八年級（上）期中數學試卷

一、選擇題：（每小題4分，共40分）

1.（4分）在以下永潔環保、綠色食品、節能、綠色環保四個標志中，是軸對稱圖形是（）

AaC@Dg

2.（4分）王師傅用4根木條釘成一個四邊形木架，如圖.要使這個木架不變形，他至少還

3.（4分）如圖，已知△43E絲△ACQ,Z1=Z2,NB=/C,不正確的等式是（

4.（4分）如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中Na+/0的

度數是（）

B.220°C.240°D.300°

5.（4分）下列各式：①a°=1；（2）a2,a3=a5-,（3）2-2=-工④-（3-5）+（-2）4+8

4

X（-1）=0；（5）X1+X2=2X2,其中正確的是（）

A.①②③B.①③⑤C.②③④D.②④⑤

6.（4分）如圖，已知Nl=/2,要得到△AB。絲△AC￡>,還需從下列條件中補選一個，則

錯誤的選法是（）

B

A.AB^ACB.DB=DCC.ZADB^ZADCD.NB=NC

7.(4分)點P(1,-2)關于x軸的對稱點是尸i,P關于y軸的對稱點坐標是P2,則P2

的坐標為()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(-2,-1)

8.(4分)如圖，是△ABC中AC邊上的垂直平分線，如果BC=8a*,AB^lOcm,則4

EBC的周長為()

9.（4分）已知（%-2）2+Vy+l=0,求7t的值（）

A.-1B.-2C.1D.2

10.（4分）如圖，在△ABC中，AB^AC,是BC邊上的高，點E、F是AZ）的三等分點,

若△A8C的面積為12c/,則圖中陰影部分的面積為（）

二、填空題（每題4分，共28分）

11.（4分）等腰三角形的對稱軸有條.

12.（4分）如圖，在△ABC中，AB=AC,A。J_8c于。點，E、F分別為。。的中點,

則圖中共有全等三角形對.

13.（4分）如圖，邊長為〃?+4的正方形紙片剪出一個邊長為機的正方形之后，剩余部分可

剪拼成一個矩形，若拼成的矩形一邊長為4,則另一邊長為.

4

14.（4分）如圖，RtZ\A8C中，ZC=90°,ZABC=30°,AB=6.點。在AB邊上，點

E是8c邊上一點（不與點3、C重合），且D4=Z）E,則AO的取值范圍是,

,若MP和NQ分別垂直平分AB和AC,則NB4Q的度數

16.（4分）如圖，ZACB=90°,AC=BC,BEVCE,AZ）_LCE于。，AO=2.5c〃?，DE=

17.（4分）如圖，折疊直角三角形紙片的直角，使點C落在AB上的點E處，已知BC=24,

NB=30°,則QE的長是

三、解答題（共7小題，滿分52分）

18.（4分）如圖所示，△ABC中，A2=AC,NBAC=120°,AC的垂直平分線E尸交AC

于點E,交BC于點、F.求證：BF=2CF.

19.（9分）在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,格點三角形（頂點是網

格線的交點的三角形）ABC的頂點A,C的坐標分別為（-4,5）,（-1,3）.

（1）請在如圖所示的網格平面內作出平面直角坐標系；

（2）請作出△ABC關于y軸對稱的aA‘B'C'；

234

56789

10111213141516

171819202122232425

2627282930313233343536

（1）表中第8行的最后一個數是,它是自然數的平方，第8行共有

個數；

（2）用含"的代數式表示：第〃行的第一個數是，最后一個數是，第〃

行共有個數；

(3)求第"行各數之和.

21.(9分)如圖1,把一張長方形的紙片A8C。沿對角線8。折疊，點C落在E處，BE交

AD于點F.

(1)求證：FB=FD；

(2)如圖2,連接AE,求證：AE//BD-,

(3)如圖3,延長用4,OE相交于點G,連接GF并延長交20于點H,求證：GH垂直

平分BD.

22.(6分)如圖，△A8C中，AB=AC,/BAC=45°,BDA.AC,垂足為。點，AE平分

ABAC,交BD于F,交BC于E,點G為4B的中點，連接。G,交AE于點H,

(1)求/AC8的度數；

23.(6分)如圖(1),點尸是等腰三角形ABC底邊BC上的一動點，過點P作BC的垂線,

交直線AB于點Q,交CA的延長線于點R.

