專題21.12一元二次方程解法-因式分解法（基礎篇）（專項練習）一、單選題1．方程的根是（

）A． B． C．， D．，2．方程的解是（

）A． B． C． D．3．關于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（）ABCD兩邊同時除以（x﹣1）得，x＝3整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28∴x＝＝2±整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1∴（x﹣2）2＝﹣1∴x﹣2＝±1∴x1＝1，x2＝3移項得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0∴x1＝1，x2＝3A．A B．B C．C D．D4．如圖，程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執行該程序框圖，如果輸出的值為5，那么輸入x的值為（

）A．－8 B．－2 C．1 D．85．若實數x，y滿足，則的值為（

）A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或16．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，則x2+y2的值為（）A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣27．方程的解是，現給出另一個方程，它的解是（

）A． B． C． D．8．當使用換元法解方程時，若設，則原方程可變形為（

）A． B． C． D．9．如圖，已知平面直角坐標系中的，點，，坐標系內存在直線：將分成面積相等的兩部分，且這條直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或10．如圖，四邊形ABCD是正方形，G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF//DE且交AG于點F，若3AB=5EF，則的值為（

）A．5:9 B．3:5 C．17:25 D．16:2511．如圖，在邊長為4的正方形中，點、點分別是、上的點，連接、、，滿足．若，則的長為（

）．A．2.4 B．3.4 C． D．12．如圖，“楊輝三角”是我國古代奉獻給人類偉大的數學遺產之一，從圖中取一列數1，3，6，10，…，記，，，…，那么，則的值是（

