目錄

第一章數(shù)與代數(shù)

第一講對比大小

第二章實踐與應用（-）

第一講行程問題（一）

第二講行程問題（二）

第三講行程問題（三）

第四講流水行船問題

第三章空間與圖形

第一講外表積、體積（-）

第二講外表積、體積（二）

第四章數(shù)論與整除

第一講應用同余解題

第五章應用（二）

第一講“牛吃草”問題

第二講不定方程

第三講比例（補充）

第六章組合與推理

第一講最大、最小問題

第二講乘法和加法原理

第三講抽屜原理（一）

第四講抽屜原理（二）

第五講邏輯推理（一）

第六講邏輯推理（二）

第其講對策問題

第一章數(shù)與代數(shù)

第一講對比大小

【專題導引】

我們已經(jīng)掌握了基本的對比整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)大小的方法。本周將進一步

研究若何對比一些較復雜的數(shù)或式子的值的大小。

解答這種類型的題目，需要將原題進展各種形式的轉(zhuǎn)化，再利用一些不等式

的性質(zhì)進展推理判斷。如:a>b〉O,那么a2>b2；如果a>b>0,那么如果色>1,

abh

b>0,那么a>b等等。

對比大小時，如果要對比的分數(shù)都接近1時，可先用1減去原分數(shù)，再根據(jù)

被減數(shù)相等〔都是1）,減數(shù)越小，差越大的道理判斷原分數(shù)的大小。

如果兩個數(shù)的倒數(shù)接近，可以先用1分別除以這兩個數(shù)。再根據(jù)被除數(shù)相等,

商越小，除數(shù)越大的道理判斷原數(shù)的大小。

除了將對比大小轉(zhuǎn)化為比差、比商等形式外，還常常要根據(jù)算式的特點將它

作適當?shù)淖冃魏笤龠M展判斷。

【典型例題】

777773和888884

【例0對比777778’888889的大小。

【試一試】

777775和666661

1、對比777777不666663的大小。

cW98765987698798^...川上1Vl后告哇川山十

2、將-----，---------------------9----------------9--按從小到大的順序排列出來。

98766987798899

【例2】對比山和ULL哪個分數(shù)大

mimu

【試一試】

33333

1、對比A=巨_和8=上1的大小。

1666166

111111110444444443....

2、對比---------和Xn----------的大小

222222221888888887

【例3】Lx3x9xZx2xUxUx”的積與0.25對比，哪個大

246810121416

【試一試】：

135791113151735I

1、—x—X-X-X----X—x___x___x___x..........X正的積累對比‘哪個大

24681012141618

2、-x-x-x-x……x22的積與上對比，哪個大

246810010

[23473

【例4】AX15X1—=BX—+'xl5=CX15.2+—=DX14.8義一。A,B,C,D

9934574

四個數(shù)中最大的是=

【試一試】

241

1、AX1—=6x90%=C+75%=Ox—=E+l—。把A,B,C,D,E這五個數(shù)

355

從小到大排列，第2個數(shù)是o

2、有八個數(shù)，0.5.1.,上2S5,0.51,2受4,二13是其中的六個數(shù)，如果從小到大排列時，第

394725

四個數(shù)是0.51,那么從大到小排列時，第四個數(shù)是哪個

【*例5]以以以下圖中有兩個紅色的正方形，兩個藍色的正方形，它們的面積

已在圖中標出（單位：厘米2）。問：紅色的兩個正方形的面積大，還是藍色的兩

個正方形面積大

【*試一試】

1、如以以下圖，有兩個紅色的圓和兩個藍色的圓。紅色兩圓的直徑分別是1992

厘米和1949厘米，藍色兩圓的半徑分別是1990厘米和1951厘米。問：紅色兩

圓面積之和大，還是藍色兩圓的面積之和大

235862652974

對比呼和微的大小。

2、

3、2……*竺遜的積與0Q02對比,哪個大

5791000001

4、在下面四個算式中，最大的得數(shù)是幾

14±X

(+)X3O

一

119214219

(+)

37-)4147

*5、問……><2上與-L相比，哪個更大為什么

246810010

第一章實踐與應用（一）

第一講行程問題（一）

【專題導引】

行程問題的三個基本量是距離、速度和時間。其互逆關系可用乘、除法計

算，方法簡單，但應注意行駛方向的變化，按所行方向的不同可分為三種：（1）

相遇問題；（2）相離問題；（3）追及問題。

行程問題的主要數(shù)量關系是：距離=速度X時間。它大致分為以下三種情況:

