2024屆上海市徐匯區上海師大附中數學高一下期末學業水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，滿足且，若向量在向量方向上的投影為，則（）A． B． C． D．2．下列極限為1的是（）A．（個9） B．C． D．3．某單位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,為調查身體健康狀況,需要從中抽取一個容量為m的樣本，用分層抽樣方法抽取進行調查，樣本中的中年人為6人,則a和m的值不可以是下列四個選項中的哪組（）A．a=810,m=17 B．a=450,m=14C．a=720,m=16 D．a=360,m=124．關于的不等式的解集中，恰有3個整數，則的取值范圍是（）A． B．C． D．5．若數列，若，則在下列數列中，可取遍數列前項值的數列為（）A． B． C． D．6．將函數的圖像左移個單位，則所得到的圖象的解析式為A． B．C． D．7．已知等差數列的前項和，若，則（）A．25 B．39 C．45 D．548．在正方體中，直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．9．已知數列滿足，則（）A．10 B．20 C．100 D．20010．法國“業余數學家之王”皮埃爾·德·費馬在1936年發現的定理：若x是一個不能被質數p整除的整數，則必能被p整除，后來人們稱為費馬小定理.按照該定理若在集合中任取兩個數，其中一個作為x，另一個作為p，則所取的兩個數符合費馬小定理的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，,則該三棱錐的外接球的表面積為________.12．用數學歸納法證明不等式“（且）”的過程中，第一步：當時，不等式左邊應等于__________。13．在等差數列中，，，則．14．已知正實數滿足，則的值為_____________.15．設的內角，，所對的邊分別為，，.已知，，如果解此三角形有且只有兩個解，則的取值范圍是_____．16．已知等比數列的公比為，關于的不等式有下列說法：①當吋，不等式的解集②當吋，不等式的解集為③當>0吋，存在公比，使得不等式解集為④存在公比，使得不等式解集為R.上述說法正確的序號是_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱柱中（底面為正三角形），平面，，，，是邊的中點.（1）證明：平面平面.（2）求點到平面的距離.18．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若，，求的值.19．各項均不相等的等差數列前項和為，已知，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和.20．已知函數.(1)求函數的最小正周期和單調遞減區間;(2)求函數在上的最大值和最小值.21．如圖半圓的直徑為4，為直徑延長線上一點，且，為半圓周上任一點，以為邊作等邊（、、按順時針方向排列）（1）若等邊邊長為，，試寫出關于的函數關系；（2）問為多少時，四邊形的面積最大？這個最大面積為多少？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】由，即，所以，由向量在向量方向上的投影為，則，即，所以，故選A．2、A【解題分析】

利用極限的運算逐項求解判斷即可【題目詳解】對于A項，極限為1，對于B項，極限不存在，對于C項，極限為1．對于D項，，故選：A．【題目點撥】本題考查的極限的運算及性質，準確計算是關鍵，是基礎題3、B【解題分析】

根據分層抽樣的規律，計算a和m的關系為：8+a【題目詳解】某單位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,樣本中的中年人為6人，則老年人為：180×6540=22+6+代入選項計算，B不符合故答案為B【題目點撥】本題考查了分層抽樣，意在考查學生的計算能力.4、C【解題分析】

首先將原不等式轉化為，然后對進行分類討論，再結合不等式解集中恰有3個整數，列出關于的條件，求解即可.【題目詳解】關于的不等式等價于當時，即時，于的不等式的解集為，要使解集中恰有3個整數，則；當時，即時，于的不等式的解集為，不滿足題意；當時，即時，于的不等式的解集為，要使解集中恰有3個整數，則；綜上，.故選：C．【題目點撥】本題主要考了一元二次不等式的解法以及分類討論思想，屬于中檔題．5、D【解題分析】

推導出是以6為周期的周期數列，從而是可取遍數列前6項值的數列．【題目詳解】數列，，，，，，，，，是以6為周期的周期數列，是可取遍數列前6項值的數列．故選：D.【題目點撥】本題考查數列的周期性與三角函數知識的交會，考查基本運算求解能力，求解時注意函數與方程思想的應用．6、C【解題分析】

由三角函數的圖象變換，將函數的圖像左移個單位，得到，即可得到函數的解析式.【題目詳解】由題意，將函數的圖像左移個單位，可得的圖象，所以得到的函數的解析式為，故選C.【題目點撥】本題主要考查了三角函數的圖象變換，其中熟記三角函數的圖象變換的規則是解答本題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.7、A【解題分析】

設等差數列的公差為，從而根據，即可求出，這樣根據等差數列的前項和公式即可求出．【題目詳解】解：設等差數列的公差為，則由，得：，，，故選：A．【題目點撥】本題主要考查等差數列的通項公式和等差數列的前項和公式，屬于基礎題．8、C【解題分析】

由題，連接，設其交平面于點易知平面，即（或其補角）為與平面所成的角，再利用等體積法求得AO的長度，即可求得的長度，可得結果.【題目詳解】設正方體的邊長為1，如圖，連接，設其交平面于點，則易知，，又，所以平面，即得平面.在三棱錐中，由等體積法知，，即，解得，所以.連接，則（或其補角）為與平面所成的角.在中，.故選C.【題目點撥】本題考查了立體幾何中線面角的求法，作出線面角是解題的關鍵，求高的長度會用到等體積法，屬于中檔題.9、C【解題分析】

