第五章

總成本和收益的計算目

錄CONTENTS1總收入計算問題及解決方案2使用MathStudio討論總量問題3進一步學習的數(shù)學知識:積分及其應用ProblemsandSolutionsofGeneral

IncomeUsingMathStudiotoDiscuss

Total

AmountProblemsFurthermathematicsknowledge:IntegralandItsApplication總收入計算問題及解決方案ProblemsandSolutionsofGeneral

Income1一、問題引入已知銷售某產(chǎn)品x件的邊際收入是

(元/件)且

x=0

時，總收入為0

元。求銷售1000件時的總收入。設銷量為x

時的總收入為R(x)

解引例原函數(shù)定義

則稱函數(shù)F(x)為

f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)。

例如一、問題引入回到引例將代入上式得,即得

(元/件)函數(shù)r(x)的一個特定原函數(shù)C取不同值，得到函數(shù)r(x)的不同原函數(shù)全體原函數(shù)不定積分一、問題引入任意常數(shù)被積表達式積分號1.不定積分的定義函數(shù)

F(x)是

f(x)

的一個原函數(shù)，那么f(x)

的全體原函數(shù)F(x)+C稱為

f(x)的不定積分，記為，即

二、不定積分與基本積分法被積函數(shù)積分變量例如二、不定積分與基本積分法2.基本積分公式二、不定積分與基本積分法例1求下列不定積分解二、不定積分與基本積分法3.不定積分的運算法則

線性性質(zhì)微分和積分互為逆運算性質(zhì)2

性質(zhì)1性質(zhì)3

性質(zhì)4二、不定積分與基本積分法解原式例2求4.直接積分法二、不定積分與基本積分法注意：分項積分后，每個不定積分的結(jié)果都應有一個積分常數(shù)，但任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此最后結(jié)果只要寫一個任意常數(shù)即可.例3求解原式二、不定積分與基本積分法5.不定積分應用設F(t)：t月時的客戶數(shù)

又已知F(0)=5000,所以C=5000所以F(16)=21960(戶)注意:復雜的不定積分問題，我們可以借助軟件求解

TeleCable網(wǎng)絡視頻公司估計其客戶數(shù)以每月人的速率增長，其中t表示自開播以來的月數(shù).且已知一開播就有5000位客戶,求開播16個月后的客戶數(shù)?例4解二、不定積分與基本積分法三、定積分下面橙色圖形的面積如何求？1.引例1.曲邊梯形的面積問題分析

曲邊梯形的面積問題轉(zhuǎn)化上述圖形的面積可歸結(jié)為下列兩個圖形的面積之差，即三、定積分1.曲邊梯形的面積問題分析什么是曲邊梯形？曲邊梯形是由連續(xù)曲線與三條直線所圍成的平面圖形。

三、定積分STEP4取極限解決步驟STEP1分割

STEP2近似代替STEP3求和1.曲邊梯形的面積三、定積分積分和被積表達式2.定積分的定義積分下限積分上限積分變量被積函數(shù)三、定積分0102定積分的值等于曲邊梯形面積；定積分的值等于曲邊梯形面積的負值.

3.定積分的幾何意義三、定積分利用定積分的幾何意義求畫出圖形解例5顯然,陰影部分面積根據(jù)定積分的幾何意義,有曲線

與直線

以及

軸所圍成的圖形如圖所示.三、定積分四、牛頓-萊布尼茨公式

求銷售第1001件到第2000件時所增加的收入.R(2000)－R(1000)

解引例牛頓-萊布尼茨公式

四、牛頓-萊布尼茨公式例6求定積分解例7計算解四、牛頓-萊布尼茨公式解例8已知

求

自

至的變化量.由變化量公式四、牛頓-萊布尼茨公式已知生產(chǎn)某產(chǎn)品q單位時的邊際收入為R'(q)=100-2q(元/單位),并且假定在沒有生產(chǎn)產(chǎn)品的時候,總收入為零.求生產(chǎn)40個單位產(chǎn)品時的總收入及平均收入,并求再生產(chǎn)20個單位時所增加的總收入.生產(chǎn)40個單位產(chǎn)品的總收入例9解元四、牛頓-萊布尼茨公式3.牛頓-萊布尼茨公式舉例平均收入再增加生產(chǎn)20個產(chǎn)品，總收入增加的量可見,增加生產(chǎn)量,收入不一定會增加.如何安排生產(chǎn),使得收入最大化,是值得重視的問題.元元使用MathStudio討論總量問題UsingMathStudiotoDiscuss

