專題05手拉手旋轉(zhuǎn)模型【基本模型】應(yīng)用：通過輔助線利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形解決問題。【例題精講】例1．（基本模型1）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由已知條件等邊三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，進一步求證∠BAD=∠CAE，從而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由點B、A、E共線，得∠CAN=60°=∠BAC，進一步求證△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等邊三角形．【詳解】（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵點B、A、E在同一直線上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等邊三角形．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形判定和性質(zhì)；將等邊三角形的條件轉(zhuǎn)化為相等線段和等角，選擇合適的方法判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．例2．（基本模型2）如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請說明理由．【答案】（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由見解析；（2）不變，理由見解析；（3）①BD＝AC，理由見解析；②能，60°或120°．【分析】（1）延長BD交AC于F，根據(jù)“”判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求證；（2）根據(jù)“”判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求證；（3）①根據(jù)“”判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求證；②設(shè)與交于點，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求證．【詳解】（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由：延長BD交AC于F．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中∴，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）不發(fā)生變化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，②能．設(shè)與交于點，如下圖：理由：∵△ABE和△DEC是等邊三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴∠BDE＝∠ACE，BD＝AC．∴，即BD與AC所成的角的度數(shù)為60°或120°．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)．例3．（作輔助線方法1）已知在中，，過點B引一條射線，D是上一點【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學展示的做法是：在上取一點E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當射線在下方，如圖3所示，請問的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數(shù)；【答案】(1)見解析(2)①②；的度數(shù)會變化，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定定理得到、是等邊三角形，進而得到，根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到答案；（2）①在上取一點E，，證明，得到，可求出答案；②在延長線上取一點E，使得，同理證明，求出，進而求出．【詳解】（1）證明：如圖1，在上取一點E，使，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，即，∵在和中，∴，∴，∴；（2）證明：①在上取一點E，，如圖所示：∵，，∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，∴；②的度數(shù)會變化，理由如下：在延長線上取一點E，使得，如圖所示：同理①的方法可證：，∴，∴．【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形進行計算和證明是解題的關(guān)鍵．例4．（作輔助線2）點為外一點，，．(1)如圖1，，，求證：；(2)如圖2，若，，，求證：；【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)證明，可得；（2）延長交AE于F，連，根據(jù)證明，則，，結(jié)論得證；（3）過點C在上方作，連．由（1）知，則，求出，可求出的長，則可求出．【詳解】（1）證明：，，又，，，．（2）如圖1，延長交于，連，，．，，．，，，，，，；【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，例5．（最值問題）在△ABC中，點D是直線BC上一動點，連接AD，在直線的右側(cè)作等邊，連接CE，當線段CE的長度最小時，線段的長度為．【答案】【分析】在的左側(cè)作等邊三角形，連接、、、，再證明可得再利用時，最短，從而可得答案.【詳解】解：在的左側(cè)作等邊三角形，連接、、、，則則，故點、關(guān)于對稱，則，，均為等邊三角形，，，，，，當時，最小，由故，故的長度為，故答案為：【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，含的直角三角形的性質(zhì)，靈活運用以上知識解題是解題的關(guān)鍵.例6．（培優(yōu)綜合）如圖1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．點D是AC中點，連接BD，過點A作AE⊥BD交BD的延長線于點E，過點C作CF⊥BD于點F．（1）求證：∠EAD＝∠CBD；（2）求證：BF＝2AE；（3）如圖2，將△BCF沿BC翻折得到△BCG，連接AG，請猜想并證明線段AG和AB的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）：AG＝AB，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角度的等量代換即可求解．（2）證明△AEC≌△BPC后，運用角度等量代換，求得CF＝PF；證明△AED≌△CFD即可求解．