從單元到課時設計策略下的案例分析

——總體離散程度的估計前言

近幾年，核心素養一直是教育界的熱門話題，教育工作者正在努力地讓核心素養落地落實?！缎抡n標》在教學設計和具體實施方面提出了促進學生發展的相關教學建議，落實這些建議的重點是實施主題教學，即提倡整體教學觀，從整體把握教學內容、整體設計和實施教學，進行單元設計與教學，促進核心素養連續性和階段性發展。隨著人們對單元教學的研究越來越多，單元教學也達到了前所未有的熱度，紛紛提出了對單元教學的看法與建議，例如章建躍博士的“單元——課時教學設計”。前言進行單元教學設計及單元教學，對于教師和學生的發展都有好處。對于學生而言，單元教學能夠為他們提供更大的學習空間，在此期間養成探究與合作的習慣，更有利于數學學科核心素養連續性與階段性發展；對于教師而言，單元教學讓教師們從“單元”角度去整體制定教學目標，考慮教學內容，再具體落實到每一節課上，有助于教師提高整體把握數學課程與教學的能力，促進教師們的專業發展。前言章建躍博士強調主題、單元教學是作為此次課改的重點之一的，教師應該尤其重視，應該充分體現數學的整體性、邏輯的連貫性和思維的系統性，避免碎片化教學，使數學學科核心素養真正落實于數學課堂，可以在單元教學設計的基礎上再進行課時設計，并以“平面向量的運算”為例給出了示范。單元設計策略教學設計策略是為完成教學目標和促進學生發展的需要，為教學計劃和教學實施措施等提供方法，側重于某一個或某些教學設計的方向，是教師在進行教學設計時，為在教學過程中達到一定的教學目標而采取的相關教學方式和行為的導向，對教學設計具有一定的指導性。教學設計的策略有很多，主要有以發展核心素養為導向的策略、數學單元教學導向策略、情境式教學設計策略、問題啟發式教學設計策略、逆向教學設計策略與信息技術和教學相融合教學設計策略等。單元設計策略一、數學單元教學導向策略數學教學活動要求：應該把握數學內容的本質，特別是對內容所蘊含的數學思想和方法要有深入理解。圍繞真正的數學問題，開展有數學含金量的教學活動，促使學生在獨立思考的過程中形成數學的思維方式。要突出核心概念的思維建構和技能操作過程，突出數學基本思想的領悟過程，突出數學基本活動經驗的積累過程。章建躍博士提出：理解數學的兩個關鍵：要對數學的整體性和一些具有統攝性的“一般觀念”，同一主題內容中體現的數學整體性，主要包括一個內容不同認識層次、不同角度認識之間內在的一致性、關聯性。單元設計策略本次課改重點強調的單元——課時教學正是建立在這兩個關鍵點的基礎上。單元-課時教學設計是指，在課堂教學前要先進行單元教學設計,對本單元內容及其蘊含的數學思想和方法、本單元著重培養的數學學科核心素養、本單元的主要學習難點等作出全面分析。再將本單元內容按知識的發生發展過程、學生的認知過程分解到課時，同時將相應的單元目標分解為課時目標．單元設計策略二、核心素養發展導向策略新課標中一項非常重要的變化就是增加了學科核心素養，這是學生應該通過數學學習和應用逐漸形成的數學關鍵思想和能力，是高度概括化的數學教學目標。學生在學習統計課程的過程中，主要可以發展數據分析、邏輯推理、數學運算和數學建模核心素養。單元設計策略三、情境式教學設計策略情境式教學設計將數學學習與生活情境相結合，在典型的情境中進行教學，學生在學習的過程中認識到數學產生于生活也應用于生活，激發學習興趣、情緒和代入感。統計的情境往往比較復雜，可以在復雜的真實情境中，將實際問題抽象成統計問題，學習統計分析方法，建立統計模型，從而解決實際問題。數學學科的育人價值蘊含在數學內容之中。其實現途徑：以數學知識技能為載體，創設符合學生認知規律的問題情境，引導學生獨立思考、自主探究、合作交流，在獲得“四基”、提高“四能”的過程中，形成數學的思維方法，培養理性思維和科學精神，促進學生的智力發展。單元設計策略四、問題啟發式教學設計策略章建躍博士講，探索基于情境、問題導向的互動式、啟發式、探究式、體驗式等課堂教學的力度不夠，方法不多；課堂教學效率有待提高，學生自主學習能力有待加強。而問題啟發式教學設計的內涵：教師通過精心準備的問題或問題串進行啟發式教學，結合學生的實際情況，并捕捉恰當的啟發時機，引導學生主動探索與發現，調動積極的思維活動，培養學生的自覺性和創造性思維的意識，發展獨立思考和合作學習相結合的能力。數學教學中的啟發式教學，旨在追求讓學生能自覺、主動地思考和探索，并培養學生發展自身和追求進步的強烈要求和迫切愿望。一、內容和內容解析1．內容：極差、方差和標準差的概念和統計含義，總體方差或標準差的估計。2．內容解析：內容的本質：在統計學中，為了了解一組數據的特征，我們可以從這組數據的取值規律、集中趨勢和離散程度等角度進行研究。一組數據的離散程度可以反應這組數據的波動情況或穩定性?？坍嬕唤M數據離散程度的統計量有很多，但是最常用的是極差、方差和標準差。

