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文檔簡介
上海市浦東新區(qū)市級名校2024屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(2,–1)到直線l:4x–3y+4=0的距離為()A.3 B. C.1 D.32.從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球,那么互斥而不對立的事件是()A.至少有一個(gè)紅球與都是紅球B.至少有一個(gè)紅球與都是白球C.恰有一個(gè)紅球與恰有二個(gè)紅球D.至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球3.某學(xué)校高一、高二、高三教師人數(shù)分別為100、120、80,為了解他們在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”平臺上的學(xué)習(xí)情況,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取容量為45的樣本,則抽取高一教師的人數(shù)為()A.12 B.15 C.18 D.304.直線與直線垂直,則的值為()A.3 B. C.2 D.5.已知向量,且,則的值為()A. B. C. D.6.下列不等式正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則7.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中,,,則公比q=A.4 B.3 C.2 D.8.把一個(gè)已知圓錐截成個(gè)圓臺和一個(gè)小圓錐,已知圓臺的上、下底面半徑之比為,母線長為,則己知圓錐的母線長為().A. B. C. D.9.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,那么不等式的解集是()A. B.C. D.10.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},則A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.某班級有50名學(xué)生,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從這50名學(xué)生中抽出10名學(xué)生,將這50名學(xué)生隨機(jī)編號為1~5號,并按編號順序平均分成10組(1~5號,12.正項(xiàng)等比數(shù)列中,為數(shù)列的前n項(xiàng)和,,則的取值范圍是____________.13.在直角梯形.中,,分別為的中點(diǎn),以為圓心,為半徑的圓交于,點(diǎn)在上運(yùn)動(如圖).若,其中,則的最大值是________.14.若,且,則的最小值為_______.15.已知三棱錐外接球的表面積為,面,則該三棱錐體積的最大值為____。16.設(shè),且,則的取值范圍是______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為;數(shù)列是等比數(shù)列,公比大于0,其前項(xiàng)和為.已知,,,.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.已知數(shù)列滿足,,,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)證明:.19.某校為了了解學(xué)生每天平均課外閱讀的時(shí)間(單位:分鐘),從本校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)收集的數(shù)據(jù),得到學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的頻率分布直方圖,如圖所示,若每天課外閱讀時(shí)間不超過30分鐘的有45人.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)及平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表).20.已知.(1)若三點(diǎn)共線,求的關(guān)系;(2)若,求點(diǎn)的坐標(biāo).21.某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件,在單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)技工加工的合格零件數(shù),按十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉得到的莖葉圖如圖所示.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為10.(1)求的值;(2)分別求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和,并由此分析兩組技工的加工水平;
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】
由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算.【題目詳解】.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式,掌握距離公式是解題基礎(chǔ).點(diǎn)到直線的距離為.2、C【解題分析】
從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球,不同的取球情況共有以下幾種:3個(gè)球全是紅球;2個(gè)紅球和1個(gè)白球;1個(gè)紅球2個(gè)白球;3個(gè)全是白球.選項(xiàng)A中,事件“都是紅球”是事件“至少有一個(gè)紅球”的子事件;選項(xiàng)B中,事件“至少有一個(gè)紅球”與事件“都是白球”是對立事件;選項(xiàng)D中,事件“至少有一個(gè)紅球”與事件“至少有一個(gè)白球”的事件為“2個(gè)紅球1個(gè)白球”與“1個(gè)紅球2個(gè)白球”;選項(xiàng)C中,事件“恰有一個(gè)紅球”與事件“恰有2個(gè)紅球”互斥不對立,故選C.3、B【解題分析】
由分層抽樣方法即按比例抽樣,運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解:由分層抽樣方法可得抽取高一教師的人數(shù)為,故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣方法,屬基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】
根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程,解方程求得的值.【題目詳解】由于直線與直線垂直,所以,解得.故選:A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查兩條直線垂直的條件,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】
由向量平行可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】,解得:故選:【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)向量平行求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是明確兩向量平行可得.6、B【解題分析】試題分析:A.若c<0,則不等號改變,若c=0,兩式相等,故A錯(cuò)誤;B.若,則,故,故B正確;C.若b=0,則表達(dá)是不成立故C錯(cuò)誤;D.c=0時(shí)錯(cuò)誤.考點(diǎn):不等式的性質(zhì).7、C【解題分析】
由,利用等比數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合各項(xiàng)為正數(shù)求出,從而可得結(jié)果.【題目詳解】,,,,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),以及等比數(shù)列基本量運(yùn)算,意在考查靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力,屬于簡單題.8、B【解題分析】
