函數值域求法（例題)

在函數得三要素中，定義域與值域起決定作用,而值域就是由定義域與對應法則共同確定。研究函數得值域,不但要重視對應法則得作用，而且還要特別重視定義域對值域得制約作用。確定函數得值域就是研究函數不可缺少得重要一環。對于如何求函數得值域,就是學生感到頭痛得問題，它所涉及到得知識面廣，方法靈活多樣,在高考中經常出現，占有一定得地位,若方法運用適當,就能起到簡化運算過程，避繁就簡,事半功倍得作用。本文就函數值域求法歸納如下，供參考。

1、直接觀察法

對于一些比較簡單得函數,其值域可通過觀察得到.

例1、求函數得值域。

解:∵

∴

顯然函數得值域就是:

例2、求函數得值域。

解：∵

故函數得值域就是:

2、配方法

配方法就是求二次函數值域最基本得方法之一。

例3、求函數得值域。

解：將函數配方得：

∵

由二次函數得性質可知：當ｘ=1時，，當時，

故函數得值域就是：［4，８］

３、判別式法

例４、求函數得值域。

解:原函數化為關于x得一元二次方程

（1）當時,

解得：

(2）當y=１時,,而

故函數得值域為

例5、求函數得值域。

解：兩邊平方整理得：（1）

∵

∴

解得:

但此時得函數得定義域由，得

由,僅保證關于x得方程：在實數集Ｒ有實根,而不能確保其實根在區間[0,２］上，即不能確保方程(1）有實根，由求出得范圍可能比y得實際范圍大，故不能確定此函數得值域為。

可以采取如下方法進一步確定原函數得值域。

∵

代入方程(１）

解得:

即當時,

原函數得值域為:

注：由判別式法來判斷函數得值域時,若原函數得定義域不就是實數集時,應綜合函數得定義域，將擴大得部分剔除。

4、反函數法

直接求函數得值域困難時，可以通過求其原函數得定義域來確定原函數得值域。

例6、求函數值域。

解：由原函數式可得:

則其反函數為:,其定義域為:

故所求函數得值域為:

５、函數有界性法

直接求函數得值域困難時,可以利用已學過函數得有界性，反客為主來確定函數得值域。

例7、求函數得值域.

解：由原函數式可得:

∵

∴

解得：

故所求函數得值域為

例8、求函數得值域.

解：由原函數式可得：，可化為：

即

∵

∴

即

解得：

故函數得值域為

6、函數單調性法

例9、求函數得值域。

解:令

則在[２,10］上都就是增函數

所以在［２,10］上就是增函數

當x=2時,

當x=１0時，

故所求函數得值域為：

例1０、求函數得值域。

解:原函數可化為:

令,顯然在上為無上界得增函數

所以,在上也為無上界得增函數

所以當x=1時,有最小值，原函數有最大值

顯然，故原函數得值域為

７、換元法

通過簡單得換元把一個函數變為簡單函數,其題型特征就是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，換元法就是數學方法中幾種最主要方法之一,在求函數得值域中同樣發揮作用。

例1１、求函數得值域。

解:令,

則

∵

又，由二次函數得性質可知

當時,

當時，

故函數得值域為

例１2、求函數得值域。

解：因

即

故可令

∴

∵

故所求函數得值域為

例13、求函數得值域。

解：原函數可變形為:

可令,則有

當時，

當時,

而此時有意義。

故所求函數得值域為

例14、求函數,得值域。

解:

令，則

由

且

可得：

∴當時，,當時，

故所求函數得值域為。

例1５、求函數得值域。

解：由，可得

故可令

∵

當時，

當時,

故所求函數得值域為：

8、數形結合法

其題型就是函數解析式具有明顯得某種幾何意義,如兩點得距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然,賞心悅目.

例16、求函數得值域。

解:原函數可化簡得:

上式可以瞧成數軸上點P(ｘ)到定點A（2），間得距離之與.

由上圖可知，當點P在線段ＡB上時,

當點Ｐ在線段ＡＢ得延長線或反向延長線上時，

故所求函數得值域為：

例1７、求函數得值域。

解：原函數可變形為:

上式可瞧成ｘ軸上得點到兩定點得距離之與,

由圖可知當點P為線段與ｘ軸得交點時，,

故所求函數得值域為

例18、求函數得值域。

解：將函數變形為：

上式可瞧成定點A（３,2)到點P(ｘ，0)得距離與定點到點得距離之差.

即：

由圖可知:（１）當點P在ｘ軸上且不就是直線AB與x軸得交點時,如點,則構成,根據三角形兩邊之差小于第三邊，有

即：

（２）當點P恰好為直線AＢ與x軸得交點時,有

綜上所述，可知函數得值域為：

注：由例17，18可知，求兩距離之與時，要將函數式變形，使Ａ、B兩點在x軸得兩側,而求兩距離之差時，則要使A,Ｂ兩點在ｘ軸得同側。

如:例17得A，B兩點坐標分別為:（3，2),，在x軸得同側；例１8得A,Ｂ兩點坐標分別為（3,2），，在x軸得同側。

9、不等式法

利用基本不等式,求函數得最值,其題型特征解析式就是與式時要求積為定值，解析式就是積時要求與為定值,不過有時需要用到拆項、添項與兩邊平方等技巧。

例19、求函數得值域。

解：原函數變形為:

當且僅當

即當時，等號成立

故原函數得值域為：

例2０、求函數得值域。

解：

當且僅當,即當時,等號成立。

由可得：

故原函數得值域為:

10、一一映射法

原理：因為在定義域上ｘ與y就是一一對應得。故兩個變量中，若知道一個變量范圍，就可以求另一個變量范圍。

例２1、求函數得值域。

解：∵定義域為

由得

故或

解得

故函數得值域為

11、多種方法綜合運用

例２２、求函數得值域。

解：令,則

（１)當時,,當且僅當t=１，即時取等號，所以

（2）當ｔ=0時，y＝０。

綜上所述,函數得值域為:

注:先換元,后用不等式法

例２3、求函數得值域.

解：

令,則

∴當時,