2021學(xué)年第二學(xué)期杭州市高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題卷

考生須知：

1.本試卷分試題卷和答題卡兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，必須在答題卡指定位置上用黑筆填寫學(xué)校名、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位

號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字涂黑。

3.答案必須寫在答題卡相應(yīng)的位置上，寫在其他地方無(wú)效。

選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只

有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分.

I.若復(fù)數(shù)Z滿足z（l+i）=2i（i為虛數(shù)單位），則Z=（）

A.—1-?B.-1+iC.1—iD.1+i

2.已知X,y∈R,則"孫=0"是“/+V=O”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)∕n∈（0,1）,若α=lgw7,b=?gm2,C=（Igm）2,則（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

4.函數(shù)y=Λβ（x20）和y=0r（x20）在同一坐標(biāo)系下的圖象可能是（）

5.為預(yù)防病毒感染，學(xué)校每天定時(shí)對(duì)教室進(jìn)行噴灑消毒.已知教室內(nèi)每立方米空氣

中的含藥量y（單位：mg）隨時(shí)間X（單位：h）的變

化如圖所示，在藥物釋放過(guò)程中，y與X成正比；藥物i∣-A

釋放完畢后，y與X的函數(shù)關(guān)系式為尸（曠“為

常數(shù)），則（）??

A.當(dāng)OWXWo.2時(shí)，y=4x，1~r

x-θ.ι0I0.2X

B.當(dāng)rx>0.2時(shí)l，y=（zJιλ（第4題）

C.券小時(shí)后，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量降低到0?25mg以下

D.If小時(shí)后，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量降低到0.25mg以下

6.已知…，。〃是單位平面向量，若對(duì)任意的IWivj'W"（∕ι∈N*）,都有

ai?aj<?,則”的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

高一教學(xué)?第I頁(yè)（共4頁(yè)）

7.古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究了如圖所示的兒何圖形.該圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，直

徑分別為RtZXABC的斜邊BC直角邊AB和Ae已知以直角邊AC,AB為直徑

的半圓的面積之比為點(diǎn)設(shè)/ABC=a則鬻需=(

A.-1B.-2

C.0D.1

8.設(shè)函數(shù)y=∕α)(x≠0),對(duì)于任意正數(shù)為，冗2(XI≠M(fèi))，(第7題)

都有力#(31)-W∕(%2)

>0.已知函數(shù)y=∕α+l)的圖象關(guān)

×l-×2

于點(diǎn)(-1,0)成中心對(duì)稱，若/(1)=1,則Fa)43的解集為()

A.[-1,0)U(0,1]B.(一8,-l]U(0,1]

C.(-∞,-1]U[∣,+oo)D.[-1,0)U[l,+∞)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得2分.

9.已知關(guān)于X的不等式加+bx+c>0的解集為｛x|-3<xV2｝,則()

A.a<0B.a+b+c>0

C.不等式bx+c>0的解集為｛x∣x>6｝

D.不等式cx2+bx+a<0的解集為｛x∣-%4

10.下列四個(gè)正方體圖形中，A,8為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,P分別為其所在

11.已知。，b是單位向量，且α+b=(l,—1),則()

A.?a+b?=2B.。與b垂直

C.。與。一方的夾角為3D.∣α-?∣=1

12.在aABC中，a9b,C分別為NA,NB,NC的對(duì)邊，()

A.若:?=M?則4ABC為等腰三角形

SInBSInA

B.若T=號(hào)，則ZkABC為等腰三角形

cosβCOSi4

C.若α=6sinC+ccos8,則NC=E

D.若tanA+tanB+tanC<O,則aABC為鈍角三角形

高一數(shù)學(xué)?第2頁(yè)(共4頁(yè))

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)4=1og34,則32U=.

14.函數(shù)y=cos(∕+%^cosχ-cos2x的最小正周期為

15.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家構(gòu)造的一個(gè)幾何模

型.如圖1,正方體的棱長(zhǎng)為2,用一個(gè)底面直徑

為2的圓柱去截該正方體，沿著正方體的前后方向

和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個(gè)牟

合方蓋（如圖2）.已知這個(gè)牟合方蓋與正方體內(nèi)

切球的體積之比為4：π,則正方體除去牟合方蓋后

剩余部分的體積為_(kāi)______.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P以每秒5的角速度

從點(diǎn)A出發(fā)，沿半徑為2的上半圓逆時(shí)針移動(dòng)到B,

再以每秒三的角速度從點(diǎn)8沿半徑為1的下半圓逆時(shí)針

移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)0,則上述過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y

關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字

說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（本題滿分10分）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利工具.如圖筒車的半徑為4m,

軸心。距離水面2m,筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒.已知該筒車按逆時(shí)針勻

速旋轉(zhuǎn),2分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，且當(dāng)筒車上的某個(gè)盛水筒P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)PO）

開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.

（1）將點(diǎn)尸距離水面的距離Z（單位：m.在水面下時(shí)Z為負(fù)數(shù)）表示為時(shí)間

f（單位：分鐘）的函數(shù)；

（2）已知盛水筒Q與P相鄰，。位于P的逆時(shí)針?lè)?/p>

向一側(cè).若盛水筒P和。在水面上方，且距離

水面的高度相等，求r的值.

（第20題）

18.（本題滿分12分）

在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為4,b,c,且Z>="（sinC+cosC）.

（1）求A；

（2）在①α=2,②8=全③c=√∑6這三個(gè)條件中，選出其中的兩個(gè)條件,

使得aABC唯一確定.并解答之.

若,,求ZXABC的面積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

高一教學(xué)?第3頁(yè)（共4頁(yè)）

19.(本題滿分12分)如圖，在aABC中，已知CA=I,CB=2,ZACB=60o.

