專題07.圓中的重要模型--四點共圓模型四點共圓是初中數學的?？贾R點，近年來，特別是四點共圓判定的題目出現頻率較高。相對四點共圓性質的應用，四點共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計算題或選擇中四點共圓模型的應用（特別是最值問題），通常能簡化運算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點共圓的四種重要模型。四點共圓：若在同一平面內，有四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。模型1、定點定長共圓模型（圓的定義）【模型解讀】若四個點到一定點的距離相等，則這四個點共圓。這也是圓的基本定義，到定點的距離等于定長點的集合。條件：如圖，平面內有五個點O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，結論：A、B、C、D四點共圓（其中圓心為O）。例1、（2023?連云港期中）如圖，點O為線段BC的中點，點A、C、D到點O的距離相等，若∠ABC＝40°，則∠ADC的度數是．例2．（2022·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，O是的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接．下列結論不一定成立的是（）A．B．C．D．平分例3．（2023·陜西·九年級期中）如圖，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數為（）A．68° B．88° C．90° D．112°例4．（2022·綿陽市·九年級專題練習）如圖所示中，，，分別在邊和上，且，，垂足分別為，，求的長.模型2、定邊對雙直角共圓模型同側型異側型1）定邊對雙直角模型（同側型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結論：A、B、C、D四點共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結論：A、B、C、D四點共圓，其中AC為直徑。例1．（2023·山東煙臺·九年級統考期中）如圖，平面直角坐標系中，點A、B坐標分別為（3，0）、（0，4），點C是x軸正半軸上一點，連接BC．過點A垂直于AB的直線與過點C垂直于BC的直線交于點D，連接BD，則的值是．例2．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，是和的公共斜邊，AC=BC，，E是的中點，聯結DE、CE、CD，那么___________________．例3．（2023·貴州·統考中考真題）如圖①，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等腰直角三角形中，，過點作射線，垂足為，點在上．

(1)【動手操作】如圖②，若點在線段上，畫出射線，并將射線繞點逆時針旋轉與交于點，根據題意在圖中畫出圖形，圖中的度數為_______度；(2)【問題探究】根據（1）所畫圖形，探究線段與的數量關系，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點在射線上移動，將射線繞點逆時針旋轉與交于點，探究線段之間的數量關系，并說明理由．例4．（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習）如圖，在四邊形中，，是的中點，是的中點，若，，，則的長為（

）

A． B． C． D．模型3、定邊對定角共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，AC、BD交于H，，結論：四點共圓.例1．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級校聯考階段練習）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝．例2．（2022·江蘇無錫·中考真題）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現將△DCE繞點C旋轉1周，在這個旋轉過程中，線段AF長度的最小值是________．例3．（2023·浙江·九年級假期作業）請閱讀以下材料，完成相應任務．我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，那么過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？李雷經過實踐探究發現了如下結論：如果線段同側兩點（與線段在同一平面內）分別與線段兩端點的連線所組成的夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓．下面是李雷證明上述命題的過程（不完整）．已知：如圖1，點，是線段同側兩點，且．求證：點，，，四點共圓．證明：作的外接圓，假設點在外或在內．如圖2，若點在外．設與交于點，連接，則（依據一），又（依據二），．．這與已知條件“”矛盾，故點在外不成立；如圖3，若點在內，（請同學們補充完整省略的部分證明過程）綜上所述，作的外接圓，點在上，即點，，，四點共圓．(1)填空：將材料中依據一、依據二補充完整；依據一：；依據二：．(2)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(3)填空：如圖4，在四邊形中，，對角線，交于點，為中點，若，，則．模型4、對角互補共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長線交于P，，結論：A、B、C、D四點共圓.例1．（2022春·九年級課時練習）如圖所示，正方形中，為對角線，點為上一點，過作，交于，求證：.例2．（2023·河南周口·?？既＃┰谥?，，M是外一動點，滿足，若，，，則的長度為．例3．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，，，點、分別是線段、射線上的動點，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．

