引言

在許多領域的理論與實際應用中，廣泛應用到傅立葉變換這一工具。一方面由于確定性信號的頻譜、線性系統的頻率響應等具有鮮明的物理意義。另一方面，在時域上計算確定性信號通過線性系統必須采用大量的卷積運算，轉換到頻域上分析時，可以變換成簡單的乘積運算，從而使運算量大為減少，因而傅立葉變換是確定性信號分析的重要工具。

第三章隨機過程的譜分析第一頁第二頁，共57頁。

在隨機信號分析領域能否應用傅立葉變換，隨機信號是否存在某種譜特征？回答是可以，不過在隨機信號情況下，必須進行某種處理以后，才能應用傅立葉分析這一工具。因為一般隨機信號的樣本函數不滿足傅立葉變換的絕對可積條件，即第二頁第三頁，共57頁。3.1隨機過程的譜分析3.1.1確定性信號譜分析的簡單回顧

一、傅里葉變換x(t)是時間t的非周期函數，x(t)的傅立葉變換存在的充要條件是：

1、x(t)在范圍內滿足狄利赫利條件（有限個極值、有限個斷點）；

2、x(t)絕對可積，即

3若x(t)代表信號，則x(t)信號的總能量有限，即

第三頁第四頁，共57頁。滿足上述三個條件，則x(t)的傅立葉變換存在由傅立葉反變換，x(t)可以表示為二、帕賽瓦等式第四頁第五頁，共57頁。非周期性時間函數的帕塞瓦等式物理意義：如果x(t)表示的是電壓，則上式左邊代表x(t)在時間內的總能量。因此等式右邊的被積函數表示了信號x(t)能量按頻率分布的情況，稱為能量譜密度。第五頁第六頁，共57頁。3.1.2隨機過程的功率譜密度

樣本函數x(t)不滿足絕對可積的條件，但功率是有限的因此，可以研究隨機過程的功率譜。樣本函數x(t)的截取函數第六頁第七頁，共57頁。截取函數的傅立葉變換截取函數應滿足帕塞瓦定理兩邊同除以2T可得第七頁第八頁，共57頁。取集合平均可得隨機過程的平均功率第八頁第九頁，共57頁。兩個結論1、隨機過程的平均功率可以通過對過程的均方值求時間平均得到。若隨機過程廣義平穩2、不再具有隨機性，是的確定性函數第九頁第十頁，共57頁。功率譜密度描述了隨機過程X（t）的功率在各個不同頻率上的分布在整個頻率范圍內積分，可得到X（t）的功率平穩隨機過程第十頁第十一頁，共57頁。3.1.3功率譜密度與復頻率面

在系統分析中，常用復頻率表示更為方便.最簡單的情況是σ=0，s=jω。沿復頻率面s在虛軸jω的變化與沿實軸的變化相一致。二者只是符號的一致，各自的函數形式并不相同。第十一頁第十二頁，共57頁。【例題】用復頻率表示功率譜。解：第十二頁第十三頁，共57頁。3.2平穩隨機過程功率譜密度的性質3.2.1功率譜密度的性質

1）功率譜密度為非負的，即2）功率譜密度是ω的實函數。3）對于實隨機過程來說，功率譜密度是ω的偶函數，即第十三頁第十四頁，共57頁。截取函數為t的實函數，根據傅立葉變換的性質于是4、功率譜密度可積，即第十四頁第十五頁，共57頁。3.2.2譜分解定理功率譜表示成兩個多項式之比零極點的性質：1a2為實數2SX（s）在虛軸上無極點。3SX（s）中M<N。第十五頁第十六頁，共57頁。功率譜可以分解為兩項之積【例題】廣義平穩隨機過程X(t),具有功率譜密度