一、內容和內容解析本節《普通高中課程標準數學教科書-必修二（人教A版）第九章《9.2.4總體離散程度的估計》，本節課通過對反映樣本數據離散程度的估計量極差、方差與標準差的回顧，進一步研究和學習用樣本的數字特征估計總體的數字特征以及初步應用，有利于進一步完善對統計學認識的系統性，加深對統計學思想方法的理解。從而發展學生的數學運算、數據分析、邏輯推理、數學建模的核心素養。一、內容和內容解析

極差是一種比較簡單的刻畫方式，它反應了一組數據的取值范圍。極差只用了這組數據中最大與最小兩個數據的信息，對其他數據的取值范圍沒有涉及，所以極差包含的信息量非常少；方差是運用平均距離的思想來刻畫一組數據的離散程度，它反應了各個數據聚集于平均數周圍的程度。方差越大，表明該組數據在平均數的周圍越分散；方差越小，表明該組數據越集中；方差的單位是原始數據單位的平方，與原始數據不一致，所以，對方差進行開方，取其算術平方根得到標準差。標準差的單位與原始數據的單位相同，其意義與方差一樣。一、內容和內容解析假設有兩組數據，而且已知每組數據的觀測個數、平均數和標準差（或方差），可以通過它們直接計算兩組數據合并后全部數據的方差，從而大大提高計算效率。如果一組數據是總體中全部個體的觀測值，那么這組數據的方差、標準差和極差就稱為總體的方差、標準差和極差。如果這組數據是樣本觀測值，那么這組數據的方差、標準差和極差就是樣本的方差、標準差和極差。與用樣本均值估計總體均值的思想類似，可以用樣本方差、標準差和極差估計總體的方差、標準差和極差。一、內容和內容解析蘊含的思想和方法：通過類比的方法，與用樣本均值估計總體均值的思想類似，可以用樣本方差、標準差和極差估計總體的方差、標準差和極差；

數據分析是統計的核心，通過“差”、“絕對值”、“平方”三種運算對兩個樣本數據進行分析，體驗方差概念的形成過程，以及用樣本的數字特征去估計總體的統計思想。在本課時的設計中，筆者對“方差”概念的形成引入了一個連“平均距離”都相等的例子，目的是想突出知識與概念的生成過程；一、內容和內容解析蘊含的思想和方法：本節內容主要是以隨機樣本的數字特征（極差、方差標準差）去估計總體對應的數字特征或取值規律，基本思想是替代原理，直覺上學生是比較容易接受的，這個定理保證隨著樣本量的增加，隨機樣本的數據特征趨近總體的數據特征；本節內容在發展學生的數據分析、數學建模、邏輯推理、數學運算以及數學分析等核心素養方面有著重要的作用，尤其是在發展數據分析素養上有著不可替代的作用。一、內容和內容解析蘊含的思想和方法：本課時設計了“3個問題”、“16個追問”、“10次師生活動”，其中多數都是對數據的分析。而“用樣本的極差、方差與標準差估計總體的極差、方差、標準差”本身就是一種典型的建模思想。在“用兩組樣本數據去估計合成后數據”的過程需要學生由較強的數學運算能力，也能培養學生的運算素養等。我們對統計的考查研究也可以發現：統計推斷不僅是計算統計量的大小，更重要的是要會對計算得出的樣本的數字特征去對總體進行估計，能通過對數據的分析為合理決策提供一些依據，考查樣本估計總體的統計思想。一、內容和內容解析

