PAGEPAGE42008年江西省高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2008?江西）在復平面內，復數z=sin2+icos2對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】復數的代數表示法及其幾何意義．【分析】由復數的幾何意義作出相應判斷．【解答】解：∵sin2＞0，cos2＜0，∴z=sin2+icos2對應的點在第四象限，故選D．【點評】本題考查的是復數的幾何意義，屬于基礎題．2．（5分）（2008?江西）定義集合運算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．設A={1，2}，B={0，2}，則集合A*B的所有元素之和為（）A．0 B．2 C．3 D．6【考點】集合的確定性、互異性、無序性．【分析】根據題意，結合題目的新運算法則，可得集合A*B中的元素可能的情況；再由集合元素的互異性，可得集合A*B，進而可得答案．【解答】解：根據題意，設A={1，2}，B={0，2}，則集合A*B中的元素可能為：0、2、0、4，又有集合元素的互異性，則A*B={0，2，4}，其所有元素之和為6；故選D．【點評】解題時，注意結合集合元素的互異性，對所得集合的元素的分析，對其進行取舍．3．（5分）（2008?江西）若函數y=f（x）的值域是，則函數的值域是（）A． B． C． D．【考點】基本不等式在最值問題中的應用．【分析】先換元，轉化成積定和的值域，利用基本不等式．【解答】解：令t=f（x），則，則y=t+≥=2當且僅當t=即t=1時取“=”，所以y的最小值為2故選項為B【點評】做選擇題時，求得最小值通過排除法得值域；考查用基本不等式求最值4．（5分）（2008?江西）=（）A． B．0 C． D．不存在【考點】極限及其運算．【專題】計算題．【分析】把原式進行分母有理化，得：，消除零因子簡化為，由此可求出的值．【解答】解：==，故選A．【點評】本題考查池函數的極限，解題時要注意計算能力的培養．5．（5分）（2008?江西）在數列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+），則an=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn【考點】數列的概念及簡單表示法．【專題】點列、遞歸數列與數學歸納法．【分析】把遞推式整理，先整理對數的真數，通分變成，用迭代法整理出結果，約分后選出正確選項．【解答】解：∵，，…∴=故選：A．∴M點的軌跡是以原點O為圓心，半焦距c為半徑的圓．又M點總在橢圓內部，∴該圓內含于橢圓，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故選：C．【點評】本題考查橢圓的基本知識和基礎內容，解題時要注意公式的選取，認真解答．8．（5分）（2008?江西）展開式中的常數項為（）A．1 B．46 C．4245 D．4246【考點】二項式定理的應用．【專題】計算題．【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數為0得常數項．【解答】解：的展開式的通項為，其中r=0，1，2…6的展開式的通項為=，其中k=0，1，2，…10的通項為=當時，展開式中的項為常數項∴，，時，展開式中的項為常數項∴展開式中的常數項為1+C63C104+C66C108=4246故選項為D【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決展開式的特定項問題的工具．9．（5分）（2008?江西）若0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1+a2=b1+b2=1，則下列代數式中值最大的是（）A．a1b1+a2b2 B．a1a2+b1b2 C．a1b2+a2b1 D．【考點】基本不等式．【分析】本題為比較一些式子的大小問題，可利用做差法和基本不等式比較，較復雜；也可取特值比較．【解答】解：又∵a1b1+a2b2﹣（a1b2+a2b1）=（a1﹣a2）b1﹣（a1﹣a2）b2=（a2﹣a1）（b2﹣b1）＞0∴a1b1+a2b2＞（a1b2+a2b1）而1=（a1+a2）（b1+b2）=a1b1+a2b1+a1b2+a2b2＜2（a1b1+a2b2）∴解法二：取，，，即可．故選A【點評】本題主要考查比較大小問題，注意選擇題的特殊做法，切勿“小題大做”10．（5分）（2008?江西）連接球面上兩點的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于、，M、N分別為AB、CD的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題：①弦AB、CD可能相交于點M；②弦AB、CD可能相交于點N；③MN的最大值為5；④MN的最小值為1其中真命題的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】球面距離及相關計算．【專題】計算題；綜合題．【分析】根據題意，由球的弦與直徑的關系，判定選項的正誤，然后回答該題．【解答】解：因為直徑是8，則①③④正確；②錯誤．