2024屆河北保定市容城博奧學校數學高一第二學期期末統考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．以點和為直徑兩端點的圓的方程是（）A． B．C． D．2．（）A．4 B． C．1 D．23．的內角的對邊分別為成等比數列，且，則等于（）A． B． C． D．4．在正項等比數列中，，則（）A． B． C． D．5．在中，角均為銳角，且，則的形狀是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形6．用數學歸納法證明這一不等式時，應注意必須為（）A． B．， C．， D．，7．在公比q為整數的等比數列{an}中，Sn是數列{an}A．q=2 B．數列SnC．S8=510 D．數列8．如圖的折線圖為某小區小型超市今年一月份到五月份的營業額和支出數據（利潤=營業額-支出），根據折線圖，下列說法中正確的是（）A．該超市這五個月中，利潤隨營業額的增長在增長B．該超市這五個月中，利潤基本保持不變C．該超市這五個月中，三月份的利潤最高D．該超市這五個月中的營業額和支出呈正相關9．函數的最大值為（）A． B． C． D．10．若，A點的坐標為，則B點的坐標為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．方程的解集是____________.12．設的內角、、的對邊分別為、、，且滿足.則______.13．等比數列的公比為，其各項和，則______________.14．若，則__________．15．函數的零點的個數是______.16．等差數列中，，則其前12項之和的值為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在直三棱柱中，，，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．某廠家擬在2020年舉行促銷活動，經調查測算，某產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元，滿足（為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件，已知2020年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件，該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.（1）將2020年該產品的利潤（萬元）表示為年促銷費用（萬元）的函數；（2）該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？19．已知α為銳角，且tanα=（I）求tanα+（II）求5sin20．已知，（1）求；（2）若，求.21．已知數列的前項和為，且滿足（1）求數列的通項公式；（2）設，令，求

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

可根據已知點直接求圓心和半徑.【題目詳解】點和的中點是圓心，圓心坐標是，點和間的距離是直徑，，即，圓的方程是.故選A.【題目點撥】本題考查了圓的標準方程的求法，屬于基礎題型.2、A【解題分析】

分別利用和差公式計算，相加得答案.【題目詳解】故答案為A【題目點撥】本題考查了正切的和差公式，意在考查學生的計算能力.3、B【解題分析】

成等比數列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．【題目詳解】解：成等比數列，，又，，則故選B．【題目點撥】本題考查了等比數列的性質、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、D【解題分析】

結合對數的運算，得到，即可求解.【題目詳解】由題意，在正項等比數列中，，則.故選：D.【題目點撥】本題主要考查了等比數列的性質，以及對數的運算求值，其中解答中熟記等比數列的性質，合理應用對數的運算求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.5、C【解題分析】，又角均為銳角，則，，且中，，的形狀是鈍角三角形，故選C.【方法點睛】本題主要考查利用誘導公式、正弦函數的單調性以及判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；（3）根據余弦定理確定一個內角為鈍角進而知其為鈍角三角形.6、D【解題分析】

根據題意驗證，，時，不等式不成立，當時，不等式成立，即可得出答案.【題目詳解】解：當，，時，顯然不等式不成立，當時，不等式成立，故用數學歸納法證明這一不等式時，應注意必須為，故選：.【題目點撥】本題考查數學歸納法的應用，屬于基礎題．7、D【解題分析】

由等比數列的公比q為整數，得到a2<a3，再由等比數列的性質得出a1a4=a【題目詳解】由等比數列的公比q為整數，得到a2由等比數列的性質得出a1a4=a2aSn=a11-qnS8=2所以，數列lgan是以故選：D.【題目點撥】本題考查等比數列基本性質的應用，考查等比數列求和以及等比數列的定義，充分利用等比數列下標相關的性質，將項的積進行轉化，能起到簡化計算的作用，考查計算能力，屬于中等題。8、D【解題分析】

根據折線圖，分析出超市五個月中利潤的情況以及營業額和支出的相關性.【題目詳解】對于A選項，五個月的利潤依次為：，其中四月比三月是下降的，故A選項錯誤.對于B選項，五月的月份是一月和四月的兩倍，說明利潤有比較大的波動，故B選項錯誤.對于C選項，五個月的利潤依次為：，所以五月的利潤最高，故C選項錯誤.對于D選項，根據圖像可知，超市這五個月中的營業額和支出呈正相關，故D選項正確.故選：D【題目點撥】本小題主要考查折線圖的分析與理解，屬于基礎題.9、D【解題分析】

