./高中數學上海歷年高考經典真題專題匯編專題：圓錐曲線姓名：學號：年級：專題7：圓錐曲線一、填空、選擇題1、〔2016年上海高考已知平行直線,則的距離_______________2、〔2015年上海高考拋物線y2=2px〔p＞0上的動點Q到焦點的距離的最小值為1,則p=．3、〔2014年上海高考若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,則該拋物線的準線方程為.4、〔虹口區2016屆高三三模若雙曲線的一個焦點到其漸近線的距離為,則該雙曲線的焦距等于5、〔浦東新區2016屆高三三模拋物線的準線方程是6、〔楊浦區2016屆高三三模已知雙曲線的兩個焦點為、,為該雙曲線上一點,滿足,到坐標原點的距離為,且,則7、〔虹口區2016屆高三三模過拋物線的焦點F的直線與其相交于A,B兩點,O為坐標原點．若則的面積為8、〔浦東新區2016屆高三三模直線與拋物線至多有一個公共點,則的取值范圍是9、〔浦東新區2016屆高三三模設為雙曲線上的一點,是左右焦點,,則的面積等于〔A.B.C.D.10、〔崇明縣2016屆高三二模已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個焦點與拋物線的焦點相同,則雙曲線的標準方程為．11、〔奉賢區2016屆高三二模雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則________．12、〔虹口區2016屆高三二模如圖,的兩個頂點,過橢圓的右焦點作軸的垂線,與其交于點C.若<為坐標原點>,則直線AB的斜率為___________.13、〔黃浦區2016屆高三二模若橢圓上的點到焦點的距離的最小值為5,最大值為15,則橢圓短軸長為14、〔靜安區2016屆高三二模已知雙曲線的漸近線與圓沒有公共點,則該雙曲線的焦距的取值范圍為.15、〔靜安區2016屆高三上學期期末已知拋物線的準線方程是,則.16、〔普陀區2016屆高三上學期期末設是雙曲線上的動點,若到兩條漸近線的距離分別為,則_________.17、〔楊浦區2016屆高三上學期期末拋物線的頂點為原點,焦點在軸正半軸,過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于點,若AB中點的橫坐標為3,則拋物線的方程為_______________.18、〔寶山區2016屆高三上學期期末拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于．19、〔松江區2016屆高三上學期期末已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點相同,則此雙曲線的漸近線方程為<>二、解答題1、〔2016年上海高考有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河,收貨的蔬菜可送到點或河邊運走.于是,菜地分為兩個區域和,其中中的蔬菜運到河邊較近,中的蔬菜運到點較近,而菜地內和的分界線上的點到河邊與到點的距離相等,現建立平面直角坐標系,其中原點為的中點,點的坐標為〔1,0,如圖求菜地內的分界線的方程菜農從蔬菜運量估計出面積是面積的兩倍,由此得到面積的"經驗值"為.設是上縱坐標為1的點,請計算以為一邊、另一邊過點的矩形的面積,及五邊形的面積,并判斷哪一個更接近于面積的經驗值2、〔2016年上海高考本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.雙曲線的左、右焦點分別為,直線過且與雙曲線交于兩點.