數學建模：在具體情境中運用極差、方差與標準差

邏輯推理：運用極差、方差與標準差進行推斷

數學運算：極差、方差與標準差的計算

數據分析：運用極差、方差與標準差分析判斷

知識的上下位關系：抽樣方法、統計圖表，用平均數、中位數、眾數、百分位數等統計量刻畫集中趨勢是本節課的上位知識。本節內容在此基礎上，提供了一種更加科學而有效的方法，克服了前述統計量的弊端，是本單元內容的高潮與結束。而借助具體情境求離散型隨機變量的期望與方差是下位知識，在“選擇性必修第三冊第七章“7.3”中介紹。一、內容和內容解析一、內容和內容解析3.教學重點理解離散程度參數的統計意義，用樣本的數字特征估計總體的數字特征；已知兩組數據的觀測個數、平均數和標準差或方差時，求兩組數據合并后所有數據的平均數和標準差的計算方法與思想。4.教學難點①“平均距離”與“方差”概念的形成過程；②已知分層抽樣中的各層平均數與方差估計總體平均數與方差的統計意識與方法。二、教學目標和目標解析1.教學目標①通過經歷對兩組數據眾數、中位數、平均數、極差的運算過程，能根據這些統計量做出基本的判斷，同時針對具體情境學會提出新的問題，發展學生“提出問題并解決問題”的能力，體會將“平均距離”演變成“方差”刻畫離散程度的方法，在眾數、中位數、平均數都相同時，求樣本數據與平均數的差，甚至連“平均距離”都相同時，會比較絕對值和平方這兩種運算刻畫離散程度的優勢。②結合“問題一”與“練習”兩個實例，能用樣本估計總體的離散程度參數（標準差、方差、極差），理解離散程度參數的統計含義，感二、教學目標和目標解析1.教學目標受并概括出用樣本的數據特征估計總體離散程度的方法，培養“用樣本估計總體”的統計推斷思想。③經歷兩組數據各自的樣本量、平均數和標準差（方差）計算兩組數據合并后所有數據的平均數和標準差（方差）的過程，能用樣本數據的方差和標準差估計總體的方差和標準差，體會分層隨機抽樣在總體樣本估計中的重要意義，發展由分層隨機抽樣得出的多組樣本數據估計總體的能力，培養數學運算能力。二、教學目標和目標解析2.目標解析達成上述目標的標志是：①知道極差、方差、標準差可以刻畫數據離散程度，反應數據的穩定性；能用平均數、中位數、眾數和極差、方差、標準差對數據進行比較和評價；能用平均數和標準差描述數據的取值范圍；知道多數數據在平均數減去兩倍標準差與平均數加上兩倍標準差的范圍內。②對于通過實驗、簡單隨機抽樣等途徑獲得的樣本數據，會計算樣本方差和標準差；對于兩組數據匯總得到的數據，能通過兩組數據各自的樣本量、平均數和標準差（方差）計算兩組數據合并后所有數據的平二、教學目標和目標解析2.目標解析均數和標準差（方差）。能用樣本數據的方差和標準差估計總體的方差和標準差，在這個過程中體會樣本估計總體的思想。學生在初中階段經歷了收集、整理、描述和分析數據的活動，理解了平均數的意義，能計算中位數、眾數、加權平均數、方差、標準差，了解中位數、眾數、平均數等統計量描述數據集中優勢，知道了可以通過樣本平均數、樣本方差推斷總體平均數、總體方差，體會方差刻畫數據離散程度。二、教學目標和目標解析2.目標解析在高一，通過學習第一節“隨機抽樣”與第二節“用樣本估計總體”之“總體取值規律的統計”、“總體百分位數的估計”與“總體集中趨勢的估計”，學生已經進一步學習數據收集和整理的方法；能夠根據實際問題的特點，選擇恰當的統計圖表對數據進行可視化描述；能合理地使用統計圖表并理解其重要性；能用極差、平均數、中位數、眾數、百分位數等樣本數字特征去估計總體的集中趨勢。通過初、高中統計的學習，學生已經一定的統計基礎，掌握了基本抽樣方法，會計算平均數、中位數、眾數、百分位數、方差、標準差等二、教學目標和目標解析2.目標解析相關樣本的數字特征。但要達成本課時的三個目標，還需解決以下問題：

