第八章非線性控制系統分析8.1非線性控制系統概述8.2常見非線性特性及其對系統運動的影響8.3相平面法8.4描述函數法1編輯課件8.1非線性控制系統概述一、研究非線性控制理論的意義實際上，理想的線性系統并不存在，組成系統的各元件的動態和靜態特性都存在著不同程度的非線性。典型非線性特性2編輯課件二、非線性系統的特征1.穩定性分析復雜，系統可能存在多個平衡狀態；時間響應曲線平衡狀態：x=0x=1平衡狀態的穩定性不僅與系統的結構和參數有關，而且與系統的初始條件有直接的關系。〔線性系統的特征：應用線性疊加定理〕3編輯課件2.可能存在自激振蕩現象；3.頻率響應發生畸變。長時間大幅度振蕩會造成機械磨損，增加誤差，因此多數情況下不希望系統有自振發生。但在控制中通過引入高頻小幅自振，可克服間隙、死區等非線性因素的不良有影響。非線性系統的頻率響應除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量(基頻分量)外，還含有關于w的高次諧波分量，使輸出波形發生非線性畸變。4編輯課件三、非線性系統的分析與設計方法1.相平面法--基于時域分析的圖解法通過在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運動形式。相平面法僅適用于一階和二階系統。2.描述函數法—基于頻域的等效線性化方法通過諧波線性化，將非線性特性近似表示為復變增益環節，然后推廣應用頻率法，分析非線性系統的穩定性或自激振蕩。5編輯課件3.逆系統法運用內環非線性反響控制，構成偽線性系統，并以此為根底，設計外環控制網絡。該方法應用數學工具直接研究非線性控制問題，不必求解非線性系統的運動方程，是非線性系統控制研究的開展方向。6編輯課件8.2常見非線性特性及其對系統運動的影響一、飽和特性xya-a斜率k0對系統的影響：1.使系統開環增益下降，對動態響應的平穩性有利；2.使系統的快速性和穩態跟蹤精度下降。7編輯課件二、死區特性△-△0斜率kxy對系統的影響：1.使系統產生穩態誤差；2.當系統輸入端存在小擾動信號時，在系統動態過程的穩態值附近，死區的作用可減小擾動信號的影響。8編輯課件三、間隙特性對系統的影響：增大系統的穩態誤差，降低系統的穩態精度，使過渡過程振蕩加劇，甚至造成系統的不穩定。一般來說，間隙特性對系統總是有害的，應該消除或消弱它的影響。0yxh-h斜率kc-c9編輯課件四、繼電特性0-MMyx對系統的影響：1可能會產生自激振蕩，使系統不穩定或穩態誤差增大；2.如選得適宜可能提高系統的響應速度。10編輯課件其他繼電特性0yx-MM-hh滯環+繼電0yx-MM-△△死區+繼電0yx-MM-△△死區+間隙+繼電11編輯課件8.3相平面法相平面法由龐加萊1885年首先提出，是一種求解一、二階常微分方程的圖解法。其實質是將系統的運動過程形象地轉化為相平面上一個點的移動，通過研究這個點的移動軌跡，就可獲得系統運動規律的全部信息。相平面法可以用來分析一、二階線性或非線性系統的穩定性、平衡位置、時間響應、穩態精度及初始條件和參數對系統運動的影響。相平面法繪制步驟簡單、計算量小，特別適用于分析常見非線性特性和一階、二階線形環節組合而成的非線性系統。12編輯課件一、相平面的根本概念設二階系統的常微分方程：tx(t)方程的解x--相變量以x(t)為橫坐標，x(t)為縱坐標構成的直角坐標平面。&相平面：相軌跡：相變量從初始時刻t0對應的狀態點起，隨著時間在相平面上運動形成的曲線。注意：相軌跡上箭頭必須標出，表示參量t增加的方向13編輯課件相平面圖：相平面及其上的相軌跡簇(多個初始條件下的運動對應多條相軌跡)組成的圖形。二、相軌跡的繪制方法1.解析法--解微分方程，然后在相平面上繪制相軌跡。從中解出x，對x求導得到，從x,中消去中間量t，就得到的關系。