3.集合的表示：

(1)｛…｝如｛我校的籃球隊(duì)員｝，｛太平洋，大西洋,印度洋，北冰洋｝

(2)用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊(duì)員｝,B=｛1,2,3,4,5｝

(3)集合的表示方法：列舉法與描述法。

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個(gè)大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定

的條件表示某些對象是否屬于這個(gè)集合的方法。

(1)語言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

圖瞽?盛圣諼莫錯(cuò)法0：不等式即3>2的解集是｛xR|x-3>2｝或｛x|x-3>2｝

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)N,正整數(shù)集N*或N+,整數(shù)集Z,有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R

(5)元素與集合的關(guān)系：

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A

記作"行/,相反，a不屬于集合A記作每人

4.集合的分類：

(1)有限集含有有限個(gè)元素的集合

(2)無限集含有無限個(gè)元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：=

(二)集合間的基本關(guān)系

1.“包含“關(guān)系一子集

力匚9有兩種可能有兩種可能(1)A是B的一部分;(2)A與B是同一集合。反之，集合A

不包含于集合B,或集合B不包含集合兒記作工匕或1曲A

2.“相等”關(guān)系

對于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)，集合B的

任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B,即

(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集。即/C/I

(2)如果/仁心且/士〃那就說集合A是集合B的真子集，記作^^或升14

(3)如果力匚用，R匚那么4匚「

(4)如果力匚百同時(shí)R匚,I那么R

注意：若一個(gè)集合中有n個(gè)元素則它的所有子集個(gè)數(shù)2",它的所有真子集個(gè)數(shù)2”一I,

它的所有非空真子集個(gè)數(shù)2”一2。

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為①

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

(三)集合的運(yùn)算

L交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A3的交

集。記作AAB(讀作"A交B"),即AHB={x|xeA,且xGB)?

2.并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做

A再的并集。記作：AUB(讀作"A并B"),即AUB={x|xGA,或xGB}?

3.交集與并集的性質(zhì)：AC1A=A,AC6=。，ACB=BnA,AUA=A,

AU@=A,AUB=BUA?

4.全集與補(bǔ)集:

(1)全集：如果集合U含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素,

這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來表示。

(2)補(bǔ)集：設(shè)U是一個(gè)集合，A是U的一個(gè)子集(即Z"),

由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做U中子集A的補(bǔ)集(或

2

余集）記作：C"，即C）,/=（xIxuUUx足4）

(3)性質(zhì)：①C'MCZM=A

②"C，d=。

③"I"一Ti

1.2函數(shù)及其表示

1.2.1函數(shù)的概念

知識(shí)點(diǎn)梳理

（-）函數(shù)的概念

1.設(shè)4月是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則6對于集合中任何一個(gè)數(shù)，r

在集合帝都有唯一確定的數(shù)/?（.￥）和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合」曬到/R

的對應(yīng)法則y叫做集合到的一全函數(shù)，記作/：/<>/九

2.函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則。

3.只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)。

（二）區(qū)間的概念及表示法

1.設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，目,〈人，滿足,WrV/i的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做［“，川；

滿足“々r</>的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做QS）；滿足“WrVA,或"VrWA的實(shí)數(shù)

r的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別記做沁力），（“力：；滿足rN他X-wxWAjY/；的實(shí)數(shù)r

的集合分別記做⑹60c㈤，（_0c㈤。

注意：對于集合（*歷<工<方）與區(qū)間（億乃，前者可以大于或等于，麗后者必須

o<h,（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）。

1.2.2函數(shù)的表示法

知識(shí)點(diǎn)梳理

3

（-）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種。

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系。

列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系。

圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系。

（二）映射的概念

1.設(shè)九月是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法則,/對于集合中任何一個(gè)元素，在集

合帝都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合/I、月以及到的對應(yīng)法則

/）叫做集合到的映射，記作/'：

2.給定一個(gè)集合到集合的映射，且如果元素和元素對應(yīng)，那么我

們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。

1.3函數(shù)的基本性質(zhì)

1.3.1單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

知識(shí)點(diǎn)梳理

（-）函數(shù)的單調(diào)性

1.定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于屬于定義域I內(nèi)（1）利用定義

某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)（2）利用已知函數(shù)

