第三章統計量

統計量用于描述樣本數量特征，按其作用可分為：

表示樣本集中性統計量：X，G表示變異性統計量：S，S2，CV用于統計分析統計量：t，F，X2

數據----統計量----統計分析-----推斷結論第一節平均數

平均數是統計學中最常用的統計量，可用于反映資料的集中性。平均數主要介紹：樣本〔算術〕平均數和幾何平均數1、樣本〔算術〕平均數2、幾何平均數一、算術〔樣本〕平均數定義：樣本中各觀測值的總和除以樣本容量稱樣本〔算術〕平均數，記為X。作用：反映樣本的集中性；性質：離均差和為零；離均差平方和最小。計算：直接法、加權法等計算。注：采用加權法求得平均數誤差較大。

設某樣本包含n個觀測值：x1、x2、…、xn，那么樣本平均數可通過下式計算：其中，Σ為總和符號；表示從第一個觀測值x1累加到第n個觀測值xn，可簡寫為Σx，上式可改寫為：

【例3.1】某種公牛站測得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490〔kg〕，求其樣本平均數。解:Σx=500+。。。+490=5285計算器求統計量計算器種類：TAKSUNTS*105

學考XK-80等步驟：進入統計狀態；輸入數據；結果輸出TAKSUNTS*105型計算器求統計量方法進入統計狀態；ON----2ndf-----ON輸入數據；數據1，DATA，數據2，DATA，、、、數據N，DATA結果輸出；X、S、S2、SS

等學考型計算器求統計量方法進入統計狀態：ON---MODE-----2去除內存數據：SHIFT----ON-----=輸入數據：數據1，M+，數據2，M+、、、數據N，M+結果輸出：如：SHIFTx=、同理可求SHIFT----σn-1----=、(S)S--X2=S2、S2*DF=SS等其它型號先按Model+“1〞進入統計狀態；按“0〞去除原內存；“RCL〞+統計量輸出結果。例：1、某樣本〔n=10)各觀測值減5的離差分別為：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5試求該樣本的平均數。2、抽測10頭仔豬的體重分別為11、13、11、12、14、17、15、16、14、11〔Kg〕，試求體重樣本平均數。二、幾何平均數使用〔適用〕條件；定義；計算方法；實例。一、幾何平均數適用條件呈倍數關系或偏態分布的資料，描述其集中性時可用幾何平均數表示。

如畜禽、水產養殖的增長率，抗體的滴度，藥物的效價，畜禽疾病的潛伏期等，可用幾何平均數表示其平均水平。2、幾何平均數定義n個觀測值相乘之積開n次方所得的方根，稱為幾何平均數，記為G。

為計算方便，可將各觀測值取對數后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對數，即得G值，即

【例3.7】某波爾山羊群1997—2000年各年度的存欄數見表3—3，試求其年平均增長率。表3—3某波爾山羊群各年度存欄數與增長率求年平均增長率G==lg-1[〔-0.368-0.398–0.602〕]=lg-1〔-0.456〕=0.3501即年平均增長率為0.3501或35.01%。例：羅非魚正常飼養條件下，月體重如：月齡1234體重

58124320640相對數

2.142.182

試求其月平均增長率。例二股票價格由1998年的60元上升至2002年的100元，試問股票的年平均增長率是多少。〔14%〕第二節標準差

一、引入標準差的原因僅用平均數對資料的特征作統計描述是不全面的，因為平均數作樣本代表性的強弱受資料中各觀測值變異程度的影響，故還需引入表示資料中觀測值變異程度統計量。方差和標準差定義平方和除以自由度，稱樣本方差，記作S2。樣本方差開根號，稱樣本標準差，記作S。作用：反映樣本各觀察值變異程度的大小。符號及公式離均差：Xi-平均數平方和：SS=〔xi-平均數〕2SS=squaresum自由度：df=n-1df=degreefree方差或均方：S2或MS=SS/dfMS=meansquare標準差：S=方差開根號=SD=standarddeviation合并方差：S2合=(ss1+ss2)/(df1+df2)合并方差多個樣本時,可求其合并方差;計算公式為:合并方差=平方和/自由度即:S2=(SS1+SS2)/(df1+df2)應用:統計分析和相關與回歸.由于所以〔3-11〕式可改寫為：〔3-12〕

