東北三省四市2022屆高三數(shù)學(xué)高考模擬考試（一）理

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知集合4={小歸3},8={小42},則集合A03=（）

A.1x|0<x<3jB.|x|-3<x<21

C.1x|0<x<2!D.{x|2W}

2.若復(fù)數(shù)z=的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為（）

〃+1

A.-3B.-1C.1D.3

3.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在（。,y）上單調(diào)遞減是（）

A.y=%44-x2B.y=”

C.y=ex-e~xD.y=ln|x|

4.已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為3和2,則分別以長(zhǎng)與寬所在直線為旋轉(zhuǎn)軸的圓柱體的體積之比為（）

A.3：2B.2：3C.9：4D.4：9

5.納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算

籌（1617）,而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書(shū)》，并且發(fā)明了對(duì)數(shù)尺，可以利用

對(duì)數(shù)尺查詢出任意一對(duì)數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是7；（℃），空氣的溫度是

?；（℃）,經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度7CC）可由公式，=41。83名會(huì)得出，如溫度為90℃的物體，放在空

1-0

氣中冷卻約5分鐘后，物體的溫度是30C,若根據(jù)對(duì)數(shù)尺可以查詢出10g32=0.6309,則空氣溫度約是（）

A.5℃B.10℃C.15℃D.20℃

6.設(shè)/，加力表示直線，a,尸表示平面，使成立的充分條件是（）

A.a工0,111（3B.al。,/u/

C.lUn,nLaD.根ua,

22

7.已知橢圓G1+六=1（人>0）上的動(dòng)點(diǎn)戶到右焦點(diǎn)距離的最小值為3—2a，則》=（）

A.1B.V2C.6D.V6

8.已知隨機(jī)變量下列表達(dá)式正確的是()

4

A.P(X=2)=—B.￡(3X+1)=4

81

4

C￡>(3X4-1)=8D.D(X)=-

9.對(duì)于函數(shù)〃x)=2cos(2x-?),下列結(jié)論正確的是()

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.7(x)在(),—上最大值為2

=2sinf2x+yjjrrr

D./(x)在一§，］上單調(diào)遞增

10.已知數(shù)列｛為｝滿足(《川一1)(。“+1)+2=0,4=g,則數(shù)列｛q｝的前2022項(xiàng)積為()

123

A.---B.-C.-6D.一

632

11.已知點(diǎn)耳和居是雙曲線G二—二=1(a>0/>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)《作雙曲線C的漸近線的垂

ab~

線，垂足為〃，且后川=3歸川，則雙曲線「的離心率為()

A?乎

C.V2D.V3

B-T

12.己知函數(shù)/")=店1一1,g(x)=x+a+lnx,若/(x)》g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A(-1,0]B.(0,1]C.D.(F,1]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知公差不為0的等差數(shù)列｛4｝中，%=5,4,%，生成等比數(shù)列，則數(shù)列｛〃“｝的公差〃=

14.己知函數(shù)〃X)=X2-2X,則，〃x)dx的值為.

15.AABC中，滿足通+而=2祝，且|說(shuō)|=1，點(diǎn)尸滿足Q=2雨，則西?(而+定)=

16.現(xiàn)有四棱錐P—A3CZ)(如圖)，底面/靦是矩形，平面/況〃PA^AB=1，AD=3,點(diǎn)、E,

尸分別在棱AB,BC上.當(dāng)空間四邊形陽(yáng)冷的周長(zhǎng)最小時(shí)，異面直線PE與"?'所成角的余弦值為.

2

I'

三.解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都

必須作答.第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.在AABC中，角4反。所對(duì)的邊分別是a、6、c,△ABC的面積為S,B.b2+c2-a2=-43-S.

3

(1)求角小

(2)若b=2,a=#i,求AABC面積.

18.已知直三棱柱中ABC-45cl中，AABC為正三角形，￡為48的中點(diǎn)，二面角E—A0-A的大小為

71

7,

（1）求證：8。1//平面4七。；

（2）求直線比■與平面AEC所成角的正弦值.

19.今年全國(guó)兩會(huì)期間，習(xí)近平總書(shū)記在看望參加全國(guó)政協(xié)十三屆五次會(huì)議的農(nóng)業(yè)界、社會(huì)福利和社會(huì)保障

界委員時(shí)指出“糧食安全是‘國(guó)之大者'.悠悠萬(wàn)事，吃飯為大.”某校課題小組針對(duì)糧食產(chǎn)量與化肥施用

量以及與化肥有效利用率間關(guān)系進(jìn)行研究，收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作

了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.每畝化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量

為y（單位：百公斤）.