(1)請觀察AR與AQ,它們相等嗎？并證明你的猜想.

(2)如圖(2)如果點P沿著底邊8c所在的直線，按由C向B的方向運動到CB的延

長線上時，(1)中所得的結論還成立嗎？請你在圖(2)中完成圖形，并給予證明.

R

24.(9分)如圖，在△4BC中，點B,C是x軸上的兩個定點，/ACB=90°,AC^BC,

點A"3),點P是x軸上的一個動點，點E是AB的中點，在中，NPEF=90°,

PE=EF

(1)如圖1,當點P與坐標原點重合時：①求證絲△FBE；②求點F的坐標；

(2)如圖2,當點P在線段CB上時，求證SACPE=SAAEF

(3)如圖3,當點P在線段CB的延長線時，若SAAEF=4S#BE則此刻點F的坐標

參考答案與試題解析

一、選擇題：（每小題4分，共40分）

1.（4分）在以下永潔環保、綠色食品、節能、綠色環保四個標志中，是軸對稱圖形是（）

A?BCDO

【分析】據軸對稱圖形的概念求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合,

這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；

8、是軸對稱圖形，符合題意；

C、不是軸對稱圖形，不符合題意；

。、不是軸對稱圖形，不符合題意.

故選：B.

【點評】本題主要考查軸對稱圖形的知識點.確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖

形兩部分折疊后可重合.

2.（4分）王師傅用4根木條釘成一個四邊形木架，如圖.要使這個木架不變形，他至少還

【分析】根據三角形的穩定性進行解答即可.

【解答】解：加上AC后，原不穩定的四邊形ABC。中具有了穩定的△AC￡＞及△ABC,

故這種做法根據的是三角形的穩定性.

故選：B.

【點評】本題考查的是三角形的穩定性在實際生活中的應用，比較簡單.

3.（4分）如圖，已知△ABE也△ACC,Z1=Z2,/B=NC,不正確的等式是（）

B.NBAE=NCADC.BE=DCD.AD=DE

【分析】根據全等三角形的性質，全等三角形的對應邊相等,全等三角形的對應角相等,

即可進行判斷.

【解答】解：VAAfiE^AACD,/1=N2,NB=NC,

：.AB=AC,ZBAE^ZCAD,BE=DC,AD=AE,

故A、B、C正確;

AD的對應邊是AE而非DE,所以。錯誤.

故選：D.

【點評】本題主要考查了全等三角形的性質，根據已知的對應角正確確定對應邊是解題

的關鍵.

4.（4分）如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中/a+N0的

度數是（）

B.220°C.240°D.300

【分析】本題可先根據等邊三角形頂角的度數求出兩底角的度數和，然后在四邊形中根

據四邊形的內角和為360°,求出Na+/0的度數.

【解答】解：；等邊三角形的頂角為60。，

...兩底角和=180°-60°=120°；

.?.Za+Zp=360°-120°=240°；

故選：C.

【點評】本題綜合考查等邊三角形的性質及三角形內角和為180。，四邊形的內角和是

360°等知識，難度不大，屬于基礎題

5.(4分)下列各式：①J=l；(2)a2,a3=a5-,(3)2'2=-—；(4)-(3-5)+(-2)4-?8

4

X(-1)=0；⑤/+/=2/,其中正確的是()

A.①②③B.①③⑤C.②③④D.②④⑤

【分析】分別根據0指數幕、同底數幕的乘法、負整數指數幕、有理數混合運算的法則

及合并同類項的法則對各小題進行逐一計算即可.

【解答】解：①當4=0時不成立，故本小題錯誤；

②符合同底數幕的乘法法則，故本小題正確；

③2匕=工，根據負整數指數幕的定義小。=-1-QW0,p為正整數)，故本小題錯誤；

4ap

④-(3-5)+(-2)々8X(-1)=0符合有理數混合運算的法則，故本小題正確；

⑤/+/=2?,符合合并同類項的法則，本小題正確.

故選：D.