）A．13 B．10 C．8 D．7二、填空題13．若，則________．14．已知x＝﹣2時，二次三項式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，當x＝_____時，這個二次三項式的值等于﹣1．15．已知是一元二次方程的一個根，則此方程的另一個根為______．16．若直角三角形兩邊長x，y滿足，則其第三條邊長為______．17．若（x2+y2﹣1）2＝9，則x2+y2的值為___．18．已知實數滿足方程，則____________．19．已知關于的方程（a，b，m均為常數，且，）的兩個解是和，則方程的解是_________．20．已知實數，則的值為__________．21．菱形的一條對角線長為8，其邊長是方程x2－8x＋15＝0的一個根，則該菱形的面積為________．22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC邊上，BD＝AC，CD＝2，連接AD，若，則AC的長為___．23．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC（BC>AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點，且∠DCE=45°，DE=10，則AD的長為______________．24．已知中，，，，則的面積是________．三、解答題25．解方程：(1)；(2)．26．解方程：(1)x2–4x+3＝0；(2)x（x–1）＝2（x–1）27．解關于x、y的方程組時，小明發現方程組的解和方程組的解相同．(1)求方程組的解；(2)求關于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．28．閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．解方程：提示：可以用“換元法”解方程．解；設，則有．原方程可化為：續解：29．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的BC邊與x軸重合，頂點A在y軸的正半軸上，線段OB，OC（）的長是關于x的方程的兩個根，且滿足CO＝2AO．(1)求直線AC的解析式；(2)若P為直線AC上一個動點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，PD與直線AB交于點Q，設△CPQ的面積為S（），點P的橫坐標為a，求S與a的函數關系式；(3)點M的坐標為，當△MAB為直角三角形時，直接寫出m的值．參考答案1．C【分析】利用因式分解法求解即可．解：∵，移項，得，因式分解，得，解方程，得，，故選C．【點撥】本題考查了一元二次方程的解法，正確選擇適當的方法是解題的關鍵．2．B【分析】將方程移項后，再運用因式分解法求解即可．解：∴故選：B【點撥】本題主要考查了解一元二次方程，靈活運用一元二次方程的解法是解答本題的關鍵．3．D【分析】A.不能兩邊同時除以（x﹣1），會漏根；B.化為一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答解：A.不能兩邊同時除以（x﹣1），會漏根，故A錯誤；B.化為一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B錯誤；C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C錯誤；D.利用因式分解法解答，完全正確，故選：D【點撥】本題考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．4．A【分析】利用程序框圖的算法列方程，求出x，然后比較大小即可得出答案．解：如圖所示：設；輸出的值為5，∴，解得，解得，∵不合題舍去，設；輸出的值為5，∴，∴，∴解得，∵舍去，∴當輸入x=-8時，輸出的值為5．故選擇A．【點撥】本題主要考查了程序框圖，一元一次特征方程，一元二次方程，比較大小，正確理解計算程序是解題關鍵．5．C【分析】設：，則變為，進而解含a的一元二次方程，即可求出x+y的值．解：設：，則變為，變形可得：，則，則，解得：，即的值為2或﹣1，故選：C．【點撥】本題考查解一元二次方程，整體思想，能夠將等式轉化為一元二次方程是解決本題的關鍵．6．B【分析】設x2+y2＝z，則原方程換元為z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，由此即可求解．解：設x2+y2＝z，則原方程換元為（z+1）（z﹣3）＝5，整理得：z2﹣2z﹣8＝0，∴（z﹣4）（z+2）＝0，解得：z1＝4，z2＝﹣2，即x2+y2＝4或x2+y2＝﹣2，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝﹣2不合題意，舍去，∴x2+y2＝4．故選：B．【點撥】本題考查了換元法解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關鍵，注意代數式x2+y2本身的取值范圍不能忘．7．B【分析】結合已知方程的解，利用換元法解一元二次方程即可得．解：，令，則方程可轉化為，由題意得：，即，解得，故選：B．【點撥】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握換元法是解題關鍵．8．D【分析】方程的兩個分式具備平方關系，若設，則原方程化為y2-2y-3=0．用換元法轉化為關于y的一元二次方程．解：把代入原方程得：．故選：．