〔1若的傾斜角為,是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程；〔2設,若的斜率存在,且,求的斜率.3、〔2015年上海高考已知橢圓x2+2y2=1,過原點的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D,記得到的平行四邊形ABCD的面積為S．〔1設A〔x1,y1,C〔x2,y2,用A、C的坐標表示點C到直線l1的距離,并證明S=2|x1y2﹣x2y1|；〔2設l1與l2的斜率之積為﹣,求面積S的值．4、〔2014年上海高考在平面直角坐標系中,對于直線和點,記.若,則稱點被直線分割.若曲線與直線沒有公共點,且曲線上存在點被直線分割,則稱直線為曲線的一條分割線.<1>求證：點被直線分割；<2>若直線是曲線的分割線,求實數的取值范圍；<3>動點到點的距離與到軸的距離之積為,設點的軌跡為曲線.求證：通過原點的直線中,有且僅有一條直線是的分割線.5、〔虹口區2016屆高三三模設橢圓,定義橢圓的"相關圓"為:.若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,且橢圓的短軸長與焦距相等.〔1求橢圓及其"相關圓"的方程；〔2過"相關圓"上任意一點作其切線,若與橢圓交于兩點,求證:為定值〔為坐標原點；<3>在〔2的條件下,求面積的取值范圍.6、〔浦東新區2016屆高三三模設橢圓的長半軸長為,短半軸長為,橢圓的長半軸長為,短半軸長為,若,則稱橢圓與橢圓是相似橢圓.已知橢圓,其左頂點為,右頂點為.〔1設橢圓與橢圓是"相似橢圓",求常數的值；〔2設橢圓,過作斜率為的直線與橢圓僅有一個公共點,過橢圓的上頂點作斜率為的直線與橢圓只有一個公共點,當為何值時,取得最小值,并求出最小值；〔3已知橢圓與橢圓是相似橢圓,橢圓上異于的任意一點,求證：的垂心在橢圓上.7、〔奉賢區2016屆高三二模已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,焦距為．〔1求橢圓的標準方程；〔2不過原點的直線與橢圓交于兩點、,且直線、、的斜率依次成等比數列,問：直線是否定向的,請說明理由．8、〔虹口區2016屆高三二模已知直線是雙曲線的一條漸近線,都在雙曲線上,直線與軸相交于點,設坐標原點為．<1>求雙曲線的方程,并求出點的坐標〔用、表示；<2>設點關于軸的對稱點為,直線與軸相交于點．問：在軸上是否存在定點,使得？若存在,求出點的坐標；若不存在,請說明理由．<3>若過點的直線與雙曲線交于兩點,且,試求直線的方程．9、〔黃浦區2016屆高三二模對于雙曲線,若點滿足,則稱在的外部；若點滿足,則稱在的內部；〔1若直線上的點都在的外部,求的取值范圍；〔2若過點,圓在內部及上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半,求、滿足的關系式及的取值范圍；〔3若曲線上的點都在的外部,求的取值范圍；10、〔靜安區2016屆高三二模已知分別是橢圓〔其中的左、右焦點,橢圓過點且與拋物線有一個公共的焦點．〔1求橢圓的方程；〔2過橢圓的右焦點且斜率為1的直線與橢圓交于、兩點,求線段的長度．11、〔嘉定區2016屆高三上學期期末在平面直角坐標系內,動點到定點的距離與到定直線的距離之比為．〔1求動點的軌跡的方程；〔2若軌跡上的動點到定點〔的距離的最小值為,求的值．〔3設點、是軌跡上兩個動點,直線、與軌跡的另一交點分別為、,且直線、的斜率之積等于,問四邊形的面積是否為定值？請說明理由．12、〔金山區2016屆高三上學期期末在平面直角坐標系中,已知橢圓,設點是橢圓上一點,從原點向圓作兩條切線,切點分別為．<1>若直線互相垂直,且點在第一象限內,求點的坐標；<2>若直線的斜率都存在,并記為,求證：．13、〔靜安區2016屆高三上學期期末設P1和P2是雙曲線上的兩點,線段P1P2的中點為M,直線P1P2不經過坐標原點O.