高中數學立體幾何空間間隔

1.兩條異面直線間的間隔

和兩條異面直線分別垂直相交的直線,叫做這兩條異面直線的公垂線；兩條異面直線

的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度,叫做兩條異面直線的間隔.

2?點到平面的間隔

從平面外一點引一個平面的垂線，這點和垂足之間的間隔叫做這個點到這個平面的間

隔.

3.直線及平面的間隔

假如一條直線和一個平面平行，那么直線上各點到這平面的間隔相等，且這條直線上

隨意一點到平面的間隔叫做這條直線和平面的間隔.

4.兩平行平面間的間隔

和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩平行平面的公垂線，它夾在兩個平行平面

間的公垂線段的長叫做這兩個平行平面的間隔.

題型一：兩條異面直線間的間隔

【例1】如圖，在空間四邊形力石8中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=aiE、歹分

別是力B、8的中點.

⑴求證：EF是和8的公垂線；

(2)求48和8間的間隔；

【標準解答】(1)證明：連結ZF,BF,由已知可得

又因為力所以核1AS交于區

例1題圖

同理EF1DC交。。于點F.

所以EF是Z3和CD的公垂線.

(2)在9中，BF=^-a,BE=^a,

所以E#=B#_BE^=；a2,gpEF=^a

由(1)知界'是ZA8的公垂線段，所以48和8間的間隔為二歷A

【例2】如圖，正四面體的棱長為1,求異面直線43、。味'I、

設力B中點為區連CE、ED.'弋V二F

■：AC=BC,AE=EB.：.81月A同理DEVAB.

例2題圖

..?45_L平面CED設CD的中點為冏連EF,則AB^EF.

同理可證815戶」.EF是異面直線ZA8的間隔.

CE=,/.CF=FD=-,ZEFC=90°,EF=

22

：.AB.8的間隔是變.

2

【解后歸納】求兩條異面直線之間的間隔的根本方法:

(1)利用圖形性質找出兩條異面直線的公垂線，求出公垂線段的長度.

(2)假如兩條異面直線中的一條直線及過另一條直線的平面平行，可以轉化為求直線及平

面的間隔.

(3)假如兩條異面直線分別在兩個互相平行的平面內，可以轉化為求兩平行平面的間隔.

題型二：兩條異面直線間的間隔

【例3】如圖(1),正四面體的棱長為1,求：Z到平面

過Z作491平面BCZ?于O,連30并延長及。相交于E,連

AB=AC=AD,：.。岳OOOD」.O是△88的外心.又BD=BC=%3題圖

??.0是438的中心，：.JBO=^BE=^x^-=^-.

又力3=1,且NZO岳90°,：.AO=yjAB2-BO2邛.二./到平面38的

間隔是坐.

【例4】在梯形ABCD中,40IIBC,AABC=^,AB=a,AD=3a且sin/ADC=容又

平面ABCD,PA=a,

求：(1)二面角AC人力的大小；(2)點/到平面抽。的間隔.

【標準解答】(1)作力于況連結PF,

?：APV平面ABCD,AF]_DC,：.PF]_DC,

二ZPFA就是二面角P-CE^A的平面角.

在△AC>9中,NAW>90°,/ADQarcsing,AD=3a,：.AF=3a

忑'

在R3K4戶中tan/PFA=—=^-=^-,.\ZPFA=arctan也

AF3a33

⑵丁力1平面ABCD,R41BG又BCX.AB,

，BC_L平面月4星作2771%,則平面PBC,-：PA]_AB,PA=AB=a,

；.PB=叵a,；.AH吟a.

【例5】如圖，所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AECjF所截面而得

到的，其中AB=4,BC=2,CCi=3,BE=1.(I)求BF的長；(n)求點C

到平面AEC]F的間隔.

解法1：(I)過E作EH//BC交CCi于H,則CH=BE=1,EH//AD,且EH=AD.

?「AF//EC1,/.ZFAD=ZCjEH./.RtAADF^RtAEHCp

「.DF=CiH=2.:.BF=』BD。+DF。=2瓜

(n)延長C】E及CB交于G,連AG,

則平面AECiF及平面ABCD相交于AG.

過C作CM1AG,垂足為M,連CiM,

由三垂線定理可知AGJ_C】M.由于AG1面CiMC,

且AGu面AECiF,所以平面AECiFl面CiMC.

