2021-2022高考數學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

5

1.已知a=log35,h=0.4°?c=log25,則a,b,c的大小關系為（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

2.已知函數y=2sin]2x+?，0<x<,]的圖像與一條平行于x軸的直線有兩個交點，其橫坐標分別為%,9,

則X]+4=（）

3兀71

A.—7D.

46

3.已知函數/（X+1）是偶函數，當xe（l,+8）時，函數/（X）單調遞減，設。=/（一：），。=〃3）,c=/（O）,

則“、b、c的大小關系為（）

A.h<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<b<c

4.已知等差數列｛aj,貝!I“a2>ai”是“數列｛a,,｝為單調遞增數歹U”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

5.已知雙曲線C：5f=1m>0力>0）的焦點為6，F2,且C上點P滿足喝喈=0,冏=3,質1=4,

則雙曲線。的離心率為

?--------D.5

2

Xy2

6.已知雙曲線J=1（aX）,。>0）的左、右焦點分別為E,b,以OF（。為坐標原點）為直徑的圓C交

a~

雙曲線于4B兩點，若直線AE與圓C相切，則該雙曲線的離心率為（）

V2+3V6?272+76八30+26m3夜+述

-------B?-------C.--------D.-------

2222

7.給出下列三個命題:

①“3x0eR,片一2%+1K0”的否定；

②在△ABC中，“B>30°”是“cosB<—”的充要條件；

2

③將函數y=2cos2x的圖象向左平移2個單位長度，得到函數y=2cos（2x+gj的圖象.

其中假命題的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

8.下列判斷錯誤的是（）

A.若隨機變量J服從正態分布44）=0.78,則2）=022

B.已知直線/_]_平面。，直線團//平面/，貝心。///”是的充分不必要條件

C.若隨機變量J服從二項分布：則E（J）=l

D.am>8〃?是a>6的充分不必要條件

9.一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何

體的表面積是（）

正視圖側視圖

俯視圖

A.16a+16萬

B.16夜+8萬

C.80+16萬

D.8&+8乃

10.設復數z滿足忖=干+1,z在復平面內對應的點的坐標為(無田則()

A.x2=2y+lB.y2=2x+1

C.x2=2y-lD.y2=2x-l

/、□log(1-x)x<0/、

11.定義在R上的函數/(x)滿足/(》)=｛二7'八，則”2019)=()

/(x—3)x>0

A.-1B.0C.1D.2

12.函數〃x)=|x|-"的圖象大致為()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知隨機變量X服從正態分布N（4,〃），P（X<6）=0.78,則P（XW2）=.

14.函數y（x）=?（五-4）+x-l的值域為.

x<2

15.若x,y滿足y22x，則x+2y的最小值為.

x+”3

16.已知非零向量”，坂滿足問=2何，且0%）_L￡,則￡與石的夾角為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知數列&｝,也｝滿足4=3,。=1，4+1-2%=22一%,%-4=%-2+1.

⑴求數列｛叫，也｝的通項公式；

（2）分別求數列｛aH｝,｛b,,｝的前〃項和S,,Tn.

18.(12分)已知橢圓G:[+馬=1(。＞?！?),上頂點為8(0,1),離心率為立，直線/:)，=依一2交》軸于C點,

a-b~2

交橢圓于P,。兩點，直線8P,6。分別交x軸于點/，N.

(I)求橢圓G的方程；

(II)求證：S&BOM-S&BCN為定值.

19.(12分)交通部門調查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統計其中有40名男性

駕駛員，其中平均車速超過9()如〃〃的有30人，不超過9(場〃/〃的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速

超過90攵m/〃的有5人，不超過9()切?/〃的有15人.

(1)完成下面的2*2列聯表，并據此判斷是否有99.9%的把握認為，家庭轎車平均車速超過90切〃〃與駕駛員的性

別有關；

平均車速超過9(Um/〃平均車速不超過

合計

的人數90加/〃的人數

男性駕駛員

女性駕駛員

合計

(2)根據這些樣本數據來估計總體，隨機調查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過90k"http://?