令，根據正弦型函數的性質可得，那么，可將問題轉化為二次函數在定區間上的最值問題．【題目詳解】由題意，令，可得，，∴，∴原函數的值域與函數的值域相同．∵函數圖象的對稱軸為，，取得最大值為．故選：D．【題目點撥】本題考查三角函數中的恒等變換、函數的值域，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意換元法的使用，將問題轉化為二次函數的值域問題.10、A【解題分析】

根據向量坐標的求解公式可求.【題目詳解】設，因為A點的坐標為，所以.所以，即.故選：A.【題目點撥】本題主要考查平面向量坐標的運算，側重考查數學運算的核心素養.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由方程可得或，然后分別解出規定范圍內的解即可.【題目詳解】因為所以或由得或因為，所以由得因為，所以綜上：解集是故答案為：【題目點撥】方程的等價轉化為或，不要把遺漏了.12、4【解題分析】

解法1有題設及余弦定理得.故.解法2如圖4，過點作，垂足為.則，.由題設得.又，聯立解得，.故.解法3由射影定理得.又，與上式聯立解得，.故.13、【解題分析】

利用等比數列各項和公式可得出關于的方程，解出即可.【題目詳解】由于等比數列的公比為，其各項和，可得，解得.故答案為：.【題目點撥】本題考查等比數列中基本量的計算，利用等比數列各項和公式列等式是關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.14、；【解題分析】

把分子的1換成，然后弦化切，代入計算．【題目詳解】．故答案為－1．【題目點撥】本題考查三角函數的化簡求值．解題關鍵是“1”的代換，即，然后弦化切．15、【解題分析】

在同一直角坐標系內畫出函數與函數的圖象，利用數形結合思想可得出結論.【題目詳解】在同一直角坐標系內畫出函數與函數的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數與函數的圖象的交點個數為，因此，函數的零點個數為.故答案為：.【題目點撥】本題考查函數零點個數的判斷，在判斷函數的零點個數時，一般轉化為對應方程的根，或轉化為兩個函數圖象的交點個數，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.16、【解題分析】

利用等差數列的通項公式、前n項和公式直接求解．【題目詳解】∵等差數列{an}中，a3+a10＝25，∴其前12項之和S126（a3+a10）＝6×25＝1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查等差數列的前n項和的公式，考查等差數列的性質的應用，考查運算求解能力，是基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析。（2）【解題分析】

（1）首先根據已知得到，再根據線面平行的判定即可得到平面.（2）首先根據線面垂直的判定證明平面，即可找到為與平面所成角，在計算其正弦值即可.【題目詳解】（1）因為分別是，的中點，所以四邊形為平行四邊形，即.平面，所以平面.（2）因為，為中點，所以.平面.所以為與平面所成角.在中，，，所以，.在中，，，所以.【題目點撥】本題第一問考查線面平行的判定，本題第二問考查線面成角，屬于中檔題.18、（1）；（2）廠家2020年的促銷費用投入3萬元時,廠家的利潤最大,為21萬元.【解題分析】

（1）由不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件，可求k的值，再求出每件產品銷售價格的代數式，則利潤（萬元）表示為年促銷費用（萬元）的函數可求.（2）由（1）得，再根據均值不等式可解.注意取等號.【題目詳解】（1）由題意知,當時,所以,每件產品的銷售價格為元.所以2020年的利潤；(2)由(1)知,,當且僅當,即時取等號,該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時,廠家的利潤最大,為21萬元.【題目點撥】考查均值不等式的應用以及給定值求函數的參數及解析式.題目較易，考查的均值不等式，要注意取等號.19、（I）tanα+π【解題分析】試題分析：（1）根據兩角和差的正切公式，將式子展開，根據題干中的條件代入即可；（2）這是其次式的考查，上下同除以cosα（I）tanα+（II）因為tanα=1520、（1）（2）【解題分析】

（1）兩邊平方可得，根據同角公式可得，；（2）根據兩角和的正切公式，計算可得結果.【題目詳解】（1）因為，所以，即.因