菱形的判定數學華師大版八年級下新知導入取兩根長度不等的細紙條，將兩根紙條的中點重合并固定在一起，用筆和直尺畫出紙條四個端點的連線，則這四條線段組成一個什么圖形，若轉動其中一根紙條，使兩根紙條之間的夾角等于90°，請猜想這時圖形的形狀是什么圖形？新知講解1．定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．菱形的定義作為我們判定菱形的基本方法，接下來我們從邊上來研究菱形的判定方法．∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD．∴四邊形ABCD是菱形．數學語言新知講解四條邊相等的四邊形是菱形．菱形的四條邊相等．逆命題這個逆命題成立嗎？新知講解作一個四條邊都相等的四邊形．步驟：1．畫兩條相等的線段AB、CD；2．分別以點B和點D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧相交于點C；3．連結BC、CD，即得一個四條邊都相等的四邊形ABCD．這個四邊形是菱形嗎？新知講解命題：四條邊相等的四邊形是菱形．已知：在四邊形ABCD中，

AB=BC=CD=DA．求證：四邊形ABCD是菱形．證明：∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形．定理：四條邊相等的四邊形是菱形．菱形判定定理1新知講解有三條邊相等的四邊形是菱形嗎？請同學動手畫一畫，你發現什么結論？結論：有三條邊相等的四邊形不是菱形．新知講解數學語言：在四邊形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形．菱形的判定1：四條邊都相等的四邊形是菱形．新知講解例4如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是四條邊的中點，試問四邊形EFGH是什么圖形？并說明理由．解：∵H點為AD的中點，∴AH=HD，∵E點為AB的中點，AE=AB，G點為DC的中點，DG=CD，又∵AB=DC，∴AE=DG．∵∠HAE=∠HDG，∴△EAH≌△GDH，∴HE=HG，同理EF=FG=HG=HE，∴四邊形EFGH是菱形．新知講解若四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，則四邊形ABCD是不是菱形？結論：對角線互相垂直的四邊形不能判定為菱形．對角線互相垂直的平形四邊形是菱形嗎？新知講解作一個兩條對角線互相垂直的平行四邊形．步驟：1．作兩條互相垂直的直線m，n，記交點為點O；2．以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，在直線m上截取相等的兩條線段OA、OC；3．以點O為圓心，另一適當長為半徑畫弧，在直線n上截取相等的兩條線段OB、OD；4．順次連結所行的四點，即得一個對角線互相垂直且平分的四邊形ABCD，顯然，它是一個對角線互相垂直的平行四邊形．這個平行四邊形是菱形嗎？新知講解命題：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．已知：在平行四邊形ABCD中，AC⊥BD．求證：平行四邊形ABCD是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC．又∵AC⊥BD，∴BA=BC，

∴平行四邊形ABCD是菱形．（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．新知講解數學語言：∵在□ABCD中，AC⊥BD，∴□ABCD是菱形．菱形的判定2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．平行四邊形ABCDAC⊥BD菱形ABCD新知講解取兩根長度不等的細紙條，將兩根紙條的中點重合并固定在一起，用筆和直尺畫出紙條四個端點的連線，則這四條線段組成一個什么圖形，若轉動其中一根紙條，使兩根紙條之間的夾角等于90°，請猜想這時圖形的形狀是什么圖形？這四條線段組成平行四邊形，理由：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．當兩根紙條之間的夾角等于90°時，這時圖形是菱形，理由：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．新知講解例5如圖，已知矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F．

求證：四邊形AFCE是菱形．分析：要證四邊形AFCE是菱形，由已知條件可知EF⊥AC，所以只需證明四邊形AFCE是平行四邊形，又知EF垂直平分AC，所以只需證明OE=OF．新知講解證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠1=∠2，∵EF平分AC，∴OA=OC．又∵∠AOE=∠COF=90°，∴△AOE≌△COF．∴四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．1、判斷題（1）對角線互相垂直的四邊形是菱形（）（2）一條對角線垂直另一條對角線的四邊形是菱形（）（3）對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形（）（4）對角線相等的四邊形是菱形（）（5）對角線互相平分且鄰邊相等的四邊形是菱形（）（6）兩組對邊分別平行且一組鄰邊相等的四邊形是菱形（）課堂練習×√××√√課堂練習2．□ABCD的對角線AC與BD相交于點O，

（1）若AB=AD，則□ABCD是

形；

（2）若AC=BD，則□ABCD是

形；

（3）若∠ABC是直角，則□ABCD是

形；

（4）若∠BAO=∠DAO，則□ABCD是

形．菱矩矩菱課堂練習3、下列命題中正確的是（）A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形B．三條邊相等的四邊形是菱形C．四條邊相等的四邊形是菱形D．四個角相等的四邊形是菱形4、對角線互相垂直且平分的四邊形是（）A．矩形B．一般的平行四邊形C．菱形D．以上都不對5、下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD，AC與BD互相平分B．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDC．AB=BC=CD=DAD．AB=CD，AD=BC，AC⊥BDCCB課堂練習6、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點，且AE∥CD，CE∥AB．證明：四邊形ADCE是菱形．證明：∵∠ACB=90°，D為AB的中點，∴AD=CD=BD．∵AE∥CD，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形且AD=CD，∴四邊形ADCE是菱形．拓展提高7、如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，BD平分∠ABC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）過點D作DE⊥BD，交BC的延長線于點E，若BC=5，BD=8，求四邊形ABED的周長．拓展提高（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AD=AB，∵BA=BC，∴AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵BA=BC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90°，∵CB=CD，∴∠DBC=∠BDC，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE=BC，∴BE=2BC=10，∵BD=8，∴DE==6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=5，∴四邊形ABED的周長=AD+AB+BE+DE=26．中考鏈接【2018?四川】如圖，在?ABCD中，E，F分別是AD，BC上的點，且DE=BF，AC⊥EF．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD//BC，

∵DE=BF，

∴AE=CF，∵AE//CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AC⊥EF，

∴四邊形AECF是菱形．

課堂總結有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．對角線互相垂直的平