的單調(diào)性

自變量的值電,4,當(dāng)/

yy=f(x)/（3）利用函數(shù)圖象

f(X)2

函數(shù)的?<.立時(shí)，都有（在某個(gè)區(qū)間圖

單調(diào)性f(x)1象上升為增）

0

/（陽）</（*2），那么就（4）利用復(fù)合函數(shù)

x1x2X

說/（X）在這個(gè)區(qū)間上是

增函數(shù)。

4

如果對于屬于定義域I內(nèi)（1）利用定義

某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)（2）利用已知函數(shù)

的單調(diào)性

自變量的值為,的,當(dāng)

（3）利用函數(shù)圖象

3＜整時(shí)，都有（在某個(gè)區(qū)間圖

象下降為減）

」（的）＞/&，那么就（4）利用復(fù)合函數(shù)

說/（Q在這個(gè)區(qū)間上是

減函數(shù)。

2.在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去

一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)。

（二）對“J”函數(shù)“x）=.x+的圖象與性質(zhì)

/■0）分別在（-?遍］」夜,+8）上為增函數(shù)，分別在「-右，0）上為減函數(shù)。

（三）最大（小）值定義

1.一般地，設(shè)函數(shù)y=ax）的定義域?yàn)?如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對于任意的xC,都有f（x）W.V；

（2）存在刈?7,使得/.（見）=必。那么，我們稱B是函數(shù)的最大值，記作

5

/mnx（x）=叔。

2.一般地，設(shè)函數(shù)y=/?&）的定義域?yàn)?如果存在實(shí)數(shù)滿足：

（1）對于任意的都有/Xx）2m；

（2）存在xn?7,使得="?。那么，我們稱"，是函數(shù)"幕的最小值，記作

/min（X）"?°

1.3.2奇偶性

知識(shí)點(diǎn)梳理

（-）函數(shù)的奇偶性

1.定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

（1）利用定義（要

如果對于函數(shù)/（X）定義

V先判斷定義域是否

(a,f(a))

域內(nèi)任意一個(gè)X,都有關(guān)于原點(diǎn)對稱）

一a二.

/（V）=-/（-X）那么函oax（2）利用圖象（圖

(-a.f(-a))象關(guān)于原點(diǎn)對稱）

數(shù)（）叫做奇函數(shù)。

函數(shù)的/X

奇偶性（1）利用定義（要

如果對于函數(shù)/（X）定義

y先判斷定義域是否

域內(nèi)任意一個(gè)X,都有(-a.f(-a))_(a,f(a))關(guān)于原點(diǎn)對稱）

/（x）=/（-x）那么函數(shù)（2）利用圖象（圖

-aoax

象關(guān)于y軸對稱）

/（X）叫做偶函數(shù)。

2.若函數(shù)八X）為奇函數(shù)，且在「=（）處有定義，貝1」"0）一0。

3.奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性

相反。

4.在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），

兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）

是奇函數(shù)。

6

第二章基本初等函數(shù)（I）

2.1指數(shù)函數(shù)

2.1.1指數(shù)與指數(shù)嘉的運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)梳理

（一）根式的概念

1.如果x"—>10"f=Ml,那么叫做的歡方根。當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，的a

”次方根用符號伍表示；當(dāng)最偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號表劭負(fù)的次”

方根用符號_仁表示；0的冷方根是0；負(fù)款沒旬次方根。

2.式子正叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為任意實(shí)

數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“ND。

3.根式的性質(zhì)：

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，*=〃；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，濘=|“|=~"2°,、。

（二）分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的概念

1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：涓="（〃>0.相、o的正分?jǐn)?shù)

指數(shù)幕等于0。

2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義是一芳書L腐……小口…1）

0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞沒有意義。注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)。

（三）分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)

1.74"="+'（4>0,廣、WFR）

2.（/）'=>0、/<eA）

3,（7而'="方>0/、、F/?）

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

7

知識(shí)點(diǎn)梳理

(一)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=7(。>0且4/1)叫做指數(shù)函數(shù)

a1八.