在RtACjCM中，作CQ_LMCi,垂足為Q,則CQ的長即為C到面AEC】F的間隔.

解法2:(I)建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0),B(2,4,0),

A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).設F(0,0,z).

???AECF為平行四邊形，

1,■>一_—??

(II)設々為面AECIF的法向量，顯然不垂直于平面4。尸,故可砌=(x,y,l)

又苗=(0,0,3),設西與1的夾角為a,則cosa==嚕.

|CGIT/I33

??.C到平面AEC1F的間隔為〃=五|cosa=3x^=辟.

【例6】正三棱柱的底面邊長為8,對角線與。=10,D是AC的中點。

(1)求點名到直線AC的間隔.(2)求直線到平面的間隔.

解：(1)連結BD,B]D,由三垂線定理可得：B^IAC,

所以用。就是B1點到直線AC的間隔。

2222

在RgBD中=^BXC-BC=A/10-8=6,BD=4后.

(2)因為AC及平面BDG交于AC的中點D,

設qCC8G=￡,則舫"/DE,所以AS，/平面GM,

所以A片到平面BDG的間隔等于A點到平面BDG

的間隔，等于C點到平面BDG的間隔，也就等于三棱

錐C—BDC}的局,yC-HDC,~%-BDC，

即直線想到平面BDG的間隔是粵?

【解后歸納】求空間間隔留意三點：

1.常規遵循一作二證三計算的步驟；

2.多用轉化的思想求線面和面面間隔；

3.體積法是一種很好的求空間間隔的方法.

【范例4]如圖，在長方體AC1中，AD=AAi=l,AB=2,點E在棱AB上挪動.

(1)證明：D1E1AQ;

(2)當E為AB的中點時，求點E到面ACDi的間隔；

(3)AE等于何值時，二面角Di—EC—D的大小為g.

解析：法1

(1);AEl面AAQDi,AQlADi,「ADlDiE

(2)設點E到面ACDi的間隔為力，在AACDi中，AC=CD產石，AD產正，

故5.=；?萬斤|=|,而必支=；-止8。=(

(3)過D作DH1CE于H,連D]H、DE,則D】H1CE,

???NDHD]為二面角Dt—EC—D的平面角.

設AE=x,貝l」BE=2-x

法2:以D為坐標原點，直線DA、DC、DDi分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系,

設AE=x,則處,g1)，D】(0,0,1),E0,x1O),A(l,0,0),C(0,2,0).

(1)因麻=(1,0,1),(1,X,—1)=0,所LD^E.

(2)因為E為AB的中點，則E(1,1,0),

從而證=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),福=(-1,0,1),

設平面ACDi的法向量為1=(a,Ac),

，一.

in-AC=0,…J-Q+2/?=0[a=2b

貝IJ_____也即八，得，

n-ADi=0,[-a+c=0[a=c

從而5=(2,1,2),所以點E到平面ADC的間隔為/^弊何二號工二:

(3)設平面DEC的法向量1=(a也c),

,

由《_____=>{,,..n令61,..c=2,a=2-x,

n-CE=0.a+b(x-2)=0.

—?"IT\n-DD,\

〃=(2-x,1,2).依題意cos一

\n\-\DD}|jQ_2)2+52

x,=2+73（不合，舍去），x2=2-V3.

.?.AE=2-6時，二面角Di—EC—D的大小為生.