例4．（2022春·浙江九年級課時練習）在正方形中，是邊上一點，點在射線上，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若點，，三點共線，求證：，，，四點共圓；（3）若點，，三點共線，且，求的長．課后專項訓練1．（2023·廣西·中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．則BD的長為（）A．B．C．D．2．（2023秋·河北張家口·九年級?？计谀┤鐖D①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜邊，則A、B、C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點共圓”．如圖②，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點H，則圖②中“四點共圓”的組數為（）A．2 B．3 C．4 D．63．（2022?羅湖區三模）如圖，四邊形ABCD內有一點E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，則∠BAD的大小是（）A．25° B．50° C．60° D．80°4．（2022·廣東·東莞市九年級期末）如圖，在銳角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面內一動點，且∠ADB＝30°，則CD的最小值是________5．（2022·廣西·九年級專題練習）如圖所示，，，則___．6．（2022春·九年級課時練習）如圖所示，，，求.7．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，在中，，，的中點為O．求證：A，B，C，D四點在以O為圓心的圓上．

8．（2023·江蘇·九年級假期作業）已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點．(1)線段與有何關系．說明理由；(2)延長、交于點H，則B、D、G、H這四個點是否在同一個圓上．說明理由．9．（2022·貴州遵義·統考中考真題）探究與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續利用上述結論進行探究．提出問題：如圖1，在線段同側有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（依據1）點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上（依據2）點，，，四點在同一個圓上(1)反思歸納：上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？依據1：__________；依據2：__________．(2)圖3，在四邊形中，，，則的度數為__________．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點在上（不與的中點重合），連接．作點關于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，．①求證：，，，四點共圓；②若，的值是否會發生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．10．（2022春·廣東九年級課時練習）閱讀以下材料，并完成相應的任務：西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖1，已知內接于⊙O，點P在⊙O上（不與點A、B、C重合），過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F求證：點D，E，F在同一條直線上以下是他們的證明過程：如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE，QF，則（依據1），∴E，F，P，C四點共圓．∴（依據2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點共圓．∴（依據3）．∵，∴（依據4）．∴點D，E，F在同一條直線上．任務：(1)填空：①依據1指的的是中點的定義及______；②依據2指的是______；③依據3指的是______；④依據4指的是______．(2)善于思考的小英發現當點P是的中點時，．請你利用圖2證明該結論的正確性．11．（2022春·九年級課時練習）如圖1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過點C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點F．直線BE交直線CD于G點．(1)小智同學通過思考推得當點E在AB上方時，∠AEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，（填寫數量關系）∴∠AEB＝°．(2)如圖2，連接BF，求證A、B、F、C四點共圓；(3)線段AE最大值為，若取BC的中點M，則線段MF的最小值為．12．（2023春·廣東廣州·八年級統考期末）已知，如圖①，在中，，，點E為上的一動點，連接，過點C作于點H，以為腰作等腰直角連接．(1)求證：四邊形為正方形；(2)如圖②，當D，H，G三點共線時，求的值；(3)求的最小值．

13．（2023春·重慶南岸·八年級?？计谀┮阎毫庑蔚膶蔷€交于點，以為斜邊構造等腰，連接．(1)如圖1，若，，求的面積．(2)如圖2，延長交于點，過點作于點，過點作于點，與交于點，且．求證：．

14．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）問題提出

如圖1，點E為等腰內一點，，，將繞著點A逆時針旋轉得到，求證：．嘗試應用

如圖2，點D為等腰外一點，，，過點A的直線分別交的延長線和的延長線于點N，M，求證：．問題拓展

如圖3，中，，點D，E分別在邊，上，，，交于點H．若，，直接寫出的長度（用含a，b的式子）．15．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯考期末）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續利用上述結論進行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側有兩點B，D，連接，如果，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．探究展示：求證：點A，B，C，D四點在同一個圓上如圖2，作經過點A，C，D的，在劣弧上取一點E（不與A，C重合），連接，，則．(1)請完善探究展示(2)如圖3，在四邊形中，，則∠4的度數為．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點D在上（不與的中點重合），連接．作點C關于的對稱點E，連接并延長交的延長線于F，連接．①求證：A，D，B，E四點共圓；②若，的值是否會發生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由16．（2023·浙江·九年級專題練習）【問題提出】如圖1，為的一條弦，點C在弦所對的優弧上運動時，根據圓周角性質，我們知道的度數不變．愛動腦筋的小芳猜想，如果平面內線段的長度已知，的大小確定，那么點C是不是在某個確定的圓上運動呢？【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究．如圖2，若，線段