（1）相向而行：相遇時間=距離+速度和。

（2）相背而行：相背距離=速度和X時間。

（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。

追及時間=追及距離+速度差。

在環(huán)行跑道上，速度快的在前，慢的在后。

追及距離=速度差X時間。

解行程問題時，要注意充分利用圖示把題中的情形形象地表示出來，有助于

分析數(shù)量關系，有助于迅速地找到解題思路。

【典型例題】

【例1】兩輛汽車同時從某地出發(fā)，運送一批貨物到距離165千米的工地。甲車

比乙車早到48分鐘，當甲車到達時，乙車還距工地24千米。甲車行完全程用了

多少個小時

【試一試】

1、甲、乙兩地之間的距離是420千米。兩輛汽車同時從甲地開往乙地。第一輛

汽車每小時行42千米，第二輛汽車每小時行28千米。第一輛汽車到乙地立即返

回。兩輛車從開出到相遇共用多少小時

2、A、B兩地相距900千米，甲車由A地到B地需15小時，乙車由B地到A地

需10小時。兩車同時從兩地開出，相遇時甲車距B地還有多少千米

［例2］兩輛汽車同時從東、西兩站相向開出。第一次在離東站60千米的地方

相遇。之后，兩車繼續(xù)以原來的速度前進。各自到達對方車站后都立即返回。又

在距中點西側(cè)30千米處相遇。兩站相距多少千米

【試一試】

1、兩輛汽車同時從南、北兩站相對開出，第一次在離南站55千米的地方相遇，

之后兩車繼續(xù)以原來的速度前進。各自到站后都立即返回，又在距中點南側(cè)15

千米處相遇。兩站相距多少千米

2、兩列火車同時從甲、乙兩站相向而行。第一次相遇在離甲站40千米的地方。

兩車仍以原速繼續(xù)前進。各自到站后立即返回，又在離乙站20千米的地方相遇。

兩站相距多少千米

【例3】A、B兩地相距960米。甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)。假設相

向而行，6分鐘相遇；假設同向行走，80分鐘甲可以追上乙。甲從A地走到B地

要用多少分鐘

【試一試】

1、一條筆直的馬路通過A、B兩地，甲、乙兩人同時從A、B兩地出發(fā)，假設相

向行走，12分鐘相遇；假設同向行走，8分鐘甲就落在乙后面1864米。A、B兩

地相距1800米。甲、乙每分鐘各行多少米

2、父、子二人在一400米長的環(huán)行跑道上散步。他倆同時從同一地點出發(fā)。假

設相背而行，2g分鐘相遇；假設同向而行，26,分鐘父親可以追上兒子。問：

73

在跑道上走一圈，父、子各需要多少分鐘

【例4】上午8時8分，小明騎自行車從家里出發(fā)。8分鐘后，爸爸騎摩托車去

追他。在離家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回頭

去追小明。再追上他的時候，離家恰好是8千米，這時是幾時幾分

【試一試】

1、A、B兩地相距21千米，上午8時甲、乙分別從A、B兩地出發(fā)，相向而行。

甲到達B地后立即返回，乙到達A地后立即返回。上午10時他們第二次相遇。

此時，甲走的路程比乙走的多9千米。甲一共行了多少千米甲每小時走多少千米

2、張師傅上班坐車，回家步行，路上一共要用80分鐘。如果往、返都坐車，全

部行程要50分鐘；如果往、返都步行，全部行程要多長時間

【例5】甲、乙、丙三人，每分鐘分別行68米、70.5米、72米。現(xiàn)甲、乙從東

鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時出發(fā)，丙和乙相遇后，又過2分鐘與甲相

遇。東、西兩鎮(zhèn)相距多少千米

【試一試】

1、有甲、乙、丙三人，甲每分鐘行70米，乙每分鐘行60米，丙每分鐘行75米,

甲、乙從A地去B地，丙從B地去A地，三人同時出發(fā)，丙遇到甲8分鐘后，再

遇到乙。A、B兩地相距多少千米

2、一只狼以每秒15米的速度追捕在它前面100米處的兔子。兔子每秒行4.5米,

6秒鐘后獵人向狼開了一槍。狼立即轉(zhuǎn)身以每秒16.5米的速度背向兔子逃去。

問：開槍多少秒后兔子與狼又相距100米

課外作業(yè)

