浙江省溫州市“十五校聯合體”2024屆數學高一下期末達標檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等差數列中，為其前n項和，若，則（）A．60 B．75 C．90 D．1052．已知正三角形ABC邊長為2，D是BC的中點，點E滿足，則（）A． B． C． D．-13．以點為圓心，且經過點的圓的方程為()A． B．C． D．4．有一個容量為200的樣本，樣本數據分組為，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示.根據樣本的頻率分布直方圖估計樣本數據落在區間內的頻數為（）A．48 B．60 C．64 D．725．集合，，則=()A． B． C． D．6．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若α∥β,mα,nβ，則m∥n B．若α⊥β，mα,則m⊥βC．若α⊥β,mα,nβ,則m⊥n D．若α∥β，mα，則m∥β7．已知數列，滿足，若，則（）A． B． C． D．8．已知，則比多了幾項（）A．1 B． C． D．9．已知函數()的最小正周期為，則該函數的圖象()A．關于直線對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于點對稱10．從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動，則甲被選中的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等差數列中，，，則．12．若，點的坐標為，則點的坐標為.13．我國高鐵發展迅速，技術先進．經統計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為___________.14．已知平面向量，若，則________15．函數的最大值為______.16．若函數，的最大值為，則的值是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知曲線上的任意一點到兩定點、距離之和為，直線交曲線于兩點，為坐標原點．（1）求曲線的方程；（2）若不過點且不平行于坐標軸，記線段的中點為，求證：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（3）若直線過點，求面積的最大值，以及取最大值時直線的方程．18．已知，(1)求；(2)求；(3)求19．某廠生產產品的年固定成本為250萬元，每生產千件需另投人成本萬元.當年產量不足80千件時，（萬元）；當年產量不小于80千件時，萬元，每千件產品的售價為50萬元，該廠生產的產品能全部售完.（1）寫出年利潤萬元關于千件的函數關系式；（2）當年產量為多少千件時該廠當年的利潤最大？20．直線經過點，且與圓相交與兩點，截得的弦長為，求的方程.21．如圖，在直三棱柱中，，，，點N為AB中點，點M在邊AB上.（1）當點M為AB中點時，求證：平面；（2）試確定點M的位置，使得平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由條件，利用等差數列下標和性質可得，進而得到結果.【題目詳解】，即，而，故選B.【題目點撥】本題考查等差數列的性質，考查運算能力與推理能力，屬于中檔題.2、C【解題分析】

化簡，分別計算，，代入得到答案.【題目詳解】正三角形ABC邊長為2，D是BC的中點，點E滿足故答案選C【題目點撥】本題考查了向量的計算，將是解題的關鍵，也可以建立直角坐標系解得答案.3、B【解題分析】

通過圓心設圓的標準方程，代入點即可．【題目詳解】設圓的方程為：，又經過點，所以，即，所以圓的方程：．故選B【題目點撥】此題考查圓的標準方程，記住標準方程的一般設法，代入數據即可求解，屬于簡單題目．4、B【解題分析】

由，求出，計算出數據落在區間內的頻率，即可求解.【題目詳解】由,解得，所以數據落在區間內的頻率為，所以數據落在區間內的頻數，故選B.【題目點撥】本題主要考查了頻率分布直方圖，頻率、頻數，屬于中檔題.5、C【解題分析】

根據交集定義直接求解可得結果.【題目詳解】根據交集定義知：故選：【題目點撥】本題考查集合運算中的交集運算，屬于基礎題.6、D【解題分析】

在中，與平行或異面；在中，與相交、平行或；在中，與相交、平行或異面；在中，由線面平行的性質定理得．【題目詳解】由，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，知：在中，若，，，則與平行或異面，故錯誤；在中，若，，則與相交、平行或，故錯誤；在中，若，，，則與相交、平行或異面，故錯誤；在中，若，，則由線面平行的性質定理得，故正確．故選．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．7、C【解題分析】

利用遞推公式計算出數列的前幾項，找出數列的周期，然后利用周期性求出的值.【題目詳解】，且，，，，所以，，則數列是以為周期的周期數列，.故選：C.【題目點撥】本題考查利用數列遞推公式求數列中的項，推導出數列的周期是解本題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8、D【解題分析】