求隨機過程的均方值。第十六頁第十七頁，共57頁。

解：第十七頁第十八頁，共57頁。

-1，-3兩個極點的留數為第十八頁第十九頁，共57頁。3.3功率譜密度與自相關函數之間的關系

功率譜密度的表達式為 其中功率譜密度可表示為第十九頁第二十頁，共57頁。由得第二十頁第二十一頁，共57頁。對于廣義平穩隨機過程則

維納－辛欽定理第二十一頁第二十二頁，共57頁。平穩隨機過程的相關函數和功率譜密度皆為偶函數例3.考慮隨機電報信號。它是廣義平穩隨機過程。具有自相關函數為求過程的功率譜密度。第二十二頁第二十三頁，共57頁。解：利用維納---辛欽公式，并分兩段進行積分第二十三頁第二十四頁，共57頁。第二十四頁第二十五頁，共57頁。例4.已知平穩隨機過程X(t)，具有功率譜密度為求該過程的自相關函數和均方值。

解：第二十五頁第二十六頁，共57頁。

雙邊帶功率譜密度：功率譜密度分布在整個頻率軸上，稱為雙邊帶功率譜密度。

單邊帶功率譜密度：功率譜密度只定義在零和正的頻率軸上，成為單邊帶功率譜密度。第二十六頁第二十七頁，共57頁。

單邊帶功率譜密度與雙邊帶功率譜密度之間的關系為：廣義平穩隨機過程的均方值與其單邊帶功率譜密度的關系

在以后，如不加說明，都指雙邊帶功率譜密度。第二十七頁第二十八頁，共57頁。

平穩隨機過程自相關函數和功率譜密度對應關系：第二十八頁第二十九頁，共57頁。

幾種常見平穩隨機過程的自相關函數與功率譜密度對照表第二十九頁第三十頁，共57頁。第三十頁第三十一頁，共57頁。例1設隨機過程，其中a，w0為常數，X(t)為具有功率譜密度SX(w)的平穩過程。求過程Y(t)的功率譜密度。解：第三十一頁第三十二頁，共57頁。例2平穩隨機過程的功率譜密度為求該過程的自相關函數。解：第三十二頁第三十三頁，共57頁。3.4平穩隨機過程的采樣定理

X(t)為平穩隨機過程，具有零均值，它的功率譜密度為當滿足條件時，變可將它的振幅樣本展開為X(n)功率譜密度與X(t)的功率譜密度之間的關系為第三十三頁第三十四頁，共57頁。3.5聯合平穩隨機過程的互譜密度3.5.1互譜密度

定義兩個截取函數為二者滿足絕對可積的條件，則第三十四頁第三十五頁，共57頁。定義兩個隨機過程的互功率為應用帕塞瓦定理

實隨機過程第三十五頁第三十六頁，共57頁。

下面求平均功率，取極限得到平均功率QXY第三十六頁第三十七頁，共57頁。互功率譜密度定義為則有類似地互功率譜密度定義為相應的互功率為第三十七頁第三十八頁，共57頁。互功率、互功率譜密度物理意義考慮實隨機過程W(t)=X(t)+Y(t)，其自相關函數RW對上式等號兩邊求時間平均，則有其中若X(t)、Y(t)聯合平穩，則第三十八頁第三十九頁，共57頁。則有等號兩邊取傅里葉變換，得到其中F(?)表示傅里葉變換，

、

、

分別為W(t)、X(t)、Y(t)的功率譜密度第三十九頁第四十頁，共57頁。3.5.2互譜密度與互相關函數的關系

平穩隨機過程的自相關函數與其功率譜密度互為傅里葉變換，互相關函數與互譜密度也有類似關系1.兩個實隨機過程X(t)、Y(t)，其互譜密度與互相關函數的關系為即2.若X(t)、Y(t)聯合平穩，則