家長簽名：

1、甲、乙兩輛汽車早上8點鐘分別從A、B兩城同時相向而行。到10點鐘時兩

車相距112.5千米。繼續(xù)行進到下午1時，兩車相距還是112.5千米。A、B兩

地間的距離是多少千米

2、甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩地相對開出。第一次相遇時離A站有90千米。

然后各按原速繼續(xù)行駛，分別到達對方車站后立即沿原路返回。第二次相遇時離

A地的距離占A、B兩站間全程的65機A、B兩站間的路程是多少千米

3、兩條公路呈十字穿插。甲從十字路口南1350米處向北直行，乙從十字路口處

向東直行。同時出發(fā)10分鐘后，二人離十字路口的距離相等；二人仍保持原來

速度直行，又過了80分鐘，這時二人離十字路口的距離又相等。求甲、乙二人

的速度。

4、當甲在60米賽跑中沖過終點線時，比乙領先10米，比丙領先20米。如果乙

和丙按原來的速度繼續(xù)沖向終點，那么乙到達終點時將比丙領先多少米

*5、甲、乙兩車同時從A地開往B地，乙車6小時可以到達，甲車每小時比乙

車慢8千米，因此比乙車遲一小時到達。A、B兩地間的路程是多少千米

第二講行程問題（二）

【專題導引】

在行程問題中，與環(huán)形有關的行程問題的解決方法與一般行程問題的方法類似，

但有兩點值得注意：一是兩人同地背向運動，從第一次相遇到下次相遇共行一個

全程；二是同地、同向運動時，甲追上乙時，甲比乙多行一個全程。

【典型例題】

【例1】甲、乙、丙三人沿著湖邊散步，同時從湖邊一固定點出發(fā)。甲按順序針

方向行走，乙與丙按逆時針方向行走。甲第一次遇到乙后讓1分遇到丙，再過3士3

44

分鐘第二次遇到乙。乙的速度是甲的士，湖的周長為600米，求丙的速度。

3

【試一試】

1、甲、乙、丙三人環(huán)湖跑步，同時從湖邊一固定點出發(fā)。乙、丙兩人同向，甲

與乙、丙反向。在甲第一次遇到乙后己分鐘第一次遇到丙；再過3士分鐘第二次

44

遇到乙。甲的速度與乙的速度比是3：2,湖的周長為2000米，求三人的速度。

2、兄、妹二人在周長為30米的圓形小池邊玩。從同一地點同時背向繞水池而行。

兄每秒走L3米，妹每秒走1.2米。他們第10次相遇時，妹還要走多少米才能

回到出發(fā)點

【例2】甲、乙兩人在同一條橢圓形跑道上做特殊訓練。他們同時從同一地點出

發(fā)，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到達出發(fā)點后，立即回頭加速跑第二圈。跑

第一圈時，乙的速度是甲的士。甲跑第二圈時速度比第一圈提高了2，乙跑第二

33

圈時速度提高了!。甲、乙兩人第二次相遇點距第一次相遇點190米。這條橢圓

5

形跑道長多少米

【試一試】：

1、小明繞一個圓形長廊游玩。順時針走，從A處到C處要12分鐘，從B處到A

處要15分鐘，從C處到B處要11分鐘。從A處到B處需要多少分鐘（如以以以

下圖所示）

2、?八'時從卜地出發(fā)，沿長方形的邊行駛，結果在B地相遇。B

地與（｝米，且小汽車的速度為摩托車速度的|。這條長方形路的

周長、iB

產(chǎn)--E124千米,小張和小王在湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行。

小1卡,」.度走小時后休息分鐘，小張以每小時千米速度每走

156

BC

50分鐘后休息10分鐘。兩人出發(fā)多少時間第一次相遇

【試一試】

1、在400米環(huán)行跑道上，A、B兩點相距100米。甲、乙兩人分別從A、B兩點

同時出發(fā)，按逆時針方向跑步，甲每秒行5米，乙每秒行4米，每人跑100米都

要停留10秒鐘。那么，甲追上乙需要多少秒

2、一輛汽車在甲、乙兩站之間行駛。往、返一次共用去4小時。汽車去時每小

時行45千米，返回時每小時行駛30千米，那么甲、乙兩站相距多少千米

[例4]一個游泳池長90米。甲、乙二人分別從游泳池的兩端同時出發(fā)，游到

另一端立即返回。照這樣往、返游，兩人游10分鐘。甲每秒游3米，乙每秒游

2米。在出發(fā)后的兩分鐘內(nèi)，兩人相遇了幾次

【試一試】

1、甲、乙兩個運發(fā)動同時從游泳池的兩端相向出發(fā)做往、返游泳訓練。從池的

一端到另一端甲要3分鐘，乙要3.2分鐘。兩人下水后連續(xù)游了48分鐘，一共

相遇了多少次

2、一游泳池泳道長100米，甲、乙兩個運發(fā)動從泳道的兩端同時下水，做往、

返訓練15分鐘，甲每分鐘游81米，乙每分鐘游89米。甲運發(fā)動一共從乙運發(fā)

動身邊經(jīng)過了多少次

【*例5】甲、乙兩地相距60千米。張明8點從甲地出發(fā)去乙地，前一半時間

平均速度為每分鐘1千米，后一半時間平均速度為每分鐘0.8千米。張明經(jīng)過多

少時間到達乙地

【*試一試】

1、A、B兩地相距90千米。一輛汽車從A地出發(fā)到B地，前一半時間平均每小

時行60千米，后一半時間平均每小時行40千米。經(jīng)過多少時間可以到達B地

2、甲、乙兩人同時從A地背向出發(fā)，沿400米環(huán)行跑道行走。甲每分鐘走80米,

乙每分鐘走50米。兩人至少經(jīng)過多少分鐘才能在A點相遇

課外作業(yè)

家長簽名：

1、如以以下圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點，同時出發(fā)

反向而行，他們在C點第一次相遇，C點離A點80米；在D點第二次相遇，D點

離B點60米。求這個圓的周長。

2、甲、乙產(chǎn)".在圓形跑道上，同時從某地出發(fā)沿相反方向跑步。甲速是乙速的

3倍，少但V次與第二次相遇地點之間的路程是100米。環(huán)行跑道有多少米

。、000米跑步比賽。兔每分鐘跑400米，龜每分鐘跑80米，兔每

A\1B龜不休息。誰先到達終點

4、身長為15米的公共汽車，由東向西行駛，車速為每小時18千

米。D加嚼入行道上有甲、乙兩名年輕人正在練長跑，甲由東向西跑，乙由西

向東跑。某一時刻，汽車追上了甲，6秒鐘之后汽車離開了甲，半分鐘后，汽車

遇到迎面跑來的乙，又過了2秒鐘，汽車離開乙。再過幾秒鐘后，甲、乙兩人相

遇

*5、在300米的環(huán)行跑道上，甲、乙兩人同時并排起跑。甲平均每秒行5米,

乙平均每秒行4.4米。兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前面多少米

第三講行程問題（三）

【專題導引】

本周主要講結合分數(shù)、百分數(shù)知識相關的較為復雜抽象的行程問題。要注意:

出發(fā)的時間、地點和行駛方向、速度的變化等，常常需畫線段圖來幫助理解題意。

【典型例題】

【例1】客車和貨車同時從A、B兩地相對開出。客車每小時行駛50千米，貨車

的速度是客車的80%,相遇后客車繼續(xù)行3.2小時到達B地。A、B兩地相距多

少千米

【試一試】

1、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，相遇點距中點320米。甲的

速度是乙的速度的甲每分鐘行800米。求A、B兩地的路程。

6

2、甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，勻速前進。如果每人按一定

的速度前進，則4小時相遇；如果每人各自都比原方案每小時少走1千米，則5

小時相遇。那么A、B兩地的距離是多少千米

【例2】從甲地到乙地的路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1：2：

3,某人走這三段路所用的時間比是4：5：6o他上坡的速度為每小時2.5千米,

路程全長為20千米。此人從甲地走到乙地需多長時間

【試一試】

1、從甲地到乙地的路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是2：3：5,

小亮走這三段路所用的時間之比是6：5：4。小亮走平路時速度為每小時4.5千

米，他從甲地走到乙地共用了5小時。問：甲、乙兩地相距多少千米

2、小明去登山，上午6點出發(fā)，走了一段平坦的路，爬上了一座山，在山頂停

了1小時后按原路返回，上坡速度為每小時3千米，下坡速度為每小時6千米。

問：小明一共走了多少千米

【例3】甲、乙兩人分別從A、B兩地出發(fā)，相向而行，出發(fā)時他們的速度比是3：

2。他們第一次相遇后，甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30虬這樣，當甲

到達B地時，乙離A地還有14千米。那么A、B兩地間的距離是多少千米

【試一試】

1、甲、乙兩人步行的速度比是13：11,他們分別由A、B兩地同時出發(fā)相向而

行，0.5小時后相遇。如果他們同向而行，那么甲追上乙需要幾小時

2、從A地到B地，甲要走2小時，乙要走1小時40分鐘。假設甲從A地出發(fā)8

分鐘后，乙從A地出發(fā)追甲。乙出發(fā)多久能追上甲

［例4］甲、乙兩班學生到離校24千米的飛機場參觀，一輛汽車一次只能坐一

個班的學生。為了盡快到達機場，兩個班商定，由甲班先坐車，乙班步行，同時

出發(fā)。甲班學生在中途下車步行去飛機場，汽車立即返回接途中步行的乙班同學。

兩班學生步行速度一樣，汽車的速度是步行的7倍，汽車應在距飛機場多少千米

處返回接乙班同學，才能使兩班學生同時到達飛機場（學生上下車及汽車換向時

間不計算）

【試一試】

1、紅星小學有80名學生租了一輛40座的車去海邊看日出。未上車的學生步行,

和汽車同時出發(fā)，由汽車往返接送。學校離海邊48千米，汽車的速度是步行的

9倍。汽車應在距海邊多少千米處返回接第二批學生，才能使學生同時到達海邊

2、一輛汽車把貨物從甲地運往乙地往返只用了5小時，去時所用的時間是回來

的J倍，去時每小時比回來時慢17千米。汽車往、返共行了多少千米

2

【*例5】一輛汽車從甲地開往乙地，如果把車速提高20%,可以比原定時間提

前1小時到達；如果按原速行駛120千米后，再將速度提高25%,則可提前40

分鐘到達。那么甲、乙兩地相距多少千米

【*試一試】

1、一輛車從甲地開往乙地。如果把車速提高25%,那么可以比原定時間提前1

小時到達；如果以原速行駛80千米后，再將速度提高工，那么可以提前10分鐘

3

到達乙地。甲、乙兩地相距多少千米

2、一個正方形的一邊減少20%,另一邊增加2米，得到一個長方形。這個長方

形的面積與原正方形面積相等。原正方形面積是多少平方米

課外作業(yè)