易求得M、N到球心O的距離分別為3、2，若兩弦交于N，則OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．當M、O、N共線時分別取最大值5最小值1．故選C．【點評】本題考查球面距離及其計算，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎題．11．（5分）（2008?江西）電子鐘一天顯示的時間是從00：00到23：59的每一時刻都由四個數字組成，則一天中任一時刻的四個數字之和為23的概率為（）A． B． C． D．【考點】等可能事件的概率．【專題】計算題；壓軸題．【分析】本題是一個古典概型，解題時要看清試驗發生時的總事件數和一天中任一時刻的四個數字之和為23事件數，前者可以根據生活經驗推出，后者需要列舉得到事件數．【解答】解：一天顯示的時間總共有24×60=1440種，和為23有09：59，19：58，18：59，19：49總共有4種，故所求概率為P==．故選C【點評】本題考查的是古典概型，如何判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數是解題的關鍵．12．（5分）（2008?江西）已知函數f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）=mx，若對于任一實數x，f（x）與g（x）至少有一個為正數，則實數m的取值范圍是（）A．（0，2） B．（0，8） C．（2，8） D．（﹣∞，0）【考點】一元二次不等式的應用．【專題】壓軸題．【分析】當m≤0時，顯然不成立；當m＞0時，因為f（0）=1＞0，所以僅對對稱軸進行討論即可．【解答】解：當m≤0時，當x接近+∞時，函數f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1與g（x）=mx均為負值，顯然不成立當x=0時，因f（0）=1＞0當m＞0時，若，即0＜m≤4時結論顯然成立；若，時只要△=4（4﹣m）2﹣8m=4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8則0＜m＜8故選B．【點評】本題主要考查對一元二次函數圖象的理解．對于一元二次不等式，一定要注意其開口方向、對稱軸和判別式．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）（2008?江西）直角坐標平面上三點A（1，2）、B（3，﹣2）、C（9，7），若E、F為線段BC的三等分點，則=22．【考點】平面向量數量積的運算．【分析】本題首先要用等比分點的公式計算出E和F兩點的坐標，根據所求的坐標得到向量的坐標，把向量的坐標代入向量的數量積公式，求出結果．【解答】解：根據三等分點的坐標公式，得E（5，1），F（7，4）；=（4，﹣1），=（6，2）=4×6﹣2=22，故答案為：22【點評】看清問題的實質，認識向量的代數特性．向量的坐標表示，實現了“形”與“數”的互相轉化．以向量為工具，幾何問題可以代數化，代數問題可以幾何化．14．（4分）（2008?江西）不等式的解集為（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．【考點】指數函數的單調性與特殊點；其他不等式的解法．【專題】計算題．【分析】≤0?x∈（﹣∞，﹣3]∪（0，1]【解答】解：∵，∴，∴，∴∴x∈（﹣∞，﹣3]∪（0，1]答案：（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．【點評】本題考查指數函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．15．（4分）（2008?江西）過拋物線x2=2py（p＞0）的焦點F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點（點A在y軸左側），則=．【考點】拋物線的簡單性質．【專題】計算題；壓軸題．【分析】作AA1⊥x軸，BB1⊥x軸．則可知AA1∥OF∥BB1，根據比例線段的性質可知==，根據拋物線的焦點和直線的傾斜角可表示出直線的方程，與拋物線方程聯立消去x，根據韋達定理求得xA+xB和xAxB的表達式，進而可求得xAxB=﹣（）2，整理后兩邊同除以xB2得關于的一元二次方程，求得的值，進而求得．【解答】解：如圖，作AA1⊥x軸，BB1⊥x軸．則AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知xA＜0，xB＞0，∴=﹣，∵直線AB方程為y=xtan30°+即y=x+，與x2=2py聯立得x2﹣px﹣p2=0∴xA+xB=p，xA?xB=﹣p2，∴xAxB=﹣p2=﹣（）2=﹣（xA2+xB2+2xAxB）∴3xA2+3xB2+10xAxB=0兩邊同除以xB2（xB2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵xA+xB=p＞0，∴xA＞﹣xB，∴＞﹣1，∴=﹣=﹣（﹣）=．故答案為：【點評】本題主要考查了拋物線的性質，直線與拋物線的關系以及比例線段的知識．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．16．（4分）（2008?