【點評】本題考查的是零指數基、同底數幕的乘法、負整數指數幕、有理數混合運算的

法則及合并同類項的法則，熟知以上知識是解答此題的關鍵.

6.(4分)如圖，已知/1=/2,要得到△ABOg/XACD,還需從下列條件中補選一個，則

錯誤的選法是()

A.AB=ACB.DB=DCC.ZADB^ZADCD./B=NC

【分析】先要確定現有已知在圖形上的位置，結合全等三角形的判定方法對選項逐一驗

證，排除錯誤的選項.本題中C、AB=AC與N1=N2、組成了SSA是不能由此

判定三角形全等的.

【解答】解：A,-：AB=AC,

ZAB=AC

N]=/2，

AD=AD

A/\ABD^/\ACD(SAS)；故此選項正確；

B、當。B=￡)C時，AD=AD,Nl=/2,

此時兩邊對應相等，但不是夾角對應相等，故此選項錯誤；

C、VZADB=ZADC,

'N1=N2

AD=AD，

,ZADB=ZADC

...△A8O之△ACQ（ASA）；故此選項正確；

D、,:NB=NC,

'NB=/C

?'''N1=N2，

AD=AD

/./\ABD^/\ACD（A45）；故此選項正確.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即A4S、

ASA、SAS.SSS,但SSA無法證明三角形全等.

7.（4分）點P（l,-2）關于x軸的對稱點是Pi,P關于y軸的對稱點坐標是P2,則P2

的坐標為（）

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(-2,-1)

【分析】根據平面直角坐標系中對稱點的規律解答.

【解答】解：點P（l,-2）關于x軸的對稱點是a（1,2）,Pl關于y軸的對稱點坐標

P2的坐標為（-1,2）,

故選：B.

【點評】主要考查了平面直角坐標系中對稱點的規律.解決本題的關鍵是掌握好對稱點

的坐標規律：

（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數;

（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數;

（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數.

8.（4分）如圖，OE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，如果8C=8a〃，AB=10a〃，則4

EBC的周長為（）

C.26cmD.28cw

【分析1由QE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，可得AE=CE,繼而可得△EBC的周

長=BC+A8.

【解答】解：:OE是aABC中AC邊上的垂直平分線,

：.AE=CE,

VBC—^>cm,AB=10cm,

.?.△ESC的周長為：BC+BE+CE=BC+CE+AE=BC+AB=S+IO=\S（cm）.

故選:B.

【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質.此題難度不大，注意掌握數形結合思想與

轉化思想的應用.

9.（4分）已知（x-2）2+Vy+l~01求7r的值（）

A.-1B.-2C.1D.2

【分析】根據完全平方及算術平方根的非負性，可得X、），的值，代入即可.

【解答】解：：（x-2）2+77^1=0，

Ax-2=0,y+l=0,

Ax=2,y=-1,

/./=（-1）2=1.

故選：c.

【點評】此題主要考查了非負數的性質，初中階段有三種類型的非負數：絕對值、偶次

方、算術平方根，當它們相加和為。時，必須滿足其中的每一項都等于0.

10.（4分）如圖，在△ABC中，A8=AC,AO是BC邊上的高，點E、F是的三等分點,

若△ABC的面積為12c〃?2,則圖中陰影部分的面積為（）

A.2c/?z2B.4CT??2C.6cmiD.Scm2

【分析】由圖，根據等腰三角形是軸對稱圖形知，和ABEF的面積相等，所以陰

影部分的面積是三角形面積的一半.

【解答】解：,.'5/iABC=12c/n2,

陰影部分面積=12+2=6。/.

故選：c.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質及軸對稱性質；利用對稱發現并利用

BEF的面積相等是正確解答本題的關鍵.

二、填空題（每題4分，共28分）

11.（4分）等腰三角形的對稱軸有一條或三條條.

【分析】等腰三角形是軸對稱圖形，注意分一般等腰三角形和特殊等腰三角形兩種情況

考慮.

【解答】解：一般等腰三角形有一條，即底邊上的中線所在的直線；

若是特殊的等腰三角形即等邊三角形，則有三條，即每條邊上的中線所在的直線.