【點撥】用換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應注意總結能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧．9．C【分析】連接AC、BD，交于點E，然后由題意易得點E為AC的中點，然后根據中點坐標公式可得，進而可得直線必過點E，則有，然后求出直線與x、y軸的交點坐標，最后根據三角形面積公式可求解．解：連接AC、BD，交于點E，如圖所示：∵四邊形是平行四邊形，∴點E為AC的中點，∵點，，∴由中點坐標公式可得，即，∵直線：將分成面積相等的兩部分，∴直線必過點E，把點代入直線解析式得：2k+b=2，解得：b=2-2k，∴，∴當x=0時，則y=2k-2，當y=0時，則有，∴直線與x、y軸的交點坐標分別為，∵直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，∴，解得：，故選C．【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質、一次函數與幾何的綜合及一元二次方程的解法，熟練掌握平行四邊形的性質、一次函數與幾何的綜合及一元二次方程的解法是解題的關鍵．10．C【分析】根據四邊形為正方形，利用易證，可得，，設，，則，，，根據勾股定理可得，整理得，，根據，，可得．解：四邊形為正方形，，，，，，，，，在和中，，，設，，則，，，在中，∴整理得，，，∴，∴，故選：C．【點撥】本題考查三角形全等的判定和性質和正方形的性質，三角形的面積公式，熟悉相關性質是解題的關鍵．11．B【分析】過點作的垂線交于，設，則，根據勾股定理得，由角平分線的性質得：，建立等式求解即可．解：過點作的垂線交于，如下圖：設，則，，則，，，為的角平分線，根據角平分線的性質得：，，，，，，解得：（舍去），，故選：B．【點撥】本題考查了正方形的性質、角平分線、勾股定理，解題的關鍵是利用面積之間的關系建立等式．12．D【分析】由已知數列得出an＝1+2+3+…+n，再求出a9、ai、a11的值，代入計算可得．解：由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1+2+3+…+n，∴a945、ai、a1166，則a9+a11﹣ai＝83，可得：45+6683，解得：i＝7，（負根舍去）故選：D．【點撥】本題主要考查數字的變化規律，解題的關鍵是根據已知數列得出an＝1+2+3+…+n，13．0，±1【分析】先移項，再提取公因式，再根據平方差公式分解因式即可求解．解：x3=x，x3-x=0，x（x2-1）=0，x（x-1）（x+1）=0，解得x=0，±1．故答案為：0，±1．【點撥】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法，解題的關鍵是得到x（x2-1）=0．14．﹣1或﹣5解：由時，代數式的值等于，可得，求解m的值，可得二次三項式，然后令二次三項式的值等于，得到關于x的一元二次方程，解一元二次方程即可．【解答】解：由時，代數式的值等于，可得，解得：∴二次三項式為令二次三項式的值為得：移項得：∴解得，故答案為：或．【點撥】本題考查了解一元一次方程，解一元二次方程．解題的關鍵在于求出的值，熟練運用因式分解解一元二次方程．15．【分析】把x=1代入，得到關于a的一元一次方程，解出a的值，然后將a代入原方程中，求解后即可得出結果．解：把x=1代入得，，解得，a=1，即原方程為：，即，解得，x1=1，x2=-2，即方程的另一個根為：x=-2，故答案為：-2．【點撥】本題主要考查了解一元一次方程及解一元二次方程，正確掌握代入法求得a的值并進一步正確解方程是解題的關鍵．16．或##或【分析】先根據非負數的性質求出x和y的值，然后分兩種情況求解即可．解：∵，∴x2-x=0，y-2=0，解得x1=0（舍去），x2=1，y=2，設第三條邊為x，當x為斜邊時，x=，當2為斜邊時，x=，故答案為：或．【點撥】本題考查了非負數的性質，解一元二次方程，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．17．4【分析】令x2+y2＝a，則原式化為（a-1）2＝9，然后利用直接開平方法即可求得．解：令x2+y2＝a，則原式化為（a-1）2＝9，∴a-1＝±3，∴a＝-2或a＝4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝4，故答案為4．【點撥】本題主要考查了換元法解方程，即把某個式子看做一個整體，用一個字母去代替它，實行等量代換．18．【分析】設，將原式整理為含的方程即可得出答案解：設，則原方程為：，則：，解得：，當時，無實數解，故舍去，經檢驗是的解，故答案為：．【點撥】本題考查了換元法解方程，解一元二次方程，熟練掌握解方程的一般步驟是解本題的關鍵．19．或##或【分析】首先根據一元二次方程解的定義求出和的值，然后代入所求方程整理求解即可．解：∵方程的解為：和，∴，解得：，∵，∴，∴，∴或，故答案為：或．【點撥】本題考查解一元二次方程的拓展應用，掌握解一元二次方程的基本方法是解題關鍵．20．3【分析】設y＝x2＋x，則原方程轉化為關于y的一元二次方程y2＋4y-12＝0，利用因式分解法解該方程，然后再解關于y的一元二次方程即可．解：設，則，即．解得或．則的值為或，當=-6時△=1-24=-23＜0=-6不成立當=2時△=1+8=9＞0∴故答案為：．【點撥】本題主要考查了換元法解一元二次方程，換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．21．