<1>若直線P1P2和直線OM的斜率都存在且分別為k1和k2,求證:k1k2=；<2>若雙曲線的焦點分別為、,點P1的坐標為<2,1>,直線OM的斜率為,求由四點P1、F1、P2、F2所圍成四邊形P1F1P2F2的面積.14、〔閔行區2016屆高三上學期期末已知橢圓的中心在坐標原點,且經過點,它的一個焦點與拋物線的焦點重合．〔1求橢圓的方程；〔2斜率為的直線過點,且與拋物線交于兩點,設點,的面積為,求的值；〔3若直線過點〔,且與橢圓交于兩點,點關于軸的對稱點為,直線的縱截距為,證明：為定值.15、〔青浦區2016屆高三上學期期末已知橢圓的對稱軸為坐標軸,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點,以為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．〔1求橢圓的方程；〔2已知直線與橢圓交于兩點,且橢圓上存在點滿足,求的值．[參考答案]一、填空、選擇題1、[答案][解析]試題分析：利用兩平行線間距離公式得2、解：因為拋物線y2=2px〔p＞0上的動點Q到焦點的距離的最小值為1,所以=1,所以p=2．故答案為：2．3、[解析]：橢圓右焦點為,即拋物線焦點,所以準線方程4、65、[答案][解析],則其準線方程為6、4或97、28、[答案][解析]由題意知：直線與拋物線的交點個數為0或1個.由①,顯然滿足；②當時,由,由圖像知：所以,綜上所述,的取值范圍是.9、[答案]C[解析]利用"焦點三角形的面積公式".,求得面積10、11、12、13、14、15、116、17、18、19、A二、解答題1、[答案]〔1〔．〔2五邊形面積更接近于面積的"經驗值"．[解析]試題分析：〔1由上的點到直線與到點的距離相等,知是以為焦點、以為準線的拋物線在正方形內的部分．〔2計算矩形面積,五邊形面積．進一步計算矩形面積與"經驗值"之差的絕對值,五邊形面積與"經驗值"之差的絕對值,比較二者大小即可．試題解析：〔1因為上的點到直線與到點的距離相等,所以是以為焦點、以為準線的拋物線在正方形內的部分,其方程為〔．〔2依題意,點的坐標為．所求的矩形面積為,而所求的五邊形面積為．矩形面積與"經驗值"之差的絕對值為,而五邊形面積與"經驗值"之差的絕對值為,所以五邊形面積更接近于面積的"經驗值"．考點：1.拋物線的定義及其標準方程；2.面積.2、[答案]〔1．〔2.[解析]試題分析：〔1設．根據是等邊三角形,得到,解得．〔2〔2設,,直線與雙曲線方程聯立,得到一元二次方程,根據與雙曲線交于兩點,可得,且．設的中點為．由,計算,從而．得出的方程求解．試題解析：〔1設．由題意,,,,因為是等邊三角形,所以,即,解得．故雙曲線的漸近線方程為．〔2由已知,,．設,,直線．顯然．由,得．因為與雙曲線交于兩點,所以,且．設的中點為．由即,知,故．而,,,所以,得,故的斜率為．3、4、[解析]：〔1將分別代入,得∴點被直線分割〔2聯立,得,依題意,方程無解,∴,∴或〔3設,則,∴曲線的方程為①當斜率不存在時,直線,顯然與方程①聯立無解,又為上兩點,且代入,有,∴是一條分割線；當斜率存在時,設直線為,代入方程得：,令,則,,,當時,,∴,即在之間存在實根,∴與曲線有公共點當時,,即在之間存在實根,∴與曲線有公共點∴直線與曲線始終有公共點,∴不是分割線,綜上,所有通過原點的直線中,有且僅有一條直線是的分割線5、解：〔1因為拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,所以,又因為橢圓的短軸長與焦距相等,所以.……2分故橢圓的方程為：,其"相關圓"的方程為：.……4分證：〔2〔=1\*romani當直線的斜率不存在時,不妨設其方程為,則,所以.……6分〔=2\*romanii當直線的斜率存在時,設其方程為,并設,則由得,即,……8分故△=,即且由直線與"相關圓"E相切,得,即…8分從而綜合上述,得……10分解：〔3由于所以求的取值范圍,只需求出弦長的取值范圍.