（1）樣本數據處理時為什么用“平方”而不是用“絕對值”？（2）方差計算時為什么要取平均數？（3）有了方差為什么還要引進標準差？這一系列問題都需要學生去經歷和探索，而不是停留在求方差、標準差的計算上。教師需要創設條件，拉長“平均距離”與“方差”概念的形成過程，真正讓學生“知其然知其所以然”，激活學生思維，培養學生“用樣本的數字特征去估計總體的數字特征”的意識。三、教學問題診斷分析（一）概念教學重在生成章建躍博士說：沒有“過程”=沒有“思想”，沒有“過程”的教學，因為缺乏數學思想方法為紐帶，概念間的關系無法認識，聯系也難以建立，導致學生的數學認知結構缺乏整體性，其可利用性、可辨別性和穩定性等“功能指標”都會大打折扣。而數學思想方法孕育于知識的發生發展過程中?！八枷搿笔歉拍畹撵`魂，是“數學素養”的源泉，是從技能到能力的橋梁；“過程”是“思想”的載體，是領悟概念本質的平臺，是培養數學能力的土壤。所以，概念教學非常重要，而概念教學的核心是“概括”：將凝結在數學概念教學中的思維活動，以若干典型具體事三、教學問題診斷分析（一）概念教學重在生成例為載體，引導學生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質屬性、歸納得出數學概念等思維活動而獲得概念。數學教學要“講情境、講思想、講應用”。概念教學則要強調讓學生經歷概括的過程。一個好例子勝過一千條說教。概念教學必須關注到學生的感受，這樣才能使教學預設（教學設計）成為教學實踐的有效線索。筆者在進行教材分析時發現：前幾節課我們用平均數、中位數和眾數研究一組數據的集中趨勢，根據對這些上位內容的學習，學生已經具備“極差、眾數、中位數、平均數這些統計量在統計推斷中的作用”認三、教學問題診斷分析（一）概念教學重在生成識，并根據這些統計量做出基本的統計推斷的能力基礎，但在諸多實際問題中，僅憑集中趨勢有時不能使我們做出有效決策，這時我們需要引進統計學中新的數字特征來做出決策，在有些“用樣本估計總體”案例中，兩組數據甚至連“平均距離”也是一致的，其實用“平均距離”也不足以刻畫總體估計。而教材這樣敘述：因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度。三、教學問題診斷分析（一）概念教學重在生成假設一組數據是，用表示這組數據的平均數。我們用每個數據與平均數的差的絕對值作為“距離”，即作為到的“距離”，可以得到這組數據的平均距離為，為了避免式中含有絕對值，通常改用平方來代替，即我們稱這個式子為這組數據的方差。教材這樣敘述，表明：“平均距離”能夠完成刻畫兩組數據的離散程度，僅僅是“為了避免式中含有絕對值”而“改用平方來代替”。其實當“平均距離”相等時，兩組數據的離散程度也不一定一樣，上面兩三、教學問題診斷分析（一）概念教學重在生成組數據的“平均距離”分別為1.6和0.8。我們可以構造下列兩組數據：甲：32465乙：14447可以計算得出兩組數據的平均距離都是1.2，而方差卻分別是2和3.6?？梢姡?、乙兩組數據的“平均距離”相等，但乙組數據的離散程度比甲大，反之，方差小，這組數據的“平均距離”未必也小。教材定義“平均距離”是必要的，但“為了避免式中含有絕對值”而“改用平方三、教學問題診斷分析（一）概念教學重在生成來代替”形成方差公式，其實這里我們可以探究一下深層次原因?！捌骄嚯x”至是影響方差的一個因素，還有一個因素是各個“距離”與“平均距離”的集中程度。從另一個角度來講，對于“總體離散程度的估計”，《普通高中數學課程標準》（2019年7月第1版）的要求是結合實例，能用樣本估計總體的離散程度（標準差、方差、極差），理解離散程度參數的統計含義。由于人教版《義務教育教科書·數學》在“數據的波動程度”內容中，直接告訴“方差”公式刻畫數據的波動程度，至于為什么能用“方差”三、教學問題診斷分析（一）概念教學重在生成刻畫數據的波動程度，也就是如何“理解離散程度參數的統計含義”，則是高中階段應該解決的問題，也是對初中“統計”內容的擴展和深化，體現“認識的螺旋上升”。