專題09技巧方法課之等腰及等邊三角形綜合壓軸題專練（原卷版）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．如圖，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子，其中，、分別與交于、兩點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到；①,②平分；③若，CE=4,則；④若，其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，在等腰直角中，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，的中線與交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，．則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①；②點(diǎn)為中點(diǎn)；③；④；⑤．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．如圖：四個(gè)形狀大小相同的等腰三角形△ABE，△ADF，△CDG，△BCH按如圖擺放在正方形ABCD的內(nèi)部，順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH．若∠AEB＝∠AFD＝∠CGD＝∠BHC＝120°，且EH＝﹣，則BC的長(zhǎng)為（）A． B．4﹣4 C．2 D．24．如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且，過點(diǎn)D、E分別作AB、BC的平行線相交于點(diǎn)F，分別交BC、AB于點(diǎn)H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，；③；④當(dāng)時(shí)，四邊形BHFG為菱形，其中正確結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④5．在平面直角坐標(biāo)系中，等邊如圖放置，點(diǎn)的坐標(biāo)為，每一次將繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到，第二次旋轉(zhuǎn)后得到，…，依次類推，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．6．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分別在線段AB、AC上，AD＝AE，BE和CD交于點(diǎn)N，AF⊥BE交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥CD交AC于點(diǎn)M，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．下列說法：①∠ABE＝∠FAC；②GE＝GM；③BG＝AF+FG；④C△AFM＝BE+CM；⑤S△BDN﹕S△AFC＝CE﹕AC．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題7．已知正△ABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位速度沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒4個(gè)單位速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若以點(diǎn)A，B，C中的兩點(diǎn)和點(diǎn)Q為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△PAC全等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則t的值為__．8．已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________．9．如圖，在銳角△ABC中，點(diǎn)D在線段CA的延長(zhǎng)線上，BC邊的垂直平分線分別交AB邊于點(diǎn)E，交∠BAC的平分線于點(diǎn)M，交BAD的平分線于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作AM的垂線分別交AM于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，點(diǎn)G恰為AB邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AI⊥BC于點(diǎn)I，交OC于點(diǎn)H，連接OA、OB，則下列結(jié)論中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正確的是________．（填序號(hào)）三、解答題10．（1）已知如圖1：△ABC．求作：⊙O，使它經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，并且圓心O在∠A的平分線上（保留作圖痕跡）．（2）如圖2，點(diǎn)F在線段AB上，AD∥BC，AC交DF于點(diǎn)E，∠BAC＝∠ADF，AE＝BC．求證：△ACD是等腰三角形．

11．如圖，直線交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，，點(diǎn)B坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)A交y軸于點(diǎn)C，且．（1）求直線的解析式；（2）點(diǎn)D為線段中垂線l上一點(diǎn)，且位于第一象限，將沿翻折得到，若點(diǎn)恰好落在直線l上，求點(diǎn)D和點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）設(shè)P是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在l上，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，直接寫出的邊長(zhǎng)．12．如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，．將沿對(duì)折得到，交于點(diǎn)F．（1）如圖①，若，，求的度數(shù)；（2）如圖②，若，請(qǐng)說明；（3）若，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，記旋轉(zhuǎn)中的為．在旋轉(zhuǎn)過程中，直線分別與直線、直線交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)M、點(diǎn)N，使與相等？若存在，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．在中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)．（1）如圖1，若，連接DM且，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若為銳角，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，連接EM，，①求證：②若，求的值．14．如圖1，已知等腰直角ΔABC，∠ACB＝90°，在直角邊BC上取一點(diǎn)D，使∠DAC＝15°，以AD為一邊作等邊ΔADE，且AB與DE相交．