上海市浦東新區市級名校2024屆數學高一下期末監測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在平面直角坐標系xOy中，點P（2，–1）到直線l：4x–3y+4=0的距離為（）A．3 B． C．1 D．32．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么互斥而不對立的事件是（）A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．恰有一個紅球與恰有二個紅球D．至少有一個紅球與至少有一個白球3．某學校高一、高二、高三教師人數分別為100、120、80，為了解他們在“學習強國”平臺上的學習情況，現用分層抽樣的方法抽取容量為45的樣本，則抽取高一教師的人數為（）A．12 B．15 C．18 D．304．直線與直線垂直，則的值為（）A．3 B． C．2 D．5．已知向量，且，則的值為（）A． B． C． D．6．下列不等式正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．已知各項為正數的等比數列中，，，則公比q＝A．4 B．3 C．2 D．8．把一個已知圓錐截成個圓臺和一個小圓錐，已知圓臺的上、下底面半徑之比為，母線長為，則己知圓錐的母線長為（）.A． B． C． D．9．已知是定義在上的奇函數，當時，，那么不等式的解集是（）A． B．C． D．10．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某班級有50名學生，現用系統抽樣的方法從這50名學生中抽出10名學生，將這50名學生隨機編號為1~5號，并按編號順序平均分成10組（1~5號，12．正項等比數列中，為數列的前n項和，，則的取值范圍是____________．13．在直角梯形.中，，分別為的中點，以為圓心，為半徑的圓交于，點在上運動（如圖）.若，其中，則的最大值是________.14．若，且，則的最小值為_______.15．已知三棱錐外接球的表面積為，面，則該三棱錐體積的最大值為____。16．設，且，則的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設數列是等差數列，其前n項和為；數列是等比數列，公比大于0，其前項和為．已知，，，．（1）求數列和數列的通項公式；（2）設數列的前n項和為，若對任意的恒成立，求實數m的取值范圍．18．已知數列滿足,,,.(1)證明:數列是等比數列;(2)求數列的通項公式;(3)證明:.19．某校為了了解學生每天平均課外閱讀的時間（單位：分鐘)，從本校隨機抽取了100名學生進行調查，根據收集的數據，得到學生每天課外閱讀時間的頻率分布直方圖，如圖所示，若每天課外閱讀時間不超過30分鐘的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根據頻率分布直方圖，估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數及平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表).20．已知.（1）若三點共線，求的關系；（2）若,求點的坐標.21．某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時間內每個技工加工的合格零件數，按十位數字為莖，個位數字為葉得到的莖葉圖如圖所示．已知甲、乙兩組數據的平均數都為10.（1）求的值；（2）分別求出甲、乙兩組數據的方差和，并由此分析兩組技工的加工水平；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由點到直線距離公式計算．【題目詳解】．故選：A．【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式，掌握距離公式是解題基礎．點到直線的距離為．2、C【解題分析】

從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，不同的取球情況共有以下幾種：3個球全是紅球；2個紅球和1個白球；1個紅球2個白球；3個全是白球.選項A中，事件“都是紅球”是事件“至少有一個紅球”的子事件；選項B中，事件“至少有一個紅球”與事件“都是白球”是對立事件；選項D中，事件“至少有一個紅球”與事件“至少有一個白球”的事件為“2個紅球1個白球”與“1個紅球2個白球”；選項C中，事件“恰有一個紅球”與事件“恰有2個紅球”互斥不對立，故選C.3、B【解題分析】

由分層抽樣方法即按比例抽樣，運算即可得解.【題目詳解】解：由分層抽樣方法可得抽取高一教師的人數為，故選：B.【題目點撥】本題考查了分層抽樣方法，屬基礎題.4、A【解題分析】

根據兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【題目詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A【題目點撥】本小題主要考查兩條直線垂直的條件，屬于基礎題.5、B【解題分析】

由向量平行可構造方程求得結果.【題目詳解】，解得：故選：【題目點撥】本題考查根據向量平行求解參數值的問題，關鍵是明確兩向量平行可得.6、B【解題分析】試題分析：A.若c<0，則不等號改變，若c=0，兩式相等，故A錯誤；B.若，則，故，故B正確；C.若b=0，則表達是不成立故C錯誤；D.c=0時錯誤.考點：不等式的性質.7、C【解題分析】

由，利用等比數列的性質，結合各項為正數求出，從而可得結果.【題目詳解】，，，，故選C.【題目點撥】本題主要考查等比數列的性質，以及等比數列基本量運算，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力，屬于簡單題.8、B【解題分析】

設圓錐的母線長為，根據圓錐的軸截面三角形的相似性，通過圓臺的上、下底面半徑之比為來求解.【題目詳解】設圓錐的母線長為，因為圓臺的上、下底面半徑之比為，所以，解得.故選：B【題目點撥】本題主要考查了旋轉體軸截面中的比例關系，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.9、B【解題分析】