(1)求B；

(2)已知點(diǎn)。在AB邊上，而=2而，點(diǎn)E在

CB邊上，BE=λBC,是否存在非零實(shí)數(shù)九

使得族，而？若存在，求出入的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(本題滿分12分)已知((IOg2%)=αx2-2x+1—a,α∈R.

(1)求/(x)的解析式；

(2)解關(guān)于X的方程F(X)=(。-1)41

21.(本題滿分12分)

如圖，在等腰梯形A8C。中，AB=2√2,CD=y∕2,AD=I,在等腰梯形CDEF

中，EF=2√2,DE=岳,將等腰梯形CDEf沿CO所在的直線翻折，使得E,

F在平面A8CZ)上的射影恰好與A,B重合.

(1)求證：平面AoE_L平面

ABCD↑

(2)求直線BE與平面ADE

所成角的正弦值.

22.(本題滿分12分)

數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：SinX=Lm+…,其中〃!=lχ2χ3χ…x〃,利用該公式可

以得到：當(dāng)X￡(0,時(shí)，sinx<x;sinx>χ—-；sinx<χ—-+—；....

3!3!5!

(1)證明：當(dāng)x∈(θ,§時(shí)，等>3

(2)設(shè))(x)=ZnSinX,當(dāng)/(x)的定義域?yàn)椋郐?句時(shí),值域也為［α,b},則稱［α,h］

為AX)的“和諧區(qū)間當(dāng)m=-2時(shí)?，/(x)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，

求出/(x)的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

高一數(shù)學(xué)?第4頁(yè)(共4頁(yè))

2021學(xué)年第二學(xué)期杭州市高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題卷參考答案

選擇題

12_34_5_678

DBCCDCAB

二、選擇題

9.ABD10.AD11.BC12.ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

β(2SinN0<t≤2

13.1614.π15.-16./(t)={/

3)sing(t-2)+τr],2<t≤5

四、解答題：本題共6小題，共70分.

17.(1)以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y),

由題意，得OJ-Ttiφ———,

所以z=4sin(πt—，)+2,所以

(2)易知，點(diǎn)?？v坐標(biāo)y=4sinπf,

點(diǎn)P縱坐標(biāo)y=4sin(πt-J

由題意,得SinTU=Sin(πt-J

解得∕=%+3kSZ,

由盛水筒尸和。在水面上方，得4sinm>—2,

所以2%兀一~<π∕≤2?π+--,?∈Z,

66

所以t=2k+Z,k∈Z,

12

因?yàn)?>0,所以『=2攵+5，?∈N.

18.(1)由正弦定理=4—,得SinB=SinA(SinC+cosC),

SI∏J4SinB

Λsin(A÷C)=sinΛ(sinC+cosC),

展開(kāi)，整理得CoSA=SinA,即ta∏A=l,

又OVAVJt,所以A=T.

4

高一數(shù)學(xué)?第I頁(yè)(共4頁(yè))

(2)方案一：選①和②.

αsin8

由正弦定理就=亮得b==√6,

SirL4

由余弦定理b1=cΓ+C1—IaccosB,得c=√5+l,

所以AABC的面積S=±I

2

方案二：選①和③.

由余弦定理a2=?2+C2-2?ccosΛ,得4=?2÷2fe2-2??√2??y,

解得b—2.c=2√L

.?.∕+∕=C2=8,所以4ABC為直角三角形，

所以AABC的面積5=2.

19.(1)在三角形ABC中，由余弦定理AB2=CFfCA?—2CB?CA?cosC,

解得AB=√5,

因?yàn)镃OSB="B2+BC2-4C2=3,所以B=E

2BCAB26

(2)因?yàn)锳E-CD^(AC+CE)?(CA+AD)^iAC+(?-λyCB]-(CA+λAB)

=[λ?C+(l-λ)Aβ]?(C?+>.AB)

=-λAC2+λ(↑~λ)AB2

=—λ~?~3λ(↑—λ)=09

所以∕=∣.

20.(1)設(shè)log2x=/,即x=2',則/⑺="?(2')2-2?2'+l-4.

所以/a)=。。')?—2?2*+l-4.

(2)由/(x)=(α-l)?4,,得22t-2?2*+l-α=0,即(2*—1)=。,

當(dāng)“<0時(shí)，方程無(wú)解；

當(dāng)α?0i?,解得2'=1±√H,

(i)若0Wa<l,則x=k>g2(l±√≡),

(ii)若心1,則X=IOg2(1+√H).

21.(1)證明：F在平面ABCZ)上的射影恰好與A,B重合,

.?.AEmABCD,又YAEu平面ADE,

平面AOfLL平面ABaλ

(2)如圖1,分別延長(zhǎng)A。，BC交于點(diǎn)、G,

如圖2,過(guò)C,。作邊AB的垂線，垂足為M,N,L≤

(第21題圖1)

高一數(shù)學(xué)?第2頁(yè)(共4頁(yè))

由等腰梯形的性質(zhì)得AN=￥，CD

又，：AD=1,Λ∕ANE)=45°,同理∕BCM=45°,PXK

而CMUDN,：.ADlBC,即BGLAG."M"與，

(第21題圖2)

又Y平面4。En平面ABCD=4D,平面ADE_L

平面A8CD,AGc^zffiABCD,

.?.BG，平面ADE,.?.直線BE與平面AnE所成角為NBGE,且/BGE為直角.

：在等腰梯形ABCD中AB∕∕CC,AB=2CD,BC=AO=I,

.,.BG=2BC=2,

由AE_L平面ABC￡>,：.AELAD,AELAB,

RDE=GD4=1,ΛB=2√2,

.?.AE=2,BE=2√3,.XinNBEG=黑號(hào)，

故直線BE