24【分析】利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=5，再根據菱形的性質得到菱形的邊長為5，利用勾股定理計算出菱形的另一條對角線長，然后根據菱形的面積公式計算．解：x2-8x+15=0，（x-3）（x-5）=0，x-3=0或x-5=0，∴x1=3，x2=5，∵菱形一條對角線長為8，∴菱形的邊長為5，∵菱形的另一條對角線長=2×=6，∴菱形的面積=×6×8=24．故答案為：24．【點撥】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性質．22．4【分析】根據等腰三角形的“三線合一”性質，想到過點A作AE⊥BC，垂足為E，設AB=AC=BD=x，然后在Rt△AED和Rt△AEC中，分別利用勾股定理表示出AE2，建立等量關系即可解答．解：過點A作AE⊥BC，垂足為E，∵AB=AC，BD=AC，∴設AB=AC=BD=x，∵CD=2，∴BC=BD+CD=x+2，∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=1+x，∴DE=BD-BE=x-1，在Rt△AED中，AE2=AD2-DE2=（2）2-（x-1）2=?x2+x+7，在Rt△AEC中，AE2=AC2-EC2=x2-（1+x）2=x2-x-1，∴?x2+x+7=x2-x-1，解得：x1=4，x2=-2（不符合題意，舍去），∴AC=4，故答案為：4．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，兩次利用勾股定理建立等量關系，列出方程是解題的關鍵．23．6或8【分析】過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，先證四邊形ABCG是正方形．再設BE＝x，再用x表示出AE、AD,再利用勾股定理可求出x、最后求出AD即可．解：過C作CG⊥AD于G，并延長DG，使GF＝BE，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四邊形ABCG為正方形，∴AG＝BC＝GC=12，∵∠DCE＝45°，∴∠ECB+∠GCD=45°，∵BE＝GF，∠B＝∠FGC=90°，BC＝GC，∴△EBC≌△FGC，∴∠ECB＝∠FCG，∴∠FCG+∠GCD=∠DCF=45°=∠DCE，∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，∴△ECD≌△FCD，∴ED＝DF，∴DE＝GF＋DG＝BE＋GD，設BE=x，則AE=12-x，DG=10-x，AD=12-(10-x)=2+x在Rt△AED中，∵DE2＝AD2＋AE2，∴102＝（2+x）2＋（12-x）2，解得：x＝4或x=6，∴AD=6或AD=8．故答案為：6或8．【點撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質、勾股定理的應用等知識點，掌握三角形全等的判定定理和性質定理是解答本題的關鍵．24．或【分析】如圖所示，過點C作CE⊥AB于E，先根據含30度角的直角三角形的性質和勾股定理求出，設，則，，由，得到，由此求解即可．解：如圖所示，過點C作CE⊥AB于E，∴∠CEB=∠CEA=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BCE=30°，∴BC=2BE，∴，設，則，，∵，∴，解得或，∴或，∴或，故答案為：或．【點撥】本題主要考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性質，解一元二次方程，解題的關鍵在于能夠熟練掌握含30度角的直角三角形的性質．25．(1)(2)【分析】（1）方程直接用開平方法求解即可；（2）方程移項后，運用因式分解法求解即可．解：(1)，，，∴；(2)，，，，∴．【點撥】本題主要考查了解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法、結合方程的特點選擇合適簡捷的方法是解題的關鍵．26．(1)x1=1，x2=3；(2)x1=1，x2=2【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移項得x（x–1）-2（x–1）=0，然后利用因式分解法解方程．(1)x2–4x+3＝0解：（x-1）（x-3）=0，x-1=0或x-3=0，所以x1=1，x2=3；(2)x（x–1）=2（x–1）解：x（x–1）-2（x–1）=0，（x-1）（x-2）=0，x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2．【點撥】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．27．(1)(2)t＝或【分析】（1）根據二元一次方程組的解相同，可得新方程組，根據解方程組，可得x、y的值；（2）根據方程組的解滿足方程，把方程組的解代入，可得關于a、b的二元一次方程組，根據解方程組，可得a、b的值；然后利用換元法解該方程．解：(1)由方程組的解和方程組的解相同知，．由①×3+②，得5x＝15．則x＝3．將x＝3代入①，得3﹣y＝8，則y＝﹣5．∴方程組的解為：；(2)把分別代入ax+by＝2和5x+2y＝b可得方程組，解得：，設at﹣b＝n，則方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0可變為n2+2n﹣3＝0，∴（n+3）（n﹣1）＝0，∴n＝﹣3或1，∴at﹣b＝﹣3或1，把代入得：9t﹣5＝﹣3或1，解得：t＝或；【點撥】本題考查了二元一次方程組和一元二次方程的解法，