專題02全等三角形考點類型考點一遍過考點1：全等形的概念典例1：（2022秋·福建莆田·八年級莆田第二十五中學校考階段練習）下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（

）A． B．C． D．【變式1】（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第十九中學校考開學考試）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A．B．C．D．【變式2】（2022秋·福建龍巖·八年級?？茧A段練習）下列四個圖形是全等圖形的是（）A．（1）和（3） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（3）和（4）【變式3】（2022春·福建廈門·七年級廈門雙十中學周測）下列圖形中，和所給圖形全等的圖形是（

）A． B． C． D．考點2：全等形的應用典例2：（2023春·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學?？计谀┤鐖D，方格紙是由9個相同的正方形組成，則∠1與∠2的和為（

）

A．45° B．70° C．80° D．90°【變式1】（2023·江蘇·八年級假期作業）沿著圖中的虛線，請將如圖的圖形分割成4個全等的圖形，并能拼成一個正方形．【變式2】（2023秋·浙江·八年級專題練習）下圖所示的圖形分割成兩個全等的圖形，正確的是（）A． B． C． D．【變式3】（2023·江蘇·八年級假期作業）在3×3的方格紙中，試用格點連線將方格紙分割成兩個大小、形狀都相同的多邊形．試畫出四種不同的分割方法：

【變式4】（2022秋·北京西城·八年級校考期中）作圖題將4×4的棋盤沿格線劃分成兩個全等圖形，參考圖例補全另外幾種（約定某種劃分法經過旋轉、軸對稱得到的劃分法與原劃分法相同）．【變式5】（2023春·全國·七年級專題練習）沿著圖中的虛線，請將如圖的圖形分割成四個全等的圖形．考點3：全等三角形的性質——求線段典例3：（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，E是BD上一點，若△BAD≌△CED，AB=10,AC=14，則△CED的周長為（

）

A．22 B．23 C．24 D．26【變式1】（2022秋·四川甘孜·八年級統考期末）如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DO＝3，平移距離為4，則陰影部分的面積為（）A．18 B．24 C．26 D．32【變式2】（2022秋·江蘇連云港·八年級校聯考階段練習）如圖，將一個三角形紙片ABC沿過點B的直線折疊，使點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，則下列結論一定正確的是（

）A．AD＝BD B．BE＝AC C．ED＋EB＝DB D．AE＋CB＝AB【變式3】（2022·全國·八年級統考假期作業）如圖，△ABC≌△BAD，AC與BD是對應邊，BC=10cm，DE=2cm，那么AE的長是A．8cm B．10cmC．2cm D．不能確定考點4：全等三角形的性質——求角典例4：（2023春·山東濟寧·七年級濟寧學院附屬中學?？计谀┤鐖D，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=110°，則∠EAC的度數為（

A．40° B．30° C．20° D．10°【變式1】（2023秋·江蘇·八年級?？贾軠y）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線交DE于F，∠B=30°，∠AED=110°，∠DAC=10°，則∠DFB的度數為

A．40° B．50° C．55° D．60°【變式2】（2023秋·河北石家莊·八年級校聯考開學考試）如圖所示兩三角形全等，則∠1的度數為（

）

A．41° B．51° C．62° D．77°【變式3】（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，△ABC≌△ADE，線段BC的延長線過點E，與線段AD交于點F，∠AED=108°，∠CAD=12°，∠B=48°，則

A．28° B．36° C．38° D．42°考點5：網格中的全等三角形問題典例5：（2022秋·廣東江門·八年級?？茧A段練習）如圖，在6×8的網格中，每個小正方形的邊長都相等，網格中的點均是網格線的交點，若△MNP?△MFQ，則點Q是圖中的（