由寫出，比較兩個等式得多了幾項.【題目詳解】由題意，則，那么：，又比多了項.故選：D.【題目點撥】本題考查對函數的理解和帶值計算問題，屬于基礎題.9、D【解題分析】∵函數()的最小正周期為，∴，，令，，，，顯然A，B錯誤；令，可得：，，顯然時，D正確故選D10、C【解題分析】分析：用列舉法得出甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動的事件數，從而可求甲被選中的概率.詳解：從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6種情況，甲被選中的概率為.故選C.點睛：本題考查用列舉法求基本事件的概率，解題的關鍵是確定基本事件，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8【解題分析】

設等差數列的公差為，則，所以，故答案為8.12、【解題分析】試題分析：設，則有，所以，解得，所以.考點：平面向量的坐標運算.13、1．98.【解題分析】

本題考查通過統計數據進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題．【題目詳解】由題意得，經停該高鐵站的列車正點數約為，其中高鐵個數為11+21+11=41，所以該站所有高鐵平均正點率約為．【題目點撥】本題考點為概率統計，滲透了數據處理和數學運算素養．側重統計數據的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據分類抽樣的統計數據，估算出正點列車數量與列車總數的比值．14、1【解題分析】

根據即可得出，解出即可．【題目詳解】∵；∴；解得，故答案為1．【題目點撥】本題主要考查向量坐標的概念，以及平行向量的坐標關系，屬于基礎題.15、【解題分析】

設，，，則，，可得，再根據正弦函數的定義域和值域，求得函數的最值．【題目詳解】解：函數，設，，則，，，，故當，即時，函數，故故答案為：；【題目點撥】本題主要考查求函數的值域，正弦函數的定義域和值域，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．16、【解題分析】

利用兩角差的正弦公式化簡函數的解析式為，由的范圍可得的范圍，根據最大值可得的值.【題目詳解】∵函數＝2（）＝，∵，∴∈[，]，又∵的最大值為，所以的最大值為，即=，解得.故答案為【題目點撥】本題主要考查兩角差的正弦公式的應用，正弦函數的定義域和最值，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析；（3）或【解題分析】

（1）利用橢圓的定義可知曲線為的橢圓，直接寫出橢圓的方程．（2）設直線，設，聯立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理求解KOM，然后推出直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值．（3）設直線方程是與橢圓方程聯立，根據面積公式，代入根與系數的關系，利用換元和基本不等式求最值.【題目詳解】（1）由題意知曲線是以原點為中心，長軸在軸上的橢圓，設其標準方程為，則有，所以，∴.（2）證明：設直線的方程為，設則由可得，即∴，∴，，，∴直線的斜率與的斜率的乘積=為定值（3）點，由可得，，解得∴設當時，取得最大值.此時，即所以直線方程是【題目點撥】本題考查橢圓定義及方程、韋達定理的應用及三角形面積的范圍等問題，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，函數與方程思想，是中檔題．18、（1）；（2）；（3）【解題分析】

利用正弦的二倍角公式，余弦和正切的兩角和公式計算即可得到答案.【題目詳解】因為，，所以.（1）；（2）；（3）【題目點撥】本題考查正弦的二倍角公式，余弦和正切的兩角和公式的應用，屬于簡單題.19、（1）（2）100【解題分析】

（1）由于每生產千件需另投人成本受產量的影響有變化，根據題意，所以分當時和當時，兩種情況進行討論，然后根據利潤的定義寫出解析式.（2）根據（1）的利潤函數為，當時，用二次函數法求最大值；當時，用基本不等式求最大值.最后兩段中取最大的為利潤函數的最大值，相應的x的取值即為此時最大利潤時的產量.【題目詳解】（1）根據題意當時，，當時，，綜上：.（2）由（1）知，當時，，當時，的最大值為950萬.當時，，當且僅當即時取等號，的最大值為1000萬.綜上：當產量為100千件時，該廠當年的利潤最大.【題目點撥】本題主要考查了分段函數的實際應用，還考查了建模，運算求解的能力，屬于驃題.20、或【解題分析】

直線截圓得的弦長為，結合圓的半徑為5，利用勾股定理可得圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式列方程求出直線斜率，由點斜式可得結果.【題目詳解】設直線的方程為，即，因為圓的半徑為5，截得的弦長為所以圓心到直線的距離，即或，∴所求直線的方程為或.【題目點撥】本題主要考查點到直線距離公式以及圓的弦長的求法，求圓的弦長有兩種方法：一是利用弦長公式，結合韋達定理求解；二是利用半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，利用勾股定理求解.21、（1）見解