的人數為4,假定抽取的結果相互獨立，求J的分布列和數學期望.

3七八4Kn(ad-bc)2

參考公式：K=-------------------------------其中〃=a+/?+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

2

P(K..k0)0.0500.0250.0100.0050.001

k。3.8415.0246.6357.87910.828

20.(12分)在銳角△A8C中，a/,c分別是角A氏C的對邊，m=(2b-c,cosC),百=(a,cosA),且玩//鼠

(1)求角A的大??；

(2)求函數-siifB+cos導28)的值域.

21.(12分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區域用于產品展示，該封閉區域由以。為圓心的半圓及直徑A3

圍成.在此區域內原有一個以。4為直徑、。為圓心的半圓形展示區，該廣告商欲在此基礎上，將其改建成一個凸四邊形

的展示區COPQ,其中P、。分別在半圓。與半圓C的圓弧上，且PQ與半圓。相切于點Q.已知AB長為40米，設

/BOP為2a.(上述圖形均視作在同一平面內)

(1)記四邊形COPQ的周長為/(。),求的表達式；

(2)要使改建成的展示區COPQ的面積最大，求sin。的值.

22.(10分)已知拋物線V=2px(p>0),過點C(-2,0)的直線/交拋物線于A5兩點，坐標原點為。，麗.麗=12.

(1)求拋物線的方程；

(2)當以A3為直徑的圓與)'軸相切時，求直線/的方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

與中間值1比較，a,c可用換底公式化為同底數對數，再比較大小.

【詳解】

11

5

0.4°<1?log35>1,又。<10852<10853,二'^-->----即log25>log：5,

logsZlogsJ

：.c>a>b.

故選：D.

【點睛】

本題考查塞和對數的大小比較，解題時能化為同底的化為同底數哥比較，或化為同底數對數比較，若是不同類型的數,

可借助中間值如0,1等比較.

2.A

【解析】

(3萬0<"rrk冗37r

畫出函數y=2sin2x+—的圖像，函數對稱軸方程為》=-三+丁，由圖可得當與與關于尤

I474O2O

對稱，即得解.

【詳解】

函數y=2sin]2x+30<x<,的圖像如圖,

37r7T

對稱軸方程為2x+二=—+kn(kGZ),

42

兀k兀,、

x--------1------\k￡Z),

82

0八3431

又0<x<—,x=—

48

37r

由圖可得X與々關于對稱,

8

c3乃34

x,+=2x—=—

1-84

故選：A

【點睛】

本題考查了正弦型函數的對稱性，考查了學生綜合分析，數形結合，數學運算的能力，屬于中檔題.

3.A

【解析】

根據“X+1）圖象關于y軸對稱可知/（X）關于X=1對稱，從而得到“X）在（-0）,1）上單調遞增且/⑶=/（一1）；

再根據自變量的大小關系得到函數值的大小關系.

【詳解】

Qf(x+1)為偶函數.?./(x+1)圖象關于)，軸對稱

???/(x)圖象關于x=l對稱

???xe(l,+8)時，“X)單調遞減.?.xw(e,l)時，“X)單調遞增

又/(3)=/(—1)且一1<一；<0即。<〃<c

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查利用函數奇偶性、對稱性和單調性比較函數值的大小關系問題，關鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數的

單調性，通過自變量的大小關系求得結果.

4.C

【解析】

試題分析：根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

解：在等差數列｛aj中，若a2>a”則d>0,即數列｛aj為單調遞增數列，

若數列｛aj為單調遞增數列，則az>ai,成立，

即“a2>ai”是“數列佃,｝為單調遞增數列”充分必要條件，

故選C.

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

5.D

【解析】

根據雙曲線定義可以直接求出。，利用勾股定理可以求出c,最后求出離心率.

【詳解】

依題意得，2a=|PgP用=1,|耳瑪|=「工|f=5,因此該雙曲線的離心率e1^1

|「引一|「用

【點睛】

本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.