0a1

\丫=2\人

J/\v-Av

圖像

Z.x?，

________o

°X

定義域R

值域(0,+)

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=。時(shí)，y=lc

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在上是增函數(shù)在正是減函數(shù)

?r>l(.v>0)優(yōu)<1(%>0)

函數(shù)值的

a*=1(.x=0)a'=1(x=0)

變化情況

o'<l(x<0)ax>\(x<0)

。變化對圖象的

在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，?圖象越低。

影響

2.2對數(shù)函數(shù)

2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)梳理

(-)對數(shù)的定義

8

1.若日”/1）,則叫做以為底V的對數(shù)，記作r=lo&押，其中叫做

底數(shù)，H叫做真數(shù)。

2.負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)。

3.對數(shù)式與指數(shù)式的互化：K=IOg,N<=>=N（a>0“/I-M》0）。

4.幾個(gè)重要的對數(shù)恒等式

log.,l=(),log“a=】，log”““一/,。

5.常用對數(shù)與自然對數(shù)

日自然瑞對列數(shù)奴..MV,即1。部N（其中〃=27I82X…）。

常用對數(shù)：IgN,BPlog10.￥

（-）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果”>0,a士,那么

(1)加法:log.M+log.，V=logjM-V)(2)減法：logaM—log?,V=10gti

(3)數(shù)乘：Hlog,,M=log,,M"(nf=R)⑷“2=N

⑸R)g/A/"=(log“A/S?DEfA)

(6)換底公式―［黯(—田)

2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)梳理

（一）對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log,.式Oita/1）叫做對數(shù)函數(shù)

圖象a>l0<a<l

9

AX=]

yTH1zy^=logrox二

0/(1，O)T*1，。),

V

定義域(0,+-X-)

值域R

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(1.0),即當(dāng)工=1時(shí)，y=0。

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+A)上是減函數(shù)

10g?.v>0(x>1)log?x<0(.x>l)

函數(shù)值的

log“x=0(x=l)logx=0(x=l)

變化情況17

logflx<0(0<x<1)1og<yx>0(0<x<1)

a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高。

(二)反函數(shù)

1.反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)＞=/Xx)的定義域?yàn)?值域?yàn)?，很式?；=f(x)中解出支得式子r=e(y)。

如果對于在中的任何一個(gè)值，通過式子r=w(y)，在中和有唯一確定的值和它對應(yīng)，

那么式子r=°(y)表示是的函數(shù)，函數(shù)工二忒中叫做函數(shù)了二八幻的反函數(shù)，記作

r=(V)，習(xí)慣上改寫成了=A-'G)。

2.反函數(shù)的求法

(1)確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；(2)從原函數(shù)百;=/金)中反解出

r=(3)將=廣(T)改寫成了二尸G),并注明反函數(shù)的定義域。

3.反函數(shù)的性質(zhì)

10

(1)原函數(shù)丁="公與反函數(shù)尸=廣(Y)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。

(2)函數(shù)X的定義域.值域分別是其反函數(shù)y的,吸窄義域。

(3)若網(wǎng)”力)在原函數(shù)了二廣々)的圖象上，則「依公在反函數(shù)＞=尸(?的圖象上。

(4)一般地，函數(shù)了一“幻要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)。

2.3幕函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)梳理

(-)幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=K〃叫做塞函數(shù)，其中為自變量，曷常數(shù)。

)募函數(shù)的圖象

2x

(三)塞函數(shù)的性質(zhì)

1.圖象分布：幕函數(shù)圖象分布在第一.二.三象限，第四象限無圖象。幕函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，

圖象分布在第一.二象限(圖象關(guān)于知對稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象

關(guān)于原點(diǎn)對稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限。

2.過定點(diǎn)：所有的塞函數(shù)在?)，:⑹都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1.1)。

3.單調(diào)性：如果/＞(),則幕函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且豳，+封上為增函數(shù)。如舄＜(),

則幕函數(shù)的圖象在(0,+)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與輒

4.奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，塞函數(shù)為偶函數(shù)。當(dāng)〃=幺

P

(其中〃，“互質(zhì)，37),若的奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，貝！|y=是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為q

偶數(shù)時(shí)，則j是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則5是非奇非偶函數(shù)。

11

5.圖象特征:

塞函數(shù)》；二亡"”[0,：⑹，當(dāng)>1時(shí)，若Yr。，其圖象在直綣=T下方，粽>1,

其圖象在直線.)；=V上方，當(dāng)時(shí)，若CVY1,其圖象在直線)；=r上方，若r>l,其

圖象在直線)；=v下方。

第三章函數(shù)的應(yīng)用

3.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)梳理

(-)函數(shù)零點(diǎn)的概念

對于函數(shù)了="G/f7),把使f(x)=()成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)y="6》卡。的零