（3）證明△AEB≌△BHA，根據(jù)線段的等量代換以及運用等腰三角形三線合一的證明即可求解．【詳解】（1）證明：∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠EAD＝∠CBD；（2）證明：如圖1，連接CE，在BF上截取BP＝AE，連接CP，∵∠EAD＝∠CBD，AC＝BC，∴△AEC≌△BPC（SAS），∴CE＝CP，∠ACE＝∠BCP，∴∠ACE+∠DCP＝∠BCP+∠DCP，∴∠ECP＝∠DCB＝90°，∵CE＝CP，CF⊥BD，∴∠CEP＝∠CPF＝∠PCF＝45°，∴CF＝PF，∵點D是AC的中點，∴AD＝CD，∵∠AED＝∠CFD＝90°，∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD（AAS），∴AE＝CF，∴AE＝PF，∴BF＝BP+PF＝2AE；（3）結(jié)論：AG＝AB，證明如下：如圖2，取BG的中點H，連接CE，CH，AH，∴BH＝＝＝AE，∵∠HBC＝∠PBC＝∠EAC，∴∠EAC+∠CAB＝∠HBC+∠CBA，∴∠EAB＝∠HBA，∵AB＝BA，∴△AEB≌△BHA（SAS），∴∠BHA＝∠AEB＝90°，∴AH⊥BG，∵BH＝HG，∴AG＝AB．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及運用等邊三角形三線合一的證明，運用全等可以進行角度與線段的等量代換進行題目求解，全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS、HL要熟記．【變式訓(xùn)練】1．在中，，點是直線上一點（不與、重合），把線路繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點在線段上，如果，則__________度．

(2)如圖2，當點在線段上，如果，則__________度．

(3)如圖3，設(shè)，，當點在線段上移動時，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請說明理由．

(4)設(shè)，，當點在直線上移動時，請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】(1)90(2)120(3)(4)或【分析】（1）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（2）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（3）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（4）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：90；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：120；（3），理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（4）如圖4，當點D在的延長線上時，，

證明方法同（3）；如圖5，當點D在的延長線上時，，

理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．綜上，或．【點睛】此題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．2．已知，在中，，，點D為BC的中點．（1）觀察猜想如圖①，若點E、F分別是AB、AC的中點，則線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______________；線段DE與DF的位置關(guān)系是______________．（2）類比探究如圖②，若點E、F分別是AB、AC上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明：若不成立，請說明理由；（3）解決問題如圖③，若點E、F分別為AB、CA延長線的點，且，請直接寫出的面積．【答案】（1），；（2）成立，證明見解析；（3）【分析】（1）由點E、F、D分別是AB、AC、BC的中點，可得，，，，再由，，得，，由此即可得到答案；（2）連接，只需要證明，得到，，即可得到結(jié)論；（3）連接AD，證明△BDE≌△ADF得到，則，由此求解即可．【詳解】解：（1）∵點E、F、D分別是AB、AC、BC的中點，∴，，，，∵，，∴，，∴即，故答案為：，；（2）結(jié)論成立：，，證明：如圖所示，連接，∵，，D為BC的中點，∴，且AD平分，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，即；（3）如圖所示，連接AD，∵，，D為BC的中點，∴∴，且AD平分，，∴，∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD,在和中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴，∴，∵，∴，∴，∴【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．3．有如下一道作業(yè)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，以C為直角頂點作等腰直角三角形CEF，DF．求證：△BCE≌△DCF．（1）請你完成這道題的證明：（2）如圖2，在正方形ABCD中，點N是邊CD上一點，CM＝CN，連接DM，連接FC．①求證：∠BFC＝45°．②把FC繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到FP，連接CP（如圖3）．求證：BF＝CP+DF．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可知CB=CD，∠BCD=90°，再根據(jù)題意推出∠BCE=∠DCF，以及CE=CF，從而利用“SAS”證明全等即可；（2）①根據(jù)題意可先證明△BCN≌△DCM，從而推出∠CBN=∠CDM，然后作CG⊥CF交BF于G點，再證明△BCG≌△DCF，即可得到△CFG為等腰直角三角形，從而得出結(jié)論；②作CQ⊥CF交BF于Q點，結(jié)合①的結(jié)論，可得BQ=DF，然后結(jié)合題意證明四邊形CQFP為平行四邊形，即可得到CP=QF，從而證得結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，即：∠BCE+∠ECD=90°，∵△CEF為等腰直角三角形，∴CE=CF，∠ECF=90°，即：∠ECD+∠DCF=90°，∴∠BCE=∠DCF，在△BCE與△DCF中，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）①由正方形性質(zhì)可知，∠BCN=∠DCM=90°，在△BCN和△DCM中，∴△BCN≌△DCM（SAS），∴∠CBN=∠CDM，如圖，作CG⊥CF交BF于G點，則∠GCF=90°，∴∠BCG=∠DCF，在△BCG和△DCF中，∴△BCG≌△DCF（ASA），∴CG=CF，∴△CFG為等腰直角三角形，∴∠BFC=45°；②如圖所示，作CQ⊥CF交BF于Q點，由①可知，△BCQ≌△DCF，∴BQ=DF，且由①證明可知，△CQF為等腰直角三角形，∵FP由FC繞F點旋轉(zhuǎn)90°得到，∴△CFP為等腰直角三角形，∴∠P=∠CQF=45°，∠QFP=∠QCP=90°+45°=135°，∴四邊形CQFP為平行四邊形，∴CP=QF，∵BF=QF+BQ，∴BF=CP+DF．