江西）如圖（1），一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有a升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點P．如果將容器倒置，水面也恰好過點P（圖（2））有下列四個命題：A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B．將容器側面水平放置時，水面也恰好過點PC．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經過點PD．若往容器內再注入a升水，則容器恰好能裝滿．其中真命題的代號是：BD（寫出所有真命題的代號）．【考點】棱柱的結構特征．【專題】綜合題；壓軸題；探究型．【分析】設出圖（1）的水高，和幾何體的高，計算水的體積，容易判斷A、D的正誤；對于B，當容器側面水平放置時，P點在長方體中截面上，根據體積判斷它是正確的．根據當水面與正四棱錐的一個側面重合時，計算水的體積和實際不符，是錯誤的．【解答】解：設圖（1）水的高度h2幾何體的高為h1圖（2）中水的體積為b2h1﹣b2h2=b2（h1﹣h2），所以b2h2=b2（h1﹣h2），所以h1=h2，故A錯誤，D正確．對于B，當容器側面水平放置時，P點在長方體中截面上，又水占容器內空間的一半，所以水面也恰好經過P點，故B正確．對于C，假設C正確，當水面與正四棱錐的一個側面重合時，經計算得水的體積為b2h2＞b2h2，矛盾，故C不正確．故選BD【點評】本題考查空間想象能力，邏輯思維能力，幾何體的體積，是難題．三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）（2008?江西）在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，，，2sinBcosC=sinA，求A，B及b，c．【考點】三角形中的幾何計算．【專題】計算題．【分析】由可求得得，把切轉化成弦化簡整理可求得sinC=，進而求得C，對2sinBcosC=sinA化簡可得sin（B﹣C）=0，進而求得B，最后由正弦定理即可求得b，c．【解答】解：由得∴∴∴，又C∈（0，π）∴，或由2sinBcosC=sinA得2sinBcosC=sin（B+C）即sin（B﹣C）=0∴由正弦定理得【點評】本題主要考查三角形中的幾何計算．常涉及正弦定理、余弦定理和面積公式及三角函數公式等常用公式．18．（12分）（2008?江西）某柑桔基地因冰雪災害，使得果林嚴重受損，為此有關專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實施；若實施方案一，預計當年可以使柑桔產量恢復到災前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產量為上一年產量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5．若實施方案二，預計當年可以使柑桔產量達到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產量為上一年產量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6．實施每種方案，第二年與第一年相互獨立．令ξi（i=1，2）表示方案實施兩年后柑桔產量達到災前產量的倍數．（1）．寫出ξ1、ξ2的分布列；（2）．實施哪種方案，兩年后柑桔產量超過災前產量的概率更大？（3）．不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產量達不到災前產量，預計可帶來效益10萬元；兩年后柑桔產量恰好達到災前產量，預計可帶來效益15萬元；柑桔產量超過災前產量，預計可帶來效益20萬元；問實施哪種方案所帶來的平均效益更大？【考點】離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差．【專題】計算題；應用題．【分析】（1）根據題意得到兩個變量的可能取值，根據條件中所給的方案一和方案二的兩年柑桔產量的變化有關數據寫出兩個變量的分布列．（2）根據兩種方案對應的數據，做出方案一、方案二兩年后柑桔產量超過災前產量的概率，得到結論：方案二兩年后柑桔產量超過災前產量的概率更大．（3）根據兩年后柑桔產量和災前產量的比較，做出達不到災前產量，達到災前產量，超過災前產量的概率，列出柑橘帶來效益的分布列，做出期望．【解答】解：（1）ξ1的所有取值為0.8、0.9、1.0、1.125、1.25ξ2的所有取值為0.8、0.96、1.0、1.2、1.44，ξ1、ξ2的分布列分別為：（2）令A、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產量超過災前產量這一事件，P（A）=0.15+0.15=0.3，P（B）=0.24+0.08=0.32∴方案二兩年后柑桔產量超過災前產量的概率更大（3）令ηi表示方案i所帶來的效益，則∴Eη1=14.75，Eη2=14.1∴方案一所帶來的平均效益更大．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查解決實際問題的能力，考查對題干較長的應用題的理解，是一個綜合題．19．（12分）（2008?