福建省福州市福州師范大學附屬中學2024屆數學高一下期末質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知變量滿足約束條件，則的最大值為（）A．8 B．7 C．6 D．42．函數的最大值為()A． B． C． D．3．若某市所中學參加中學生合唱比賽的得分用莖葉圖表示（如圖），其中莖為十位數，葉為個位數，則這組數據的中位數是（）A．91 B．91.5C．92 D．92.54．若，均為銳角，且，，則等于（）A． B． C． D．5．已知變量，之間的線性回歸方程為，且變量，之間的一組相關數據如下表所示，則下列說法中錯誤的是（）681012632A．變量，之間呈現負相關關系B．的值等于5C．變量，之間的相關系數D．由表格數據知，該回歸直線必過點6．高鐵、掃碼支付、共享單車、網購被稱為中國的“新四大發明”，為評估共享單車的使用情況，選了座城市作實驗基地，這座城市共享單車的使用量（單位：人次/天）分別為，，…，，下面給出的指標中可以用來評估共享單車使用量的穩定程度的是（）A．，，…，的標準差 B．，，…，的平均數C．，，…，的最大值 D．，，…，的中位數7．在△ABC中，，P是BN上的一點，若，則實數m的值為A．3 B．1 C． D．8．已知在中，為線段上一點，且，若，則（）A． B． C． D．9．在正方體中，與所成的角為（）A．30° B．90° C．60° D．120°10．已知四棱錐的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點）．設SE與BC所成的角為，SE與平面ABCD所成的角為β，二面角S-AB-C的平面角為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的最小值是__________．12．已知遞增數列共有項，且各項均不為零，，如果從中任取兩項，當時，仍是數列中的項，則數列的各項和_____．13．設為等差數列的前n項和，，則________.14．在等差數列中，若，則的前13項之和等于______.15．在平面直角坐標系中，點，，若直線上存在點使得，則實數的取值范圍是_____．16．某奶茶店的日銷售收入y(單位:百元)與當天平均氣溫x(單位:)之間的關系如下:x012y5221通過上面的五組數據得到了x與y之間的線性回歸方程:；但現在丟失了一個數據，該數據應為____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，正三棱柱的各棱長均為，為棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值．18．如圖所示，在直三棱柱中，，平面，D為AC的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）設E是上一點，試確定E的位置使平面平面BDE，并說明理由.19．某工廠新研發了一種產品，該產品每件成本為5元，將該產品按事先擬定的價格進行銷售，得到如下數據：單價（元）88.28.48.68.89銷量（件）908483807568（1）求銷量（件）關于單價（元）的線性回歸方程；（2）若單價定為10元，估計銷量為多少件；（3）根據銷量關于單價的線性回歸方程，要使利潤最大，應將價格定為多少？參考公式：，.參考數據：，20．數列中，，.前項和滿足.（1）求（用表示）；（2）求證：數列是等比數列；（3）若，現按如下方法構造項數為的有窮數列，當時，；當時，.記數列的前項和，試問：是否能取整數？若能，請求出的取值集合：若不能，請說明理由.21．在中，角所對的邊是，若向量與共線.（1）求角的大小；（2）若，求周長的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

先畫出滿足約束條件的平面區域，然后求出目標函數取最大值時對應的最優解點的坐標，代入目標函數即可求出答案．【題目詳解】滿足約束條件的平面區域如下圖所示：作直線把直線向上平移可得過點時最小當，時，取最大值1，故答案為1．【題目點撥】本題考查的知識點是簡單線性規劃，其中畫出滿足約束條件的平面區域，找出目標函數的最優解點的坐標是解答本題的關鍵．2、D【解題分析】

函數可以化為，設，由，則，即轉化為求二次函數在上的最大值.【題目詳解】由設，由，則.即求二次函數在上的最大值所以當，即時，函數取得最大值.故選：D【題目點撥】本題考查的二次型函數的最值，屬于中檔題.3、B【解題分析】試題分析：中位數為中間的一個數或兩個數的平均數，所以中位數為考點：莖葉圖4、B【解題分析】