【解析】

Qz>

連接C4,AF,可得但。=三，在AAC尸中，由余弦定理得Ab,結合雙曲線的定義，即得解.

【詳解】

連接C4,AF,

則|0C|=|C4|=|CE|=],|0目=c,

所以但。|=5,|FC|=|

在R/AEAC中，|AE|=&c,COSZACE=,

故cosNACF=-cosNACE=」

3

在AACF中，由余弦定理

AF2=C42+CF2-2CACF-COSZACF

可得4尸=逅’.

3

根據雙曲線的定義，得顯一旦c=2a,

3

_c_2_6_3叵+瓜

所以雙曲線的離心率e=%=r-V6=3V2-V6=—2—

__3"

故選：D

【點睛】

本題考查了雙曲線的性質及雙曲線的離心率，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.

7.C

【解析】

結合不等式、三角函數的性質,對三個命題逐個分析并判斷其真假，即可選出答案.

【詳解】

對于命題①，因為片-2/+1=1-1）2N0,所以“上0wR,x；-2/+140”是真命題，故其否定是假命題，即①是假命

題；

對于命題②，充分性:AABC中，若8>30°,則30°<6v180°,由余弦函數的單調性可知,cos180°<cos8<cos30°,即

-1<COSB<—，即可得到cos8〈且，即充分性成立;必要性:AABC中,0°<5<180°,若cosB<—，結合余弦函數

222

的單調性可知,cos1800<cosB<cos30°,gp30°<B<18（）°,可得到B>30",即必要性成立.故命題②正確;

對于命題③,將函數y=2cos2x的圖象向左平移弓個單位長度,可得到y=2cos+=2cos（2x+gJ的圖象，即命

題③是假命題.

故假命題有①③.

故選:C

【點睛】

本題考查了命題真假的判斷，考查了余弦函數單調性的應用，考查了三角函數圖象的平移變換，考查了學生的邏輯推理能

力,屬于基礎題.

8.D

【解析】

根據正態分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識，依次對四

個選項加以分析判斷，進而可求解.

【詳解】

對于A選項，若隨機變量4服從正態分布N（l,4）,P（g44）=0.78,根據正態分布曲線的對稱性，有

P（J?—2）=P（J24）=1—PqW4）=1—0.78=0.22,故A選項正確，不符合題意；

對于8選項，已知直線/，平面直線加//平面￡,則當二//4時一定有/，加，充分性成立，而當/_Lm時，不

一定有二〃夕，故必要性不成立，所以“a〃夕”是的充分不必要條件，故8選項正確，不符合題意；

對于C選項，若隨機變量4服從二項分布：g~d4,；|,則七偌）=〃〃=4、1=1,故。選項正確，不符合題意；

對于。選項，,.?卬%>3加，僅當相>0時有當機<0時，不成立，故充分性不成立；若a>b,僅當相>。

時有。利>為?2,當〃2<0時，am>bm不成立,故必要性不成立.

因而am>bm是a>b的既不充分也不必要條件，故D選項不正確，符合題意.

故選：D

【點睛】

本題考查正態分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識，考查

理解辨析能力與運算求解能力，屬于基礎題.

9.D

【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為

1.4-4>/2+-^22+-^-2-6=8V2+8^,^D.

222

10.B

【解析】

根據共拆復數定義及復數模的求法，代入化簡即可求解.

【詳解】

z在復平面內對應的點的坐標為（x,y）,則2=_￥+加，

z=x-yi9

v|z|=￡1I+i,

112

代入可得=j+],

解得丁=2x+l.

故選：B.

【點睛】

本題考查復數對應點坐標的幾何意義，復數模的求法及共軌復數的概念，屬于基礎題.

11.C

【解析】

推導出/（2019）=/（4O3x5+4）=/（4）=/（-1）=log22,由此能求出“2019）的值.

【詳解】

/、c|log（1-x）x<0

?.?定義在R上的函數〃x）滿足2，I〉。，

/（2019）=/（403x5+4）=/（4）=/（-l）=log22=1,故選c.

【點睛】

本題主要考查函數值的求法，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用，屬于中檔題.