家長簽名：

1、甲、乙兩人同時騎自行車從東、西兩鎮(zhèn)相向而行，甲和乙的速度比是3：40

甲行了全程的』，離相遇地點還有20千米，相遇時甲比乙少行多少千米

3

2、青青從家到學校正好要翻過一座小山，她上坡每分鐘行50米，下坡速度比上

坡速度快40%,從家到學校的路程為2800米，上學要用50分鐘。從學校回家

要用多少時間

3、甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，相向而行。出發(fā)時，甲、乙的速度比是5：

4,相遇后，甲的速度減少20%乙的速度增加20幅這樣，當甲到達B地時，乙

離A地還有10千米。那么，A、B兩地相距多少千米

4、甲、乙兩人以同樣的速度，同時從A、B兩地相向出發(fā)，相遇后甲的速度提高

了L用/小時到達B地。乙的速度減少了L再用多少小時可到達A地

326

*5、客、貨兩車同時從甲、乙兩的相對開出，相遇時客、貨兩車所行路程的比

是5：4,相遇后貨車每小時比相遇前每小時多走27千米。客車仍按原速前進，

結果兩車同時到達對方的出發(fā)站。客車一共行了10小時。甲、乙兩地相距多少

千米

第四講流水行船問題

【專題導引】

當你逆風騎自行車時有什么感覺是的，逆風時需用很大力氣，因為面對的是

迎面吹來的風。當順風時，借著風力，相對而言用力較少。在你的生活中是否也

遇到過類似的如流水行船問題。

解答這類題的要素有以下幾點：水速、順速、船速（速水速度）、逆速、距

離，解答這類題與和差問題相似。船速相當于和差問題中的大數(shù)，水速相當于小

數(shù)，順流速度相當于和數(shù)，逆流速相當于差數(shù)。

船速=（順流船速+逆流船速）4-2；

水速=（順流船速-逆流船速）+2；

順流船速=船速+水速；

逆流船速=船速-水速；

順流船速=逆流船速+水速X2；

逆流船速=順流船速-水速X2o

【典型例題】

【例1】一條輪船往返于A、B兩地之間，由A地到B地是順水航行，由B地到A

地是逆水航行。船在靜水中的速度是每小時20千米，由A到B用了6小時，由

B到A所用的時間是由A到B所用時間的1.5倍，求水流速度。

【試一試】：

1、水流速度是每小時15千米。現(xiàn)在有船順水而行，8小時行320千米。假設逆

水行駛320千米需幾小時

2、水流速度每小時5千米。現(xiàn)在有一船逆水在120千米的河中航行需6小時，

順水航行需幾小時

【例2】有一船行駛于120千米長的河中，逆行需10小時，順行要6小時，求

船速和水速。

【試一試】

1、有只大木船在長江中航行。逆流而上5小時行5千米，順流而下1小時行5

千米。求這只木船的靜水速度和水流速度各是多少

2、有一船完成360千米的水程運輸任務。順流而下30小時到達，但逆流而上則

需60小時。求河水流速和靜水中船的速度

【例3】輪船以同一速度往返于兩碼頭之間。它順流而下，行了8小時；逆流而

上，行了10小時。如果水流速度是每小時3千米，求兩碼頭之間的距離。

【試一試】：

1、一艘輪船以同樣的速度往返于甲、乙兩個港口，它順流而下行了7小時，逆

流而上行了10小時。如果水流速度是每小時3.6千米，求甲、乙兩個港口之間

的距離

2、一艘漁船順水每小時行18千米，逆水每小時行15千米。求船速和水速各是

多少

【例4】汽船每小時行30千米，在長176千米的河中逆流航行要11小時到達，

返回需幾小時

【試一試】：

1、當一機動船在水流每小時3千米的河中逆流而上時，8小時行48千米。返回

時水流速度是逆流而上的2倍。需幾小時行195千米

2、一船自上游向下游航行，經(jīng)9小時后，已行673千米，此船每小時的船速是

47千米。求此河的水速是多少

【*例5】有甲、乙兩船，甲船和漂流物同時由河西向東而行，乙船也同時從河

東向西而行。甲船行4小時后與漂流物相距100千米，乙船行12小時后與漂流

物相遇，兩船的船速一樣，河長多少千米

【*試一試】

1、有兩只木排，甲木排和漂流物同時由A地向B地前行，乙木排也同時從B地

向A地前行，甲木排5小時后與漂流物相距75千米，乙木排航行15小時后與漂

流物相遇，兩只木排的船速一樣，A、B兩地長多少千米

2、有一條河在降雨后，每小時水的流速在中流和沿岸不同。中流每小時59千米,

沿岸每小時45千米。有一汽船逆流而上，從沿岸航行15小時走完570千米的路

程，回來時幾小時走完中流的全程

課外作業(yè)