先利用兩角和的余弦公式求出，通過條件可求得，進而可得.【題目詳解】解：，因為，則，故，故選：B.【題目點撥】本題考查兩角和的正切公式，注意角的范圍的確定，是基礎題.5、C【解題分析】分析：根據平均數的計算公式，求得樣本中心為，代入回歸直線的方程，即可求解，得到樣本中心，再根據之間的變化趨勢，可得其負相關關系，即可得到答案.詳解：由題意，根據上表可知，即數據的樣本中心為，把樣本中心代入回歸直線的方程，可得，解得，則，即數據的樣本中心為，由上表中的數據可判定，變量之間隨著的增大，值變小，所以呈現負相關關系，由于回歸方程可知，回歸系數，而不是，所以C是錯誤的，故選C.點睛：本題主要考查了數據的平均數的計算公式，回歸直線方程的特點，以及相關關系的判定等基礎知識的應用，其中熟記回歸分析的基本知識點是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.6、A【解題分析】

利用方差或標準差表示一組數據的穩定程度可得出選項.【題目詳解】表示一組數據的穩定程度是方差或標準差，標準差越小，數據越穩定故選：A【題目點撥】本題考查了用樣本估計總體，需掌握住數據的穩定程度是用方差或標準差估計的，屬于基礎題.7、C【解題分析】分析：根據向量的加減運算法則，通過，把用和表示出來，可得的值．詳解：如圖：∵，，

則

又三點共線，故得．

故選C.．點睛：本題考查實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意平面向量加法法則的合理運用．8、C【解題分析】

首先，由已知條件可知，再有，這樣可用表示出．【題目詳解】∵，∴，，∴，∴．故選C．【題目點撥】本題考查平面向量基本定理，解題時用向量加減法表示出，然后用基底表示即可．9、C【解題分析】

把異面直線與所成的角，轉化為相交直線與所成的角，利用為正三角形，即可求解．【題目詳解】連結，則，所以相交直線與所成的角，即為異面直線與所成的角，連結，則是正三角形，所以，即異面直線與所成的角，故選C．【題目點撥】本題主要考查了空間中異面直線及其所成角的求法，其中根據異面直線的定義，把異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．10、C【解題分析】

根據題意，分別求出SE與BC所成的角、SE與平面ABCD所成的角β、二面角S-AB-C的平面角的正切值，由正四棱錐的線段大小關系即可比較大小.【題目詳解】四棱錐的底面是正方形，側棱長均相等，所以四棱錐為正四棱錐，（1）過作，交于，過底面中心作交于，連接，取中點，連接，如下圖（1）所示：則；（2）連接如下圖（2）所示，則;（3）連接，則，如下圖（3）所示：因為所以，而均為銳角，所以故選：C.【題目點撥】本題考查了異面直線夾角、直線與平面夾角、平面與平面夾角的求法，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】分析：利用題設中的等式，把的表達式轉化成，展開后，利用基本不等式求得y的最小值.詳解：因為，所以，所以（當且僅當時等號成立），則的最小值是，總上所述，答案為.點睛：該題考查的是有關兩個正數的整式形式和為定值的情況下求其分式形式和的最值的問題，在求解的過程中，注意相乘，之后應用基本不等式求最值即可，在做乘積運算的時候要注意乘1是不變的，如果不是1，要做除法運算.12、【解題分析】

∵當時，仍是數列中的項，而數列是遞增數列，∴，所以必有，，利用累加法可得：，故，得，故答案為.點睛：本題主要考查了數列的求和，解題的關鍵是單調性的利用以及累加法的運用，有一定難度；根據題中條件從中任取兩項，當時，仍是數列中的項，結合遞增數列必有，，利用累加法可得結果.13、54.【解題分析】