3

川

8

6

4

2

~O―2~4~6~8~1012141618202224262830*

參考數(shù)據(jù):

1010101010101010

以IX*Zj2號(hào)

/1=]1=11=1i=l/=1/=1i=\i=l

65091.552.51478.630.5151546.5

表中=Inxi,z,.=lny,.(z=1,2,…,10)

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+區(qū)與y=c/,哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于每畝化肥施用量x的回歸

方程(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)；

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測(cè)每畝化肥施用量為27公斤時(shí)，糧

食畝產(chǎn)量y的值；(e22.7)

(3)通過(guò)文獻(xiàn)可知，當(dāng)化肥施用量達(dá)到一定程度，糧食產(chǎn)量的增長(zhǎng)將趨于停滯，所以需提升化肥的有效利

用率，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得，化肥有效利用率Z~N(0.54,(HE?),那么這種化肥的有效利用率超過(guò)56%的概率為多少？

附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)(乙,匕)(?=1,2,3,???,?),其回歸直線6=6〃+位的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

10__

Z/4-nuv

P=---------,a=v-pu.②若隨機(jī)變量Z:N(〃,b2),則有P(〃—b<Z<〃+b)^0.6827,

-nu2

i=\

P(/i-2bvZv4+2cr)?0.9545.

20.已知函數(shù)/(x)=l-儂葉1),xe(0,k).

X

x

(1)證明：0</(x)<5；

⑵若數(shù)列｛x〃｝滿足玉二；,當(dāng)+]="%〃)，證明：VnGN*，

4

21.已知拋物線E-.x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為?的直線被E所截得的弦長(zhǎng)為16.

(1)求拋物線E的方程；

(2)已知點(diǎn)C為拋物線上的任意一點(diǎn)，以C為圓心的圓過(guò)點(diǎn)口，且與直線y=相交于A8兩點(diǎn)，求

|/%卜|九耳?|照的取值范圍.

22.如圖，在極坐標(biāo)系念中，方程夕=a(l—sin8)(a>0)表示的曲線G是一條優(yōu)美的心臟線.在以極軸

X=t

公所在直線為X軸，極點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系X如中，已知曲線。2的參數(shù)方程為<r(t為參

y=yJ3t

數(shù)，Kz>0).

(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程；

(2)當(dāng)a=2時(shí)，G與交于點(diǎn)兒將射線力繞極點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2，交G于點(diǎn)氏求麗?礪的

6

值.

23.設(shè)函數(shù)/(x)=|2x-l|+|2x+l|.

(1)求不等式/(x)<3的解集；

⑵設(shè)a,。是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，若函數(shù)/(x)的最小值為處且證明：8十同S2.

5

東北三省四市2022屆高三數(shù)學(xué)高考模擬考試答案（一）理

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知集合4=卜卜區(qū)3bB={x|x<2},則集合AD3=（）

A.^x|O<x<3|B.{x|-3<x<2}

C.1x|0<x<2}D.{x[2?x<3}

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合A,B,再利用交集的運(yùn)算即可求出4nB.

【詳解】化簡(jiǎn)A={x|-3〈xW3},B={x\x<2},所以AcB={x|-3?x?2}.

故選：B.

2.若復(fù)數(shù)z=2±I的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為（）

a+i

A-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法，將復(fù)數(shù)z表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等求出實(shí)數(shù)。的值.

2+i(2+i)(〃-i)2a+l+(a-2)i

【詳解】解:

a+i(a+i)(a-i)a14-1

。I.

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z=-的實(shí)部與虛部相等,

Q+l

所以2I+1=Q—2,解得a=—3

故實(shí)數(shù)a的值為。=—3.