所以，在進行本課時教學設計時，我遵循由特殊到一般的思想，引入了“問題一”這兩組情境數據，我覺得可以有效、更好地幫助對“方差”概念形成的理解，更好明白“方差”在統計中的含義。三、教學問題診斷分析（二）突破數學運算障礙在大數據時代，有時需要將不同來源的數據進行整合，針對數據多，計算量大的實際問題，可以采用分步計算的方法，先分別處理不同來源的數據，再計算所有數據的統計結果。在分層隨機抽樣中，每層得到的調查數據作為一個組，學生已經學習了已知每組數據的均值和樣本量，計算兩組數據合并后所有數據總均值的方法——加權平均，但總方差的計算需要知道每組數據的個數、平均數和標準差。在推導總方差的計算公式時，需要用符號對樣本進行表示，通過代數變形進行推導，其過程比較復雜。學生在初中僅會計算簡單數據的方差，對這類問題未曾接觸，三、教學問題診斷分析（二）突破數學運算障礙同時學生對大量復雜的數學符號存在認知障礙，即使是計算能力強的學生也會覺得困難，所以可以通過課前預習、師生共同經歷、學生課后反思等方式結合教學。同時在教學過程中，教師應該盡量多用語言（符號代表的統計意義）對公式的含義進行解釋，幫助學生逐步適應復雜的數學符號?；谝陨戏治?筆者將本節課的教學重點設計為：理解離散程度參數的統計意義，用樣本的數字特征估計總體的數字特征；三、教學問題診斷分析（二）突破數學運算障礙已知兩組數據的觀測個數、平均數和標準差或方差時，兩組數據合并后所有數據的平均數和標準差的計算方法與思想。將教學難點設計為：“平均距離”與“方差”概念的形成過程；已知分層抽樣中的各層平均數與方差估計總體平均數與方差的統計意識與方法。本課時教學設計遵循從特殊到一般，從局部到整體的原則,以問題驅動教學,問題設置層層深入,首先引入人教版第209頁“問題3”的改三、教學問題診斷分析（二）突破數學運算障礙編題，通過“平均距離”也不能刻畫數據離散程度，引導學生思考“當利用平均距離不能刻畫數據離散程度時怎么辦”,從而攻克“利用方差來解決數據離散程度的刻畫”這個難點。而課本的“問題三”只是作為一道練習題讓學生鞏固，突出與強調“概念”的生成過程。再由師生一起推導人教版第212頁例6中方差，展示有問題的學生作業,啟發學生探討“已知兩組數據的觀測個數、平均數和方差時，求兩組數據合并后所有數據的平均數和方差”的計算方法。教師總結提煉，升華本節課所學內容。四、教學支持條件分析本節課需要運用計算器或計算機軟件計算方差，應盡量讓學生學會使用統計軟件進行計算。為了有效實現教學目標，針對問題診斷分析的結果，筆者對教材第209頁“問題三”進行了改編，拉長“平均距離”與“方差”概念的形成過程五、教學過程設計（一）極差、方差和標準差的概念引言：同學們，平均數、中位數和眾數為我們提供了一組數據“中心位置”的重要信息，可以描述一組數據的集中趨勢，但是，有時僅僅知道“中心位置”不足以讓我們做出有效的決策，我們需要借助統計學中另外的數字特征來做出決策，請看下面的案例。5.1融入情境，體驗“平均距離”教師活動：前幾節課我們用平均數、中位數和眾數研究一組數據的集中趨勢，但僅憑集中趨勢有時不能使我們做出有效決策，下面來看兩位射手射靶10次的數據。五、教學過程設計問題一：有兩位射擊運動員在一次射擊實驗中各射靶10次，每次命中的環數如下：甲：8686767688乙：9578768677追問1：如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況做出評價？要從甲、乙兩名選手中選拔一名參加射擊比賽？你應當如何選擇？設計意圖：回顧舊知識，開門見山地拋出問題。此題是人教A版教材《數學》（必修第二冊）第209頁問題3的改編題，乙選手的數據和教材中的一模一樣，甲選手的數據略有變動，變動的目的是保證甲、乙“平均距五、教學過程設計五、教學過程設計學生1：看最高的環數，乙最高9環，選擇乙。學生2：不行，國際比賽不只是射擊一次，資格賽就射擊60發，應該求平均數。