(1)消變量法14編輯課件(2)直接積分法例：設系統的微分方程為，初始條件為，試繪制系統的相軌跡。解：15編輯課件整理后得：相軌跡16編輯課件2.等傾線法--不解微分方程，直接在相平面上繪制相軌跡。等傾線：相平面上相軌跡斜率相等的諸點的連線。等傾線法根本思想：先確定相軌跡的等傾線，進而繪出相軌跡的切線方向場，然后從初始條件出發，沿方向場逐步繪制相軌跡。17編輯課件給定一組a值，就可得到一族等傾線，在每條等傾線上各點處作斜率為a的短直線，并以箭頭表示切線方向，那么構成相軌跡的切線方向場。只要從某一初始點出發，沿著方向場各點的切線方向將這些短線用光滑的曲線連接起來，便可以得到系統的一條相軌跡。18編輯課件解：例:用等傾線法繪制的相軌跡。當以(x0,0)為初始條件時，是一個圓。a=-∞…，-2，-1，-0.5，0，0.5…∞時畫等傾線19編輯課件本卷須知(4)等傾線分布越密，相軌跡越準確。(3)相軌跡與x軸垂直相交；(1)坐標軸x和比例尺相同；(2)上半平面，故x的走向應沿x的增加的方向由左向右，x隨t的增大而增大；下半平面，x走向沿x的減小的方向由右向左，x隨t的增大而減小；相軌跡方向箭頭表示。20編輯課件三、線性系統的相軌跡

1.線性一階系統的相軌跡微分方程：相軌跡方程：設系統初始條件為c(0)=c021編輯課件2.線性二階系統的相軌跡微分方程：特征根：相軌跡微分方程：等傾線方程：22編輯課件討論二階線性系統的相軌跡1.b<0時23編輯課件2.b=0時24編輯課件3.b>0時(1)0<z<1s1s2--具有負實部的共軛復根25編輯課件s1s2--互異負實根(3)z=1s1s2--相等負實根(2)z>126編輯課件s1s2--一對純虛根(5)-1<z<0s1s2--具有正實部的共軛復根(4)z=027編輯課件(6)z≤-1s1s2--兩個正實根28編輯課件四、奇點和奇線1.奇點--同時滿足和的點。奇點一定位于相平面的橫軸上；相軌跡在奇點處切線斜率不定，說明系統在奇點處可以按任意方向趨近或離開奇點，因此相軌跡族曲線在奇點處發生相交；經過奇點的相軌跡有多條，而經過普通點的相軌跡只有一條；在奇點處，系統運動的速度和加速度同時為零，對二階系統而言，系統不在發生運動，處于平衡狀態，因此相平面上的奇點也稱為平衡點。29編輯課件奇點(0,0)的類型焦點系統特征根是具有負實部的共軛復根時，奇點為穩定焦點；系統特征根是具有正實部的共軛復根時，奇點為不穩定焦點。節點系統特征根是具有負實根時，奇點為穩定節點；系統特征根是具有正實根時，奇點為不穩定節點。鞍點系統特征根是具有一正一負實根時，奇點為鞍點。中心點系統具有兩個共軛純虛數根，奇點稱為中心點。30編輯課件j0j0j0穩定焦點中心點不穩定節點不穩定焦點鞍點j0λ2λ1j0λ1λ2二階系統奇點(0,0)的類型λ1j0λ2節點31編輯課件非線性系統的奇點類型奇點附近關于△x的線性二階微分方程：將在奇點處展開成泰勒級數，略去高次項。求解上式特征根，從而判斷奇點類型。32編輯課件2.奇線最常見的奇線是極限環。相平面圖上如果存在一條孤立的封閉相軌跡，而且它附近的其他相軌跡都無限的趨向或離開這個封閉的相軌跡，那么這條封閉相軌跡稱為極限環。極限環是非線性系統特有現象；由于非線性特性的作用，使得系統能從非周期性的能源中獲取能量，從而維持周期運動形式。--將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區域的特殊相軌跡。33編輯課件極限環的類型1.穩定極限環0特點：極限環內外的相軌跡都卷向極限環，自振蕩是穩定的。2.不穩定極限環0特點：極限環內外的相軌跡都卷離極限環。34編輯課件3.半穩定的極限環a0b0環內、環外都不穩定，具有這種極限環的系統是不會產生自振蕩，系統的狀態最終是發散的。環內、環外都是穩定的，具有這種極限環的系統也不會產生自振蕩，系統的狀態最終是趨向于環內的穩定奇點。