故答案為：一條或三條.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質及軸對稱圖形；做題時很易出錯，往往只想到一

般的等腰三角形，要注意兩種情況的考慮.

12.（4分）如圖，在△ABC中，AB=AC,AO_LBC于。點，E、尸分別為。B、OC的中點,

則圖中共有全等三角形4對.

【分析】本題重點是根據已知條件"AB=AC,ACBC交￡＞點，E、尸分別是。B、DC

的中點“，得出△ABQgZkACQ,然后再由結論推出AB=AC,BE=DE,CF=DF,從而

根據“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到難，不重不漏.

【解答】'：ADVBC,AB=AC

是BC中點

：.BD=DC,

'：AD=AD,

.?.△ABOZ/XACD（555）；

E、尸分別是08、DC的中點

：.BE=ED=DF=FC

'：AD±BC,AD=AD,ED=DF

：.(HL)；

"：ZB=ZC,BE=FC,AB=AC

：./\ABE^/\ACF(SAS)

,:EC=BF,AB^AC,AE=AF

：./\ABF^/\ACE(555).

，全等三角形共4對，分別是：△AB。絲△ACC(HL),ZXABE絲△ACF(SAS),/\ADF

^/\ADECSSS),^ABF^/\ACE(SAS).

故答案為4.

【點評】本題考查了全等三角形的判定.題目是一道考試常見題，易錯點是漏掉aABE

絲△ACQ,此類題可以先根據直觀判斷得出可能全等的所有三角形，然后從已知條件入

手，分析推理，對結論一個個進行論證.其中aABF絲ZviCE常被忽略.

13.(4分)如圖，邊長為%+4的正方形紙片剪出一個邊長為〃z的正方形之后，剩余部分可

剪拼成一個矩形，若拼成的矩形一邊長為4,則另一邊長為2機+4.

*''、、4

-m-

【分析】根據拼成的矩形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，列式整理即

可得解.

【解答】解：設拼成的矩形的另一邊長為區,

則4x=(m+4)之-〃，=(6+4+加)(〃任4-m),

解得2/77+4.

故答案為：2〃?+4.

【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據拼接前后的圖形的面積相等列式是解

題的關鍵.

14.(4分)如圖，中，ZC=90°,ZABC=30°,AB=6,點。在A8邊上，點、

E是3C邊上一點(不與點B、C重合)，且DA=DE,則AD的取值范圍是2W4QV3.

C

E

DB

【分析】以。為圓心，A。的長為半徑畫圓，當圓與BC相切時，A。最小，與線段BC

相交且交點為B或C時，AO最大，分別求出即可得到范圍.

【解答】解：以。為圓心，AO的長為半徑畫圓

①如圖1,當圓與BC相切時，DE_LBC時，

VZABC=30°,

:.DE=LBD,

2

"：AB=6,

：.AD=2^

②如圖2,當圓與BC相交時，若交點為B或C,則4。=匕8=3,

2

【點評】利用邊BC與圓的位置關系解答，分清AQ最小和最大的兩種情況是解決本題的

關鍵.

15.（4分）如圖，ZBAC=110°,若MP和NQ分別垂直平分4B和AC,則NB4Q的度數

【分析】根據三角形內角和定理求出/2+/C的度數，根據線段的垂直平分線的性質得

到孫=PB,QA=QC,得到/QAC=/C,結合圖形計算即可.

【解答】解：；/8￡=110°,

AZB+ZC=70°,

,：MP和NQ分別垂直平分AB和AC,

：.PA=PB,QA=QC,

：.ZPAB^ZB,ZQAC^ZC,

；.NfAB+NQAC=NB+NC=70°,

：.ZPAQ=ZBAC-(ZPAB+ZQAC')=40°,

故答案為：40°.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段

的兩個端點的距離相等是解題的關鍵.

16.(4分)如圖，NACB=90°,AC=BC,BEICE,ADLCE于D,AD=2.5cm,DE=

【分析】求出/E=NAOC=N8C4=90°,求出NBCE=NCA。，根據AAS證△ACQ也

△CBE,推出CE=A￡>=2.5cw,BE=CD,即可得出答案.