設首項為，公差為，利用等差數列的前n項和公式列出方程組，解方程求解即可.【題目詳解】設首項為，公差為,由題意，可得解得所以.【題目點撥】本題主要考查了等差數列的前n項和公式，解方程的思想，屬于中檔題.14、【解題分析】

根據題意，以及等差數列的性質，先得到，再由等差數列的求和公式，即可求出結果.【題目詳解】因為是等差數列，，所以，即，記前項和為，則.故答案為：【題目點撥】本題主要考查等差數列前項和的基本量的運算，熟記等差數列的性質以及求和公式即可，屬于基礎題型.15、.【解題分析】

設由，求出點軌跡方程，可判斷其軌跡為圓，點又在直線，轉化為直線與圓有公共點，只需圓心到直線的距離小于半徑，得到關于的不等式，求解，即可得出結論.【題目詳解】設，，，，整理得，又點在直線，直線與圓共公共點，圓心到直線的距離，即.故答案為:.【題目點撥】本題考查求曲線的軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題.16、4【解題分析】

根據回歸直線經過數據的中心點可求.【題目詳解】設丟失的數據為，則，，把代入回歸方程可得，故答案為：4.【題目點撥】本題主要考查回歸直線的特征，明確回歸直線一定經過樣本數據的中心點是求解本題的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

作交于，則為異面直線與所成角，在中求出各邊的長度，根據余弦定理，得到的余弦值，即為答案.【題目詳解】作交于，則為異面直線與所成角，因為為中點，所以是的一條中位線，所以,因為正三棱柱，所以面，而面，所以所以在中，,則，在中，,則，在中，由余弦定理得.故答案為【題目點撥】本題考查求異面直線所成的角的余弦值，余弦定理，屬于簡單題.18、（1）證明見詳解，（2）證明見詳解，（3）當為的中點時，平面平面BDE，證明見詳解【解題分析】

（1）連接與相交于，可得，結合線面平行的判定定理即可證明平面（2）先證明和即可得出平面，然后可得，又，即可證明平面（3）當為的中點時，平面平面BDE，由已知易得，結合平面可得平面，進而根據面面垂直的判定定理得到結論.【題目詳解】（1）如圖，連接與相交于，則為的中點連接，又為的中點所以，又平面，平面所以平面（2）因為，所以四邊形為正方形所以又因為平面，平面所以所以平面，所以又在直三棱柱中，所以平面（3）當為的中點時，平面平面BDE因為分別是的中點所以,因為平面所以平面，又平面所以平面平面BDE【題目點撥】本題考查的是立體幾何中線面平行和垂直的證明，要求我們要熟悉并掌握平行與垂直有關的判定定理和性質定理，在證明的過程中要注意步驟的完整.19、（1）（2）當銷售單價定為10元時，銷量為50件（3）要使利潤達到最大，應將價格定位8.75元.【解題分析】

（1）由均值公式求得均值，，再根據給定公式計算回歸系數，得回歸方程；（2）在（1）的回歸方程中令，求得值即可；（3）由利潤可化為的二次函數，由二次函數知識可得利潤最大值及此時的值.【題目詳解】（1）由題意可得，，則，從而，故所求回歸直線方程為.（2）當時，，故當銷售單價定為10元時，銷量為50件.（3）由題意可得，，.故要使利潤達到最大，應將價格定位8.75元.【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程，解題時只要根據已知公式計算，計算能力是正確解答本題的基礎.20、（1）（2）證明見詳解.（3）能取整數,此時的取值集合為.【解題分析】

（1）利用遞推關系式,令,通過,求出即可.（2）遞推關系式轉化為：,化簡推出數列是等比數列.（3）由,求出,求出,得到通項公式,然后求解的分母與分子,討論要使取整數,需為整數,推出的取值集合為時,取整數【題目詳解】解：（1）令,則,將,代入,有.解得：.（2）由得,化簡得,又,是等比數列.（3）由,,又是等比數列,,,①當時,依次為,.②當時,,,,要使取整數,需為整數,令,,,要么都為整數,要么都不是整數,又所以當且僅當為奇數