故選：A

3.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=x4+x2B.y=e」"

C.y=ex-e_xD.>=1中

【答案】B

【解

6

【分析】由偶函數(shù)的定義以及指對(duì)幕函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,f(x)=xi+x2,/(1)=2</(2)=20,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,令/(x)=e山，/(—%)=/"=八劃，則>=針乂為偶函數(shù)，當(dāng)x>00寸，y=eN=e7=-,

則y=e川在(0,+。)上單調(diào)遞減，故B正確：

對(duì)于Cf(x)=ex-e-x,f(-x)=ex-ex^f(x),故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)x>0時(shí)，y=ln|%|=lnx,y=ln|x|在(0,+。)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；

故選：B

4.已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為3和2,則分別以長(zhǎng)與寬所在直線為旋轉(zhuǎn)軸的圓柱體的體積之比為()

A.3：2B.2：3C.9：4D.4：9

【答案】B

【解析】

【分析】分別求出兩圓柱的體積，即可得到比例關(guān)系；

【詳解】解：若以長(zhǎng)為軸，則圓柱的高〃=3,底面半徑r=2,此時(shí)圓柱的體積X=萬(wàn),九=12乃，

若以寬為軸，則圓柱的高A=2,底面半徑4=3,此時(shí)圓柱的體積匕=萬(wàn)//1,=18乃，

乂2

所以工=了

故選：B

5.納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則(1614)和納皮爾算

籌(1617),而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書(shū)》，并且發(fā)明了對(duì)數(shù)尺，可以利用

對(duì)數(shù)尺查詢出任意一對(duì)數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是Z(℃)，空氣的溫度是

T-T

4(℃),經(jīng)過(guò)￡分鐘后物體的溫度7(℃)可由公式/=41og3之黃得出，如溫度為90C的物體，放在空

氣中冷卻約5分鐘后，物體的溫度是30℃,若根據(jù)對(duì)數(shù)尺可以查詢出1*32=0.6309,則空氣溫度約是()

A.5℃B.10℃C.15℃D.20℃

【答案】B

【解析】

7

90-T

【分析】由題意可知5=410g,且一段，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：由題意可知5=41og3答稱，

90-T

整理得三號(hào)=L25,

JU-A）

90-71）

vlog2=0.6309,所以210g32=log,4=0.6309x2=1.2618,：.——?4,

3JU一/（）

解得"=10.

???空氣溫度是10°C.

故選：B.

6.設(shè)/,/〃,〃表示直線，。，尸表示平面，使“/_La”成立的充分條件是（）

A.aL（3,IH/3B.a工0,IuB

C.Ilin,n±aD.根ua,〃ua,/_Lm,/j_〃

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)面面垂直、線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)〃/用時(shí)，可能/u。、〃/a或/與a相交，充分性不成立，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)a，，，/u,時(shí)，可能〃/a或/與a相交，充分性不成立，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于該平面，充分性成立，C正確；

對(duì)于D,若加//〃，則加ua,"ua,IJ_m,/_L〃無(wú)法得到/_La,充分性不成立，D錯(cuò)誤.

故選：C.

22

7.已知橢圓G守+a=1（6>0）上的動(dòng)點(diǎn)一到右焦點(diǎn)距離的最小值為3-20，則。=O

A1B.y/2C.也D.V6

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小值為即可求出c,再根據(jù)02="一4，

即可得解；

【詳解】解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小值為a-c,

即a—c=3—2夜，又a=3,所以c=2>/2,

8

由上=儲(chǔ)—12,所以力二1；

故選：A

8.已知隨機(jī)變量X,下列表達(dá)式正確的是()

4

A.P(X=2)=—B.E(3X+1)=4

81

4

C.D(3X+1)=8D.O(X)=]

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)閄?所以E(x)=4x；=：,r>(X)=4xgx(l_1)=：,

4,8

因此七(3X+l)=3E(X)+l=3x—+1=5,D(3X+l)=32-0(X)=9x—=8,

因此選項(xiàng)B、D不正確，選項(xiàng)C正確，

又因?yàn)槭?X=2)=C^(-)2(l--)2=^,所以選項(xiàng)A不正確，

故選：C

9.對(duì)于函數(shù)/(x)=2cos(2x-。)，下列結(jié)論正確的是()

A./1-?)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.7(x)在0,|上最大值為2

7171

c./T=2sinf2x+yD/(%)在上單調(diào)遞增

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可得解析式，根據(jù)余弦型函數(shù)奇偶性判定可知A錯(cuò)誤；由

JIjr

xe0,-可得2x--的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的值域可知B正確；由三角函數(shù)平移變換和誘導(dǎo)公式可知C

_3_3

錯(cuò)誤；利用代入檢驗(yàn)法可確定/(x)的單調(diào)性，知D錯(cuò)誤.