第四十頁第四十一頁，共57頁。證明根據、得到根據互功率譜密度定義，可得第四十一頁第四十二頁，共57頁。令，代入上式進行變量置換，得到即互譜密度與互相關函數滿足第四十二頁第四十三頁，共57頁。當X(t)和Y(t)廣義聯合平穩時，有則從而結論：對于兩個聯合平穩（至少是廣義聯合平穩）的實隨機過程，它們的互譜密度與其互相關函數互為傅里葉變換第四十三頁第四十四頁，共57頁。3.5.3互譜密度的性質

1.2.實部為偶函數3.虛部為奇函數4.若X(t),Y(t)正交，則5.若X(t),Y(t)不相關，分別具有常數均值mX和mY6.第四十四頁第四十五頁，共57頁。例1.設兩個隨機過程X(t)和Y(t)聯合平穩，其互相關函數為求互譜密度和。解：根據互譜密度的性質，得第四十五頁第四十六頁，共57頁。例2.設兩個隨機過程X(t)和Y(t)聯合平穩，其互譜密度為其中，a、b皆為實常數，求互相關函數解：第四十六頁第四十七頁，共57頁。3.6白噪聲

隨機過程通常可按它的概率密度和功率譜密度的函數形式來分類。就概率密度而言，正態分布的隨機過程占有重要地位；就功率譜密度來說，具有均勻功率譜密度的白噪聲非常重要。3.6.1理想白噪聲

若N(t)為一個具有零均值的平穩隨機過程，其功率譜密度均勻的分布在整個頻率區間，即其中N0為一個正實常數，則稱N(t)為白噪聲過程或簡稱白噪聲。“白”字借用光學中的“白光”術語，因為白光光譜中包含所有可見光的頻率分量。

第四十七頁第四十八頁，共57頁。

利用維納—辛欽定理，不難測到白噪聲的自相關函數為上式說明，白噪聲的自相關函數是一個δ函數，其面積等于功率譜密度。如圖所示。第四十八頁第四十九頁，共57頁。

白噪聲的自相關系數為以上說明，白噪聲在任何兩個相鄰時刻的取值都是不相關的。這就意味著白噪聲過程隨時間的起伏極快，過程的功率譜密度極寬。

上面定義的白噪聲只是一種理想化的模型。實際上，白噪聲是不存在的，因為白噪聲的均方值而物理上存在的隨機過程，其均方值總是有限的。第四十九頁第五十頁，共57頁。由于白噪聲在數學處理上具有簡單、方便等優點，因此它在諸如線性系統分析等實際應用中，仍占有極其重要的地位。在實際工作中，當研究隨機過程通過某一系統時，只要該隨機過程的功率譜密度在一個比系統帶寬大得多的頻率范圍內近似均勻分布，就可以把它作為白噪聲來處理，而不會帶來太大的誤差。電子設備中的起伏過程，許多都可以認為是白噪聲。例如電阻的熱噪聲，晶體管的散粒噪聲等，在相當寬的頻率范圍內都具有均勻的功率譜密度，故可把它們看成是白噪聲。第五十頁第五十一頁，共57頁。3.6.2限帶白噪聲

如果一個具有零均值的平穩隨機過程X(t)，其功率譜密度在某一個頻率范圍內均勻分布，而在此頻率范圍外為零，則稱這個過程為限帶白噪聲。1.低通型若過程的功率譜密度滿足則稱此過程為低通型限帶白噪聲。將白噪聲通過一個理想低通濾波器，可產生低通型限帶白噪聲。第五十一頁第五十二頁，共57頁。其自相關函數為采樣周期恰好等于時，得到的采樣值互不相關第五十二頁第五十三頁，共57頁。2.帶通型限帶白噪聲的功率譜密度為應用維納－辛欽定理，可得到相應的自相關函數為限帶白噪聲的產生方法：白噪聲通過理想帶通濾波器。第五十三頁第五十四頁，共57頁。3.6.3色噪聲

按功率譜密度函數形式來區分隨機過程，我們將把除了白噪聲以外的所有噪聲都稱為有色噪聲或色噪聲。第五十四頁第五十五頁，共57頁。本章