根據奇函數的性質求出的解析式，然后分類討論求出不等式的解集.【題目詳解】因為是定義在上的奇函數，所以有，顯然是不等式的解集；當時，；當時，，綜上所述：不等式的解集是，故本題選B.【題目點撥】本題考查了利用奇函數性質求解不等式解集問題，考查了分類思想，正確求出函數的解析式是解題的關鍵.10、C【解題分析】

根據并集的求法直接求出結果.【題目詳解】∵，∴，故選C.【題目點撥】考查并集的求法，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、33【解題分析】試題分析：因為是從50名學生中抽出10名學生，組距是5，∵第三組抽取的是13號，∴第七組抽取的為13+4×5=33．考點：系統抽樣12、【解題分析】

利用結合基本不等式求得的取值范圍【題目詳解】由題意知，，且，所以，當且僅當等號成立，所以.故答案為：【題目點撥】本題考查等比數列的前n項和及性質，利用性質結合基本不等式求最值是關鍵13、【解題分析】

建立直角坐標系，設，根據，表示出，結合三角函數相關知識即可求得最大值.【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系：，分別為的中點，，以為圓心，為半徑的圓交于，點在上運動，設，，即，，所以，兩式相加：，即，要取得最大值，即當時，故答案為：【題目點撥】此題考查平面向量線性運算，處理平面幾何相關問題，涉及三角換元，轉化為求解三角函數的最值問題.14、【解題分析】

將變換為，展開利用均值不等式得到答案.【題目詳解】若，且，則時等號成立.故答案為【題目點撥】本題考查了均值不等式，“1”的代換是解題的關鍵.15、【解題分析】

根據球的表面積計算出球的半徑.利用勾股定理計算出三角形外接圓的半徑，根據正弦定理求得的長，再根據圓內三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【題目詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【題目點撥】本小題主要考查外接球有關計算，考查三棱錐體積的最大值的計算，屬于中檔題.16、【解題分析】

通過可求得x的取值范圍，接著利用反正弦函數的定義可得的取值范圍.【題目詳解】，，即.由反正弦函數的定義可得，即的取值范圍為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查余弦函數的定義域和值域，反正弦函數的定義，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；（2）【解題分析】

(1)根據等比數列與等差數列,分別設公比與公差再用基本量法求解即可.(2)由(1)有再錯位相減求解,利用不等式恒成立的方法求解即可.【題目詳解】解：（1）設等比數列的公比為q,由,,可得．∵,可得．故；設等差數列的公差為d,由,得,由,得,∴．故；（2）根據題意知,①②①—②得∴,對任意的恒成立,∴【題目點撥】本題主要考查了等差等比數列的基本量求解方法以及錯位相減和不等式恒成立的問題.屬于中檔題.18、(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.【解題分析】

（1）由，得，即可得到本題答案；（2）由，得，即可得到本題答案；（3）當時，滿足題意；若n是偶數，由，可得；當n是奇數,且時，由，可得，綜上，即可得到本題答案.【題目詳解】(1)因為，所以，因為，所以，所以數列是等比數列；(2)因為，所以，所以，又因為，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以；(3)①當時，；②若n是偶數，則，所以當n是偶數時，；③當n是奇數，且時，；綜上所述，當時，.【題目點撥】本題主要考查利用構造法證明等比數列并求通項公式，以及數列與不等式的綜合問題.19、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位數估計值為32，平均數估計值為32.5.【解題分析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質列出方程組，能求出，；（Ⅱ）由頻率分布直方圖，能估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數及平均值．【題目詳解】（Ⅰ)由題意得，解得（Ⅱ)設該校學生每天課外閱讀時間的中位數估計值為，則解得：.該校學生每天課外閱讀時間的平均數估計值為：.答：該校學生每天課外閱讀時間的中位數估計值為32，平均數估計值為32.5.【題目點撥】本題考查頻率、中位數、平均數的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．20、（1）a+b=2；（2）(5,-3).【解題分析】

（1）求出和的坐標，然后根據兩向量共線的等價條件可得所求關系式．（2）求出的坐標，根據得到關于的方程組，解方程組可得所求點的坐標．【題目詳解】由題意知，，．（1）∵三點共線，∴∥，∴，∴．(2)∵，∴，∴，解得，∴點的坐標為．【題目點撥】本題考查向量共線的應用，解題的關鍵是把共線表示為向量的坐標的形式，進而轉化為數的運算的問題，屬于基礎題．21、（1）；（2）,乙組加工水平高．【解題分析】

（1）根據甲、乙兩組數據的平均數都是