）A．點D B．點C C．點B D．點A【變式1】（2022秋·湖北孝感·八年級統考期中）如圖，網格中有△ABC及線段DE，在網格上找一點F（必段在格點上），使△DEF與△ABC全等，這樣的點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2】（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，是一個4×4的正方形網格，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于()A．585° B．540° C．270° D．315°【變式3】（2022秋·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┤鐖D是5×5的正方形網絡，以點D，E為兩個頂點作位置不同的格點三角形，使所作的格點三角形與△ABC全等，這樣的格點三角形最多可以畫出（）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個考點6：全等三角形的判定——選擇條件典例6：（2023秋·江蘇·八年級?？贾軠y）在△ABC和△A'B'C'中，①AB=A'B'；②BC=B'C'；③AC=A．①②③ B．②③⑥ C．②④⑤ D．①③⑤【變式1】（2022秋·山東德州·八年級統考期末）下列條件中一定能判定△ABC≌△DEF的是（

）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．∠A＝∠D，AB＝DE，BC＝EFC．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF D．AB＝DE，∠A＝∠E，∠B＝∠F【變式2】（2022秋·山東德州·八年級校考期中）如圖，BC是直線AE外兩點，且∠1=∠2，要得到△ABE≌△ACE，可以添加的條件有：①AB=AC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠AEB=∠AEC；⑤∠BAE=∠CAE，其中正確的（）A．①或②或③ B．②或③或④C．②或③或⑤ D．①或④或⑤【變式3】（2022秋·江蘇無錫·八年級階段練習）如圖，∠ABC=∠ABD，要使△ABC≌△ABD，還需添加一個條件，那么在①AC=AD；②BC=BD；③∠C=∠D；④∠CAB=∠DAB這四個關系中可以選擇的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④考點7：全等三角形的判定——判定依據典例7：（2023秋·八年級課時練習）如圖，已知AC⊥BD，垂足為O，AO=CO，AB=CD，則可得到△AOB≌△COD，理由是（

）

A．HL B．SAS C．ASA D．AAS【變式1】（2022秋·福建龍巖·八年級?？奸_學考試）如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據所學的知識很快就畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據是（

）

A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS【變式2】（2022秋·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，DC⊥CA，EA⊥AC，DB⊥BE，點B在線段AC上，BD=BE，能證明△BCD≌△EAB的理由是（

A．ASA B．SAS C．HL D．SSA【變式3】（2023秋·全國·八年級專題練習）根據下列條件，能唯一畫出△ABC的是（

）A．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 B．AB=4，BC=3，∠A=30°C．AB=3，BC=4，AC=8 D．∠C=90°，AB=6【變式4】（2023春·河北保定·七年級統考期末）一天老師帶小明測操場上一棵樹AB的高度，如圖1所示，他告訴小明，我在距樹底端B點a米的C處，測得∠BCA=α°，你能測出AB的高度嗎？小明經過一番思考：“我若將△ABC，放倒在操場上不就可以測量了嗎！”于是他在操場上選取了一個合適的地方，畫出一個直角三角形DEF，如圖2，使∠E=90°，DE=a米，∠D=α°．小明說，只要量出EF的長度就知道旗桿AB的高度了．同學甲：小明的做法正確，是根據“SAS”得△ABC≌△FED得到的；同學乙：小明的做法正確，是根據“ASA”得△ABC≌△FED得到的；同學丙：小明的做法正確，是根據“SSS”得△ABC≌△FED得到的；同學?。盒∶鞯淖龇ú徽_，由他的做法不能判斷△ABC≌△FED．你認為（

）

A．甲、乙、丙的判斷都正確 B．甲、乙的判斷都正確C．只有乙的判斷正確 D．只有丁的判斷正確【變式5】（2023·全國·八年級專題練習）如圖，某公園有一個假山林立的池塘．A，B兩點分別位于這個池塘的兩端，小明想出了這樣一個辦法：先在AB的垂線BF上取兩點C，D，使CD=BC，過D作DE⊥BF交AC的延長線于點E．線段ED的長即為A，B兩點間的距離，此處判定三角形全等的依據是()A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS考點8：全等三角形判定與性質綜合典例8：（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，AC，DB相交于點O，且AB=DC，AC=DB．求證：∠B=∠C．

【變式1】（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，點E在BC邊上，AE=AB，將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G．

