2024屆江西省九江一中數學高一第二學期期末學業水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．以下說法正確的是（）A．零向量與單位向量的模相等B．模相等的向量是相等向量C．已知均為單位向量，若，則與的夾角為D．向量與向量是共線向量，則四點在一條直線上2．設全集，集合，則（）A． B． C． D．3．中，角所對的邊分別為，已知向量，，且共線，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形4．中,在上,,是上的點,,則m的值（）A． B． C． D．5．把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人,則事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是()A．對立事件B．互斥但不對立事件C．不可能事件D．必然事件6．若，則函數的最小值是（）A． B． C． D．7．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則滿足條件的的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．無數多個8．下列命題中正確的是（）A．如果兩條直線都平行于同一個平面，那么這兩條直線互相平行B．過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直C．如果一條直線平行于一個平面內的一條直線，那么這條直線平行于這個平面D．如果兩條直線都垂直于同一平面，那么這兩條直線共面9．已知直線，若，則的值為（）A．8 B．2 C． D．-210．在中，且，則等于()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在數列中，若，則____．12．已知點是所在平面內的一點，若，則__________．13．已知等差數列{an}的公差為d，且d≠0，其前n項和為Sn，若滿足a1，a2，a5成等比數列，且S3＝9，則d＝_____，Sn＝_____.14．函數的單調增區間為_________.15．已知函數的圖象如下，則的值為__________．16．設，向量，，若，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．數列的前n項和滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）若數列為等差數列，且，求數列的前n項.18．已知函數，的部分圖像如圖所示，點，，都在的圖象上.（1）求的解析式；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.19．若的最小值為.（1）求的表達式；（2）求能使的值，并求當取此值時，的最大值.20．2016年崇明區政府投資8千萬元啟動休閑體育新鄉村旅游項目．規劃從2017年起，在今后的若干年內，每年繼續投資2千萬元用于此項目.2016年該項目的凈收入為5百萬元，并預測在相當長的年份里，每年的凈收入均為上一年的基礎上增長．記2016年為第1年，為第1年至此后第年的累計利潤（注：含第年，累計利潤=累計凈收入﹣累計投入，單位：千萬元），且當為正值時，認為該項目贏利．（1）試求的表達式；（2）根據預測，該項目將從哪一年開始并持續贏利？請說明理由．21．已知向量，，且.（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據零向量、單位向量、相等向量，向量的模、向量共線、向量數量積的運算的知識分析選項，由此確定正確選項.【題目詳解】對于A選項，零向量的模是，單位向量的模是，兩者不相等，故A選項說法錯誤.對于B選項，兩個向量大小和方向都相等才是相等向量，故B選項說法錯誤.對于C選項，由，故C選項說法正確.對于D選項，向量與向量是共線向量，但是這兩個向量沒有公共點，所以無法判斷是否在一條直線上.故D選項說法錯誤.故選：C【題目點撥】本小題主要考查向量的有關概念，考查向量數量積的運算，屬于基礎題.2、B【解題分析】

先求出，由此能求出．【題目詳解】∵全集，集合，∴，∴．故選B．【題目點撥】本題主要考查集合、并集、補集的運算等基本知識，體現運算能力、邏輯推理等數學核心素養．3、D【解題分析】

由向量共線的坐標表示得一等式，然后由正弦定理化邊為角，利用誘導公式得展開后代入原式化簡得，分類討論得解．【題目詳解】∵共線，∴，即，，，整理得，所以或，或或（舍去）．∴三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D.【題目點撥】本題考查三角形形狀的判斷，考查向量共線的坐標表示，考查正弦定理，兩角和的正弦公式，考查三角函數性質．解題時不能隨便約分漏解．4、A【解題分析】由題意得：則故選5、B【解題分析】試題分析：把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不可能同時發生，是互斥事件，但除了事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”還有“丙分得紅牌”，所以這兩者不是對立事件，答案為B.考點：互斥與對立事件.6、B【解題分析】

直接用均值不等式求最小值.【題目詳解】當且僅當,即時，取等號.故選：B【題目點撥】本題考查利用均值不等式求函數最小值,屬于基礎題.7、B【解題分析】

直接由正弦定理分析判斷得解.【題目詳解】由正弦定理得,所以C只有一解，所以三角形只有一解.故選：B【題目點撥】本題主要考查正弦定理的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8、D【解題分析】

利用定理及特例法逐一判斷即可。【題目詳解】解：如果兩條直線都平行于同一個平面，那么這兩條直線相交、平行或異面，故A不正確；過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直，不正確．反例：如果該直線本身就垂直于已知平面的話，那么可以找到無數個平面與已知平面垂直，故B不正確；如果這兩條直線都在平面內且平行，那么這直線不平行于這個平面，故C不正確；如果兩條直線都垂直于同一平面，則這兩條直線平行，所以這兩條直線共面，故D正確．故選：D．【題目點撥】本題主要考查了線線平行的判定，面面垂直的判定，線面平行的判定，線面垂直的性質，考查空間思維能力，屬于中檔題。9、D【解題分析】