家長簽名：

1、一船從A地順流到B地，航行速度是每小時32千米，水流速度是每小時4千

米，2,天可以到達。此船從B地返回到A地需多少小時

2

2、一海輪在海中航行。順風每小時行45千米，逆風每小時行31千米。求這艘

海輪每小時的船速和風速各是多少

3、沿河有上、下兩個市鎮(zhèn)，相距85千米。有一只船往返兩市鎮(zhèn)之間，船的速度

是每小時18.5千米，水流速度每小時1.5千米。求往、返一次所需的時間。

4、一只小船在河中逆流航行3小時行3千米，順流航行1小時行3千米。求這

只船每小時的速度和河流的速度各是多少

*5、有一架飛機順風而行4小時飛360千米。今出發(fā)至某地順風去，逆風回，

返回的時間比去的時間多3小時。逆風速度為75千米/小時，求距目的地多少千

米

第二章空間與圖形

第一講外表積、體積（一）

【專題導引】

小學階段所學的立體圖形主要有四種：長方體、正方體、圓柱體和圓錐體。

從平面圖形到立體圖形是認識上的一個飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。

因此，要結實掌握這些幾何圖形的特征和有關的計算方法，能將公式做適當?shù)淖?/p>

形，養(yǎng)成“數(shù)、形”結合的好習慣，解題時要認真細致的觀察，合理大膽的想象,

正確靈活的運用。

在解答立體圖形的外表積問題時，要注意以下幾點：

(1)充分利用正方體六個面的面積都相等，每個面都是正方形的特點。

(2)把一個立體圖形切成兩局部，新增加的外表積等于切面面積的兩倍。

反之，把兩個立體圖形粘合到一起，減少的外表積等于粘合面積的兩倍。

(3)假設把幾個長方體拼成一個外表積最大的正方體，應把它們最小的面

拼合起來。假設把幾個長方體拼成一個外表積最小的長方體，應把它們最大的面

積拼合起來。

【專題導引】

【例1】從一個棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個長10厘米、寬2厘米、高

2厘米的小長方體，剩下局部的外表積是多少(考慮有多種挖法)

【試一試】

1、從一個長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊上挖去一個棱長2厘米

的小正方體，剩下局部的外表積是多少

2、把一個長為12分米，寬為6分米，高為9分米的長方體木塊鋸成兩個一樣的

小長方體木塊，這兩個小長方體的外表積之和，比原來長方體的外表積增加了多

少平方分米

【例2］把19個棱長為3厘米的正方體重疊起來，如以以以下圖所示，拼成一

個立體圖形，求這個立體圖形的外表積。

【試一試】

1、用棱長是一厘米的立方體拼成以以以下圖所示的立方體圖形。求這個立體圖

形的外表積。

2、一堆積木(如以以下圖)，是由16塊棱長是2厘米的小正方體堆成的。它們

的外表積是多少平方厘米

【例3】把兩個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的一樣長方體，拼成

一個大長方體，這個大長方體的外表積最少是多少平方厘米

【試一試】

1、把底面積為20平方厘米的兩個相等的正方體拼成一個長方體，長方體的外表

積是多少

2、將一個外表積為30平方厘米的正方體等分成兩個長方體，再將這兩個長方體

拼成一個大長方體。求大長方體的外表積是多少

［例4］一個長方體，如果長增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增

加3厘米，則體積增加90立方厘米。求原長方體的外表積。

【試一試】

1、一個長方體，如果長減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬增加厘米,

則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來長

方體的外表積是多少平方厘米

2、一個長方體木塊，從下部和上局部別截去高為3厘米和2厘米的長方體后，

便成為一個正方體，其外表積減少了120平方厘米。原來長方體的體積是多少立

方厘米

【*例5】如以以下圖，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的

三個圓柱組成一個物體。求這個物體的外表積。

【*試一試】

1、一個棱長為40厘米的正方體零件（如以以下圖）的上、下兩個面上，各有一

個直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個零件的外表積。

2、用鐵皮做一個如以以下圖的工件（單位：厘米），需用鐵皮多少平方厘米

課外作業(yè)

家長簽名：

1、在一個棱長是4厘米的長方體上挖一個棱長是1厘米的小正方體后，外表積

會發(fā)生若何的變化（考慮有多種挖法）

2、一個正方體的外表積是384平方厘米，把這個正方體平均分割成64個相等的

小正方體。每個小正方體的外表積是多少平方厘米

3、用6塊長、寬、高分別是3厘米、2厘米、1厘米的長方體木塊拼成一個大長

方體，有許多種拼法，其中外表積最小的是多少平方厘米

4、有一個長方體（如以以下圖），它的正面和上面的面積之和是209。如果它的

長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個長方體的體積是多少

*5、如以以下圖，在一個立方體的兩對側(cè)面的中心各打通一個長方體的洞，在

上、下側(cè)面的中心打通一個圓柱形的洞。立方體棱長為10厘米，側(cè)面上的洞口

是邊長為4厘米的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體

的外表積和體積。（TI取3.14）。

第二講外表積、體積（二）

【專題導引】

解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點:

(1)物體沉入水中，水面上升局部的體積等于物體的體積。把物體從水中取

出，水面下降局部的體積等于物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。如

果物體不全部浸在水中，那么排開水的體積就等于浸在水中的那局部物體的體

積。

(2)把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保

持不變。

(3)求一些不規(guī)則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。

(4)求與體積相關的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止

思維定勢。

【典型例題】

【例1】有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為6米、3米、2米。

把兩堆碎石都沉在中、小水池里，兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米。如

果將這兩堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米

【試一試】

1、有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為4米、3米、2米。把兩

堆碎石都沉在中、小水池的水中，兩個水池的水面分別升高了4厘米和11厘米。

如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，那么大水池的水面將升高多少厘米

2、用直徑為20厘米的圓鋼，鍛造成長、寬、高分別為30厘米、20厘米、5厘

米的長方體鋼板，應截取圓鋼多長(準確到0.1厘米)