12.A

【解析】

根據函數/（X）的奇偶性和單調性，排除錯誤選項，從而得出正確選項.

【詳解】

因為/（r）=/（x），所以“X）是偶函數，排除c和D.

當x>0時，/（X）=x---,/（x）=------j-----，

XX

令/（x）<0,得0—即“X）在（0,1）上遞減；令尸（耳>0,得x>l,即“X）在0，+8）上遞增.所以“X）

在x=l處取得極小值，排除B.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查函數圖像的識別，考查利用導數研究函數的單調區間和極值，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.0.22.

【解析】

正態曲線關于x=M對稱，根據對稱性以及概率和為1求解即可。

【詳解】

P（X?2）=1-P（X<6）=022

【點睛】

本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題.

14.[3,+oo）

【解析】

利用配方法化簡式子，可得/（x）=2（?-3,然后根據觀察法，可得結果.

【詳解】

函數的定義域為[0,+8）

f（x）==2x-^4x-\

所以函數的值域為［3,+8)

故答案為：［3,+8)

【點睛】

本題考查的是用配方法求函數的值域問題，屬基礎題。

15.5

【解析】

先作出可行域，再做直線/：y=-gx,平移/,找到使直線在y軸上截距最小的點，代入即得。

【詳解】

作出不等式組表示的平面區域，如圖，令z=x+2y,則y=-_Lx+'z,作出直線=平移直線/,由圖可

222

'x=2

得，當直線經過C點時，直線在y軸上的截距最小，由.°,可得C(2,l),因此x+2y的最小值為2+2xl=4.

x+y=3

故答案為：4

【點睛】

本題考查不含參數的線性規劃問題，是基礎題。

16.y(或寫成60°)

【解析】

設3與坂的夾角為。，通過伍-勾立，可得僅一4￡=0,化簡整理可求出cos。，從而得到答案.

【詳解】

設)與A的夾角為。

_La

可得僅-Q)?Q=O,

：.a-b-(a^O

故|G|-W?cose-=0,將Ml=2同代入可得

得到cosO=L,

2

于是7與坂的夾角為

故答案為：y.

【點睛】

本題主要考查向量的數量積運算，向量垂直轉化為數量積為0是解決本題的關鍵，意在考查學生的轉化能力，分析能

力及計算能力.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)a=2"+~+-；h=2n----(2)S=2n+'-2+—+-n；T,=2n+l-2-----n

n22Hn22"4444

【解析】

(1)a?+,+bn+i=2(??+b?),ai+仇=4,可得｛a“+么｝為公比為2的等比數列，?！?1-%=%一2+1可得｛《,一?！保?/p>

為公差為1的等差數列，再算出｛%+〃｝,｛q-2｝的通項公式，解方程組即可；

(2)利用分組求和法解決.

【詳解】

(1)依題意有向rI：〃

(A+1—a+1=%一4+1

又4+々=4；a]-h｝=2.

可得數列｛q,+么｝為公比為2的等比數列，｛q-?！埃秊楣顬?的等差數列,

%+〃,=(%+bJx2i—日

由＜

4一以=〃+1

n1

=2"+-+-

22

解得

n1

——乙-----——

22

故數列｛q｝,也｝的通項公式分別為a“=2"+]+g；々=2"-]一(

⑵—2+%/

遜電」=2用一2上，.

4244

【點睛】

本題考查利用遞推公式求數列的通項公式以及分組求和法求數列的前”項和，考查學生的計算能力，是一道中檔

題.

r21

18.(I)3+9=1：(II)s^OM.s^CN=-,證明見解析?

【解析】

(I)根據題意列出關于。，b,c的方程組，解出“，b,c的值，即可得到橢圓G的方程；

(II)設點尸(內，必)，點。(馬，必)，易求直線阱的方程為：y一1=之二》，令>=0得，/=占，同理可得

XN~；，所以

1-必

113Xx

^^=TX1X|^I><TX3X|XJ=X|—I，聯立直線/與橢圓方程，利用韋達定理代入上式,

22749-3%(玉+w)+左X9

化簡即可得到5八80Mr.可=/.

