第二章矩陣與行列式定義

第一節(jié)矩陣及其運算一、矩陣的概念幾種特殊矩陣1、主對角線為1，其余為0.2、數(shù)量矩陣定理1：數(shù)量矩陣可與任意n階矩陣An的乘法可交換。定理2：可與任意n階矩陣An的乘法可交換的只能是數(shù)量矩陣.3、對角矩陣4、上三角矩陣5、下三角矩陣例：證明兩個n階下三角矩陣的乘積仍是下三角矩陣。1、加法（同型）定義：規(guī)律：A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)A+O=O+A(O---->零矩陣）A+(-A)=O(-A--->所有元素均為相反！）2、數(shù)乘定義：注：每一元素均乘以k二、矩陣的運算性質：

1A=A0A=O

k(lA)=(kl)Ak(A+B)=kA+kB(k+l)A=kA+lA3、矩陣的乘法（重要!!!)定義：例：注意1:2：若AB=BA，稱A與B是可交換的！性質：(1)EA=AE=A(2)A(BC)=(AB)C(3)A(B+C)=AB+AC(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)定義：4、矩陣的轉置例：A-AT是反對稱矩陣。性質：(1)(AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT(3)(kA)T=kAT(4)(AB)T=ATBT對稱矩陣：反對稱矩陣：5、矩陣的共軛定義當為復矩陣時，用表示元素的共軛復數(shù)，則稱為A的共軛矩陣，記作。性質定義1：注1：注2：注1：f(A)是一矩陣！注2：f(A)g(A)=g(A)f(A)6、n階矩陣的冪和多項式定義2：一、二階和三階行列式第二節(jié)行列式及其性質由求解引入：由求解三元一次線性方程組引入：定義1（二階行列式）定義2三階行列式（沙路法）a11a12a13a11a12a21a22a23a21a22a31a32a33a31a32注意：第三個足碼恰好是個排列。逆序數(shù)法定義：由n2個數(shù)組成的n階行列式是一個算式，當n=1時，D=|a11|=a11

二、n階行列式的定義注：Dn共有n!項（遞歸）正負號各占一半，每一個是不同行、列的n個元素之積。性質1：行列式的行與列（按原順序）互換，其值不變。注：在此結論下，下述的性質只需將“行”改為“列”均成立性質2：三、n階行列式的性質性質3：k(i)推論：性質4：性質5：兩行對應元素相等，則D=0推論：兩行對應元素成比例，則D=0性質6：(i)+k(j)行列式值不變

性質7：

(i)<-->(j)

兩行互換，行列式相反性質8：關鍵:

（1）試圖化為上（下）三角行列式；（2）每一行（列）只有一個0。例1：三、n階行列式的性質方法一：將所有行（列）均加到第一行（列）例2：方法二：兩兩相加至0例3：例4：范得蒙(Vandermonde）行列式方法三：加邊法方法四：拆分法五、n階矩陣的行列式例：性質：上述可簡記為：同樣有但定理：設A,B是兩個n矩陣，則乘積AB的行列式等于A和B的行列式的乘積。即|AB|=|A||B|伴隨矩陣的一個性質其中D=|A|,Dj是b代替|A|中第j列所得的行列式六、克拉默（Cramer）法則定理（Cramer)例題：討論a,b為何值時，下面方程組有解？引：定義注1：若A可逆，則|A|0；注2：若|A|0，則A可逆。第三節(jié)逆矩陣一、逆矩陣的概念和性質性質：規(guī)定：利用伴隨矩陣求矩陣的逆矩陣先前結論：同理：于是有：故當|A|0時，A可逆，且定理：推論：二、方陣可逆的條件例1：求矩陣A的逆矩陣例2：例3：例4：已知矩陣一、分塊矩陣的概念Goal:將矩陣分成若干小塊，易于計算。

一般地，將的行分成s塊，將其列分成t塊，把A稱為塊矩陣，記作稱為A的子塊。它們是各種類型的小矩陣。第四節(jié)分塊矩陣幾種特殊情況1、按行分塊2、按列分塊3、準對角矩陣（從對角矩陣推出）A是n階方針例：已知：m1m2msn1n2nt加法：同型數(shù)乘：二、分塊矩陣的運算1、分塊矩陣的加法和數(shù)乘m1m2mrn1n2nsn1n2nsh1h2ht注意：A中的列的分法必須和B中行的分法一致！2、分塊矩陣的乘法例題3、分塊矩陣的轉置(1)對角4、分塊矩陣的求逆（2）高階矩陣的逆可化為低階來算（a）（b）（c）例題：定義（k階子式）非零子式第五節(jié)矩陣的秩與矩陣的初等變換一、矩陣的秩的概念定義（秩）：非零矩陣A的非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為r(A)。零矩陣的秩為0注：最高階數(shù)，即指A存在r階非零子式，但所有r+1階子式（如果存在）都等于0，則最高階數(shù)為r。注：r(A)=r(AT)定理：

A可逆

|A|0,r(A)=nProblem:如何計算A的秩？？？定義（矩陣的初等變換）行（3種）列（3種）二、矩陣的初等變換定義（等價）設A經(jīng)一系列的初等變換變?yōu)锽,則稱A與B在初等變換下是等價的，簡稱A與B等價。反身性對稱性傳遞性定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。上述定理可保證，經(jīng)過一系列的初等變換，可將r(A)=r注1、r(A)=n|A|o標準型E2、A的秩等于A的階梯形矩陣中拐角元素1的個數(shù)3、Ax=b有解

r()=r[A:b]=r(A)ii（1）三、初等矩陣定義：將單位矩陣作依次初等變換所的的矩陣稱為初等矩陣ij（2）ijijijij（3）初等矩陣的性質：A的第i行乘k加到第j行_____A的第i行和第j行互換_____A的第i行乘k_____A的第i列乘k