2024屆浙江省溫州市“十五校聯合體”數學高一第二學期期末經典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，a、b分別為內角A、B的對邊，如果，，，則（）A． B． C． D．2．已知向量、的夾角為，，，則（）A． B． C． D．3．我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的3倍，則塔的底層共有燈A．81盞 B．112盞 C．162盞 D．243盞4．執行如圖所示的程序框圖，令，若，則實數a的取值范圍是A． B．C． D．5．在區間上隨機選取一個數，則的概率為（）A． B． C． D．6．在等差數列中，已知，則數列的前9項之和等于（）A．9 B．18 C．36 D．527．某三棱錐的左視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A．3 B．2 C． D．18．如圖所示，在ΔABC，已知∠A:∠B=1:2，角C的平分線CD把三角形面積分為3:2兩部分，則cosAA．13 B．12 C．39．已知的三個內角所對的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形10．下列敘述中，不能稱為算法的是（）A．植樹需要運苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟B．按順序進行下列運算：1+1＝2，2+1＝3，3+1＝4，…，99+1＝100C．從濟南到北京旅游，先坐火車，再坐飛機抵達D．3x＞x+1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在明朝程大位《算術統宗》中有這樣的一首歌謠：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈”.這首古詩描述的這個寶塔古稱浮屠，本題說“寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數是上一層的2倍，共有381盞燈，問塔頂有幾盞燈？”根據上述條件，從上往下數第二層有___________盞燈．12．設數列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），則數列{}的前10項的和為__．13．若點到直線的距離是，則實數=______．14．設a＞0，b＞0，若是與3b的等比中項，則的最小值是__．15．求值：_____．16．輾轉相除法，又名歐幾里得算法，是求兩個正整數之最大公約數的算法，它是已知最古老的算法之一，在中國則可以追溯至漢朝時期出現的《九章算術》．下圖中的程序框圖所描述的算法就是輾轉相除法．若輸入、的值分別為、，則執行程序后輸出的的值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量與不共線，且，.（1）若與的夾角為，求；（2）若向量與互相垂直，求的值.18．銳角三角形的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，，求面積.19．設遞增數列共有項，定義集合，將集合中的數按從小到大排列得到數列；（1）若數列共有4項，分別為，，，，寫出數列的各項的值；（2）設是公比為2的等比數列，且，若數列的所有項的和為4088，求和的值；（3）若，求證：為等差數列的充要條件是數列恰有7項；20．16種食品所含的熱量值如下：111123123164430190175236430320250280160150210123（1）求數據的中位數與平均數；（2）用這兩種數字特征中的哪一種來描述這個數據集更合適？21．在銳角中，角的對邊分別是，且.（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

先求出再利用正弦定理求解即可.【題目詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：A.【題目點撥】本題注意考查正弦定理的應用，屬于中檔題.正弦定理主要有三種應用：求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.2、B【解題分析】

利用平面向量數量積和定義計算出，可得出結果.【題目詳解】向量、的夾角為，，，則．故選：B．【題目點撥】本題考查利用平面向量的數量積來計算平面向量的模，在計算時，一般將模進行平方，利用平面向量數量積的定義和運算律進行計算，考查計算能力，屬于中等題.3、D【解題分析】

從塔頂到塔底每層燈盞數可構成一個公比為3的等比數列，其和為1．由等比數列的知識可得．【題目詳解】從塔頂到塔底每層燈盞數依次記為a1,a2,a3故選D．【題目點撥】本題考查等比數列的應用，解題關鍵是根據實際意義構造一個等比數列，把問題轉化為等比數列的問題．4、D【解題分析】該程序的功能是計算并輸出分段函數.當時，，解得；當時，，解得；當時，，無解.綜上，，則實數a的取值范圍是.故選D.5、C【解題分析】

根據幾何概型概率公式直接求解可得結果.【題目詳解】由幾何概型概率公式可知，所求概率本題正確選項：【題目點撥】本題考查幾何概型中的長度型概率問題的求解，屬于基礎題.6、B【解題分析】

利用等差數列的下標性質，可得出，再由等差數列的前項和公式求出的值.【題目詳解】在等差數列中，故選：B【題目點撥】本題考查了等差數列的下標性質、以及等差數列的前項和公式，考查了數學運算能力.7、D【解題分析】

根據三視圖高平齊的原則得知錐體的高，結合俯視圖可計算出底面面積，再利用錐體體積公式可得出答案．【題目詳解】由三視圖“高平齊”的原則可知該三棱錐的高為，俯視圖的面積為錐體底面面積，則該三棱錐的底面面積為，因此，該三棱錐的體積為，故選D.【題目點撥】本題考查利用三視圖求幾何體的體積，解題時充分利用三視圖“長對正，高平齊，寬相等”的原則得出幾何體的某些數據，并判斷出幾何體的形狀，結合相關公式進行計算，考查空間想象能力，屬于中等題．8、C【解題分析】

由兩個三角形的面積比，得到邊ACCB=32，利用正弦定理【題目詳解】∵角C的平分線CD，∴∠ACD=∠BCD∵S∴設AC=3x,CB=2x，∵∠A:∠B=1:2，設∠A=α,∠B=2α，在ΔABC中，利用正弦定理2xsin解得：cosα=【題目點撥】本題考查三角形面積公式、正弦定理在平面幾何中的綜合應用.9、B【解題分析】