當直線的斜率不存在時,由〔2的〔=1\*romani,知；……12分當直線的斜率存在時,〔=1\*romani當時,；……14分〔=2\*romanii當時,因為,所以故,當且僅當時,于是的取值范圍為因此的取值范圍為……16分6、[解析]〔1由題意得或,分別解得或〔2由題意知：,,直線,直線由得：,因為直線與橢圓僅有一個公共點,則①由得：,因為直線與橢圓僅有一個公共點,則②由②解得：代入①得：,所以此時,即〔3由題意知：,所以.且,.設垂心,則,即.又點在上,有.則,所以的垂心在橢圓上.7、解：〔1由已知得3分解得5分∴橢圓的標準方程為．6分〔2<理>由題意可設直線的方程為：,聯立,消去并整理,得：7分計算8分此時設,則,9分于是10分又直線的斜率依次成等比數列,∴11分∴12分所以是不定向的,13分方向向量13分<2>文可得8分設,則9分11分13分8、解：〔1由已知,得故雙曲線的方程為……3分為直線AM的一個方向向量,直線AM的方程為它與軸的交點為……5分〔2由條件,得且為直線AN的一個方向向量,故直線AN的方程為它與軸的交點為……7分假設在軸上存在定點,使得,則由及得故即存在定點,其坐標為或滿足題設條件.……10分<3>由知,以為鄰邊的平行四邊形的對角線的長相等,故此四邊形為矩形,從而……12分由已知,可設直線的方程為并設則由得由及得〔*由……14分得故符合約束條件〔*.因此,所求直線的方程為……16分9、[解]〔1由題意,直線上點滿足,即求不等式的解為一切實數時的取值范圍．〔1分對于不等式,當時,不等式的解集不為一切實數,〔2分于是有解得．故的取值范圍為．〔4分〔2因為圓和雙曲線均關于坐標軸和原點對稱,所以只需考慮這兩個曲線在第一象限及、軸正半軸的情況．由題設,圓與雙曲線的交點平分該圓在第一象限內的圓弧,它們交點的坐標為．將,代入雙曲線方程,得〔*,〔6分又因為過點,所以,〔7分將代入〔*式,得．〔9分由,解得．因此,的取值范圍為．〔10分〔3由,得．將代入,由題設,不等式對任意非零實數均成立．〔12分其中．令,設,〔．當時,函數在上單調遞增,不恒成立；〔14分當時,,函數的最大值為,因為,所以；〔16分當時,．〔17分綜上,,解得．因此,的取值范圍為．〔18分10、〔1拋物線的焦點為………1分所以橢圓的左焦點為,,………2分又,得,解得〔舍去………4分故橢圓的方程為.………6分〔2直線的方程為．…7分聯立方程組消去并整理得．…9分設,．故,．…10分則…………12分11、〔1設,由題意,,……………〔2分化簡得,………………〔3分所以,動點的軌跡的方程為．………………〔4分〔2設,則,．………………〔2分①當,即時,當時,取最小值,解得,,此時,故舍去．…〔4分②當,即時,當時,取最小值,解得,或〔舍．…………………〔6分綜上,．〔3解法一：設,,則由,得,〔1分,因為點、在橢圓上,所以,,所以,,化簡得．…………〔2分①當時,則四邊形為矩形,,則,由,得,解得,,．……〔3分②當時,直線的方向向量為,直線的方程為,原點到直線的距離為所以,△的面積,根據橢圓的對稱性,四邊形的面積,……〔4分所以,,所以．所以,四邊形的面積為定值．……〔6分解法二：設,,則,,由,得,…………〔1分因為點、在橢圓上,所以,,所以,,化簡得．…………〔2分直線的方程為,點到直線的距離,△的面積,……〔3分根據橢圓的對稱性,四邊形的面積,……〔4分所以,,所以．所以,四邊形的面積為定值．………………〔6分解法三：設,,則,由,得,…………〔1分因為點、在橢圓上,所以,,所以,,化簡得．…………〔2分△的面積,……〔3分根據橢圓的對稱性,四邊形的面積,……〔4分所以,所以,,所以．所以,四邊形的面積為定值．……〔6分12、解：<1>由題意得：圓的半徑為,因為直線互相垂直,且與圓相切,所以四邊形OPRQ為正方形,故,即①………………3分又在橢圓C上,所以②…………