第二章

系統的數學模型1/7/20241本章的主要內容

控制系統微分方程建立傳遞函數控制系統的框圖和傳遞函數控制系統的信號流圖1/7/20242概述[數學模型]：描述系統中各變量（物理量）之間關系的數學形式和方法。叫做系統或元件的數學模型。建模：了解元件及系統的動態特性，準確建立它們的數學模型。物理模型：任何元件或系統都是很復雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必須進行簡化。簡化后的元件或系統為該元件或系統的物理模型。簡化是有條件的，要據問題的性質和求解的精確要求，來確定出合理的物理模型。1/7/20243常用的數學模型：微分方程，傳遞函數，結構圖，信號流圖，頻率特性以及狀態空間描述等。建立控制系統的數學模型是對系統進行分析的第一步也是最重要的一步。1/7/20244

數學模型的幾種表示方式數學模型時域模型頻域模型方框圖和信號流圖狀態空間模型1/7/20245系統中變量的關系靜態關系動態關系1/7/20246控制理論研究的是動態系統。動態系統的數學基礎是微分方程，又稱為動態方程或運動方程。建立數學模型的方法分析法實驗法

對于一個微分方程，若已知初值和輸入值，對微分方程求解，就可以得出輸出量的時域表達式。據此可對系統進行分析。1/7/20249[分析法]：根據系統中各元件所遵循的物理、化學、生物等各種科學規律和運行機理，列出微分方程式。又稱理論建模。[實驗法]：人為地給系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型去逼近。1/7/202410實驗法－基于系統辨識的建模方法已知知識和辨識目的實驗設計--選擇實驗條件模型階次--適合于應用的適當的階次參數估計--最小二乘法模型驗證—將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近1/7/202411數學模型建立后，研究系統主要指研究系統所對應的數學模型，以數學模型為基礎，分析并綜合系統的各項性能，而不再涉及實際系統的物理性質和具體特點。1/7/2024122.1控制系統微分方程的建立1/7/202413微分方程的階數一般是指方程中最高導數項的階數，又稱為系統的階數。（2－1－1）1/7/202414采用解析法建立系統微分方程的一般步驟：●根據研究問題的需要，確定系統的輸入量和輸出量;●根據系統、輸入和輸出三者之間動態關系的原理或定律，列寫系統的微分方程，可增設中間變量，對實際系統進行適當簡化；例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學中的牛頓定理，熱力學中的熱力學定理等。1/7/202415●標準化，將方程整理成標準形式，即將與輸出有關的項列在等號左邊，而將與輸入有關的項列在等號右邊，且各階導數項按階次由高到低的順序排列。可將各項系數歸化成具有一定物理意義的形式。●消去中間變量，整理出只含有輸入量和輸出量及其各階導數的方程

；1/7/2024161.電氣系統●由電阻、電感、電容、運算放大器等元件組成的電路，又稱電氣網絡?！?/p>

無源器件：本身不含有電源的器件。電阻、電感、電容●

有源器件：本身含有電源的器件。運算放大器1/7/202417●

無源網絡：僅由無源器件組成的電氣網絡?！?/p>

有源網絡：包含有源器件或電源的電氣網絡。1/7/202418●

基爾霍夫電流定律和電壓定律(2－1－2)(2－1－3)●

理想電阻、電感、電容兩端電壓、電流與元件參數的關系：(2－1－4)1/7/2024192機械系統●機械系統：存在機械運動的裝置，它們

遵循物理學的力學定律。機械運動直線運動轉動1/7/202420其中，為物體所受到的力,為物體質量,是線位移,是時間。●做直線運動的物體遵循的基本力學定律是牛頓第二定律：(2－1－5)1/7/202421表示恒值摩擦力，又庫侖摩擦力。其中，為位移,為黏性阻尼系數，為黏性摩擦力，與運動速度成正比,●考慮摩擦力的作用：(2-1-6)1/7/202422其中，M為物體所受到的力矩,為物體的轉動慣量,為角位移?！褶D動的物體遵循牛頓轉動定律：(2－1－7)1/7/202423●對于轉動的物體，摩擦力的作用體現為摩擦力矩：(2-1-8)為恒值摩擦力矩。為黏性阻尼系數，其中，為黏性摩擦力矩，1/7/202424[例2-1]：試列寫出圖中無源網絡的微分方程。無源網絡1/7/202425根據電壓平衡方程，可得：由（1）式得：（5）將（5）代入（2）可得：（6）1/7/202426又由（4）得：將代入（6）,再代入（3）可得：整理可得所求無源網絡的微分方程：1/7/202427[例2-2]：