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平四邊形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握圖形的基本性質(zhì)，掌握幾何證明中的常見模型是解題關(guān)鍵．4．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3）【分析】（1）由已知條件可得，，進而根據(jù)∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB，可得∠ACD＝∠BCE，證明△ACD≌△BCE（SAS），即可求得AD=BE；∠BEC=∠CDA=135°；（2）延長交于點F，同理可得△ACD≌△BCE，設(shè)∠FAB=α，則∠CAD=∠CBE=45°-α，根據(jù)∠ABE=45°+45°-α=90°-α，進而根據(jù)∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°，即可求解；（3）延長BE交AD于點G，方法同（2）證明△ACD≌△BCE，進而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得直線和的夾角．【詳解】（1）∵和均為等腰直角三角形，，∴，，∠CDE=45°∴∠CDA=135°∵∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE∴∠AEB=90°故答案為：90°，AD＝BE（2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下，同理可得△ACD≌△BCE，則AD=BE，延長交于點F，設(shè)∠FAB=α，則∠CAD=∠CBE=45°-α∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°∴AD⊥BE（3）如圖，延長BE交AD于點G，∵和均為等腰三角形，∴，，∵∠ACB=∠DCE=α，∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD∵∴∠CBA=∠CAB=∴∠GAB+∠GBA=，，∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA)，即直線和的夾角為．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握旋轉(zhuǎn)模型證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點D為三角形右側(cè)外一點．且∠BDC＝45°．連接AD，若△ACD的面積為，則線段CD的長度為．【答案】【分析】過點B作BE⊥BD，交DC的延長線于點E，連接AE，由題意易得△EBD是等腰直角三角形，然后可證△BCD≌△BEA，則有∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，進而根據(jù)三角形面積公式可進行求解．【詳解】解：過點B作BE⊥BD，交DC的延長線于點E，連接AE，如圖所示：∵∠ABC＝90°，∴，∴，∵∠BDC＝45°，∠EBD＝90°，∴△EBD是等腰直角三角形，∴∠BDC=∠BED=45°，BE=BD，∵AB＝BC，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，∴，∵，∴，∴；故答案為．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，抓住等腰直角三角形的特征．2．如圖，是邊長為5的等邊三角形，，．E、F分別在AB、AC上，且，則三角形AEF的周長為．【答案】10【分析】延長AB到N，使BN=CF，連接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根據(jù)SAS證△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根據(jù)SAS證△EDF≌△EDN，推出EF=EN，易得△AEF的周長等于AB+AC．【詳解】解：延長AB到N，使BN=CF，連接DN，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，，∴△NBD≌△FCD（SAS），∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，，∴△EDN≌△EDF（SAS），∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．∵△ABC是邊長為5的等邊三角形，∴AB=AC=5，∵BE+CF=EF，∴△AEF的周長為：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案為：10．【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合運用．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．等腰直角三角形ABC中，，，且△ABC的面積為16，過點B作直線，點G是直線EF上的一個動點，連接AG，將AG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段AH，連接BH，則線段BH的最小值為．【答案】【分析】如圖所示：連接CG．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，再由，可知．可證．可得．BH最小轉(zhuǎn)化成求CG最小．只需就可以了．由此可得四邊形是正方形．由的面積是16，可求BH的值為．【詳解】如圖所示：連接CG．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，．∵∴，即．在和中，∴要讓最小，也就是要最小，∴時，最小．∵，，∴∵∴四邊形ABGC時矩形，∵∴矩形ABGC是正方形．∴．∵△ABC的面積為16，∴，解得：．∴．故答案為：【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定定理、矩形的性質(zhì)和判定定理、正方形的性質(zhì)和判定定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．證得三角形全等，由求轉(zhuǎn)化成求，和讓時，最短是解決本題的關(guān)鍵．4．