設(shè)圓錐的母線長為,根據(jù)圓錐的軸截面三角形的相似性,通過圓臺的上、下底面半徑之比為來求解.【題目詳解】設(shè)圓錐的母線長為,因?yàn)閳A臺的上、下底面半徑之比為,所以,解得.故選:B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體軸截面中的比例關(guān)系,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出的解析式,然后分類討論求出不等式的解集.【題目詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),所以有,顯然是不等式的解集;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,綜上所述:不等式的解集是,故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用奇函數(shù)性質(zhì)求解不等式解集問題,考查了分類思想,正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.10、C【解題分析】
根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【題目詳解】∵,∴,故選C.【題目點(diǎn)撥】考查并集的求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、33【解題分析】試題分析:因?yàn)槭菑?0名學(xué)生中抽出10名學(xué)生,組距是5,∵第三組抽取的是13號,∴第七組抽取的為13+4×5=33.考點(diǎn):系統(tǒng)抽樣12、【解題分析】
利用結(jié)合基本不等式求得的取值范圍【題目詳解】由題意知,,且,所以,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及性質(zhì),利用性質(zhì)結(jié)合基本不等式求最值是關(guān)鍵13、【解題分析】
建立直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù),表示出,結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識即可求得最大值.【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系:,分別為的中點(diǎn),,以為圓心,為半徑的圓交于,點(diǎn)在上運(yùn)動,設(shè),,即,,所以,兩式相加:,即,要取得最大值,即當(dāng)時(shí),故答案為:【題目點(diǎn)撥】此題考查平面向量線性運(yùn)算,處理平面幾何相關(guān)問題,涉及三角換元,轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問題.14、【解題分析】
將變換為,展開利用均值不等式得到答案.【題目詳解】若,且,則時(shí)等號成立.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了均值不等式,“1”的代換是解題的關(guān)鍵.15、【解題分析】
根據(jù)球的表面積計(jì)算出球的半徑.利用勾股定理計(jì)算出三角形外接圓的半徑,根據(jù)正弦定理求得的長,再根據(jù)圓內(nèi)三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值,由此求得三棱錐體積的最大值.【題目詳解】畫出圖像如下圖所示,其中是外接球的球心,是底面三角形的外心,.設(shè)球的半徑為,三角形外接圓的半徑為,則,故在中,.在三角形中,由正弦定理得.故三角形為等邊三角形,其高為.由于為定值,而三角形的高等于時(shí),三角形的面積取得最大值,由于為定值,故三棱錐的體積最大值為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查外接球有關(guān)計(jì)算,考查三棱錐體積的最大值的計(jì)算,屬于中檔題.16、【解題分析】
通過可求得x的取值范圍,接著利用反正弦函數(shù)的定義可得的取值范圍.【題目詳解】,,即.由反正弦函數(shù)的定義可得,即的取值范圍為.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域,反正弦函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);;(2)【解題分析】
(1)根據(jù)等比數(shù)列與等差數(shù)列,分別設(shè)公比與公差再用基本量法求解即可.(2)由(1)有再錯(cuò)位相減求解,利用不等式恒成立的方法求解即可.【題目詳解】解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由,,可得.∵,可得.故;設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由,得,由,得,∴.故;(2)根據(jù)題意知,①②①—②得∴,對任意的恒成立,∴【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差等比數(shù)列的基本量求解方法以及錯(cuò)位相減和不等式恒成立的問題.屬于中檔題.18、(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.【解題分析】
(1)由,得,即可得到本題答案;(2)由,得,即可得到本題答案;(3)當(dāng)時(shí),滿足題意;若n是偶數(shù),由,可得;當(dāng)n是奇數(shù),且時(shí),由,可得,綜上,即可得到本題答案.【題目詳解】(1)因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕詳?shù)列是等比數(shù)列;(2)因?yàn)椋裕裕忠驗(yàn)椋裕允且詾槭醉?xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以,所以;(3)①當(dāng)時(shí),;②若n是偶數(shù),則,所以當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),;③當(dāng)n是奇數(shù),且時(shí),;綜上所述,當(dāng)時(shí),.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用構(gòu)造法證明等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式,以及數(shù)列與不等式的綜合問題.19、(Ⅰ);(Ⅱ)中位數(shù)估計(jì)值為32,平均數(shù)估計(jì)值為32.5.【解題分析】
(Ⅰ)由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組,能求出,;(Ⅱ)由頻率分布直方圖,能估計(jì)該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)及平均值.【題目詳解】(Ⅰ)由題意得,解得(Ⅱ)設(shè)該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)估計(jì)值為,則解得:.該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)估計(jì)值為:.答:該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)估計(jì)值為32,平均數(shù)估計(jì)值為32.5.【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率、中位數(shù)、平均數(shù)的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.20、(1)a+b=2;(2)(5,-3).【解題分析】
(1)求出和的坐標(biāo),然后根據(jù)兩向量共線的等價(jià)條件可得所求關(guān)系式.(2)求出的坐標(biāo),根據(jù)得到關(guān)于的方程組,解方程組可得所求點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】由題意知,,.(1)∵三點(diǎn)共線,∴∥,∴,∴.(2)∵,∴,∴,解得,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量共線的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是把共線表示為向量的坐標(biāo)的形式,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算的問題,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2),乙組加工水平高.【解題分析】
(1)根據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是
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