【解答】解：VZACB=90°,BE±CE,AD1.CE,

：.ZE=ZADC=ZBCA=90°,

NBCE+NACO=90°,ZACD+ZCAD=90°,

：.ZBCE^ZCAD,

在△AC。和△CBE中，

"ZCAD=ZBCE

-ZADC=ZE，

,AC=BC

AAACD^ACBE(44S),

CE—AD=2.5cm,BE—CD,

'：DE=\.lcm,

.,.BE=CD=2.5cm-1.7c/M=0.8c/?b

故答案為：0.8c，".

【點評】本題考查了三角形的內角和定理，全等三角形的性質和判定的應用，注意：全

等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.全等三角形的對應邊相等，對應角相等.

17.(4分)如圖，折疊直角三角形紙片的直角，使點C落在AB上的點E處，已知BC=24,

NB=30°,則CE的長是8

【分析［由折疊的性質可知1;DC=DE,ZDEA=ZC=90°,在RtZ\BEQ中，NB=30°,

故此8Z）=2E。，從而得到BC=3￡）C,于是可求得。E=8.

【解答】解：由折疊的性質可知；DC=DE,ZD￡A=ZC=90°,

VZB￡D+ZD￡A=180°,

：.NBED=90°.

又:/8=30°,

：.BD=2DE.

：.BC=3ED=24.

.".DE=S.

故答案為：8.

【點評】本題主要考查的是翻折的性質、含30°直角三角形的性質，根據題意得出BC

=3DE是解題的關鍵.

三、解答題（共7小題，滿分52分）

18.（4分）如圖所示，ZVIBC中，AB=AC,/BAC=120°,AC的垂直平分線E尸交AC

于點E,交BC于點F.求證：BF=2CF.

【分析】利用輔助線，連接AF,求出CF=AF,NBAF=90°,再根據AB=AC,ABAC

=120°可求出NB的度數，由直角三角形的性質即可求出BF=2AF=2C用

【解答】證明：連接A凡（1分）

\"AB=AC,ZBAC=120°,

.??/B=/C=J*二TN。一=30。,（1分）

2

：AC的垂直平分線EF交AC于點E,交3c于點F,

：.CF=AF（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），

.,.ZMC=ZC=30°（等邊對等角），（2分）

：.ZBAF^ZBAC-ZMC=120°-30°=90°,（1分）

在RtZ\4B尸中，ZB=30°,

...B尸=2AF（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），（1分）

：.BF=2CF（等量代換）.

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質（垂直平分線上任意一點，和線段兩端點

的距離相等）有關知識，難度一般.

19.（9分）在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,格點三角形（頂點是網

格線的交點的三角形）48c的頂點A,C的坐標分別為（-4,5）,（-1,3）.

（1）請在如圖所示的網格平面內作出平面直角坐標系；

（2）請作出△ABC關于y軸對稱的aA'B'C；

【分析】（1）易得y軸在C的右邊一個單位，x軸在C的下方3個單位;

（2）作出A,B,C三點關于y軸對稱的三點，順次連接即可；

（3）根據所在象限及距離坐標軸的距離可得相應坐標.

【解答】解：（I）（2）如圖；

（3）點B'的坐標為（2,1）.

【點評】本題考查軸對稱作圖問題.用到的知識點：圖象的變換，看關鍵點的變換即可.

20.(9分)如下數表是由從1開始的連續自然數組成，觀察規律并完成各題的解答.

234

56789

10111213141516

171819202122232425

2627282930313233343536

(1)表中第8行的最后一個數是64,它是自然數8的平方，第8行共有15個

數；

(2)用含〃的代數式表示：第〃行的第一個數是〃2-2〃+2,最后一個數是〃2,

第“行共有2”-1個數;

(3)求第〃行各數之和.

【分析】(1)數為自然數，每行數的個數為1,3,5,…的奇數列，很容易得到所求之數;

(2)知第n行最后一數為〃2,則第一個數為“2-2〃+2,每行數由題意知每行數的個數

為1,3,5,…的奇數列，故個數為2〃-1；

(3)通過以上兩步列公式從而解得.

【解答】解：(1)每行數的個數為1,3,5,…的奇數列，由題意最后一個數是該行數的

平方即得64,

其他也隨之解得：8,15；

(2)由(1)知第〃行最后一數為且每行個數為則第一個數為〃2-(2?