【例2］一只底面直徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長

和寬都是8厘米、高是15厘米的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘

米

【試一試】

1、一個底面積是15平方厘米的玻璃杯中裝有高3厘米的水。現(xiàn)把一個底面半徑

是1厘米、高5厘米的圓柱形鐵塊垂直放入玻璃杯水中，問水面升高了多少厘米

in取3)

2、一個圓柱形玻璃杯內(nèi)盛有水，水面高5厘米，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是72平方

厘米。在這個杯中放進棱長6厘米的正方體鐵后，水面沒有淹沒鐵塊，這時水面

高多少厘米

［例3］某面粉廠有一容積是24立方米的長方體儲糧池，它的長是寬或高的2

倍。當貼著它一最大的內(nèi)側(cè)面將面粉堆成一個最大的半圓錐體時，求這堆面粉的

體積。(如以以下圖)

【試一試】

1、一個圓錐體的底面半徑和高都等于一正方體的棱長，這個正方體的體積是216

立方分米。求這個圓錐體的體積。

2、一個正方體的紙盒中，恰好能裝入一個體積6.28立方厘米的圓柱體。紙盒的

容積有多大(口取3.14)

［例4］如果把12件同樣長的長方體物品打包，形成一件大的包裝物，有幾種

包裝方法若何打包物體的外表積最小呢

【試一試】

1、如果把長8厘米，寬7厘米，高3厘米的12件同樣的長方形物品打包，形成

一件大的包裝物，有幾種包裝方法若何打包，物體的外表積最小

2、一個精巧小禮品盒的形狀是長9厘米，寬6厘米，高4厘米的長方體。請你

幫廠家設計一個能裝10個小禮品盒的大紙箱，你覺得若何設計對比合理為什么

【*例5】一只集裝箱，它的內(nèi)尺寸是18X18X18。現(xiàn)在有一批貨箱，它的外尺

寸是1X4X9。問這只集裝箱能裝多少只貨箱

【試一試】

1、有一個長方體的盒子，從里面量長為40厘米、寬為12厘米、高為7厘米。

在這個盒子里放長5厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊，最多可放幾塊

2、從一個長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長方體上面，盡可能

大地切下一個正方體，然后從剩余的局部再盡可能大地切下一個正方體，最后再

從第二次剩余的局部盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米

課外作業(yè)

家長簽名：

1、將外表積為54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔鑄

成一個大正方體（不計損耗）。求這個大正方體的體積。

2、在底面是邊長為60厘米的正方形的一個長方體容器里，直立放著一個長100

厘米、底面邊長為15厘米的正方形的四棱柱鐵棍。這時容器里的水深50厘米。

現(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱鐵棍浸濕局部長多

少厘米

3、如以以下圖，圓錐形容器中裝有3升水，水面高度正好是圓錐高度的一半。

這個容器還能裝多少水

4、一包香煙的形狀是長方體，它的長是9厘米，寬是5厘米，高是2厘米。把

10包香煙包裝在一起形成一個大長方體，稱為一條。可以若何包裝算一算需要

多少包裝紙（包裝紙的重疊局部忽略不計）。你認為哪一種包裝對比合理

*5、現(xiàn)有一張長40厘米、寬20厘米的長方形鐵皮，請你用它做一只深是5厘

米的長方體無蓋鐵皮盒（焊接處及鐵皮厚度不計，容積越大越好），你做的鐵皮

盒容積是多少立方厘米

第三章數(shù)論與整除

第一講應用同余解題

【專題導引】

同余這個概念最初是由偉大的德國數(shù)學家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣

的：

兩個整數(shù)a、b,如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)一樣，則稱a、b對

于模m同余。記作：a=b（modm）。讀做:a與b關于模m同余。比方，12除以

5,47除以5,它們有一樣的余數(shù)2,這時我們就說，對于除數(shù)5,12和47同余,

記做12三47（mod5）0

同余的性質(zhì)對比多，主要有以下一些：

性質(zhì)1:對于同一個除數(shù)，兩個數(shù)之和(或差)與它們的余數(shù)之和(或差)

同余。比方：32除以5余數(shù)是2,19除以5余數(shù)是4,兩個余數(shù)的和是2+4=6。

“32+19”除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)和6除以5的余數(shù)。也就是說，

對于除數(shù)5,“32+19”與它們的余數(shù)和“2+4〃同余，用符號表示就是：32三2(mod

5),19三4(mod5),32+19三2+4三1(mod5)。

性質(zhì)2：對于同一個除數(shù)，兩個數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。

性質(zhì)3：對于同一個除數(shù)，如果有兩個整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被

這個除數(shù)整除。

性質(zhì)4：對于同一個除數(shù)，如果兩個整數(shù)同余，那么它們的乘方仍然同余。

應用同余性質(zhì)解題的關鍵是要在正確理解的根基上靈活運用同余性質(zhì)。把求

一個較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求一個較小的數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)，使