?對應訓練分階提升

一、根底夯實

1.把邊長為a的正△ASC沿高線AO折成60°的二面角，則點A到8C的間隔是

（）

B.—a

中，AB=9,71015,/120°.△45。所在平面外一點尸到三個頂點

力、B、。的間隔都是14,那么點尸到平面a的間隔為（）

A.7B.9C.llD.13

3.從平面a外一點。向a引兩條斜線P4,陽.兒石為斜足，它們及a所成角的差是45°,

它們在a內的射影長分別是2cm和12cm，則尸到a的間隔是（）

A.4cmB.3cm或4cmC.6cmD.4cm或6cm

4.空間四點4、B、a。中，每兩點所連線段的長都等于a,動點尸在線段45上，

動點。在線段8上，則尸及。的最短間隔為（）

A.-aB.—aC.—aD.a

222

5.在四面體尸一45。中，PA.PB、尸。兩兩垂直.”是面45。內一點，且點“到三

個面R4APBC、0C4的間隔分別為2、3、6,則點聞到頂點尸的間隔是（）

A.7B.8C.9D.10

6.如圖，將銳角為60°,邊長為a的菱形/BCD沿較短的對角線折成60°的二面角，

則ZC及8。的間隔是（）

D/

7.如圖，四;）底面為正方形{BCD,PD=AD=1,設點C

叭4。

到平面R4B的間隔為&，點B到平面R4C的間隔為功，則有（）

A.1<&<%B4<%<1

C.d1<l<d2D4〈d<l

8.如圖所示，在平面a的同側有三點力、B、C,△45。的重心為G.假如4B、。、

G到平面a的間隔分別為a、b、c、d,那么a+b+c等于（）

A.2dB.3dC.4dD.以上都不對

9.如圖，：為a,/_A=t、“分別是ZABC.CD、

D4上的點且二=2,沿EH"兩銳角折起，使4。重合,

G

這時點4到平面為""而尚腕是

第8題圖廣*9題圖

TDv2cJ3n屈

Jo.----aL-?—aD.-----a

226

二、思維激活

10.二面角a-MMB等于60°,平面a內一點力到平面B的間隔的長為4,則點B

到a的間隔為.

11.在60°的二面角a—1—0中，/6a,401/于C,360,BD上1于D,又

AC=BD=a,CD=4ia,則4B兩點間間隔為.

12.設平面a外兩點Z和B到平面a的間隔分別為4cm和1cm,48及平面a所成的

角是60°,則線段為B的長是.

13.在直角坐標系中，已知43,2）,目-3,-2）沿y軸把直角坐標系折成平面角為a的二面

角Z—后,24。歷90°,貝ijcosa的值是.

三、實力進步

14.在邊長為a的菱形中，NZA>60°,0C1平面ZBCO,E是E4的中點，

求點后到平

面融。的間隔.

15.在直三棱柱力馬G中，NACB為直角,側面工身及側面ZG所成的二面

角為60°,河為441上的點.N4〃G=30°,ZBMG=90°,AB=a.

(1)求右”及側面力G所成角的正切值.

(2)求頂點力到面的間隔.

16.已知斜三棱柱ABC—AXBXCX的側面A1ABC垂直.N

CG

AB0900,60=2,，02目,且^4」4。,^41=力1。?

第15題圖

(1)求側棱4%及底面力所成角的大小；

(2)求側面414AB1及底面力所成二面角的大小;

(3)求頂點。到側面4月8a的間隔.

17.如圖，在棱長為a的正方體A0C八4瓦G2中，E、尸分別為棱力3及8C的

中點，EF及BD交于H.

(1)求二面角瓦一E-3的大小.

(2)試在棱身石上找一點跖使面左耳，并證明你的結論.

(3)求點2到面ER出的間隔.

空間的間隔習題解答

1.D折后?.點力到的間隔為

2.ABC=V92+152-2x9xl5cosl20°=21.第17題圖

ABC外接圓半徑R=—--=7后,

2sinl20°

二點P到CL的間隔為“鏟-(7我2=7.

3.D設尸O1CL垂足為0,1尸O|=Acm,N04QB,NO8aY3I^B-Y=45°,

tan|3=1,tany=,tan(|3-Y)=tan45°

綻開左邊并整理得:/-10*+24=0,解得與=6厭=4.

4.BR。的最短間隔即為異面直線力6及8間的間隔，當尸為48的中點，。為

8的中點時符合題意.

5.APM=y)22+32+62=7.

6.C取A0的中點。連4O、OG作。石1ZC于石,貝I」OE為所求，:.AO=CO=AC=號.

7.D點。到平面R4B的間隔d產自，

點B到平面E4C的間隔5=f,

h

<.4<d〈l?

db+c

8.B\MM'戶比，又一^=-..\a+b+c=3d.

~a----------3

2

9.A設m的中點為O,

+(5)-2xlxlcos60°>點力到平面的間隔為=1.

10.2作為C1MV于C,連BC,貝ljBC1MN,

：./_ACB=^°,又M7V_L平面40G

平面力BC_L平面a,作虞?14。于。，則BDlci,

???由的長即為所求，得BD=2.

11.也aAB=^a2+a2+(V2a)2-2-a-a-cos60°=V3?.