點(diǎn)。

(二)函數(shù)零點(diǎn)的意義

函數(shù)y=/?(*)的零點(diǎn)就是方程外公=。實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=H>)X

的圖象與軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)。即:

方程”工)一。有實(shí)數(shù)根函數(shù)y-/■(>)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù))-/■(>)有零點(diǎn)。

(三)函數(shù)零點(diǎn)的求法

求函數(shù)》="x)的零點(diǎn)：

1.(代數(shù)法)求方程的實(shí)數(shù)根；

2.(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)了二八G的圖象聯(lián)系起來,

并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。

(四)二次函數(shù)的零點(diǎn)

二次函數(shù)y=?-4bx+c,(af0)。

1./1>0,方程分z/nr+“=(IX

有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二

次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。

2./=。，方程or?4?〃丫4.“=。x

有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與軸有一

個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)。

3./V0,方程ox?+hx+-0X

無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零

點(diǎn)。

人教版必修二

第一章空間幾何體

知識(shí)點(diǎn)梳理

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

(-)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

1.棱柱(參見必修二第3頁圖1.1-4)

(1)定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊

都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

(2)分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱.四棱柱.五棱柱等。

(3)表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱

ABCDE-ABCDE。

(4)幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面.對角面都是平行四邊形；側(cè)

棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

2.棱錐(參見必修二第4頁圖1.1-5)

(1)定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所

圍成的幾何體。

(2)分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等。

(3)表示：用各頂點(diǎn)字母，用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐，P-ABCDE,

(4)幾何特征：側(cè)面.對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比

等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

3.棱臺(tái)(參見必修二第3頁圖1.1-6)

(1)定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分。

(2)分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等。

(3)表示：用各頂點(diǎn)字母，如四棱臺(tái)ABCD-A，B，CD,。

13

（4）幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形；側(cè)面是梯形；側(cè)棱平行且相等；側(cè)棱

交于原棱錐的頂點(diǎn)。

4.圓柱（參見必修二第5頁圖1.1-7）

（1）定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何

體。

（2）幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開

圖是一個(gè)矩形。

5.圓錐（參見必修二第5頁圖1.1-8）

（1）定義：以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。

（2）幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

6.圓臺(tái)（參見必修二第5頁圖1.1-9）

（1）定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分。

（2）幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)

弓形。

7.球（參見必修二第6頁圖1.1-10）

（1）定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體。

（2）幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

（-）中心投影與平行投影

1.中心投影：把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫做中心投影。（參見必修二第12頁圖

1.2-3）

2.平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。

（二）空間幾何體的三視圖

1.三視圖（參見必修二第12頁圖1.2-4）

（1）正視圖：從前往后

（2）側(cè)視圖：從左往右

（3）俯視圖：從上往下

2.畫三視圖的原則：長對齊.高對齊.寬相等

（三）空間幾何體的直觀圖

1.斜二測畫法的步驟（參見必修二第16頁圖1.2T0）

（1）平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

（2）平行于y軸的線長度變半，平行于x.z軸的線長度不變；

（3）畫法要寫好；

（4）成圖。

1.3空間幾何體的表面積與體積

（-）柱體.錐體.臺(tái)體的表面積與體積

1.表面積

14

圓柱的表面積：S=2irr?+2irH=2Tr“r+，）（參見必修二第24頁圖1.3-3）

圓錐的表面積：5=7r/+7r“=7rr（r+/）（參見必修二第24頁圖L34）

圓臺(tái)的表面積：5=朽（“+/+*+“）（參見必修二第24頁圖1.3-5）

2.體積

一般柱體的體積：V=Sh（S為底i浦面積，方,為高）

一般錐體的體積：/=:夕=（S為底而而和,h為高）

一般臺(tái)體的體積：V=1（S'+x/SS'+S^h

（-）球的體積和表面積

1.球的體積：$7=?依：，

2.球的表面積：S=4KR"

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)梳理

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

（一）平面

1.平面（參見必修二第41頁圖2.1-2）

（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的

公共直線。

（-）空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1.空間兩條直線的位置關(guān)系（參見必修二第44頁圖2.1-13）

|1J和交直線：同一半而內(nèi),4H只4一個(gè)公北點(diǎn)

《八而必平彳由您同一平而內(nèi).沒有公八點(diǎn)

停而直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi).沒有公共點(diǎn)

2.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（空間平行線的傳遞性）

符號表示為：設(shè)a.b.c是三條直線

a//b\..