復雜的題變簡單，使困難的問題變?nèi)菀住?/p>

【典型例題】

【例1】求1992X59除以7的余數(shù)。

【試一試】：

1、求4217X364除以6的余數(shù)。

2、求1339655X12除以13的余數(shù)。

【例2】2001年的國慶節(jié)是星期一，求2010年的國慶節(jié)是星期幾

【試一試】：

1、2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期幾

2、2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期幾

【例3】求200產(chǎn)。3除以13的余數(shù)。

【試一試】：

1、求162°°除以13的余數(shù)。

2、求3他除以21余幾。

【例4】自然數(shù)16520,14903,14177除以m的余數(shù)一樣，m最大是多少

【試一試】：

1、假設2836,4582,5164,6522四個整數(shù)都被同一個兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)

一樣。除數(shù)是多少

2、一個整數(shù)除226,192,141都得到一樣的余數(shù)，且余數(shù)不為0,這個整數(shù)是

幾

［例5］某數(shù)用6除余3,用7除余5,用8除余1。這個數(shù)最小是幾

【試一試】：

1、某數(shù)除以7余1,除以5余1,除以12余9。這個數(shù)最小是幾

2、某數(shù)除以7余6,除以5余1,除以11余3,求此數(shù)最小值

課外作業(yè)

家長簽名:

1、求879X4376X5283除以11的余數(shù)。

2、今天是星期四，再過365"天是星期幾

3、9個小朋友坐成一圈，要把35'粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒

4、當1991和1769除以某一個自然數(shù)m時，余數(shù)分別為2和1,那么m最小是

多少

*5、在一個圓圈上有幾十個孔〔如圖），小明像玩跳棋那樣從A孔出發(fā)沿逆時針

方向每隔幾個孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先試著每隔2孔跳一步，

結果只能跳到B孔。他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6

孔跳一步，正好跳回A孔。問：這個圓圈上共有多少個孔

第四章應用（二）

第一講“牛吃草〃問題

于吃草問題是牛頓問題，因牛頓提出而得名的一堆草可供10頭牛吃3天,

供6頭牛吃幾天”這題很簡單，用3X10+6=51天）。如果把“一堆草”換成"一

片正U在生長的草地"，問題就不那么簡單了。因為草每天都在生長，草的數(shù)量在

不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是“牛吃草”問題。

解答這類題的關鍵是要想方法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不

變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以每天新長出的草是不變的。

正確計算草地上原有的草及每天長出的新草，問題就容易解決了。

【典型例題】

【例1】一片青草地，每天都勻速長出青草，這片青草可供27頭牛吃6周或23

頭牛吃9周。那么這片草地可供21頭牛吃幾周

【試一試】：

1、一片草地，每天都勻速長出青草。如果可供24頭牛吃6天，20頭牛吃10

天。那么，可供19頭牛吃多少天

2、牧場上一片草地，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或

者可供15頭牛吃10天。問可供25頭牛吃幾天

【例2】由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減

少。某塊草地上的草可供20頭牛吃5天或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供

多少頭牛吃10天

【試一試】：

1、由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度在減少。經(jīng)計算，牧場上

的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天

2、因天氣漸冷，牧場上的草以固定的速度在減少。牧場上的草可供33頭牛吃5

天，或可供24頭牛吃6天。照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃10天

【例3】自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。

男孩每分鐘走20級臺階，女孩每分鐘走15級臺階，結果男孩用5分鐘到達樓上,

女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級臺階

【試一試】：

1、自動扶梯以均勻速度行駛著，小明和小紅要從扶梯上樓。小明每分鐘走25級

臺階，小紅每分鐘走20級臺階，結果小明用5分鐘、小紅用了6分鐘分別到達

樓上。該扶梯共多少級臺階

2、兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級臺

階，女孩可走24級臺階，男孩走了2分鐘到達另一端，女孩走了3分鐘到達另

一端，該扶梯共多少級臺階

【例4】一只船有一個漏洞，水以均勻的速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一

些水。如果用12人舀水，3小時舀完。如果只有5個人舀水，要10小時才能舀

完。現(xiàn)在要想2小時舀完，需要多少人

【試一試】：

1、有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機20小時可以把水抽干，用

15部一樣的抽水機10小時可以把水抽干。那么用25部這樣的抽水機多少小時

可以把水抽干

2、有一個長方形的水箱，上面有一個注水孔，底面有個出水孔，兩孔同時翻開

后，如果每小時注水30立方分米，7小時可以注滿水箱；如果每小時注水45立

方分米，注滿水箱可少用2.5小時。那么每小時由底面小孔排出多少立方分米的

水（設每小時排水量一樣）

【*例5】有三塊草地，面積分別為5,6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且

長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。

問第三塊草地可供19頭牛吃多少天

[*試一試]:

1、某車站在檢票前假設干分鐘就開場排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開

場檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票

口需20分鐘。如果同時翻開7個檢票口，那么需多少分鐘

2、快、中、慢三車同時從A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車，三車的速度

分別是每小時24千米、20千米、19千米。快車追上自行車用了6小時，中車追

上自行車用了10小時，慢車追上自行車用多少小時

課外作業(yè)

家長簽名：

1、牧場上的青草每天都在勻速生長。這片牧草可供27頭牛吃6周或供23頭牛

吃9周。那么，可供21頭牛吃幾周

2、經(jīng)測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。

假設地球新生成的資源增長速度是一樣的，那么，為滿足人類不斷開展的需要，

地球最多能養(yǎng)活多少億人

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