35編輯課件例8-2:非線性系統的微分方程為試求系統的奇點，并繪制系統的相平面圖。解：系統相軌跡微分方程：奇點(0,0)處36編輯課件系統在奇點(0,0)處有一對具有負實部的共軛復根，故奇點(0,0)為穩定的焦點。奇點(-2,0)處系統在奇點(-2,0)處有一正一負二個實根，故奇點(-2,0)為鞍點。37編輯課件由以上兩種奇點類型的相平面圖結合起來，可以畫出系統相平面圖的大致形狀，如以下圖所示。0-238編輯課件五、由相軌跡求取時間間隔1.增量法2.積分法3.圓弧法39編輯課件六、非線性系統的相平面分析方法：用幾條分界線將相平面分為幾個線性區域；按各段的微分方程畫出各區域的相軌跡；將各區域的相軌跡連成實的連續曲線。1.具有死區特性的非線性控制系統系統初始狀態為零，輸入r(t)=R.1(t)，試繪制偏差e的相平面圖。非線性特性曲線的折線的各轉折點，構成相平面區域的分界線——開關線40編輯課件系統微分方程：△△41編輯課件給定參數：T=1，Kk=1在I區：穩定焦點相軌跡為向心螺旋線(z=0.5)42編輯課件在II區：無奇點在III區：穩定焦點相軌跡沿直線收斂相軌跡為向心螺旋線(z=0.5)43編輯課件根據區域奇點類型及對應的運動形式，作相軌跡如以下圖實線所示。44編輯課件：T=1,K=4,e0=M0=0.2，假設系統開始處于零初始狀態，試做出r(t)=R.1(t)時系統的相平面圖。2.具有飽和特性的非線性控制系統解：根據結構圖，有：45編輯課件在I區：等傾線方程：46編輯課件等傾線為一簇水平線，斜率為a。漸近線(a=0)：在III區：等傾線方程：同理有漸近線(a=0)：在II區：將數據代入：特征根：奇點(原點)為穩定焦點47編輯課件根據區域奇點類型及對應的運動形式，作相軌跡如以下圖所示。48編輯課件當r(t)=0(t)，分析系統的性能。3.具有滯環的繼電特性的非線性控制系統49編輯課件在I區：等傾線方程：在II區：等傾線方程：由相圖可見，介于向外發散和向內收斂的相軌跡間存在著一個穩定的極限環。因此對這個系統而言，不管初始條件如何，系統最終處于自激振蕩狀態，振蕩的周期和振幅取決于系統的參數，而與初始條件無關。在閉環系統其它滯環特性中，也會引起自振，可見滯環特性惡化了系統的品質，使系統處于失控的狀態。50編輯課件8.4描述函數法描述函數法是達尼爾(P.J.Daniel)于1940年首先提出的，其根本思想是：當系統滿足一定的假設條件時，系統中非線性環節在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導出非線性環節的近似等效頻率特性，即描述函數。這時非線性系統就近似等效為一個線性系統，并可應用線性系統理論中的頻率法對系統進行頻域分析。描述函數法只能用來研究系統的頻率響應特性，不能給出時間響應確實切信息。51編輯課件一、描述函數的根本概念1.描述函數的定義典型非線性系統的結構圖-x(t)非線性部分Ny(t)c(t)r(t)線性部分G(s)非線性環節的輸入信號：非線性環節的穩態輸出：52編輯課件直流分量第n次諧波分量53編輯課件假設A0=0且當n>1時：說明：非線性環節可近似認為具有和線性環節相類似的頻率響應形式。定義：正弦輸入信號作用下，非線性環節的穩態輸出中一次諧波分量和輸入信號的復數比為非線性環節的描述函數，用N(A)表示：54編輯課件例8-3：設繼電特性為計算該非線性特性的描述函數。解：55編輯課件非線性特性為輸入x的奇函數時：

y(t)為奇函數，且又為半周期對稱時：非線性特性為輸入t的奇函數時：56編輯課件例8-4:設某非線性元件的特性為試計算其描述函數。解：Qy(x)為x的奇函數