9

【詳解】對(duì)于A,令g(x)=/(x-1J=2cos(2x-乃)=—2cos2x,

則g(-x)=-2cos(-2x)=-2cos2x=g(x),；.g(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，A錯(cuò)誤;

/冗j[兀\7T\1

對(duì)于B,當(dāng)xw0,—時(shí)，2x——G——cosl2x——G—,1,,

則/(x)在o,|上最大值為2,B正確；

對(duì)于C,/'(x+i)=2cos(2X+]-耳)=-2sin(2x-]1,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D當(dāng)xe一抬時(shí)，2x--e[-^,0],此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;

36_3

當(dāng)工￡不‘耳時(shí)’2x-ye0,y,此時(shí)/(x)單調(diào)遞減；D錯(cuò)誤.

故選：B.

10.已知數(shù)列｛a,J滿足(4+1-1)(4+1)+2=0,4=/,則數(shù)列｛4｝的前2022項(xiàng)積為()

12,3

A.--B.—C.—6D.一

632

【答案】A

【解析】

【分析】找出數(shù)列的規(guī)律，是周期為4的數(shù)列，然后求和即可.

【詳解】由題意，q=g,(4一1)(4+1)=-2,a2=~,

(a,-1)(02+1)=-2,%=-2,%=3,%=g，

???｛%｝是周期為4的循環(huán)數(shù)列，在一個(gè)周期內(nèi)的積為：q嗎％嗎=1,

2022=4x505+2,前2022項(xiàng)之積為505個(gè)周期之積xqX4,

故選：A.

r22

11.已知點(diǎn)"和鳥(niǎo)是雙曲線G――v9=1(。＞0/〉0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)”作雙曲線。的漸近線的垂

10

線,垂足為H,且16Hl=3忻對(duì)，則雙曲線C的離心率為()

3&

C.V2D.73

丁

【答案】B

【解析】

【分析】不妨取雙曲線的一條漸近線為丁=-,1,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出歸"I,再求出耳”的方

程，聯(lián)立求出”的坐標(biāo)，即可得到|瑪”|,再根據(jù)優(yōu)司=3恒可，即可求出離心率；

【詳解】解：依題意不妨取雙曲線的一條漸近線為y=-2x,4(-c,0),凡(c,0),

a

所以百(-C,。)到直線bx+ay=0的距離。=|"川

又后”的斜率為色，所以耳〃的方程為y=q(x+c),

bb

a(\

y=7(x+。/2?\

，解得vaab

由＜%即”----,——

b

y=——x

a

42222

a+/+2ca+ab22

所以優(yōu)M=c+——y1c+3a,

cc2

因?yàn)殁鮉=3|耳M，所以|鳥(niǎo)叫2=9忸叫2,即02+3/=9從=9卜2-/),即2c2=3片,

所以離心率e=￡

a2

故選：B

12.己知函數(shù)/(x)=xei-l,g(x)=x+a+lnx,若/(x)》g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1,0]B.(0,11C.(-℃,-1]D.(—oo,l]

【答案】C

【解析】

【分析】對(duì)不等式/*)與鼠尤)進(jìn)行變形，參變分離出a,構(gòu)造函數(shù)/z(x)=xe'T-x-lnx,求爾x)的導(dǎo)

數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究從力的單調(diào)性，求出爪x)的最小值即可求出a的取值范圍.

11

【詳解】/(x)幅(x)nxe'T—x—lava+1,

令=—x—Inx,

則h'(x)=e"T+xe"-'-l--=ex-'(x+l)-吁=(x+1)(e^1--^(“叫(疣T,令

XX\XJX

p(x)=xe'T-l,x>0,

?.?”(x)=e*T+xexT>0,；M(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

???Mi)=o，

.,.當(dāng)0<x<l時(shí)，p(x)<0,〃'(x)<0,單調(diào)遞減；

當(dāng)x〉l時(shí)，p(x)>0,〃'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增；

；"(X)min=MD=。,

/(x)》g(x)恒成立，則a+lK0=a<-l.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是對(duì)不等式/(x)》g(x)進(jìn)行變形，參變分離出a,構(gòu)造函數(shù)/2(x)=xe*T-x—Inx,利

用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求出其最小值即可得a的范圍.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知公差不為0的等差數(shù)列｛《,｝中，生=5,q,%，生成等比數(shù)列，則數(shù)列｛4｝的公差△=.