由RC組成的四端無源網絡。試列寫以U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量的網絡微分方程。1/7/202428

①

②

③④

⑤由④、⑤得解：設回路電流分別為i1、i2，根據克?；舴蚨?，列寫方程如下：1/7/202429由②導出

將i1、i2代入①、③，則得

1/7/202430這就是RC組成的四端網絡的數學模型，是一個二階線性微分方程。1/7/202431[例2-3]：一個由彈簧－質量－阻尼器組成的機械平移系統如圖所示。為物體質量，為彈簧彈性系數，為粘性阻尼系數，外力列寫系為輸入量，位移為輸出量。統的運動方程式。1/7/202432解：分析質量塊m受力，有外力F,彈簧恢復力

Ky（t）阻尼力慣性力由于m受力平衡，所以:式中：Fi是作用于質量塊上的主動力，約束力以及慣性力。將各力代入上等式，則得1/7/202433式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系數（N·s/m);

K——彈簧剛度（N/m)。將上式的微分方程標準化是二階線性定常系統。1/7/202434

試證明圖(a)、(b)所示的機、電系統是相似系統(即兩系統具有相同的數學模型)。

[例2-4]：1/7/202435對電氣網絡(b)，列寫電路方程如下：

解：

對機械網絡：輸入為Xr，輸出為Xc，根據力平衡，可列出其運動方程式②

③

④1/7/202436利用②、③、④求出

代入①將①兩邊微分得網絡(b)方程:與機械網絡(a)方程比較：1/7/202437力-電壓相似機系統（a）和電系統（b）具有相同的數學模型，故這些物理系統為相似系統。（即電系統為即系統的等效網絡）相似系統揭示了不同物理現象之間的相似關系。為我們利用簡單易實現的系統（如電的系統）去研究機械系統......因為一般來說，電的或電子的系統更容易，通過試驗進行研究。機械電阻R1電阻R2彈性系數K1彈性系數K2電氣阻尼B1阻尼B21/C11/C21/7/202438

圖所示為電樞控制直流電動機的微分方程，要求取電樞電壓Ua(t)（v）為輸入量，電動機轉速ωm（t）（rad/s）為輸出量，列寫微分方程。圖中Ra(Ω)、La(H)分別是電樞電路的電阻和電感，Mc(N·M)是折合到電動機軸上的總負載轉距。激磁磁通為常值。[例2-4]：1/7/202439解：電樞控制直流電動機的工作實質是將輸入的

電能轉換為機械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產生電樞電流ia(t)，再由電流ia（t）與激磁磁通相互作用產生電磁轉距Mm(t)，從而拖動負載運動。因此，直流電動機的運動方程可由以下三部分組成。

電樞回路電壓平衡方程電磁轉距方程電動機軸上的轉距平衡方程1/7/202440電樞回路電壓平衡方程：Ea是電樞反電勢，它是當電樞旋轉時產生的反電勢，其大小與激磁磁通及轉速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即Ea=Ceωm（t）②

Ce－反電勢系數（v/rad/s）①1/7/202441電磁轉距方程：-電動機轉距系數（N·m/A）是電動機轉距系數-是由電樞電流產生的電磁轉距（N·m）電動機軸上的轉距平衡方程：Jm－轉動慣量（電動機和負載折合到電動機軸上的）kg·m·fm-電動機和負載折合到電動機軸上的粘性摩擦系數（N·m/rad/s）③④

1/7/202442

③、④求出ia(t)，代入①同時②亦代入①得：

⑤在工程應用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計，因而⑤可簡化為⑥

電動機機電時間常數（s）

1/7/202443如果電樞電阻Ra和電動機的轉動慣量Jm都很小而忽略不計時⑥還可進一步簡化為⑦電動機的轉速與電樞電壓成正比，于是電動機可作為測速發電機使用。1/7/202444[例2-5]：圖所示為一機械轉動系統。它包括一個慣性負載和一個黏性摩擦阻尼器，為轉動慣量，為黏性摩擦系數，為角速度和角位移，輸出量和以為輸出量的運動方程。為作用在該軸上的負載阻轉矩，為作用在該軸上的為輸入量，分別列寫出以主動外力矩。以為1/7/202445[解]