Qy(t)為奇函數，且又為半周期對稱時57編輯課件由定積分公式得：4.非線性系統描述函數法分析的應用條件(1)非線性系統應簡化成一個非線性環節和一個線性局部閉環連接的典型結構形式；-x(t)非線性部分Ny(t)c(t)r(t)線性部分G(s)58編輯課件(2)非線性環節的輸入輸出特性應y(x)是x的奇函數，即f(x)=-f(-x)，或正弦輸入下的輸出為t的奇對稱函數，即y(t+p/w)=-y(t)，以保證非線性環節的正弦響應不含有常值分量，即A0=0；(3)系統的線性局部應具有較好的低通濾波性能。3.描述函數的物理意義非線性環節僅考慮基波分量，非線性環節的描述函數表現為復數增益的放大器。注意：描述函數表現為關于輸入正弦信號的幅值A的復變增益放大器，這正是非線性環節的近似頻率特性與線性系統頻率特性的本質區別。59編輯課件二、典型非線性特性的描述函數非線性元件得描述函數計算步驟：1.設非線性元件的輸入x(t)=Asinwt根據該元件的特性，確定其輸出y(t)的表達式；2.將y(t)展成傅立葉級數；3.取級數中的基波，求描述函數。60編輯課件典型非線性特性的描述函數1.理想繼電器特性2.死區繼電器特性61編輯課件3.滯環繼電器特性4.飽和特性62編輯課件5.死區飽和特性6.死區特性63編輯課件7.間隙特性8.變增益特性64編輯課件9.有死區的線性特性10.庫侖摩擦加粘性摩擦特性65編輯課件三、非線性系統的簡化1.非線性特性的并聯假設兩個非線性特性輸入相同，輸出相加、減，那么等效非線性特性為兩個非線性特性的疊加。66編輯課件3.線性環節的等效變換--結構框圖化簡2.非線性特性的串聯--圖解法兩個非線性環節的串聯，等效特性還取決于其前后次序，調換次序那么等效非線性特性亦不同。67編輯課件四、非線性系統穩定性分析的描述函數法1.變增益線性系統的穩定性分析閉環系統的特征方程：設G(s)的極點均在s左半平面當G(jw)不包圍(-1/K，j0)點時，系統閉環穩定；當G(jw)包圍(-1/K，j0)點時，系統閉環不穩定；當G(jw)穿過(-1/K，j0)點時，系統臨界穩定。j0G(jw)68編輯課件當G(jw)不包圍(-1/K，j0)直線，那么系統閉環穩定；當G(jw)包圍(-1/K，j0)直線時，那么系統閉環不穩定。設K1≤K≤K2，那么(-1/K，j0)為復平面實軸上的一段直線。j0G(jw)69編輯課件2.應用描述函數分析非線性系統的穩定性-x(t)非線性部分N(A)y(t)c(t)r(t)線性部分G(jw)設G(s)的極點均位于s左半平面閉環系統的特征方程：--非線性環節的負倒描述函數70編輯課件G(jw)與-1/N(A)曲線無交點：G(jw)包圍-1/N(A)，非線性系統不穩定。G(jw)不包圍-1/N(A)，非線性系統穩定。非線性系統的穩定性判據：假設G(jw)不包圍-1/N(A)曲線，那么非線性系統穩定；假設G(jw)包圍-1/N(A)曲線，那么非線性系統不穩定。71編輯課件例8-5:非線性系統結構如下圖，試分析系統的穩定性。解：對于線性環節，解得穿越頻率：非線性環節為庫侖摩擦加粘性摩擦特性，查表8-1得72編輯課件G(jw)包圍-1/N(A)曲線非線性系統不穩定3.非線性系統存在周期運動時的穩定性分析當G(jw)與-1/N(A)有交點時可解得交點處的頻率w和幅值A或73編輯課件系統處于周期運動時，非線性環節的輸入近似為等幅振蕩，即每一個交點對應著一個周期運動。如果該周期運動能夠維持，即考慮外界小擾動作用使系統偏離該周期運動，當該擾動消失后，系統的運動仍能恢復原周期運動，那么稱為穩定的周期運動。非線性系統存在周期運動的四種形式74編輯課件設系統周期運動的幅值為A0。當外界擾動使非線性環節輸入振幅減小到A1時，G(jw)包圍(-1/N(A1),j0)點，系統不穩定，振幅增大，最終回到N0點。外界擾動使輸入振幅增大到A2時，G(jw)不包圍(-1/N(A2),j0)點，系統穩定，振幅減小，最終回到N0點。因此N0點對應的周期運動是穩定的。75編輯課件外界擾動使非線性環節輸入振幅減小到A