..?」?//c

c//b）

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面.空間這個(gè)性質(zhì)都適用。

公理4的作用是判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3.定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

15

（三）空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

1.空間直線與平面的位置關(guān)系（參見必修二第44頁圖2.1-22）

（1）直線在平面內(nèi)：有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；

（2）直線與平面相交：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

ft線。與平面支和交丁點(diǎn)d.記作

/G。=A

（3）直線與平面平行：沒有公共點(diǎn)。

百繡c與平面。平行，記作

a//a

直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外。

（四）平面與平面之間的位置關(guān)系

1.兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系（參見必修二第50頁圖2.1-25）

（1）兩個(gè)平面平行：沒有公共點(diǎn)；

百線。與平面e平行，記作

a//a

（2）兩個(gè)平面相交：有一條公共直線。

2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

（一）直線與平面平行的判定

1.直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線

與此平面平行，符號表示：

a.b（~fv.jalia

作用：直線與平面平行的判定定理

（二）平面與平面平行的判定

L平面與平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩

個(gè)平面平行，符號表示：

a,h、“Q3=P.a//（x<b//a>,8//a

作用：平面與平面平行的判定定理

（三）直線與平面平行的性質(zhì)

1.直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與

此平面的交線與該直線平行。

（四）平面與平面平行的性質(zhì)

1.平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的

交線平行。

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

（一）直線與平面垂直的判定

16

L直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則該直線與

此平面垂直。（參見必修二第65頁圖2.3-5）

2.線面角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角。

（二）平面與平面垂直的判定

1.平面與平面垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。（參

見必修二第68頁圖2.3-13）

2.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面

角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

3.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩

條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。

4.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是

直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面

角。

5.求二面角的方法：

（1）定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平

面角；

（2）垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面兩個(gè)面的交線所

成的角為二面角的平面角。

（三）直線與平面垂直的性質(zhì)

1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

四、平面與平面垂直的性質(zhì)

1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一

個(gè)平面垂直。

第三章直線與方程

知識(shí)點(diǎn)梳理

3.1直線的傾斜角與斜率

（一）平面

1.直線的傾斜角（參見必修二第82頁圖3.1-2）

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸

平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是＜180。。

2.直線的斜率

（1）定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的

斜率常用表示。即=o斜率反映直線與軸的傾斜程度。

17

當(dāng)“u『0。，90°）時(shí)，&：3生

當(dāng)“u（90。，180。）時(shí)，A：<0;

當(dāng)”=90°時(shí)，4;不存在:，

（2）過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：*；=也二^（為學(xué)勖）

必—：5

（-）兩條直線平行與垂直的判定

1.對于兩條直線%,慎斜率分別為，fc,k;,有

It〃[2,?—A*=k->

注意：若直線人可能重合時(shí)，我們得到

總—彳或C仔

2.對于兩條直線1,,阻它們互相垂直。即

LJ.l-i'?—?"ki限=-1

3.2直線的方程

（-）直線的點(diǎn)斜式方程

1.點(diǎn)斜式：

。一如=上（他一切）

2.注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，*：=（），育線的方程為?/=幼。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在。育線的方程為工=時(shí)

（二）直線的兩點(diǎn)式方程

1.兩點(diǎn)式：-——=k產(chǎn)一工（新￥的Ei豐矽）

（三）直線的一般式方程

1.斜截式：U=+b

2.截距式：三4%=|

fin

3.一般式：4#+囪+0=0（4,3不全為0）

4.直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

（1）平行直線系

平行于已知直線Anx+B0n+2=0（4“&不全為0）的直線系

+=為常數(shù)）

（2）過定點(diǎn)的直線系

斜率為k的直線系：+一珈=k（x+:砧），直線過定點(diǎn)（出「外”0）

18

過兩條直線人：A,x+Hl1/+C=0心：4,工4?國力+c>=()的交點(diǎn)的直線方程系為

(4a;+&U+。,=0]+乂4逐+B-2V+&)=0O為參數(shù))

其中，直線不在直線系中。

1-J

5.兩直線平行與垂直

la:”=kl出1L:乜=fc>/+69

(1)l\//IlQki=k-i,bi土5

(2)

It_Ll-yAd,抬=-I

注：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

(-)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

Ui：4ix+Ci=0,〃：人工B>y4-C>=()相交

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組(:+=:的一組解。

方程組無解<>A/4；方程組有無數(shù)解0L與八重住

(-)兩點(diǎn)間的距離

L兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)4(航,班)出(央，加)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則