教師活動：學生2不僅分析合理，而且還懂國際設計比賽規則，知識面廣，值得表揚。好的，接下來我們一起求一下平均數。（稍等一會，讓學生求出平均數，等大家都求出平均數為7，教師追問）追問2：我們求出平均數，發現甲和乙的平均數都是7，大家再看看甲、乙的中數，也是7，又該如何選擇？學生3：從數據看，用平均數、中數來做選擇也是不可取的，因為甲乙平五、教學過程設計均環數、中數都相同。甲的眾數是8，乙的眾數是7，可以由眾數這個統計量作為決策依據，選甲。追問3：用眾數作為決策依據，是否合理？甲組數據中有四個8，而乙組數據中有兩個8、一個9,7比甲組更多，是否真的選甲更好？學生4：但兩人的水平還是有差距的。甲最多8環，最少6環，波動較小，而乙最多9環，最少5環，波動較大。因此甲比較穩定，應該選甲。追問4：由最大值、最小值來做決策，有沒有不足，是否科學？學生5：我有意見。我覺得不能僅憑最大值、最小值來做出決定，應該考慮甲、乙兩組數據的穩定性才好。五、教學過程設計追問5：學生5的回答很好。因為極差是數據的最大值與最小值的差，固然可以反應數據的波動范圍。在一定程度上，極差越大，數據的離散程度越大，極差越小，數據的離散程度越小，但是極差只關系到數據中的最大值與最小值，對其他的數據都沒有涉及，所以包含的信息量很少。那么用什么來衡量數據的穩定性呢？學生6：哦，應該用方差！設計意圖：復習舊知識，產生新問題。首先要說明的是，課堂是靈動的，但是環節是可以預設的。我們預設學生可能由平均數、極差、中位數、眾數等統計量進行統計推斷，而且也是學生已經學會的方法，針對學生五、教學過程設計課堂上即時產生的決策依據，教師可以引導學生進行分析，尤其是統計推斷的科學性。這里應當結合課堂實際情況，捕捉恰當啟發時機，調動積極的思維活動，培養學生自覺性和創造性思維意識，發展獨立思考和合作學習相結合的能力。本題雖然眾數不同，是否可以作為統計量，此處雖有存疑，后面練習題中呼應回答。面對特殊情境問題，原有的統計推斷方法與思想已經不夠，產生了新問題，引領學生思維往深里走，培養學生發散性思維。結合初中知識，學生自然會想到用方差進行比較。但是為什么可以用“方差”呢，為什么要求每個數據與平均數的差的平方呢？為下面解決“知其然知其所以然”的問題做鋪墊。五、教學過程設計師生活動：下面我們來求每次的環數與平均數的差，再看看這個差是怎么分布的：甲：1-11-10-10-111乙：2-2010-11-100追問6：我們發現：甲、乙所有數據與平均數的差的和都是0，與平均數是7吻合。哎，又相同了，還是不行？怎么辦？學生7：甲、乙所有數據與平均數的差的和都是0，平均數也是7，所以可以嘗試考慮差的絕對值，對應的差的絕對值如下：五、教學過程設計甲：1111010111乙：2201011100我發現差的絕對值的和都是8，憑感覺應該選擇甲。設計意圖：這里可以預估學生：首先，因為要在甲、乙之間做出選擇，平均數、極差都已經不能達到目的，根據之前所學內容，做出決策，其實已經歸結到“方差”這個統計量，也就是需要考查數據的離散程度，所以自然聯想到數據與平均數的差的角度。其次，甲、乙各個數據與平均數的差的和也都是0，想到用距離來刻畫也就比較自然了，即差的絕對值，步步為營，逐步走向端倪。五、教學過程設計學生8：對于甲、乙射擊次數相同可以用絕對值之和來考慮，但是如果兩人次數不同呢？那就不能用絕對值之和來比較了，否則有失公平，最好計算絕對值之和的平均數。但是這兩組數據的絕對值之和的平均數也相等，所以，我想能不能嘗試用折線圖進行比較，如圖1，從圖像可以看出，甲整體波動較小，所以選擇甲。教師活動：到這個時候，用代數的方法來做決策，好像進入死胡同了，有學生想到了用“折線圖”之類的。五、教學過程設計設計意圖：問題逐漸深入。這里實際上用到了“平均偏差”這個統計量，就是每個數據與平均數的差的絕對值的平均數，即，讓學生主動探索多個統計量刻畫數據的離散程度，并認識到每個統計量的優缺點。但是，這時，學生又遇到困惑了：對于這兩組數據來說，首先是甲、乙所有數據與平均數的差的和都相等，且為0，連差的絕對值的和也相等，那如何比較甲、乙優劣？