第13題圖解

12.2V3cm或1°3cm

3

當點4B在a同側時，

sin60°

當點力、石在a異側時，工色—^而=呼

sm603

13.1如圖,ZF，=VOA2+OB2=72(22+32)=V26

?.?3。，尸軸,5'Cly軸，

ZB'CB"為二面角—吩B的平面角.

AB'CB'=a，在amCB'中,mC=B'0=3,

B'B'=7^二由余弦定理易知cosa=1.

14.如圖，將點E到平面陽。的間隔轉化成線面距，再轉化成點面

連力C、BD,設ZC、3。交于O,則EO//平面咫C,

??.OE上任一點到平面PBC的間隔相等.

絡1ABtSra^a

?/平面PBC\_平面ABCD,

過。作OG_L平面PBC,則GEBC,

又NACB=60°,AC=BC=AB=a,

OC=-,OG=OCsin60°=叵.

24

點評：若干脆過E作平面PBC的垂線，垂足難以確定.在解答求間隔時，要留意間

隔之間的互相轉化有的能起到意想不到的效果.

15.⑴?.?三棱柱43C—4BC為直三棱柱，???/期。為二面角區一44i—G的平面角，

.?./期0=60°.

又???/ZC3為直角，」.SCI側面力G.

連MC,則MC是在側面力G上的射影.

ZBMC為8”及側面AQ所成的角.

且/C"G=90°,ZAMG=30°,所以/力MO=60°.

設貝ljMO1222,

所以

即及側面ZG所成的角的正切值為:

(2)過力作力"1MC,垂足為M貝IJZ7V7/面加BG.

?.?面府C1面癡G,且過"作版1MB,垂足為

則7VH是"到面頻G的間隔,也就是&到面MBG的間隔.

'：AB=a,AC=^,^^ACN=3Q°,

：.AN=-^/.AMN=^Q)0,：.MN=—a.

412

B

.??7V77%in/El心得a義粵”(本題還可用等積法).

16.⑴如圖所示，作4O1ZC,垂足為。由面4力CG_1_面ABC,得42L面力

.?.ZA}AD為A.A及面力BC所成的角

.「441140,41=4。

.../440=45°為所求.

(2)作垂足為E,連4E,則由面45G得A.E1.AB,

N4E。是面A}ABB}及面ZBC所成二面角的平面角.

由已知得。E//BC,又。是的中點,BO=2,ZO=2百

：.DE=\,AD=AXD=^>,X.3XY/_AXED=^-=^>^/_AXED=^0為所求.

DE

(3)連結4區依據定義，點。到面445回的間隔，即為三棱錐43的高力.

由^C—AIA^K11XEC得gSAAAIB/I=；S^ABC-

即gx2后/=gx2五x石，.?.力=百為所求.

17.⑴如圖連結MR,AC,B】H,D、------□Ci

.??底面為正方形4S8,iW

yc

'F

對角線ZCJ_3D

又???￡、戶分別為力ABC的中點第17題圖解

：.EF\\AC.：.EF\_BD.

又?.?棱為Bl底面4SCA,EP基面AECD,：,EFVBXB.

又3BnBD=B,BBX旦面BBiDxD,用”面BB}DxD.

：.EF\_面BBXDiD.

而8i月與面BH壓面B&DiD,：.EF\_BxHyEF\_BH.

為二面角瓦一EjB的平面角.

在Rt△3中，BxB=a,BH=^a,

；.tan/BiHB=晅=2桓.

Z3770=arctan2V2.

.??二面角Bi-EF—B的大小為arctan2V2.

⑵在棱右田上取中點M,連DiM,

則面環耳.連結GM

,/EF]_面BBiDiD,A川旦面D\D.

：.DXM\_EF.

又?..RG_L面BiBCG.

GM為2”在面BXBCCX內的射影.

在正方形aBCG中，M、F分別為耳B和的中點，

由平面幾何學問BiELGM

于是，由三垂線定理可知百?2”,

而2面區陽1,EF，'面EEBi,EFCBiF=F,

」.AML面EFBi，

⑶設及面E股交于"點，則2"為點。到面初石1的間隔,

■：7V耳面EFBiQiM1面EFB,,

:.BiNLDiM.

在中，由射影定理DiB/=D[N-AM,

2

而DiBi=6M=7B,/）|+B[M-=-|a,

■,DAN=^^=-a.

DXM3

即點D\到面EFB｝的間隔為全.