江西）數列{an}為等差數列，an為正整數，其前n項和為Sn，數列{bn}為等比數列，且a1=3，b1=1，數列是公比為64的等比數列，b2S2=64．（1）求an，bn；（2）求證．【考點】數列與不等式的綜合；等差數列的通項公式；等比數列的通項公式．【專題】證明題；綜合題．【分析】（1）設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數，an=3+（n﹣1）d，bn=qn﹣1，依題意有，由此可導出an與bn．（2）Sn=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），所以，然后用裂項求和法進行求解．【解答】解：（1）設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數，an=3+（n﹣1）d，bn=qn﹣1依題意有①由（6+d）q=64知q為正有理數，故d為6的因子1，2，3，6之一，解①得d=2，q=8故an=3+2（n﹣1）=2n+1，bn=8n﹣1（2）Sn=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴==．【點評】本題考查數列和不等式的綜合應用，解題時要認真審題，注意裂項求和法的應用．20．（12分）（2008?江西）如圖，正三棱錐O﹣ABC的三條側棱OA、OB、OC兩兩垂直，且長度均為2．E、F分別是AB、AC的中點，H是EF的中點，過EF作平面與側棱OA、OB、OC或其延長線分別相交于A1、B1、C1，已知．（1）求證：B1C1⊥平面OAH；（2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小．【考點】直線與平面垂直的判定；與二面角有關的立體幾何綜合題．【專題】計算題；證明題；綜合題．【分析】（1）要證B1C1⊥平面OAH，直線證明直線垂直平面OAH內的兩條相交直線：AH、OA即可；（2）作出二面角O﹣A1B1﹣C1的平面角，然后求解即可；或者建立空間直角坐標系，利用法向量的數量積求解．【解答】解：（1）證明：依題設，EF是△ABC的中位線，所以EF∥BC，則EF∥平面OBC，所以EF∥B1C1．又H是EF的中點，所以AH⊥EF，則AH⊥B1C1．因為OA⊥OB，OA⊥OC，所以OA⊥面OBC，則OA⊥B1C1，因此B1C1⊥面OAH．（2）作ON⊥A1B1于N，連C1N．因為OC1⊥平面OA1B1，根據三垂線定理知，C1N⊥A1B1，∠ONC1就是二面角O﹣A1B1﹣C1的平面角．作EM⊥OB1于M，則EM∥OA，則M是OB的中點，則EM=OM=1．設OB1=x，由得，，解得x=3，在Rt△OA1B1中，，則，．所以，故二面角O﹣A1B1﹣C1為．解法二：（1）以直線OA、OC、OB分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，O﹣xyz則所以所以所以BC⊥平面OAH，由EF∥BC得B1C1∥BC，故：B1C1⊥平面OAH（2）由已知，設B1（0，0，z）則由與共線得：存在λ∈R有得同理：C1（0，3，0），∴設是平面A1B1C1的一個法向量，則令x=2，得y=z=1，∴．又是平面OA1B1的一個法量∴所以二面角的大小為（3）由（2）知，，B（0，0，2），平面A1B1C1的一個法向量為．則．則點B到平面A1B1C1的距離為．【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．21．（12分）（2008?江西）設點P（x0，y0）在直線x=m（y≠±m，0＜m＜1）上，過點P作雙曲線x2﹣y2=1的兩條切線PA、PB，切點為A、B，定點．（1）求證：三點A、M、B共線．（2）過點A作直線x﹣y=0的垂線，垂足為N，試求△AMN的重心G所在曲線方程．【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計算題；綜合題；壓軸題；數形結合；轉化思想．【分析】（1）先根據題意設A（x1，y1），B（x2，y2），將切線PA的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根的判別式等于0即可表示出切線的斜率，因此PA的方程和PB的方程都可以利用A，B兩點的坐標表示，又P在PA、PB上，得到點A（x1，y1），B（x2，y2）都在直線y0y=mx﹣1上，從而證得三點A、M、B共線，從而解決問題．（2）設重心G（x，y），欲求△AMN的重心G所在曲線方程，即求出其坐標x，y的關系式，利用點A在雙曲線上即可得重心G所在曲線方程．【解答】證明：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得到y1y2≠0，且x12﹣y12=1，x22﹣y22=1，設切線PA的方程為：y﹣y1=k（x﹣x1）由得（1﹣k2）x2﹣2k（y1﹣kx1）x﹣（y1﹣kx1）2﹣1=0從而△=4k2（y1﹣kx1）2+4（1﹣k2）（y1﹣kx1）2+4（1﹣k2）=0，解得因此PA的方程為：y1y=x1x﹣1同理PB的方程為：y2y=x2x﹣1又P（m，y0）在PA、PB上，所以y1y0=mx1﹣1，y2y0=mx2﹣1即點A（x1，y1），B（x2，y2）都在直線y0y=mx﹣1上又也在直線y0y=mx﹣1上，所以三點A、M、B共線（2）