【答案】2

【解析】

&=5%=5

【分析】根據(jù)題意，即。，、2,，、/,、，再解方程即可得答案.

.%=0]。5[(._4)=(。3-2")(2+24)

【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛《,｝中，%=5，卬，4，生成等比數(shù)列

12

（I=5fq=5

所以，1；，即/,、2/，、/,、，解得d=2.

a2=axa5-d）=（%-2。）（生+2d）

故答案為：2

14.己知函數(shù)/（x）=f-2x,則的值為.

41

【答案】—；##-1彳

【解析】

【分析】根據(jù)微積分基本定理直接計(jì)算即可.

［詳解］J/（x）clr=J（x2-2x）dx=-x3-x2=--4=--.

oo13/U33

4

故答案為：.

3

15.在△A5C中，滿足麗+/=2%而，且|麗7|=1,點(diǎn)P滿足麗=2兩，則陽(yáng)?（而+定）=

4

【答案】---

9

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合平面向量共線的性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解

即可.

【詳解】因?yàn)锳月+/=24麻，所以M是BC的中點(diǎn),

因此麗?（而+斤）=序-2兩=網(wǎng)通）二一麗？，

因?yàn)閨國(guó)7|=1,AP=2PM>

所以向卜弓,

—?—?—?4

因此/Vb(P8+PC)=-一

9

_4

故答案為：一§

16.現(xiàn)有四棱錐P—ABC。（如圖），底面4?必是矩形，/%，平面/a》.1%=43=1,49=3,點(diǎn)足

b分別在棱AB,BC上.當(dāng)空間四邊形物7的周長(zhǎng)最小時(shí)，異面直線PE與加'所成角的余弦值為

13

/1

【答案】1##0.2

【解析】

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，結(jié)合平行線的性質(zhì)、異面直線所成角的定義、空間向量夾角公式進(jìn)行求解

即可.

【詳解】將△PA?沿AB旋轉(zhuǎn)到平面ABCD內(nèi)，如下圖所示，

設(shè)點(diǎn)D關(guān)于CB對(duì)稱的點(diǎn)為D},線段尸。與AB,BC的交點(diǎn)為E,F,

此時(shí)空間四邊形畫(huà)力的周長(zhǎng)最小,

AEPAAE1

因?yàn)锳E//Z)Oi，所以5^二而二三=^=其后

I一二

同理可得：BE^BF_2=BF=8尸_]

CD】CF13-BF

因?yàn)榈酌?靦是矩形，所以A5_LAO,

又因?yàn)镻4_L平面ABCD,AB,A。u平面ABCD,

所以84_L49,B4_LAZ),

所以可以建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

A(0,0,0),P(0,0,1),D(0,3,0)1(1,1,0),￡(1,0,0),

麗=§,0,-1),而=(1,-2,0),

異面直線"與加所成角的余弦值為：

14

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用兩點(diǎn)間線段最短是解題關(guān)鍵.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都

必須作答.第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.在AABC中，角48、。所對(duì)的邊分別是a、6、c,△A3C的面積為S,且>？+c?-/.

3

(1)求角4

(2)若b=2,a=V7，求△ABC的面積.

【答案】(1)—；

3

(2)￡1.

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形面積公式和余弦定理即可求出tan/,從而求出力：

(2)根據(jù)余弦定理求出c邊，根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由+c2-a2=^^-S，可得〃+c~-a1-^^-x-hcsinA，

332

則-c-——巴-=1.sinA，即cosA=siaA，則tanA=6，

2bc33

TT

,**0<A<7i,?*-A=—；

3

【小問(wèn)2詳解】

15

在AABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA，即。2一2。-3=0,

可得c=3或c=—l(舍)，

則S=—^csinA=—x2x3xsin—=-

"A8RCC2232

18.己知直三棱柱中ABC-A旦G中，A/WC為正三角形，￡為/6的中點(diǎn)，二面角E-4C—A的大小為

(1)求證：86//平面4后。；

(2)求直線比■與平面AEC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析;

⑵—

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合線面角的定義進(jìn)行求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

連接AG交A。于。，連接0E,顯然。是AG的中點(diǎn)，

因?yàn)楹鬄樵?的中點(diǎn)，所以。E//AG，

而平面4EC,OEU平面AEC,

所以Bq//平面A|EC；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)4G的中點(diǎn)為連接交AC于M,