高中數學立體幾何空間間隔的計算（學生版）

1.兩條異面直線間的間隔

和兩條異面直線分別垂直相交的直線，叫做這兩條異面直線的公垂線；兩條異面直線

的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度,叫做兩條異面直線的間隔.

2?點到平面的間隔

從平面外一點引一個平面的垂線，這點和垂足之間的間隔叫做這個點到這個平面的間

隔.

3.直線及平面的間隔

假如一條直線和一個平面平行，那么直線上各點到這平面的間隔相等，且這條直線上

隨意一點到平面的間隔叫做這條直線和平面的間隔.

4.兩平行平面間的間隔

和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩平行平面的公垂線，它夾在兩個平行平面

間的公垂線段的長叫做這兩個平行平面的間隔.

題型一：兩條異面直線間的間隔

【例1】如圖，在空間四邊形力中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=afE、尸分

別是45、8的中點.

⑴求證：石戶是力彳和8的公垂線；(2)求力6和8間的間隔

【例2】如圖，正四面體ABC。的棱長為1,求異面直線ZAC

D,

【解后歸納】求兩條異面直線之間的間隔的根本方法：

(1)利用圖形性質找出兩條異面直線的公垂線，求出公垂線段的長度.例例題，鄙

(2)假如兩條異面直線中的一條直線及過另一條直線的平面平行，可以轉化為求直線及平

面的間隔.

(3)假如兩條異面直線分別在兩個互相平行的平面內，可以轉化為求兩平行平面的間隔.

題型二：兩條異面直線間的間隔

【例7】如圖，正四面體458的棱長為1,求：4到平面的

【例8】在梯形ABCD中,4。IIBC,Z_ABC=^,AB=a,AD=3a且

例3題圖

Q41平面ABCD,PA=a,

求：⑴二面角—^乂的大小；(2)點5到平面咫。的間隔.

【例9】如圖，所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AECiF所截面而得

至的，其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(I)求BF的長；(II)求點C

到平面AECiF的間隔.

【例10】正三棱柱A5C-4SG的底面邊長為8,對角線鳥C=1O,D是AC的中點。

(1)求點名到直線AC的間隔.(2)求直線A4到平面G處的間隔.

【解后歸納】求空間間隔留意三點：

1.常規遵循一作二證三計算的步驟；2.多用轉化的思想求線面和面面間隔；

3.體積法是一種很好的求空間間隔的方法.

【例⑴如圖，在長方體AC1中，AD=AAi=l,AB=2,點E在棱AB上挪動.

(1)證明：D]ElAiD;(2)當E為AB的中點時，求點E到面ACD1的間隔；

(3)AE等于何值時，二面角Di—EC—D的大小為

4

?對應訓練分階提升

一、根底夯實

1.把邊長為a的正△ASC沿高線49折成60°的二面角，則點力到的間隔是

()

A.aB.逅aC.—aD.亟a

234

中，AB=9,AC=15,/A4C=120°.△4BC所在平面外一點尸到三個頂點

4B、。的間隔都是14,那么點尸到平面a的間隔為()

A.7B.9C.llD.13

3.從平面a外一點尸向a引兩條斜線R4,陽上,石為斜足，它們及a所成角的差是45°,

它們在a內的射影長分別是2cm和12cm，則尸到a的間隔是()

A.4cmB.3cm或4cmC.6cmD.4cm或6cm

4.空間四點力、B、C.。中，每兩點所連線段的長都等于a,動點尸在線段46上，

動點。在線段8上，則尸及。的最短間隔為()

\.-aB.—?C.—aD.a

222

5.在四面體尸一ZBC中，PA.PB、尸。兩兩垂直是面45。內一點，且點用到三

個面A48、PBC、0C4的間隔分別為2、3、6,則點用到頂點尸的間隔是)

A.7B.8C.9D.10

6.如圖，將銳角為60°，邊長為a的菱形力沿較短的對角線折成60°的二面角,

則力。及3。的間隔是

當

B.C.D.—a

7.如圖,四;：J底面為正方形\BCD,PD=AD=1,設點C

到平面的RDc到平面R4C國則有)

A._&<心<1

第6題圖第7題圖

C.d1<l<d2D&VdV1

8.如圖所示,在平面a的同側有三點4B、C,的重心為G.假如4、B、a

G到平面a