Total

AmountProblems2一、使用MathStudio求積分繼續(xù)討論例

9,下面介紹例

9的MathStudio求解過程.第一步：打開MathStudio，單擊【Catalog】，并選擇Integrate函數(shù)，如圖5-3所示.圖5-3

選擇定積分函數(shù)一、使用MathStudio求積分第二步：

Integrate函數(shù)中輸入被積函數(shù)，變量，下限，上限，并單擊【Solve】按鈕，可得生產(chǎn)40個單位產(chǎn)品時的總收入為2400元，如圖5-4所示

圖5-4

生產(chǎn)40個單位產(chǎn)品時的總收入一、使用MathStudio求積分

第三步：在輸入欄中輸入“2400/40”可得每單位的平均收入為

60元.圖5-5

每單位產(chǎn)品的平均收入一、使用MathStudio求積分第四步：如果再增加生產(chǎn)20個單位，即積分區(qū)間為[40,60]，在輸入欄中輸入“Intergate(100-2*x,x,40,60)”并單擊【Solve】可得總收入增加量為0，如圖5-6所示.圖5-6

生產(chǎn)量增加時的總收入增加量一、使用MathStudio求積分例

10計算不定積分.第一步：打開MathStudio，向左滑動數(shù)字鍵盤，并單擊不定積分符號，如圖5-7所示.圖5-7選擇不定積分函數(shù)一、使用MathStudio求積分第二步：單擊鍵盤上的sin和exp按鈕輸入被積函數(shù)和積分變量，并單擊【Solve】按鈕，如圖5-8所示.圖5-8

計算結(jié)果經(jīng)計算可得二、總成本函數(shù)問題典型問題1

已知邊際成本(美元/臺)x

表示日生產(chǎn)量,C(0)=800

(美元/天)(1)C(x)

(1)求

C(x)解(2)求

C(300)

(3)求

C(300)－C(200)(2)

C(300)=0.0001·(300)3－0.06·(300)2+20·(300)+800=4100(美元)

C(x)=0.0001x3－0.06x2+20x+800.(1)求

C(x)(2)求

C(300)

(3)求

C(300)－C(200)典型問題1

已知邊際成本(美元/臺)x

表示日生產(chǎn)量,C(0)=800

(美元/天)二、總成本函數(shù)問題解=900(美元)三、總收益函數(shù)問題已知邊際收入函數(shù)其中x是銷售量典型問題2

(1)求R(x)

R(x)

（1）

(2)求出需求函數(shù)(銷售數(shù)量和銷售單價的關(guān)系)

故所求需求函數(shù)為

于是得

（2）

解四、需求與供給函數(shù)問題典型問題3

已知需求q是價格p的函數(shù),邊際需求函數(shù)

其中最大需求量是100，求q(p)

又因為q(0)=100

,所以

解五、資本現(xiàn)值的相關(guān)問題典型問題4

現(xiàn)對某企業(yè)給予一筆投資

A,經(jīng)測算,該企業(yè)在

T年中可以按每年

a元的均勻收益率獲得收入,若年利率為

r,試求:(1)該投資純收入的貼現(xiàn)值;(2)收回該筆投資的時間是多長?借助MathStudio,求得解故投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為(1)因收益率為a,年利率為r,故投資后的T年的總收入的現(xiàn)值為五、資本現(xiàn)值的相關(guān)問題(2)收回投資即總收入的現(xiàn)值等于投資.得由例如

若對某企業(yè)投資

A=800萬元,年利率

r=5%,設在20年中的均勻收益率

a=200萬元/年,則投資回收期為由此可知,該投資在20年內(nèi)可得的純利潤約為1728.48萬元,投資回收期約為4.46年.=20ln1.25≈4.46(年)進一步學習的數(shù)學知識：積分及其應用Furthermathematicsknowledge:IntegralandItsApplication3一、不定積分的積分法1.直接積分法.