（1）求證：AB垂直平分DE；（2）連接BE，判斷EB與AC的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，若F為線段AE上一點(diǎn)，且FC＝AC，求的值．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，OA＝OB＝10．（1）求直線AB的解析式；（2）若點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△OBP＝S△OAP時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將直線AB向下平移10個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l，點(diǎn)M，N是直線l上的動(dòng)點(diǎn)（M，N的橫坐標(biāo)分別是xM，xN，且xM＜xN），MN＝4，求四邊形ABNM的周長(zhǎng)的最小值，并說明理由．16．（1）如圖1，等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，DF與BC的延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)，則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是；BE＋BF與的BC數(shù)量關(guān)系是；（寫出結(jié)論即可，不必證明）（2）將（1）中的點(diǎn)E移動(dòng)一定距離（如圖2），DE交AB于E點(diǎn)，DF交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，其中“等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°”這一條件不變，則DE與DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？BE＋BF與BC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并加以證明；（3）將（1）中的點(diǎn)E移動(dòng)到AB延長(zhǎng)線上，DE與AB的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，DF交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)（如圖3），其中“等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°”這一條件仍然不變，則BE、BF、BC這三者之間的數(shù)量關(guān)系是．（直接寫出結(jié)論即可）17．如圖1，若△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC各邊上，則稱△DEF是△ABC的內(nèi)接三角形．（1）如圖2，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是等邊三角形ABC各邊上的點(diǎn)，且AD＝BE＝CF，則△DEF是△ABC的內(nèi)接．A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或等邊三角形D．直角三角形（2）如圖3，已知等邊三角形ABC，請(qǐng)作出△ABC的邊長(zhǎng)最小的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）問題：如圖4，△ABC是不等邊三角形，點(diǎn)D在AB邊上，是否存在△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF？如果存在，如何作出這個(gè)等邊三角形？①探究1：如圖5，要使△DEF是等邊三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我們以點(diǎn)D為角的頂點(diǎn)任作∠EDF＝60°，且DE交BC于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F．我們選定兩個(gè)特殊位置考慮：位置1（如圖6）中的點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，位置2（如圖7）中的點(diǎn)E與點(diǎn)C重合．在點(diǎn)E由位置1中的位置運(yùn)動(dòng)到位置2中點(diǎn)C的過程中，DE逐漸變大而DF逐漸變小后再變大，如果存在某個(gè)時(shí)刻正好DE＝DF，那么這個(gè)等邊三角形DEF就存在（如圖8）．理由：是等邊三角形．②探究2：在BC上任取點(diǎn)E，作等邊三角形DEF（如圖9），并分別作出點(diǎn)E與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合時(shí)的等邊三角形DBF′和DCF″．連接FF'，F(xiàn)F″，證明：FF'+FF″＝BC．③探究3：請(qǐng)根據(jù)以上的探究解決問題：如圖10，△ABC是不等邊三角形，點(diǎn)D在AB邊上，請(qǐng)作出△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）18．如圖1，在等邊的邊和邊上分別取點(diǎn)、，使得，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到圖2所示的圖形．（1）求證：≌；（2）如圖3，若，，且旋轉(zhuǎn)角為45°時(shí)，求的度數(shù)；（3）如圖4，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若旋轉(zhuǎn)至某一位置時(shí)，恰有，，求的值．19．如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)D．（1）試說明點(diǎn)D為的中點(diǎn)；（2）如果，將線段繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，聯(lián)結(jié)、，試說明//；（3）如果的度數(shù)為n，將線段繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°），點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)線段，//，求直線與直線的夾角的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．20．角平分線性質(zhì)定理描述了角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離的關(guān)系，小明發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，還可以得出一些線段比例的關(guān)系．請(qǐng)完成下列探索過程：（研究情景）如圖1，在△ABC中，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D．（初步思考）（1）若AB＝4，BC＝7，則＝；（深入探究）（2）請(qǐng)判斷和之間的數(shù)值關(guān)系，并證明；（應(yīng)用遷移）（3）如圖2，△ABC和△ECD都是等邊三角形，△ABC的頂點(diǎn)A在△ECD的邊ED上，CD交AB于點(diǎn)F，若AE＝4，AD＝2，求△CFB的面積．21．綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以等腰直角三角形為背景探究圖形變化中的數(shù)學(xué)問題．如圖1，將兩張等腰直角三角形紙片重疊擺放在桌面，其中，，，點(diǎn)，在的同側(cè)，點(diǎn)，在線段上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，已知．將從圖1中的位置開始，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（保持不動(dòng)），旋轉(zhuǎn)角為．?dāng)?shù)學(xué)思考：（1）“求索小組”的同學(xué)發(fā)現(xiàn)圖1中，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論；操作探究：（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，“篤行小組”的同學(xué)連接線段，．請(qǐng)從下面A，B兩題中任選一題作答．我選擇________題．A．①猜想，滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若，請(qǐng)直接寫出時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離；B．①猜想，滿足的位置關(guān)系，并說明理由；②若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)落在延長(zhǎng)線時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離．

22．閱讀下列材料，并解答其后的問題：定義：有一組鄰邊相等且有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．如圖1，若AB＝AD，∠A+∠C＝180°，則四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形．（1）理解：如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出點(diǎn)D，使得以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等補(bǔ)四邊形；（只需作出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)D即可．要求不用寫作法，但要保留作圖痕跡．）（2）探究：如圖3，等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD是對(duì)角線．求證：BD平分∠ADC；（3）運(yùn)用：將斜邊相等的兩塊三角板如圖4放置，其中含45°角的三角板ABC的斜邊與含30°角的三角板ADC的斜邊重合，B、D位于AC的兩側(cè)，AB＝BC＝4，連接BD．則BD的長(zhǎng)為．23．同學(xué)們學(xué)習(xí)了全等三角形，知道其重要應(yīng)用是通過全等三角形證明角相等或邊相等，進(jìn)而求角度或邊長(zhǎng)．有些題目不能直接得全等三角形時(shí)，需要根據(jù)條件購造全等三角形，當(dāng)遇到等腰直角三角形時(shí)我們可以利用兩條相等的腰及頂角90°，來構(gòu)造全等的兩個(gè)直角三角形，從而解決問題．（1）發(fā)現(xiàn)，如圖1，已知等腰直角△ABC，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作CP的垂線交CP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作CP的垂線，垂足為點(diǎn)F，若BF＝7，AE＝3，則EF＝；（2）探索：如圖2，已知等腰直角△ABC，點(diǎn)E是內(nèi)部一點(diǎn)，且CE＝4，AE垂直CE，連接BE，求△BCE的面積；（3）應(yīng)用：如圖3，已知鈍角三角形ABC（∠ACB＞90°），∠A＝45°，以BC為邊在直線BC與點(diǎn)A同側(cè)的位置作等腰直角△BCD，過點(diǎn)D作DE垂直AB，垂足為點(diǎn)E，則線段AE與線段BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？并請(qǐng)說明由．24．已知：菱形中，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，連接、，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接、，，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，分別連接、，、交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求菱形的面積．25．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，在備用圖中畫出直線，再求直線的函數(shù)解析式；（3）點(diǎn)是直線與直線l的交點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．26．同學(xué)們，等邊三角形、等腰直角三角形都是最常見的幾何圖形．（1）如圖1，以等邊的邊為腰作等腰直角，其中，，點(diǎn)、點(diǎn)都是在的同側(cè)，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，作平分交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，將圖（1）的沿著翻折得到，連接，為中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，請(qǐng)猜測(cè)、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

27．如圖，在中，為中點(diǎn)，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，在右側(cè)作等邊直線與直線交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)），是否仍然成立，請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)在射線運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．28．（問題情境）如圖①，小區(qū)、位于一條筆直的道路的同側(cè)，為了方便，兩個(gè)小區(qū)居民投放垃圾，現(xiàn)在上建一個(gè)垃圾分類站，使得與，的距離之比為．（初步研究）（1）在線段上作出點(diǎn)，使．如圖，做法如下：第一步：過點(diǎn)作射線，以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)．第二步：連接，作，交于點(diǎn)．則點(diǎn)即為所求．請(qǐng)證明所作的點(diǎn)滿足．（深入思考）（2）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線外，且．求證：是的平分線．（問題解決）（3）如圖，已知點(diǎn)，和直線，點(diǎn)在線段上，且．用直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）（ⅰ）在直線上作出點(diǎn)（異于點(diǎn)），使；（ⅱ）在直線上作出點(diǎn)，使．29．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點(diǎn)A