河南省鄲城縣第二高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析_第1頁(yè)
河南省鄲城縣第二高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析_第2頁(yè)
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河南省鄲城縣第二高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.2.已知集合,,則()A. B.C. D.3.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.4.已知為一條直線,為兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則5.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,若輸入的值為2,則輸出的值為A. B. C. D.6.已知,則()A. B. C. D.7.已知向量,則()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()8.金庸先生的武俠小說(shuō)《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.269.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.10.如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),,分別記二面角,,的平面角為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺(tái)體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸12.若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,是的共軛復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)()A. B. C.4 D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過(guò)引一條弦,使此弦被點(diǎn)平分,則此弦所在的直線方程為_(kāi)_______________.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn)為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線C的離心率為_(kāi)_______.15.已知三棱錐中,,,,且二面角的大小為,則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_________.16.下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧,兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù),人數(shù)如下表所示:不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個(gè)人做進(jìn)一步的調(diào)研,若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人,則的值為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)若的解集為,,求證:.18.(12分)已知函數(shù),其中,.(1)函數(shù)的圖象能否與x軸相切?若能,求出實(shí)數(shù)a;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若在處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.(12分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.20.(12分)如圖,是矩形,的頂點(diǎn)在邊上,點(diǎn),分別是,上的動(dòng)點(diǎn)(的長(zhǎng)度滿足需求).設(shè),,,且滿足.(1)求;(2)若,,求的最大值.21.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最小值為,正實(shí)數(shù)、滿足,求證:.22.(10分)已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足,當(dāng)時(shí),有,且.(1)求不等式的解集;(2)對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由計(jì)算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域?yàn)?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對(duì)象角的取值范圍,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運(yùn)算可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由已知可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn),作出圖象,由圖可得:點(diǎn)(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),k=;結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(diǎn)(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當(dāng)直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則k==,∴m=.此時(shí),k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個(gè)交點(diǎn),不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力,屬于難題.4、D【解析】A.若,則或,故A錯(cuò)誤;B.若,則或故B錯(cuò)誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.5、C【解析】

由題意,模擬程序的運(yùn)行,依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的,的值,當(dāng)時(shí),不滿足條件,跳出循環(huán),輸出的值.【詳解】解:初始值,,程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循環(huán),輸出的值為其中①②①—②得.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到,的值是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減,對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)椋裕允菧p函數(shù),又因?yàn)椋裕裕訟,B兩項(xiàng)均錯(cuò);又,所以,所以C錯(cuò);對(duì)于D,,所以,故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,兩個(gè)式子比較大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系,有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值,進(jìn)而得到大小關(guān)系.7、D【解析】

由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例,故、不平行,故排除A;顯然,?3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),顯然,和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例,故和不平行,故排除C;∴?()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正確,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算,兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用,此類(lèi)問(wèn)題注意實(shí)際問(wèn)題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.9、A【解析】

根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過(guò)的中點(diǎn)的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過(guò)的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點(diǎn),則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.10、D【解析】

過(guò)點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【詳解】解:因?yàn)椋裕催^(guò)點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.11、B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點(diǎn):1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題;2.圓臺(tái)的體積.12、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則先求出復(fù)數(shù)z,再計(jì)算它的模長(zhǎng).【詳解】解:復(fù)數(shù)z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題,要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)長(zhǎng)度的計(jì)算公式,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率,進(jìn)而可求得直線的點(diǎn)斜式方程,化為一般式即可.【詳解】設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),由于點(diǎn)為弦的中點(diǎn),則,得,由題意得,兩式相減得,所以,直線的斜率為,所以,弦所在的直線方程為,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用弦的中點(diǎn)求弦所在直線的方程,一般利用點(diǎn)差法,也可以利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來(lái)解答,考查計(jì)算能力,屬于中等題.14、【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知或,進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,因?yàn)樽蟆⒂医裹c(diǎn)和點(diǎn)為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn),當(dāng)時(shí),,由可得,等式兩邊同除可得,解得(舍);當(dāng)時(shí),,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類(lèi)討論思想.15、【解析】

設(shè)的中心為T(mén),AB的中點(diǎn)為N,AC中點(diǎn)為M,分別過(guò)M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點(diǎn)為球心O,將的長(zhǎng)度求出或用球半徑表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設(shè)的中心為T(mén),AB的中點(diǎn)為N,AC中點(diǎn)為M,分別過(guò)M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點(diǎn)為球心O,如圖所示因?yàn)椋裕侄娼堑拇笮椋瑒t,,所以,設(shè)外接球半徑為R,則,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱錐外接球的表面積.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問(wèn)題,解決此類(lèi)問(wèn)題一定要數(shù)形結(jié)合,建立關(guān)于球的半徑的方程,本題計(jì)算量較大,是一道難題.16、32【解析】

由已知可得抽取的比例,計(jì)算出所有被調(diào)查的人數(shù),再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知,抽取的比例為,被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人,則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為:32【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)當(dāng)時(shí),將所求不等式變形為,然后分、、三段解不等式,綜合可得出原不等式的解集;(2)先由不等式的解集求得實(shí)數(shù),可得出,將代數(shù)式變形為,將與相乘,展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),不等式為,且.當(dāng)時(shí),由得,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),由得,該不等式不成立,此時(shí);當(dāng)時(shí),由得,解得,此時(shí).綜上所述,不等式的解集為;(2)由,得,即或,不等式的解集為,故,解得,,,,,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào),.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解,同時(shí)也考查了利用基本不等式證明不等式,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.18、(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于,根據(jù)相切可得方程組,看方程是否有解即可;(2)求出的導(dǎo)數(shù),設(shè)(),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及在處取得極大值求出a的范圍即可.【詳解】(1)函數(shù)的圖象不能與x軸相切,理由若下:.假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于則即顯然,,代入中得,無(wú)實(shí)數(shù)解.故函數(shù)的圖象不能與x軸相切.(2)(),,設(shè)(),恒大于零.在上單調(diào)遞增.又,,,∴存在唯一,使,且時(shí),時(shí),①當(dāng)時(shí),恒成立,在單調(diào)遞增,無(wú)極值,不合題意.②當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,不合題意.③當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,符合題意.此時(shí)由得即,綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.19、(1);(2).【解析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍,再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】(1),解不等式,解得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由題意,則,,,,解得.由余弦定理得,又,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解,同時(shí)也考查了三角形面積取值范圍的計(jì)算,涉及余弦定理和基本不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn),根據(jù)勾股定理逆定理求得.(2)設(shè),由此求得的表達(dá)式,利用三角函數(shù)最值的求法,求得的最大值.【詳解】(1)設(shè),,,由,根據(jù)正弦定理和余弦定理得.化簡(jiǎn)整理得.由勾股定理逆定理得.(2)設(shè),,由(1)的結(jié)論知.在中,,由,所以.在中,,由,所以.所以,由,所以當(dāng),即時(shí),取得最大值,且最大值為.【點(diǎn)睛】本小題考查正弦定理,余弦定理,勾股定理,解三角形,三角函數(shù)性質(zhì)

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