利用積分基本公式和性質(zhì)，同時結(jié)合一些技巧(如合并，去分母，加一個量減一個量，公式恒等變形等)求不定積分的方法叫做直接積分法.例10

求不定積分解例11

求不定積分解一、不定積分的積分法

2．換元積分法利用直接積分法可以求出一些簡單的不定積分，但對于較復雜的積分，必須設法將它變形，使其成為能利用基本積分公式進行求解.下面介紹求不定積分的常用方法之一：換元積分法.定理5.2如果則其中是

x的任意一個可導函數(shù)．1.第一換元積分法(湊微分法）湊微分

第一換元積分法步驟一、不定積分的積分法例12

求不定積分解一、不定積分的積分法例13

求不定積分解一、不定積分的積分法例14

求不定積分解一、不定積分的積分法2.第二換元積分法第二類換元積分法與第一類換元積分法正好相反，后者用的是代換

，而前者則是

，變化的過程是一、不定積分的積分法例15

求不定積分解令則，一、不定積分的積分法例16

求不定積分解令則設函數(shù)與具有連續(xù)導數(shù)，由兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式移項，得兩邊積分得即上述公式叫作分部積分公式.3.分部積分法一、不定積分的積分法一、不定積分的積分法例17

求不定積分解令一、不定積分的積分法例18

求不定積分解令二、定積分的積分法定積分的積分法其本質(zhì)仍然是換元積分法和分部積分法.在這里我們可以簡單地處理.第一步：求定積分所對應的不定積分;第二步：代入牛頓—萊布尼茨公式.例19

求定積分解因為二、定積分的積分法例20

求定積分解因為二、定積分的積分法三、微元法及其應用1.微元法(1)近似代替(2)取極限圖5-4yfx)dx（1）由曲線y=f(x),y=g(x)與直線x=a,x=b所圍成的平面圖形的面積．三、微元法及其應用（2）由曲線與直線y=c,y=d,x=0所圍成的平面圖形的面積.三、微元法及其應用（3）由曲線且與直線y=c,y=d所圍成的平面圖形的面積.三、微元法及其應用例21

計算由拋物線,

所圍成的面積.解由圖5-7解方程組圖5-7得兩交點坐標為(0,0)和(1,1)．三、微元法及其應用一般地，求解面積問題的步驟為：(1)作草圖，求曲線的交點，確定積分變量和積分限；(2)寫出積分公式；(3)計算定積分．三、微元法及其應用三、微元法及其應用xoy解

例22

求由拋物線與所圍成的面積.解xoy例23求橢圓的面積.令則當時，；當時三、微元法及其應用特別，當a=b=r時，得圓的面積公式：三、微元法及其應用長沙民政職業(yè)技術(shù)學院通識教育中心本章結(jié)束THANKS第六章