（1）如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并證明：線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，證明見解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．證明見解析【分析】（1）延長AE交BD于點H，AH交BC于點O．只要證明△ACE≌△BCD（SAS），即可解決問題；（2）由△ACE≌△BCD，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長AE交BD于點H，AH交BC于點O，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案為AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，理由如下：如圖2中，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由（2）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．5．如圖，四邊形中，已知，且．(1)求證：；(2)記的面積為，的面積為．①求證：；②過點B作的垂線，過點A作的平行線，兩直線相交于M，延長至P，使得，連接．當取得最大值時，求的大小．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②【分析】（1）設(shè)，相交于點O．根據(jù)題意可知，．再根據(jù)對頂角相等，即，即得出；（2）①過點A作交的延長線于點E，即易證，得出，．又易證是等腰直角三角形，最后根據(jù)三角形面積關(guān)系可得出即可求出；②由（2）①知，是等腰直角三角形，進而證明，可知，在中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，，當M，A，P三點共線時，取得最大值，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】（1）如圖，設(shè)，相交于點O．∵，∴，．又∵，∴；（2）①如圖，過點A作交的延長線于點E，∴，∵，∴，∴，由（1）知，又∵，∴，∴，．∵∴是等腰直角三角形．∴．②如圖，由（2）①知，是等腰直角三角形．∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，在中，，是定長，∴，∴當M，A，P三點共線時，取得最大值，如圖．∵∴，∴．∵，∴，∴．【點睛】本題是三角形的綜合，考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，綜合性強，為壓軸題．熟練掌握上述知識，正確作出輔助線，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．6．在中，，為延長線上一點，點為線段，的垂直平分線的交點，連接，，．(1)如圖1，當時，則______°；(2)當時，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點，滿足．為直線上一動點．當?shù)闹底畲髸r，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為______，并證明．【答案】(1)100；(2)①時等邊三角形，證明見解析；②．證明見解析．【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理解決問題即可；（2）①時等邊三角形，證明，即可；②結(jié)論：．如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，，．當點在的延長線上時，的值最大，此時，利用全等三角形的性質(zhì)證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點為線段，的垂直平分線的交點，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：100．（2）解：①結(jié)論：時等邊三角形．理由：∵點是線段，的垂直平分線的交點，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴時等邊三角形；②結(jié)論：．理由：如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，，．∵則，點在的延長線上時，的值最大，此時，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴時等邊三角形，∴，，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．7．在ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）（請直接寫出你的結(jié)論）如圖1，當點D在線段BC上：①如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，則∠BCE＝°；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當點D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當點D在直線BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．【答案】（1）①90；②80；（2）①α+β＝180°，理由見解析；②圖見解析，α+β＝180°或α＝β【分析】、（1）①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度數(shù)；②由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABD＝∠ACB＝40°，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE＝40°，則可得出結(jié)論；（2）①由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；②分兩種情況畫出圖形，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案為：90；②∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝40°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝40°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝40°+40°＝80°，故答案為：80．（2）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如圖1：當點D在射線BC上時，α+β＝180°，連接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如圖2：當點D在射線BC的反向延長線上時，α＝β．連接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BC