-1)+1—n2-2n+2,

每行數由題意知每行數的個數為1,3,5,…的奇數列,

故個數為故-1;

22

112

(3)第〃行各數之和：-2n+2+n乂(2?-1)=(n-n+l)(2n-1).

2

【點評】本題考查了整式的混合運算，(1)看數的規律，自然數的排列，每排個數1,3,

5,…從而求得；(2)最后一數是行數的平方，則第一個數即求得；(3)通過以上兩步列

公式從而解得.本題看規律為關鍵，橫看，縱看.

21.(9分)如圖1,把一張長方形的紙片ABC。沿對角線折疊，點C落在E處，BE交

AO于點F.

(1)求證：FB=FD；

(2)如圖2,連接4E,求證：AE//BD-,

(3)如圖3,延長BA,QE相交于點G,連接GF并延長交BO于點求證：GH垂直

平分8D

【分析】(1)由折疊的性質可得到△A3。絲△￡?￡?,那么所以8F=OF；

(2)根據長方形的性質可得和三角形內角和定理可得再根據平行線的

判定即可求解；

(3)先SSS證明△ABO四△ED8,再根據全等三角形的性質和垂直平分線的性質即可求

解.

【解答】證明(1)VABCD^ABED,

：.NDBC=NEBD,

又；四邊形ABC。是長方形，

.,.AD//BC,

：./ADB=/DBC,

，NADB=NEBD,

；.BF=DF.

(2)?.?四邊形ABC。是長方形，

：.AD=BC=BE,

又；FB=FD,

:.FA=FE,

：.ZFAE=ZFEA,

又,?NAFE=ZBFD,且2NAEF+NAFE=2NFBD+NBFD=180°,

NAEF=NFBD,

J.AE//BD-,

(3)?.?四邊形ABC。是長方形，

：.AD=BC=BE,AB=CD=DE,BD=DB,

在與中，

'AD=BE

<AB=DE

BD=DB

/XABD^/XEDB(SSS),

ZABD^ZEDB,

：.GB=GD,

又；FB=FD,

：.GF是BD的垂直平分線，即GH垂直平分BD.

【點評】本題考查了：

①折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖

形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；

②全等三角形的判定和性質，等角對等邊，三角形的內角和，平行線的判定求解.

22.(6分)如圖，△A8C中，AB=AC,/BAC=45°,BDLAC,垂足為。點，AE平分

ABAC,交BD于F,交BC于E,點G為4B的中點，連接。G,交AE于點H,

(1)求NACB的度數；

(2)HE=1-AF.

2

【分析】(1)根據等腰三角形性質和三角形內角和定理求出即可；

(2)證尸0△3OC,推出求出HE=BE=CE,即可得出答案.

【解答】解：(1)???A3=AC,

ZACB=ZABC,

???N8AC=45°,

???NAC5=NABC=L(180°-ZBAC)=-l(180°-45°)=67.5°.

22

'：AB=AC,AE平分NBAC,

：.AELBC,BE=CE,

：.ZCAE+ZC=90°,

dAC,

AZCBD+ZC=90°,

：.ZCAE=ZCBD,

VBD1AC,。為垂足，

：.ZDAB+ZDBA=90°,

9：ZDAB=45°,

.'.ZDBA=45°,

：.ZDBA=ZDAB1

：.DA=DB,

在RtABDC和Rt/\ADF中，

，ZBDC=ZADF

-BD=AD

,ZCAE=ZCBD

ARtABDC^RtAADF（ASA）,

：.BC=AF,

?：DA=DB,點G為AB的中點，

；.OG垂直平分4B,

?.?點，在。G上，

：.HA=HB,

：.ZHAB^ZHBA=^-ZBAC-=22.5°,

2

；.NBHE=NHAB+NHBA=45°,

:.NHBE=NABC-NABH=675°-22.5°=45°,

：.ZBHE=NHBE,

:.HE=BE=LBC,

2

'：AF=BC,

：.HE=^-AF.

2

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，三角形內角和定理

等知識點的應用，主要考查學生的推理能力，難度偏大.