投入產(chǎn)出模型的建立目

錄CONTENTS1總產(chǎn)值價值形成問題及解決方案ProblemsandSolutionsintheFormationofTotalOutputValue2使用EXCEL討論投入產(chǎn)出問題UsingExceltoDiscussInput-outputProblems3進一步學習的數(shù)學知識：線性代數(shù)初步Furthermathematicsknowledge：LinearAlgebra總產(chǎn)值價值形成問題及解決方案ProblemsandSolutionsintheFormationofTotalOutputValue1一、問題引入試建立線性方程組來確定當工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務業(yè)面臨的最終需求分別為33、8和16萬億元時，各部門的總產(chǎn)出應該是多少？表6-1投入產(chǎn)出表(萬億元)1.總產(chǎn)值價值形成問題一、問題引入任何產(chǎn)品生產(chǎn)的技術(shù)過程都是一個投入產(chǎn)出過程，引例要求我們回答的就是分析系統(tǒng)各部門之間相互輸入(投入)和輸出(產(chǎn)出)的產(chǎn)品的數(shù)量關(guān)系。當我們考慮一個工業(yè)體系時，會發(fā)現(xiàn)每種工業(yè)都需要使用其它工業(yè)的“產(chǎn)出”作為自己的原材料，反過來，它所“產(chǎn)出”的產(chǎn)品又必然是某些別的工業(yè)的“投入”，從而構(gòu)成了相互依賴的關(guān)系。那么，如何把各部門的投入來源和產(chǎn)出方向去向縱橫交叉地編制成投入產(chǎn)出表？如何根據(jù)產(chǎn)出表的平衡關(guān)系，建立投入產(chǎn)出模型？如何借助投入產(chǎn)出表和投入產(chǎn)出模型進行各種經(jīng)濟分析？1.總產(chǎn)值價值形成問題一、問題引入2.總產(chǎn)值價值形成問題的數(shù)學模型平衡關(guān)系③每一個部門的總投入等于該部門的總產(chǎn)出。①從縱向看，中間投入+最初投入=總投入。②從橫向看，中間使用+最終需求=總產(chǎn)出。一、問題引入2.總產(chǎn)值價值形成問題的數(shù)學模型直接消耗系數(shù)：計算每個部門總產(chǎn)出1元價值的產(chǎn)品時，相應各部門向該部門的直接輸出所占的比例。表6-2直接消耗系數(shù)表你能解釋其經(jīng)濟意義嗎？一、問題引入2.總產(chǎn)值價值形成問題的數(shù)學模型表6-3計劃投入產(chǎn)出表(萬億元)一、問題引入2.總產(chǎn)值價值形成問題的數(shù)學模型根據(jù)投入產(chǎn)出表行的平衡關(guān)系，有以下消耗平衡方程組：一、問題引入2.總產(chǎn)值價值形成問題的數(shù)學模型消耗平衡方程組最終需求分別為33、8和16時，三個部門的總產(chǎn)出應該為50、30和40。本章重點：解線性方程組(6.2)二、矩陣的概念線性方程組(6.2)的系數(shù)、右端常數(shù)按照原來的位置擺放，構(gòu)成一個矩形數(shù)表：引例2不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)表(6.3)決定了方程組(6.2)是否有解，以及如果有解，解是什么等問題.因而研究這個數(shù)表就很有必要.(6.3)二、矩陣的概念二、矩陣的概念幾種特殊矩陣行矩陣列矩陣N階方陣所有元素均為零的矩陣，記為Om×n零矩陣二、矩陣的概念單位矩陣幾種特殊矩陣二、矩陣的概念定義：矩陣相等

如果都是m

n矩陣,并且它們的對應元素都相等,則稱矩陣A和矩陣B相等,記作A=B.例1已知

且A=B,求a,b,c,d.解由矩陣相等的概念,有三、矩陣的運算1.矩陣的線性運算兩個m

n矩陣對應的元素相加得到m

n矩陣,稱為矩陣A與矩陣B的和,記作A+B.定義注：只有兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行矩陣的加法運算三、矩陣的運算1.矩陣的線性運算定義

以數(shù)k乘以矩陣的每一個元素所得的矩陣，稱為數(shù)k與矩陣A的乘積，記作kA.三、矩陣的運算

例2已知解三、矩陣的運算解

2個產(chǎn)地與3個銷地每噸的運費用矩陣表示為三、矩陣的運算三、矩陣的運算2.矩陣與矩陣的乘法定義矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應元素乘積之和作為一個新矩陣的第i行第j列的元素注意：⑴只有當左邊矩陣A的列數(shù)等于右邊矩陣B的行數(shù)時，矩陣A與B才能作乘法運算.⑵矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)m，列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)n

.三、矩陣的運算2.矩陣與矩陣的乘法例4已知求AB與BA．解三、矩陣的運算矩陣的乘積不滿足交換律例4已知求AB與BA．三、矩陣的運算2.矩陣與矩陣的乘法矩陣的乘法滿足以下規(guī)律：（其中k為常數(shù)）．注意兩矩陣的乘法與兩數(shù)的乘法有很大的差別.（1）結(jié)合律（2）分配律（3）數(shù)乘結(jié)合律三、矩陣的運算3.矩陣的轉(zhuǎn)置定義

矩陣A的行列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。記作例5

已知矩陣，求解三、矩陣的運算3.矩陣的轉(zhuǎn)置例6

已知,求解

(1)