根據兩條直線垂直，列方程求解即可.【題目詳解】由題：直線相互垂直，所以，解得：.故選：D【題目點撥】此題考查根據兩條直線垂直，求參數的取值，關鍵在于熟練掌握垂直關系的表達方式，列方程求解.10、A【解題分析】

在△ABC中，利用正弦定理與兩角和的正弦化簡已知可得，sin（A+C）＝sinB，結合a＞b，即可求得答案．【題目詳解】在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosAb，∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB，sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA，∴sin（A+C），又A+B+C＝π，∴sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，又a＞b，∴B．故選A．【題目點撥】本題考查兩角和與差的正弦函數與正弦定理的應用，考查了大角對大邊的性質，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據遞推關系式，依次求得的值.【題目詳解】由于，所以，.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查根據遞推關系式求數列某一項的值，屬于基礎題.12、【解題分析】

設為的中點，為的中點，為的中點，由得到，再進一步分析即得解.【題目詳解】如圖，設為的中點，為的中點，為的中點，因為，所以可得，整理得.又，所以，所以，又，所以．故答案為【題目點撥】本題主要考查向量的運算法則和共線向量，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，解答本題的關鍵是作輔助線，屬于中檔題.13、2n2.【解題分析】

由已知列關于首項與公差的方程組，求解可得首項與公差，再由等差數列的前項和求解.【題目詳解】由題意，有，即，解得，所以.故答案為：，.【題目點撥】本題考查等差數列的通項公式與前項和，考查等比數列的性質，屬于基礎題.14、【解題分析】

先求出函數的定義域，再根據二次函數的單調性和的單調性，結合復合函數的單調性的判斷可得出選項.【題目詳解】因為，所以或，即函數定義域為，設，所以在上單調遞減，在上單調遞增，而在單調遞增，由復合函數的單調性可知，函數的單調增區間為.故填：．【題目點撥】本題考查復合函數的單調性，注意在考慮函數的單調性的同時需考慮函數的定義域，屬于基礎題.15、【解題分析】

由函數的圖象的頂點坐標求出,由半個周期求出,最后將特殊點的坐標求代入解析式,即可求得的值.【題目詳解】解：由圖象可得,,得.,將點代入函數解析式,得,,,又因為,所以故答案為：【題目點撥】本題考查由的部分圖象確定其解析式.（1）根據函數的最高點的坐標確定（2）根據函數零點的坐標確定函數的周期求（3）利用最值點的坐標同時求的取值,即可得到函數的解析式.16、【解題分析】從題設可得，即，應填答案．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明；(2)【解題分析】

（1）利用與的關系，即要注意對進行討論，再根據等比數列的定義，證明為常數；（2）利用錯位相減法對數列進行求和.【題目詳解】解（1）當時，，所以因為①，所以當時，②，①-②得，所以，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數列.（2）由（1）知，，所以，因為，所以，設的公差為，則，所以所以，，所以，則，以上兩式相減得：，所以.【題目點撥】數列為等差數列，數列為等比數列，則數列的求和可采用錯位相減法求和，注意求和后要保證常數的準確性.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）由三角函數圖像，求出即可；（2）求出函數的值域，再列不等式組求解即可.【題目詳解】解：（1）由的圖象可知，則，因為，，所以，故.因為在函數的圖象上，所以，所以，即，因為，所以.因為點在函數的圖象上，所以，解得，故.（2）因為，所以，所以，則.因為，所以，所以，解得.故的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了利用三角函數圖像求解析式，重點考查了三角函數值域的求法，屬中檔題.19、（1）；（2）的最大值為【解題分析】試題分析：（1）通過同角三角函數關系將化簡，再對函數配方，然后討論對稱軸與區間的位置關系，從而求出的最小值；（2）由，則根據的解析式可知只能在內解方程，從而求出的值，即可求出的最大值.試題解析：（1）若，即，則當時，有最小值，；若，即，則當時，有最小值，若，即，則當時，有最小值，所以；（2）若，由所求的解析式知或由或（舍）；由（舍）此時，得，所以時，，此時的最大值為.20、(1)；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由題意知，第一年至此后第年的累計投入為（千萬元），第年至此后第年的累計凈收入為，利用等比數列數列的求和公式可得；（2）由，利用指數函數的單調性即可得出.試題解析：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計投入為8+2（n﹣1）=2n+6（千萬元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累計凈收入為+×+×+…+×=（千萬元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千萬元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，∴當n≤3時，f（n+1）﹣f（n）＜1，故當n≤2時，f（n）遞減；當n≥2時，f（n+1）﹣f（n）＞1，故當n≥2時，f（n）遞增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴該項目將從第8年開始并持續贏利．答：該項目將從2123年開始并持續贏利；方法二：設f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），則f′（x）=，令f'（x）=1，得=≈=5，∴x≈2．從而當x∈[1，2）時，f'（x）＜1，f（x