23.（6分）如圖（1）,點P是等腰三角形ABC底邊BC上的一動點，過點P作BC的垂線,

交直線AB于點Q,交。的延長線于點R.

（1）請觀察AR與4Q,它們相等嗎？并證明你的猜想.

（2）如圖（2）如果點尸沿著底邊8C所在的直線，按由C向B的方向運動到CB的延

長線上時，（1）中所得的結論還成立嗎？請你在圖（2）中完成圖形，并給予證明.

R

【分析】（1）根據等腰三角形的性質求出/B=NC,根據等角的余角相等求出/BQP=

NPRC,再根據對頂角相等可得NBQP=NAQR,從而得到NAQR=NPRC,然后根據等

角對等邊證明即可；

（2）根據等腰三角形的性質求出/ABC=/C,再根據對頂角相等可得NA8C=NP8Q,

從而得到/C=/P8Q,然后根據等角的余角相等求出/Q=/R,最后根據等角對等邊

證明即可.

【解答】（1）解：AR=AQ.

理由如下：;△ABC是等腰三角形，

：.AB=AC,

:"B=ZC,

,：PR1BC,

...NB+N8QP=90°,

ZC+ZP/?C=90°,

NBQP=NPRC,

?：ZBQP=ZAQR（對頂角相等），

』AQR=NPRC,

.'.AR—AQt

（2）AR=AQ依然成立.

理由如下：如圖，???△ABC是等腰三角形，

：.AB=AC,

：.N48C=NC

?:NABC=NPBQ（對頂角相等），

:?/C=NPBQ,

'：PR±BC,

...NR+/C=90°,

ZQ+ZPBQ=90°,

:.NQ=NR,

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，等角的余角相等的性質，對頂角相等的性質，

熟記性質并準確識圖是解題的關鍵.

24.(9分)如圖，在△ABC中，點B,C是x軸上的兩個定點，NACB=90°,AC^BC,

點AG,3),點P是x軸上的一個動點，點E是AB的中點，在中，NPEF=9Q°,

PE=EF

(1)如圖1,當點尸與坐標原點重合時：①求證△PCE絲△FBE；②求點尸的坐標；

(2)如圖2,當點P在線段C8上時，求證SACPE=SAAEF

(3)如圖3,當點P在線段CB的延長線時，若SMEF=4S、PBE則此刻點F的坐標為(4,

【分析】(1)①只要證明NOEC=/FEB,OE=EF,EC=EB,即可解決問題.

②由△PCE0△FBE推出BF=PC=\,只要證明BFLPB即可.

(2)如圖2中，作PMJ_CE于M,FNVEB于N,根據全等三角形的性質可知PM=FN,

由SACPE=LCE?PM,S^AEF=—*AE*FN,即可證明.

22

(3)由(2)可知AECP絲AEBF,推出PC=BF,BFLCP,由SKPE=SMEF,S^AEF

=4S^PBE,推出SZXCPE=4SAPBE,推出PC=4P8,推出8c=3P8,PB=1,PC=4,推出

BF=PC=4,由此即可解決問題.

【解答】(1)證明：如圖1中，

①(1,3),B(4,0),

：.AC=BC=3,△ACB是等腰直角三角形，

"：AE=EB,

:.CE=AE=EB,CELAB,NECB=NEBC=45°,

；.NCEB=/OEF=90°,ZECO=135°,

：.ZOEC=ZFEB,"：OE=EF,EC=EB,

.,.△EOCgAEFB,即ZiPCE畛△FBE..

@'：/\PCE^/\FBE.

：.OC=BF^\,/EBF=NOCE=135°,

尸=90°,

：.BF±OB,

：.F(4,-1).

(2)證明：如圖2中，作PM1.CE于M,FNLEB于N.

EB,

：.^ECP^/\EBF,

?.,「加工位于加，FNLEB于N,

：.PM=FN(全等三角形對應邊上的高相等),

■:SACPE=LCE?PM,SMEF=L"AE?FN,

22

VCE=AE,PM=NF,

S4CPE=SMEF?