【詳解】

b=1

a=&

(DM：由題意可知：,￡="

解得"=1

a2

a2=b2+c2C=1

2

；.橢圓G的方程為：y+/=l；

(II)證：設點P8,%),點。(%,當)，

y=kx-2

聯立方程/消去丁得：（1+2公）f_8"+6=0,

8k6

■?9X,X^-z-（X）＞

2122

'1+2公\+2k

,?,點尸a,%),B(點i),

,y.--1x,x.

直線BP的方程為：y—1=2—%,令y=o得，X=o),

為1-yi-y

同理可得0),

if

1i33

???%OM苗…=5X岡X,”IX]X3x|x.|=丁IX”』|=屋I

=-x|-----2-----1=-x|--------^2——；—I,

4(3-kxl)(3-kx2)49-3k(xt+x2)+k"xxx2

6

31+2二361+2/_1

把①式代入上式得：S,B°M?Sg=W=-x

24公6k241+2/92'

■y+-z

1+2公1+2公

,?S&BOM1sBeN為定值5.

【點睛】

本題主要考查直線與橢圓的位置關系、定值問題的求解；關鍵是能夠通過直線與橢圓聯立得到韋達定理的形式，利用

韋達定理化簡三角形面積得到定值；考查計算能力與推理能力，屬于中檔題.

19.(1)填表見解析；有99.9%的把握認為，平均車速超過9()如7/〃與性別有關(2)詳見解析

【解析】

(D根據題目所給數據填寫2x2列聯表，計算出K?的值，由此判斷出有99.9%的把握認為，平均車速超過

與性別有關.

(2)利用二項分布的知識計算出分布列和數學期望.

【詳解】

(1)

平均車速超過9()如〃〃平均車速不超過

合計

的人數90加1/72的人數

男性駕駛員301040

女性駕駛員51520

合計352560

因為_60x(30x15-5x10)2=6x16

?13.71,

40x20x35x257

13.71>10.828,所以有99.9%的把握認為，平均車速超過90k〃與性別有關.

(2)自服從號)即?3，j,

4

27

尸(“。)二4〕用64

(3Y

PC=1)=%27

64

P?=2)=C；

P?=3)=《

所以。的分布列如下

0123

272791

p

64646464

2727913

自的期望E?)=Ox—+lx—+2x3+3'—=巳

646464644

【點睛】

本小題主要考查2x2列聯表獨立性檢驗，考查二項分布分布列和數學期望，屬于中檔題.

(3

20.(1)A——K；(2)—,2

3(2」

【解析】

(1)由向量平行的坐標表示、正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡求得cosA,進而得到A；

(2)利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡函數為y=l+sin(2B-看｝根據3的范圍可確定2B-￡的

范圍，結合正弦函數圖象可確定所求函數的值域.

【詳解】

(1)?.?mlln,???(2Z?—c)cosA-acosC=09

由正弦定理得：(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,

即2sin6cosA-sin(A+C)=2sin3cosA-sin8=0,

,/Be|0,7^1I,sin0?cosA=-,

I2；2

又A￡[0,-j,A71

'Ji7TTT

(2)在銳角△ABC中，A=—,/.—<B<—.

362

\1/a1/、

(萬V371

y=2csi.rr2Bn+cosI—-2B=1-cos2B+—cos2B+——sin28=1+sin28——cos28=l+sin2B--

22T26；

71c式71入n兀5乃—<sinf2B--兀3

,.,一<8<一,—<2B——<—,"1,<y<2

62666269

函數y=2sin2B+cos[^1-2B]的值域為2.

【點睛】

本題考查三角恒等變換、解三角形和三角函數性質的綜合應用問題；涉及到共線向量的坐標表示、利用三角恒等變換

公式化簡求值、正弦定理邊化角的應用、正弦型函數值域的求解等知識.

取_加

21.(1)/⑻=40+200cos。,。G

8

【解析】

（1）由余弦定理的尸。2