(1)求證：BC=EF；(2)若∠ABC=64°，∠ACB=25°，求【變式2】（2023秋·湖南長沙·八年級長沙麓山國際實驗學校校考開學考試）如圖，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AN是過點A的一條直線，BD⊥AN于點D，CE⊥AN于點E

(1)求證：△ABD≌(2)若BD=8，CE=3，求DE的長．【變式3】（2023春·江蘇南通·七年級統考階段練習）如圖，已知點P(2m-1,6m-5)在第一象限的角平分線OC上，一直角頂點與點P重合，角的兩邊與x軸、y軸分別交于A點，B點，則：

(1)點P的坐標為多少？(2)OA+OB的值為多少？【變式4】（2023·江蘇南通·統考中考真題）如圖，點D，E分別在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于點O，OB=OC．求證：∠1=∠2．小虎同學的證明過程如下：證明：∵∠ADC=∠AEB=90°，∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°．∵∠DOB=∠EOC，∴∠B=∠C．第一步又OA=OA，OB=OC，∴△ABO≌∴∠1=∠2第三步

(1)小虎同學的證明過程中，第___________步出現錯誤；(2)請寫出正確的證明過程．【變式5】（2022秋·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）如圖，∠B=∠D=90°，DC=BC，E、F分別是AB、AD的中點，求證：CE=CF．

【變式6】（2022秋·山東泰安·七年級統考期中）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，交BC于點D．

(1)如圖①，延長AD到點E，使DE=AD，連接BE．求證：△ACD≌△EBD；(2)若AB=6，AC=8，則中線【變式7】（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF，

(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)求證：AB∥DE．考點9：全等三角形判定與性質——動點問題典例9：（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AB=32，BC=24，點D為AB的中點，點P在線段BC上以每秒6個單位的速度由點B向點C運動，同時點Q在線段CA上以每秒a個單位的速度由點C向點A運動，設運動時間為t（秒）0≤t≤8．

(1)用含t的代數式表示線段PC的長；(2)若點P、Q的運動速度相等，t=43時，(3)若點P、Q的運動速度不相等，△BPD與△CQP全等時，求【變式1】（2023春·貴州畢節·七年級統考期末）如圖1，如圖，在長方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，點P從點B出發，以2cm/秒的速度沿BC向點C運動，設點

(1)PC=______cm；（用t的代數式表示）(2)當t為何值時，△ABP≌△DCP？并說明理由；(3)如圖2，當點P從點B開始運動，同時，點Q從點C出發，以vcm/秒的速度沿CD向點D運動，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請求出v【變式2】（2022秋·江蘇徐州·八年級?？茧A段練習）如圖，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，點D為

(1)如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CPQ是否全等，請說明理由．②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為___cm/s時，在某一時刻也能夠使△BPD與△CPQ全等．(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都按逆時針方向沿△ABC的三邊運動．求經過多少秒后，點P與點Q第一次相遇，并寫出第一次相遇點在△ABC的哪條邊上？【變式3】（2023春·江蘇淮安·七年級校聯考期末）如圖①，在RtΔABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm．現有一動點P，從點A出發，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點

(1)當0≤t≤4時，AP=；當7≤t≤12時，AP=；(2)如圖①，當t=時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；(3)如圖②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ與△DEF全等，請直接寫出點考點10：全等三角形判定與性質——輔助線問題典例10：（2023秋·八年級課時練習）如圖為一風箏骨架：已知AB=AD，BC=DC，求證：∠B=∠D．【變式1】（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，AB=DC，BD=CA，AC、BD交于點O，求證：BO=CO．

【變式2】（2022秋·全國·八年級專題練習）某校八年級（1）班數學興趣小組在一次活動中進行了試驗探究活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發現】(1)如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED=AD，連接BE，寫出圖中全等的兩個三角形：__________；【理解與運用】(2)如圖2，EP是△DEF的中線，若EF=5，DE=3，設EP=x，求x的取值范圍；(3)如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC=∠ACB，點Q在BC的延長線上，QC=AB，求證：AQ=2AD．