BF,BF1.CP,

■:SACPE=S〉AEF,SMEFSAPBE,

:?SACPE=4SAPBE,

：.PC=4PB,

:?BC=3PB,PB=T,PC=4,

：.BF=PC=4f

???點7坐標為(4,4).

故答案為(4,4).

【點評】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、三角形的面積等知識，解

題的關鍵是正確尋找全等三角形，學會利用全等三角形的性質解決問題，屬于中考壓軸

題.

考點卡片

1.非負數的性質：偶次方

偶次方具有非負性.

任意一個數的偶次方都是非負數，當幾個數或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都

必須等于0.

2.有理數的混合運算

（1）有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右

的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算.

（2）進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

【規律方法】有理數混合運算的四種運算技巧

1.轉化法：一是將除法轉化為乘法，二是將乘方轉化為乘法，三是在乘除混合運算中，通

常將小數轉化為分數進行約分計算.

2.湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數，分母相同的兩個數，和為整數的

兩個數，乘積為整數的兩個數分別結合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分數分拆成一個整數與一個真分數的和的形式，然后進行計算.

4.巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便.

3.非負數的性質：算術平方根

（1）非負數的性質：算術平方根具有非負性.

（2）利用算術平方根的非負性求值的問題，主要是根據被開方數是非負數，開方的結果也

是非負數列出不等式求解.非負數之和等于0時，各項都等于0利用此性質列方程解決求值

問題.

4.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同

系數的代數項；字母和字母指數；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項數

會減少，達到化簡多項式的目的：

③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字

母和字母的指數不變.

5.規律型：數字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發現規律.

（1）探尋數列規律：認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法，通常將數字

與序號建立數量關系或者與前后數字進行簡單運算，從而得出通項公式.

（2）利用方程解決問題.當問題中有多個未知數時，可先設出其中一個為x,再利用它們

之間的關系，設出其他未知數，然后列方程.

6.同底數嘉的乘法

（1）同底數基的乘法法則：同底數基相乘，底數不變，指數相加.

an,.an=am+n（m，〃是正整數）

（2）推廣：（機，n,0都是正整數）

在應用同底數基的乘法法則時，應注意：①底數必須相同，如23與25,（次序）3與（“2.）

4,（x-y）2與（x-y）3等；②“可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質，只

有相乘時才是底數不變，指數相加.

（3）概括整合：同底數累的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵.在

運用時要抓住“同底數”這一關鍵點，同時注意，有的底數可能并不相同，這時可以適當變

形為同底數基.

7.平方差公式的幾何背景

（1）常見驗證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關系列出等式即可驗證

平方差公式）.

圖r37

(2)運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對平

方差公式做出幾何解釋.

8.整式的混合運算

(1)有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數

的混合運算順序相似.

(2)“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地

解決相關問題，此時應注意被看做整體的代數式通常要用括號括起來.

9.零指數塞

零指數累：“°=1(a#0)

由代，"=1,可推出a°=l(aWO)

注意：O°W1.

10.負整數指數累

負整數指數累：aP=\ap("WO,p為正整數)

注意：

②計算負整數指數基時，一定要根據負整數指數基的意義計算，避免出現(-3)、=(-

3)X(-2)的錯誤.

③當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數.

④在混合運算中，始終要注意運算的順序.

11.三角形的穩定性

當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩定

性.這一特性主要應用在實際生活中.

12.全等三角形的性質

（1）性質1:全等三角形的對應邊相等

性質2：全等三角形的對應角相等

說明：①全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等

②全等三角形的周長相等，面積相等

③平移、翻折、旋轉前后的圖形全等

（2）關于全等三角形的性質應注意

①全等三角形的性質是證明線段和角相等的理論依據，應用時要會找對應角和對應邊.

②要正確區分對應邊與對邊，對應角與對角的概念，一般地：對應邊、對應角是對兩個三

角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指

邊的對角.

13.全等三角形的判定

（1）判定定理1：sss--三條邊分別對應相等的兩個三角形全等.

（2）判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等.

（3）判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等.

（4）判定定理4：A4S--兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.

（5）判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若

已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊

對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應

鄰邊.

14.全等三角形的判定與性質

（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件.

（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔

助線構造三角形.

15.線段垂直平分線的性質

（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”.

（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—