統計量Σ稱為均方〔meansquare縮寫為MS〕,又稱樣本方差，記為S2，即S2=〔3—9〕

方差單位與原度量單位不相同，而標準差單位與原度量單位相同。

方差與標準差區別S2相應的總體參數叫總體方差，記為σ2。S相應的總體參數叫總體標準差，記為σ。常用樣本標準差S估計總體標準差σ。二、標準差的計算方法直接法、加權法、計算器法等。【例3.9】計算10只遼寧絨山羊產絨量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650〔g〕的標準差。

解：n=10，Σx=5400，Σx2=2955000，代入公式得：(g)

三、標準差的特性1、各觀測值間變異大，標準差也大，反之那么小。2、各觀測值加或減一個常數，其標準差值不變。3、每觀測值乘或除一個常數a，那么標準差是原來的a倍或1/a倍。Excel計算統計量方法:Excel----fx(公具欄)----統計統計量英語:Average----樣本平均數Geomean-----幾何平均數Stdev-----標準差Var------方差Devsq-----平方和復習題1平均數(定義、公式、符號、作用〕自由度樣本方差、總體方差樣本標準差、總體標準差幾何平均數使用條件樣本平均數與標準差關系2測定10尾3年齡種魚的體重如下:(kg)4.54.55.05.05.55.55.56.06.06.5試求其平均數、方差、標準差。(5.4；0.43；0.66〕

3、某樣本各觀察值分別為：70，64，67，72，58，61，74，75，66，63試求其樣本平均數、標準差、方差、平方和。解：平均值=67S=5.68S2=32.22〔=MS〕SS=290df=n-1=9

復習題試分別寫出樣本平均數、方差和標準差的統計量及參數符號.試寫出平均數、方差、標準差、幾何平均數、變異系數的計算公式.平方和的計算公式有-----、-------和-------。∑xi2=45180，平均值=67，n=10，那么其方差和標準差分別為------和------。樣本平方和為360，樣本容量為10，那么其標準差等于-------。5測定公、母小豬體重如下：〔kg)性別頭數平均值標準差公3015.53.6母4013.22.4試求公、母小豬體重的平均數和標準差。提示一法:采用合并方差計算合并方差=平方和/自由度即:S2=(SS1+SS2)/(df1+df2)二法:采用直接〔定義〕法計算6、測定北京肉鴨周齡(x)與體重(g,y)如下:周齡：012345體重48.520653596914671975相對數：4.252.601.811.511.35

試求其周平均生長速度。第三節變異系數適用范圍；定義；實例；應用.一、變異系數的適用范圍欲比較其變異程度時單位不同；或單位相同，但平均數不同

二、變異系數定義、作用定義：標準差與平均數的比值稱為變異系數，記為C·V〔coefficientofvariation〕。作用:衡量資料中各觀測值變異程度統計量。變異系數可消除單位和平均數不同對各個資料變異程度比較的影響。變異系數的計算公式為：〔3—15〕【例3.11】某良種豬場長白成年母豬平均體重為190kg，標準差為10.5kg，而大約克成年母豬平均體重為196kg，標準差為8.5kg，試問兩個品種的成年母豬，那一個體重變異程度大。

由于，長白成年母豬體重的變異系數：大約克成年母豬體重的變異系數：所以，長白成年母豬體重的變異程度大于大約克成年母豬。

例欲檢驗飼料攪拌機均勻度，往攪拌機內加0.5%鹽混合后抽取10個樣，測其含鹽量為：單位：%樣號：12345678910含量:0.60.450.520.390.490.510.50.450.550.55假設變異系數≤10%判為合格，試判斷該攪拌機均勻度是否合格。

注意，變異系數的大小，同時受平均數和標準差兩個統計量的影響，因而在利用變異系數表示資料的變異程度時，最好將平均數和標準差也列出。描述樣本的數量特征需要統計量樣本容量(n)樣本平均數(算術平均數)Me