【變式3】（2023春·全國·七年級專題練習）在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，AD是ΔABC的中線，AB=7,AC=5,求AD的取值范圍．我們可以延長AD到點M，使DM=AD，連接BM，易證ΔADC?ΔMDB，所以BM=AC．接下來，在ΔABM中利用三角形的三邊關系可求得AM的取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是；（2）如圖2，AD是△ABC的中線，點E在邊AC上，BE交AD于點F,且AE=EF，求證：AC=BF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD//BC，點E是AB的中點，連接CE，ED且CE⊥DE，試猜想線段BC,CD,AD之間滿足的數量關系，并予以證明．【變式4】（2023春·全國·八年級專題練習）（1）如圖①，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC上的點，且∠EAF=45°，連接EF，探究BE、DF、EF之間的數量關系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、DC上的點，且∠EAF=12∠BAD，此時（【變式5】（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點O，求證：AE+CD=AC．

【變式6】（2023秋·北京海淀·八年級首都師范大學附屬中學?？奸_學考試）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為射線CB上一動點，連結AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結BF交AC于G點，若AG＝3，CG＝1，求證：E點為BC中點．（3）當E點在射線CB上，連結BF與直線AC交子G點，若BC＝4，BE＝3，則AGCG=【變式7】（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形．（1）現給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．考點11：角平分線的性質典例11：（2022秋·福建福州·八年級?？奸_學考試）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則下列結論：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正確的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1】（2023春·七年級單元測試）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點O作OD⊥BC于D，下列三個結論：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，則S△ABO＝2；③當∠C＝60°時，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，則S△ABC＝2ab．其中正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點A為圓心，適當長為半徑作弧，分別交AB，AC于點D，E，再分別以點D，E，為圓心，以大于12DE的長度為半徑作弧，兩弧交于點F，作射線AF交BC于點G，若AB=12，CG=3，則△ABG

A．12 B．18 C．24 D．36【變式3】（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，△ABC的三邊AC、BC、AB的長分別是8、12、16，點O是△ABC三條角平分線的交點，則S△OABA．4:3:2 B．5:3:2 C．2:3:4 D．3:4:5考點12：角平分線的性質與判定綜合典例12：（2023秋·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，P為BC上一點，PR⊥AB，垂足為R，PS⊥AC，垂足為S，PR=PS，連接AP，Q為邊AC上的點，連接PQ且∠CAP=∠APQ．下列結論：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．其中結論正確的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【變式1】（2023秋·八年級課時練習）如圖所示，已知∠ADC+∠ABC=180°，DC=BC．求證：點C在∠DAB的平分線上．

【變式2】（2023春·陜西漢中·八年級統考期末）如圖，點P是△ABC內部的一點，點P到三邊AB，AC，BC的距離PD=PE=PF，∠BPC=130°，則A．65° B．80° C．100° D．70°【變式3】（2023秋·廣西南寧·八年級?？茧A段練習）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD(OA<OC)，∠AOB=∠COD=α，直線AC，BD交于點M，連接OM．下列結論：①AC=BD，②∠OAM=∠OBM，③∠AMB=α，④A．4 B．3 C．2 D．1【變式4】（2023春·八年級單元測試）如圖，A、B、C在同一條直線上，△ABF和△BCE均為等邊三角形，AE、FC分別交FB、EB于點M、N，下列結論中：①△ABE≌△FBC，②AB＝FN，③BM＝BN，④∠ADF＝60°，⑤DB平分∠ADC，其中正確的有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【變式5】（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，已知DE⊥AB垂足為E，DF⊥AC垂足為F，BD=CD，BE=CF．

(1)求證：AD平分∠BAC；(2)丁丁同學觀察圖形后得出結論：AB+AC=2AE，請你幫他寫出證明過程．【變式6】（2023秋·全國·八年級課堂例題）如圖，四邊形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，點O為BD的中點，且OA平分∠BAC．

(1)求證：OC平分∠ACD；(2)求證：OA⊥OC；(3)求證：AB+CD=AC．【變式7】（2023