首先計算于是，(2)(AB)T=BTAT三、矩陣的運算3.矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運算規(guī)律：三、矩陣的運算4.逆矩陣設A是一個n階方陣,E是一個n階單位矩陣.如果存在一個n階方陣B,使AB=BA=E,則稱B為A的逆矩陣,簡稱為A的逆陣,或A的逆．這時稱A為可逆矩陣,簡稱可逆陣.定義例如三、矩陣的運算4.逆矩陣性質(zhì)1如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是惟一的．因此，矩陣A的逆矩陣常記作例如：性質(zhì)2可逆矩陣A的逆矩陣滿足注意：A的逆矩陣可通過EXCEL中的函數(shù)MINVERSE求得。四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示1.線性方程組的有關(guān)概念系數(shù)矩陣右端常數(shù)四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示1.線性方程組的有關(guān)概念系數(shù)矩陣右端常數(shù)增廣矩陣四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示2.投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示直接消耗系數(shù)表和最終需求可表示如下表示每生產(chǎn)單位價值第j種產(chǎn)品所需直接消耗的第i種產(chǎn)品的價值。投入產(chǎn)出方程組可以表示為對應的解為稱為里昂惕夫逆矩陣。四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示2.投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示求解一個投入產(chǎn)出方程組,通常有兩種方法,即(1)逆矩陣法:

先求出里昂惕夫逆矩陣(I－A)-1,再利用式(6.7)求出X.(2)消元法:通過對方程組施以同解變換,逐步消元,從而求出X.第二節(jié)我們將討論如何借助Excel軟件實現(xiàn)逆矩陣法解線性方程組,其數(shù)學原理將在第三節(jié)討論.下面先介紹求解線性方程組的消元法.五、消元法解線性方程組1.消元法解線性方程組

每一個方程兩端同乘以10，將方程未知量的系數(shù)化為整數(shù)，得增廣矩陣五、消元法解線性方程組交換第一個方程和第三個方程的位置，得第一個方程的－1倍加到第二個方程，第一個方程的8倍加到第三個方程五、消元法解線性方程組第二個方程的兩端同除以8，得第二個方程的9倍加到第三個方程五、消元法解線性方程組線性方程組的同解變換：

交換某兩個方程的位置；

用一個非零數(shù)乘某一個方程的兩邊；

將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程.通常把過程①-⑥稱為消元過程，矩陣⑥稱為行階梯形矩陣，與之對應的方程組⑥則稱為行階梯形方程組.五、消元法解線性方程組繼續(xù)上述方程組，第三個方程兩邊同除以38，得第三個方程的1倍加到第二方程，第三個方程的－6倍加到第一個方程五、消元法解線性方程組第二個方程的1倍加到第一個方程第一個方程的兩邊同乘以(－1)至此，我們可以通過增廣矩陣直接“讀”出該線性方程組的解.五、消元法解線性方程組定義下面的三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換：(1)交換矩陣的兩行（列）；(2)用非零數(shù)k乘以矩陣的某行（列）；(3)把矩陣的某一行（列）乘以數(shù)k后加到另一行（列）．矩陣的初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．2.矩陣的初等變換五、消元法解線性方程組2.矩陣的初等變換例如：矩陣B依其形狀的特征稱為階梯形矩陣，具體定義如下：五、消元法解線性方程組2.矩陣的初等變換一般地，稱滿足下列條件的矩陣為行階梯形矩陣：⑴若有零行(元素全為零的行),則零行在矩陣的最下方；⑵非零行的第一個非零元素左邊的零的個數(shù)隨行標遞增.矩陣B依其形狀的特征稱為階梯形矩陣。五、消元法解線性方程組一般地，稱滿足下列條件的階梯形矩陣為簡化行階梯形矩陣：⑴各非零行的首非零元都是1；⑵非零行的第一個非零元所在列的其余元素都是零。對上述矩陣B再作初等行變換矩陣C依其形狀的特征稱為簡化行階梯形矩陣。五、消元法解線性方程組例7

求解線性方程組解記矩陣稱為線性方程組的增廣矩陣五、消元法解線性方程組例7

求解線性方程組由簡化行階梯形矩陣可以得到原方程組的等價方程組為方程組有無窮多解，上式是所給方程組的一般解。使用EXCEL討論投入產(chǎn)出問題UsingExceltoDiscussInput-outputProblems2一、