因?yàn)锳ABC為正三角形，所以也是正三角形,

16

所以有，AG，因?yàn)槿庵鵄BC—A4cl是直三棱柱，

所以平面4月G，平面AACG，而平面A4GC平面AACG=4G，

所以_L平面A|ACC1,

因?yàn)槿庵鵄BC-A4G是直三棱柱，

所以側(cè)面AACG是矩形，因此4G，平面加幽，

于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=2,A4=t,

設(shè)平面EAXC的法向量為n=(x,y,z),

一一3

CA=(-2,-Z,0),C￡=(--,0,

—2x—ty=0

n±C/\n-CA.=O

所以有《()

n±CE<30=n=t,-2,8,

n-C￡=O——xd-----y=0

[22,

因?yàn)?L平面AACG，

所以設(shè)平面ACA的法向量為正=((),()」)，

因?yàn)槎娼荅—AC—A的大小為工，

4

所以有COS：-p：-：-T=~~~~/'"=———―■t—V2(負(fù)值舍去),

4|同?同2占+4+332

則BC=(l,0,-V3),?=(72,-2,V6),

設(shè)直線6c與平面4EC所成角的正弦值為。，

所以成印1巴3闿4

|BC|-|n|<1+3x72+4+66

17

19.今年全國(guó)兩會(huì)期間，習(xí)近平總書(shū)記在看望參加全國(guó)政協(xié)十三屆五次會(huì)議的農(nóng)業(yè)界、社會(huì)福利和社會(huì)保障

界委員時(shí)指出“糧食安全是‘國(guó)之大者'.悠悠萬(wàn)事，吃飯為大.”某校課題小組針對(duì)糧食產(chǎn)量與化肥施用

量以及與化肥有效利用率間關(guān)系進(jìn)行研究，收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作

了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.每畝化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量

為y（單位:百公斤）.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+區(qū)與y=c/,哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于每畝化肥施用量x的回歸

方程（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）;

18

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測(cè)每畝化肥施用量為27公斤時(shí)，糧

食畝產(chǎn)量y的值；(e=2.7)

(3)通過(guò)文獻(xiàn)可知，當(dāng)化肥施用量達(dá)到一定程度，糧食產(chǎn)量的增長(zhǎng)將趨于停滯，所以需提升化肥的有效利

用率,經(jīng)統(tǒng)計(jì)得，化肥有效利用率Z?N(0.54,0.022),那么這種化肥的有效利用率超過(guò)56%的概率為多少？

附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)(〃”匕)(z=1,2,3,???,?),其回歸直線￡=/“+6的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

10_

6二母---------，a=v-pu；②若隨機(jī)變量Z:則有P(〃—bvZ<〃+b)aO.6827,

才u；-nu2

i=l

P("-2b<Z<〃+2a)x0.9545.

【答案】(1)y=cx”；

(2)),=ex3；8.1百公斤；

(3)0.15865.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知了與X的關(guān)系不是線性關(guān)系，故應(yīng)該選擇非線性模型.

(2)y=ex"兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，令f=]nx,z=lny可得z=dr+lnc,則z和t成線性相關(guān)，利用

最小二乘估計(jì)公式計(jì)算出d和Inc即可得y與x的回歸方程，將產(chǎn)27代入即可預(yù)測(cè)每畝化肥施用量為27

公斤時(shí)糧食畝產(chǎn)量y的值.

(3)根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得P(Z>0.56)=-----------------------------------------.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x的關(guān)系不是線性的關(guān)系，則y=cx"更適宜.

【小問(wèn)2詳解】

,/y=cxd,；.lny=dlnx+lnc,令r=lnx,z=lny,

則2=力+111。，1=1.5，1=1.5，

19

io

2名-10xtxz

2

?d-i—____________30.5-10xl.51__

??“-10~~~>\nc—z—dt=1,c=e,

^/,2-10xF246.5-10xl.523

/=1

y=ex；，當(dāng)％=27時(shí),y=3e*8.1(百公斤).

【小問(wèn)3詳解】

1-P(0.54-0.02<Z<0.54+0.02)……

根據(jù)Z服從正態(tài)分布可知,P(Z>0.56)=------------------------------------------=0.15865,

2

這種化肥的有效利用率超過(guò)56%的概率為0.15865.