利用三角形的內角關系及三角變換公式得到，從而得到，此三角形的形狀可判斷.【題目詳解】因為，故，整理得到，所以，因，所以即，故為等腰三角形，故選B.【題目點撥】本題考查兩角和、差的正弦，屬于基礎題，注意角的范圍的討論.10、D【解題分析】

利用算法的定義來分析判斷各選項的正確與否，即可求解，得到答案.【題目詳解】由算法的定義可知，算法、程序是完成一件事情的可操作的步驟：可得A、B、C為算法，D沒有明確的規則和步驟，所以不是算法，故選D.【題目點撥】本題主要考查了算法的概念，其中解答的關鍵是理解算法的概念，由概念作出正確的判斷，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6.【解題分析】

根據題意可將問題轉化為等比數列中，已知和，求解的問題；利用等比數列前項和公式可求得，利用求得結果.【題目詳解】由題意可知，每層懸掛的紅燈數成等比數列，設為設第層懸掛紅燈數為，向下依次為且即從上往下數第二層有盞燈本題正確結果；【題目點撥】本題考查利用等比數列前項和求解基本量的問題，屬于基礎題.12、【解題分析】試題分析：∵數列滿足，且，∴當時，．當時，上式也成立，∴．∴．∴數列的前項的和．∴數列的前項的和為．故答案為．考點：（1）數列遞推式；（2）數列求和.13、或1【解題分析】

由點到直線的距離公式進行解答，即可求出實數a的值．【題目詳解】點（1，a）到直線x﹣y+1＝0的距離是，∴；即|a﹣2|＝3，解得a＝﹣1，或a＝1，∴實數a的值為﹣1或1．故答案為：﹣1或1．【題目點撥】本題考查了點到直線的距離公式的應用問題，解題時應熟記點到直線的距離公式，是基礎題．14、【解題分析】由已知,是與的等比中項，則則，當且僅當時等號成立故答案為2【題目點撥】本題考查基本不等式的性質、等比數列的性質，其中熟練應用“乘1法”是解題的關鍵．15、【解題分析】

根據同角三角函數的基本關系：，以及反三角函數即可解決。【題目詳解】由題意．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數的基本關系，同角角三角函數基本關系主要有:,.屬于基礎題。16、【解題分析】

程序的運行功能是求，的最大公約數，根據輾轉相除法可得的值．【題目詳解】由程序語言知：算法的功能是利用輾轉相除法求、的最大公約數，當輸入的，，；，，可得輸出的．【題目點撥】本題主要考查了輾轉相除法的程序框圖的理解，掌握輾轉相除法的操作流程是解題關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）根據平面向量的數量積即可解決．（2）根據兩個向量垂直，數量積為0即可解決．【題目詳解】解：（1）（2）由題意可得：，即，，

.【題目點撥】本題主要考查了平面向量的數量積，及兩個向量垂直時數量積為0的情況，屬于基礎題．18、（1），（2）【解題分析】

（1）利用三角函數的和差公式化簡已知等式可得，結合為銳角可得的值．（2）由余弦定理可得，解得的值，根據三角形的面積公式即可求解．【題目詳解】（1）∵，∴∵∴可得：∵A，C為銳角，∴，可得：（2）∵∴由余弦定理，可得：，即，解得：或3，因為為銳角三角形，所以需滿足所以所以的面積為【題目點撥】本題主要考查了三角函數恒等變換及余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．19、（1），，，，；（2），；（3）證明見解析；【解題分析】

(1)根據題意從小到大計算中的值即可.(2)易得數列的所有項的和等于中的每個項重復加了次,再根據等比數列求和即可.(3)分別證明當時,若為等差數列則數列恰有7項以及當數列恰有7項證明為等差數列即可.【題目詳解】(1)易得當,,,時,,,,,.(2)若是公比為2的等比數列,且,則數列的所有項的和等于中每一項重復加了次,故.即,又,故,易得隨著的增大而增大.當時,當時,當時,故,此時.(3)證明：先證明充分性：若,且為等差數列,不妨設,則數列也為等差數列為的等差數列.且最小值為,最大值為.故數列恰有7項.再證明必要性：若數列恰有7項.則因為.故的7項分別為.又,可得,即.同理有,故為等差數列.綜上可知,若,則為等差數列的充要條件是數列恰有7項【題目點撥】本題主要考查了數列綜合運用,需要根據題意分析與的關系,將中的通項用中的項表達,再計算即可.同時也考查了推理證明的能力.屬于難題.20、（1）中位數為：，平均數為：；（2）用平均數描述這個數據更合適.【解題分析】

（1）根據中位數和平均數的定義計算即可；（2）根據平均數和平均數的優缺點進行選擇即可.【題目詳解】（1）將數據從小到大排列得：111，123，123，123，150，160，164，175，190，210，236，250，280，320，430，430.所以中位數為：，平均數為：；（2）用平均數描述這個數據更合適，理由如下：平均數反映的是總體的一個情況，中位數只是數列從小到大排列得到