所以，有同學可能又會回到原來的一些統計推斷方法，例如“折線圖”。但無疑又為“方差”的誕生設下了伏筆，同時保持一種探求新知的渴望！五、教學過程設計5.2對話學生，感受“離散程度”追問7：學生8說得很好，用絕對值平均數這個量來刻畫數據離散是比較科學的，在統計學中這個量成為“平均距離”，但是對這個題而言，仍然比較特殊（平均距離相等），而且從圖1中看，離散程度也不是很明顯，我們能否再嘗試其他運算？學生9：用平方拉大距離，把每組的差進行平方，然后再求平均數。甲：1111010111乙：4401011100甲選手的數據平方之后，再取平均數是0.8，乙選手數據平方之后的平均五、教學過程設計數為1.2，明顯乙對應的值大，說明乙偏離平衡位置多，波動大，所以選擇甲，如圖2。追問8：你能說說為什么此題用平方更能形象地刻畫兩組數據的離散程度嗎？學生10：因為每組數據與平均數的差的絕對值都大于等于1，所以離平均數越遠的點平方越大，權重自然越大，但是，若每組數據與平均數的差的絕對值都是小于1，平方后越小，權重越小，對于這種情況，我覺得用距離平方的平均值來刻畫較好。教師活動：學生10分析得很漂亮，很到位，不僅精準地回答了教師的問題，五、教學過程設計而且還把統計學中核心數據分析得淋漓盡致（教師借助這個良機，繼續追問，拉長“方差、標準差”概念的形成過程）。設計意圖：問題繼續深入。我們已經經歷了“平均數”、“每個數據與平均數的差”、“每個數據與平均數的差的絕對值的和”等統計量都相等的過程，在此基礎上，再進行數據處理的嘗試，終于發現距離的平方發生差異了。至于為什么取平均數，應該不是障礙，因為有時獲取的數據個數不同，權重不同等。至此，“方差”概念的產生水到渠成。這時，指引學生用圖2與圖1進行比較，可以發現對數據進行平方后，折線圖更能反應甲、乙數據的不同特征，強化“方差”意識，培養直觀想象能力。五、教學過程設計追問9：除了絕對值、平方這兩種運算，還能再用其他運算來刻畫離散程度嗎？學生11：開方、立方等應該都可以，但最好是平方。教師活動：為什么最好是平方？學生12：絕對值運算雖然簡捷，但不合適進一步的代數運算，有時還需要討論，開方和立方甚至更高次方過于繁瑣，計算量大，不利于統計。設計意圖：讓學生對刻畫數據的統計量進行自由而廣泛的討論，讓學生了解統計推斷的隨機性與或然性，培養學生的發散性思維，同時讓學生在比較中研判，得出相對最佳的方式，也就是“方差”這個統計量，發五、教學過程設計展學生的科學性思維。追問10：學生12回答得很好，方差確實不是唯一刻畫總體離散程度的量，但很多時候為了研究方便，我們通常選擇用方差來刻畫總體的離散程度。若是選拔性考試，你選擇甲選手還是乙選手？學生13：我們可以根據方差來判斷兩名運動員成績的離散程度，計算可得甲的方差是0.8，乙的方差是1.2，甲的離散程度小，乙的離散程度大，由此可以估計，甲的射擊成績穩定。如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，就應該選成績相對穩定的選手甲。設計意圖：“問題一”以及“十個追問”的設計及其解決，不是將“方五、教學過程設計差、標準差”概念的形成過程強加給學生，而是通過與學生的一次次對話、一次次運算、一次次的數據分析，自然生成。這種“對話學生”的教學方式使學生經歷了方差產生的完整過程，符合學生的認知規律，真正培養了他們自主發現問題、提出問題、分析和解決問題的能力，有助于提升學生數據分析、數學運算、數學建模等數學和心素養。5.3挑戰自我，思辨“樣本方差”追問11：現在我們知道方差的公式，那么方差單位是什么呢？師生活動：引導學生從數學運算的角度自然過渡到度量的角度。由于方差的單位是原始數據的單位的平方，為了使二者單位一致，我們對方差五、教學過程設計進行開方，即用標準差來進行估計與決策。記為標準差設計意圖：不是將“標準差”概念強加給學生，純粹是一種技術需要，自然合理。如果總體中所有個體的變量值分別為