利用Excel求直接消耗系數(shù)矩陣典型問題1利用Excel求解第一節(jié)表6-1的直接消耗系數(shù)矩陣第一步：在H4欄輸入“=C4/C$8”，得出直接消耗系數(shù)，即單位價值工業(yè)部門產(chǎn)品直接消耗0.2單位的工業(yè)部門自身產(chǎn)品。第二步：利用拖曳的方法將H5欄公式復制到H4至J6的范圍，如圖6-1所示。圖6-1直接消耗系數(shù)矩陣A二、利用Excel解線性方程組典型問題2利用Excel求解投入產(chǎn)出方程組6.2第一步：在工作表的E2至G4區(qū)域建立一個單位矩陣I，在I2至I4區(qū)域依次輸入33，8，16。第二步：計算I－A。在A6欄輸入“=E2-B2”,利用拖曳的方法將A6欄公式復制A6至C8的區(qū)域，如圖6-2所示。圖6-2方程組的系數(shù)矩陣二、利用Excel解線性方程組第三步：計算

。選中E6至G8區(qū)域，輸入公式“=MINVERSE(A6:C8)”,按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】組合鍵，如圖6-3所示。圖8-3昂惕夫逆矩陣二、利用Excel解線性方程組第四步：利用公式求方程組(2)的解。選中I6至I8區(qū)域，輸入公式“=MMULT(E6:G8,I2:I4)”,按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】組合鍵，得方程組的解。圖6-4線性方程組(2)的解三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型現(xiàn)階段各企業(yè)的總產(chǎn)出為多少？外部需求分別增加15萬元、5萬元和7萬元，各企業(yè)又該如何安排生產(chǎn)？表6-4，投入產(chǎn)出表(萬元)三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型解決方案x1,x2,x3分別表示3個企業(yè)現(xiàn)階段的總產(chǎn)出或三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型利用EXCEL求解上述方程組，得即3個企業(yè)現(xiàn)階段的總產(chǎn)出分別為105.16萬元、51.58萬元和54.87萬元三、

煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型外部需求分別增加15萬元、5萬元和7萬元，記則相應地有或三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型利用EXCEL求解上述方程組，得3個企業(yè)的總產(chǎn)出應分別增加27.09萬元、12.16萬元和16.57萬元四、企業(yè)產(chǎn)銷預測模型2021年計劃三種產(chǎn)品的庫存不變，銷量分別比2009年增加30%、20%、40%。預測該企業(yè)的總產(chǎn)品、中間產(chǎn)品、外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況。表6-52019年投入產(chǎn)出表(萬元)四、企業(yè)產(chǎn)銷預測模型解決方案2021年三種產(chǎn)品的最終產(chǎn)出直接消耗系數(shù)矩陣x1,x2,x3分別表示三種產(chǎn)品的總產(chǎn)值四、企業(yè)產(chǎn)銷預測模型下面討論該企業(yè)2021年中間產(chǎn)品和外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況。以產(chǎn)品2為例，2021年的中間產(chǎn)品使用產(chǎn)品2總投入為3179.5萬元單位價值產(chǎn)品2所消耗的產(chǎn)品1為0.1818元產(chǎn)品2所消耗的產(chǎn)品1價值為3179.5×0.1818=578萬元。2021年外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出外購產(chǎn)品占總投入的比例系數(shù)分別為0.5003、0.2814和0.2804產(chǎn)品生產(chǎn)過程中的外購產(chǎn)品價值分別為1115.7萬元、894.6萬元和381.2萬元四、企業(yè)產(chǎn)銷預測模型2021年中間產(chǎn)品和外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況(匯總)結(jié)論：總產(chǎn)品、中間產(chǎn)品、外購產(chǎn)品以及其它投入會隨著三種產(chǎn)品的銷量增長而增長。進一步學習的數(shù)學知識線性代數(shù)初步Furthermathematicsknowledge：LinearAlgebra3一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)在初等代數(shù)中，用加減消元法求解二元一次方程組可得