[401=，(一―幻產(chǎn)+(?/2-?"尸

(三)點(diǎn)到直線的距離

1.點(diǎn)P(防加到直線4支小囪+0=0(48不同時(shí)為0)的距離

\A^-+Bl)y+C\

(四)兩條平行直線間的距離

L兩條平行直線+By+Ci=()和4/：+Bq+以>=0(G￥G)間的距離

,—C,\

d=—

V^+B'2

第四章圓與方程

知識(shí)點(diǎn)梳理

4.1圓的方程

(-)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

19

L定義：平面內(nèi)與定點(diǎn)間的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）圓（定點(diǎn)為圓心，定長為

半徑）。

2.標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為C（a,b）,半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

（x—a\'；+（#—獷=r?

圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x1+y2=r2

（二）圓的一般方程

1.圓的一般方程：

形如/*/*Dx4-助4#。的二元二次方程，

（1）當(dāng)爐上礦一4斤>n時(shí)，叫做圓的一般方程。

配方，得窘廠4J

所以圓心為（--,-半徑為D1+E2—4F:

（2）當(dāng)爐”2-4斤=（）時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（一朵_外

（3）當(dāng)爐十月2—4/O）時(shí)，它不表示任何圖形（沒有軌跡）。

4.2直線、圓的位置關(guān)系

（-）直線與圓的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：

設(shè)點(diǎn)到圓儀：（立一a）"+（"一力"=產(chǎn)的圓心C的距離為d,則

42

d=IMCI=\/（xn—a）+（j/o—fe）

若\MC\>r,即（如-a）'+（ya-6）'>r-o點(diǎn)Af（而,在圓心C外；

若lA/CI=r,即（如—a）'+（如—力"=Q點(diǎn)Af（而,在圓心。上;

5

若IMCIYr,ED（xu—a）+（y?—bY/r-o點(diǎn)A/（網(wǎng),#<）在圓心。內(nèi)；

2.直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓相交b有兩個(gè)公共點(diǎn)

直線與圓相切g(shù)有一個(gè)公共點(diǎn)

直線與圓相交臺(tái)沒有公共點(diǎn)

（-）圓與圓的位置關(guān)系

1.利用圓心距和兩圓半徑比較大小（幾何法）：

設(shè)兩圓&一的了+?一況，=蜂與（x-a.y+（y-by=rj的圓心距為d,顯然

<1=\］（——。1）2+（，2—瓦）"?則位置關(guān)系表示如下：

20

d,7<|4-79O外離；d=n4-79<>外切;

Iri—r-A<fl<ri+r”u相交；

內(nèi)切；,4人

d—IF]—r9|<=>|ri—r-Ao內(nèi)含

2.利用兩圓的交點(diǎn)進(jìn)行判斷(代數(shù)法)：

設(shè)由兩圓的方程組成的方程組為::：u

+y+D>x+E2H+F,=U

由此方程組得：有兩組不同的實(shí)數(shù)解V>兩圓相交；

有兩組相同的實(shí)數(shù)解/>兩圓相切；

無實(shí)數(shù)解v>兩圓相離。

4.3空間直角坐標(biāo)系

(-)空間直角坐標(biāo)系

1.定義：參見必修二第134頁圖4.3-1,OABC-D，A，B，C是單位正方體。以0為原點(diǎn),

分別以射線OA,0C,0。的方向?yàn)檎较?，?A,0C,0D，的長為單位長，建立三條數(shù)

軸：x軸.y軸.z軸。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系0xyz?其中點(diǎn)。叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸.y

軸.z軸叫做坐標(biāo)軸。通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面.y0z平

面.zOx平面。

2.右手直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y

軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。

3.任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示。

(二)空間兩點(diǎn)間的距離公式

1.設(shè)空間兩點(diǎn)4(孫人珀，8(立%則A.B兩點(diǎn)的距離公式為

d(A,B)=，⑸一，I)2+(如一+(22-zM

人教版必修3

第一章算法初步

21

第二章統(tǒng)計(jì)

整理、分析數(shù)據(jù)

收集數(shù)據(jù)

估計(jì)、推斷

用樣本估計(jì)總體變量間的相關(guān)關(guān)系

簡

線

分

單