，總體平均數為

，則稱

為總體方差，

為總體標準差。如果一個樣本中個體的變量值分別為

，樣本平均數為

，則稱

為樣本方差，

為樣本標準差。

標準差刻畫了數據的離散程度或波動幅度，標準差越大，數據的離散程度越大；標準差越小，數據的離散程度越小。顯然，在刻畫數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題中，一般多采五、教學過程設計用標準差。由于計算復雜，我們可以借用計算器或者計算機幫助計算。

接下來我們來體驗用方差如何刻畫數據的離散程度，用樣本的離散程度如何估計總體的離散程度？追問12（練習）：有兩位射擊運動員在一次射擊實驗中各射靶10次，每次命中的環數如下：甲：78795491074乙：9578768677如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況做出評價？要從甲、乙兩名選手中選拔一名參加射擊比賽？你應當如何選擇？五、教學過程設計設計意圖：鞏固學生對方差與標準差概念的理解。此題是人教A版教材《數學》（必修第二冊）第209頁問題3。在本設計中，其實就是一個“練習”的作用，既回顧舊知識，利用新知識。因為學生會非常自然地首先計算比較甲和乙的平均數、中位數，發現都是一樣的，知道從集中位置的角度看，兩名運動員之間沒有差別，不能用這幾個統計量作為決策依據，同時也呼應了“問題一”中的“疑惑”。也許有學生會提出用最大值與最小值，也許會提出用方差，但是要么不準確，要么顯得突兀。有了“問題一”的提出及其解決，一切顯得自然了。這里體現了從“特殊到一般”的思想。五、教學過程設計五、教學過程設計五、教學過程設計師生活動：教師引導學生明確題目的條件和結論，引導學生獨立計算多組數據匯總后的方差。分析：把抽取的男生樣本記為

，樣本的平均數記為

，方差記為

，把抽取的女生樣本記為

，樣本的平均數記為

，方差記為

，把總樣本數據的平均數記為

，方差記為

。五、教學過程設計男生23人，其平均數和方差分別為17