20.已知函數(shù)/(幻=1一”("+1),xe(0,+oo).

x

Y

(1)證明：o</(x)<5；

(2)若數(shù)列｛當(dāng)｝滿足玉=；,%M=.f(x.)，證明：V〃eN*，x“寸.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】⑴先證明/'(x)>。，化簡(jiǎn)不等式，構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(x+l)-x,x<0,+8),證明g(x)〈O即

可；再證明，(刀)告，化簡(jiǎn)不等式，構(gòu)造函數(shù)//(力=%2-2%+2111(%+。(％6(0,+8)),證明/?(*)>0即

可;

YXI，利用累乘法即可得,<[;)

⑵利用⑴中結(jié)論/(X)<]可得尤,+1=/5)<寸，從而可得看<5

L人〃乙

再根據(jù)x=g即可得到結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

先證/(x)=l—如°+1)〉0,即證ln(x+l)—x<0,

20

令g(x)=ln(x+l)—x,XG(0,+OO),即證g(x)〈O,

???g'(x)=告一1=:含<0,g(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減,

，g(x)<g(())=O.

再證,即證2x—21n(x+l)<》2,即證f-2%+21n(x+l)>0,

x2

令/z(x)=x2-2x+21n(x+l)(xe(0,+oo)),即證方(x)>0,

22x2

*/h'(x}=2x-2+—

''x+17+i>o,

.?/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

⑼=0；

【小問(wèn)2詳解】

YX1

由⑴得X,用=/(x.)〈子(4e(0,+oo)),則軍■<],

2An/

1nV

當(dāng)/7=1時(shí)，玉=不，故V〃eN*，龍—.

212,

【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)關(guān)鍵是化簡(jiǎn)要證明的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性并求最小值即可得

結(jié)論；第二問(wèn)關(guān)鍵是利用第一問(wèn)的結(jié)論，結(jié)合數(shù)列的累乘法求出&,從而得出結(jié)論.

演⑵

21.已知拋物線石：f=2刀（，＞0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸且傾斜角為（的直線被E所截得的弦長(zhǎng)為16.

21

(1)求拋物線E的方程；

(2)已知點(diǎn)C為拋物線上的任意一點(diǎn)，以C為圓心的圓過(guò)點(diǎn)尸，且與直線y=-g相交于A8兩點(diǎn)，求

冏?|叫的取值范圍.

【答案】(Dx2=4y

(2)[3,-H?)

【解析】

【分析】(1)設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可構(gòu)造方程求得P,由此可得拋

物線方程；

(2)設(shè)NAEB=6,圓。的半徑為r,利用面積公式，借助久八出可求得|可|?|/中|=3廣，結(jié)合拋物線定

義可知止1，由此可得冏?忻。=3/23,進(jìn)而得到所求范圍.

【小問(wèn)1詳解】

由拋物線方程得：F0,與，可設(shè)過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為二的直線為：y=6x+，

I2J3-2

y-\[3x+—r

由彳2得：x2-2\/3px-p~=0>

x2=2py

由拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得：y+必+〃=石(玉+*2)+2〃=8〃=16,解得：p-2,

二拋物線E的方程為：x2=4y.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知：F(O,1),準(zhǔn)線方程為：丁=一1；

22

設(shè)NAFB=e,圓。的半徑為，，則NACB=28,Fq=|C4|=|CB|=r,

ii33

S“F8T叫阿疝6=點(diǎn)陰.]=力明，又|明=2rsin。,二|網(wǎng)閥=3r；

由拋物線定義可知：|C目=%+121,即在1，.?.|硝?|迎卜|尸q=3/N3,

即|胡卜|必卜|尸。的取值范圍為[3,+8).

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，本題第二問(wèn)求解的基本思路是能夠?qū)⑺缶?/p>

離之積轉(zhuǎn)化為關(guān)于圓的半徑r的函數(shù)的形式，通過(guò)拋物線定義確定「的取值范圍后，即可得到所求距離之積

的取值范圍.

22.如圖，在極坐標(biāo)系公中，方程夕=a(l—sin6)(a>0)表示的曲線G是一條優(yōu)美的心臟線.在以極軸

x=t

Ox所在直線為X軸，極點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系X。中，已知曲線C,的參數(shù)方程為〈L(0為參