由題可得數列是以為首相，為公差的等差數列，求出數列的通項公式，進而求出【題目詳解】因為，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，則【題目點撥】本題考查由遞推公式證明數列是等差數列以及等差數列的通項公式，屬于一般題．10、A【解題分析】

用列舉法結合古典概型概率公式計算即可得出答案.【題目詳解】用表示抽取的兩個數，其中第一個為，第二個為總的基本事件分別為：，，，共12種其中所取的兩個數符合費馬小定理的基本事件分別為：，，共8種則所取的兩個數符合費馬小定理的概率故選：A【題目點撥】本題主要考查了利用古典概型概率公式計算概率，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由已知計算后知也是以為斜邊的直角三角形，這樣的中點到棱錐四個頂點的距離相等，即為外接球的球心，從而很容易得球的半徑，計算出表面積．【題目詳解】因為，所以是等腰直角三角形，且為斜邊，為的中點，因為底面是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，點即為球心，則該三棱錐的外接圓半徑，故該三棱錐的外接球的表面積為.【題目點撥】本題考查球的表面積，考查三棱錐與外接球，解題關鍵是找到外接球的球心，證明也是以為斜邊的直角三角形，利用直角三角形的性質是本題的關鍵．也是尋找外接球球心的一種方法．12、【解題分析】

用數學歸納法證明不等式（且），第一步，即時，分母從3到6，列出式子，得到答案.【題目詳解】用數學歸納法證明不等式（且），第一步，時，左邊式子中每項的分母從3開始增大至6，所以應是.即為答案.【題目點撥】本題考查數學歸納法的基本步驟，屬于簡單題.13、8【解題分析】

設等差數列的公差為，則，所以，故答案為8.14、【解題分析】

將已知等式，兩邊同取以為底的對數，求出，利用換底公式，即可求解.【題目詳解】，，，.故答案為:.【題目點撥】本題考查指對數之間的關系，考查對數的運算以及應用換底公式求值，屬于中檔題.15、【解題分析】

由余弦定理寫出c與x的等式，再由有兩個正解，解出x的取值范圍【題目詳解】根據余弦定理：代入數據并整理有，有且僅有兩個解，記為則：【題目點撥】本題主要考查余弦定理以及韋達定理，屬于中檔題．16、③【解題分析】

利用等比數列的通項公式，解不等式后可得結論．【題目詳解】由題意，不等式變為，即，若，則，當或時解為，當或時，解為，時，解為；若，則，當或時解為，當或時，解為，時，不等式無解．對照A、B、C、D，只有C正確．故選C．【題目點撥】本題考查等比數列的通項公式，考查解一元二次不等式，難點是解一元二次不等式，注意分類討論，本題中需對二次項系數分正負，然后以要對兩根分大小，另外還有一個是相應的一元二次方程是否有實數解分類（本題已經有兩解，不需要這個分類）．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）由，為的中點，可得，又平面，可得，即可證明平面，結合平面，即可證明平面平面；（2）設點到平面的距離為，由等體積法，，即，求解即可.【題目詳解】（1）證明：，為的中點，.又平面，平面，.又，平面.又平面，平面平面.（2）解：由（1）知，平面，平面，.，，，.設點到平面的距離為，由，得，即，，即點到平面的距離為.【題目點撥】本題考查了面面垂直的證明，考查了利用等體積法求點到面的距離，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）或【解題分析】

（1）根據向量平行的坐標公式得出，利用二倍角公式以及弦化切即可得出答案；（2）利用向量的模長公式得出，由二倍角公式以及降冪公式，輔助角公式得出，結合正弦函數的性質得出的值.【題目詳解】（1）由，得，所以.所以.（2）由，得所以，所以，所以.因為，所以，所以或解得或.【題目點撥】本題主要考查了由向量平行求參數，模長公式，簡單的三角恒等變換以及正弦函數的性質的應用，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用等差數列的通項公式和等比數列的性質，可得，則可得通項公式.（2）根據（1）的結論可得，然后利用裂項相消求和，可得結果.【題目詳解】（1）因為各項均不相等，所以公差由等差數列通項公式且，所以，又成等比數列，所以，則，化簡得，所以即可得即（2）由（1）可得化簡可得由所以【題目點撥】本題主要考查利用裂項相消法求和，屬基礎題.20、（1）；（2）5；-2【解題分析】

（1）根據二倍角公式和輔助角公式化簡即可（2）由求出的范圍，再根據函數圖像求最值即可【題目詳解】（1），，令，即單減區間為；（2）由，當時，的最小值為：-2；當時，的最大值為：5【題目點撥】本題考查三角函數解析式的化簡，函數基本性質的求解（周期、單調性、在給定區間的最值），屬于中檔題21、（1）；（2）θ＝時，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為．【解題分析】

（1）根據余弦定理可求得（2）先表示出△ABC的面積及△OA