2023-2024學年吉林省松原市前郭縣南部學區八年級（上）期末數學試卷一、選擇題（每小題2分，共12分）1．（2分）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2分）下面所給的銀行標志圖中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列運算中，正確的是（）A．a2?a＝a3 B．（a3）3＝a6 C．a3+a3＝a5 D．a6÷a2＝a34．（2分）經測算，一粒芝麻的質量約為0.00000201kg，數據0.00000201用科學記數法表示為（）A．20.1×10﹣3 B．2.01×10﹣4 C．0.201×10﹣5 D．2.01×10﹣65．（2分）小華在利用完全平方公式計算一個二項整式的平方時，不小心用墨水把中間一項的系數染黑了，得到正確的結果為a2■ab+9b2，則中間一項的系數是（）A．6 B．﹣6 C．6或﹣6 D．186．（2分）如圖，在△ABC中，點M，AM＝NM，BM⊥AC，且NM＝ND，若∠A＝70°（）A．40° B．50° C．60° D．70°二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）計算：+20240＝．8．（3分）若分式的值為0，則x的值為．9．（3分）分解因式：3a2﹣27＝．10．（3分）若一個n邊形的內角和正好是它的外角和的5倍，則n＝．11．（3分）如圖所示，∠A＝20°，則∠B+∠C+∠D+∠E＝°．12．（3分）如圖所示，AA′，BB′表示兩根長度相同的木條，BB′的中點，經測量AB＝9cmcm．13．（3分）如圖，在△ABC中，點E在AB的垂直平分線上，AD平分∠EAC．若AC＝3，CD＝1．14．（3分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點E，若BC＝5，DE＝3，則四邊形ABCD的面積是．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）解方程．16．（5分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC的中點，DE⊥AC，連接CD．求證：△CDB是等邊三角形．17．（5分）先化簡，再求值：（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y），其中，．18．（5分）已知：P是線段AB的中點，∠1＝∠2，PD＝PC四、解答題（每小題7分，共28分）19．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫格點．線段AB的端點A、B均在格點上，分別按下列要求畫圖．（1）在圖①中畫一個△ABC，使△ABC的面積是10；（2）在圖②中畫一個△ABD，使△ABD是軸對稱圖形；（3）在圖③中畫一個△ABE，點E在格點上，且∠E大于90°．20．（7分）先化簡：（1﹣）÷，再從1、2、0中選擇一個合適的數代入求值．21．（7分）已知三角形的底邊長為（2x+1）cm，高是（x﹣2），若把底邊和高各增加5厘米，那么三角形面積增加了多少？并求出x＝3時三角形增加的面積．22．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，BC與AD的延長線交于點E．（1）求證：AD＝CD；（2）若AE＝BE，∠B＝72°，直接寫出圖中所有的銳角等腰三角形．五、解答題（每小題8分，共16分）23．（8分）某中學為了止學生體驗農耕勞動，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動，市場上每捆A種菜苗的價格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少5捆．（1）求菜苗基地每捆A種菜苗的價格；（2）菜苗基地每捆B種菜苗的價格是30元，學校決定在菜苗基地購買A、B兩種菜苗共100捆，所花的費用不超過2400元24．（8分）【問題】如圖①，在等邊△ABC中，點D、E在BC、AC上，AD、BE交于點O，則∠BOD＝度；【探究】如圖②，在等邊△ABC中，點D、E分別在BC、CA的延長線上，求∠BOD的度數；【應用】如圖③，在△ABC中，點D、E分別在AB、BC的延長線上，若AB＝AC＝BD＝AO，BC＝EC，則∠AOD＝度．六、解答題（每小題10分，共20分）25．（10分）【教材原題】觀察圖①，用等式表示圖中圖形的面積的運算為．【類比探究】觀察圖②，用等式表示圖中陰影部分圖形的面積和為．【應用】（1）根據圖②所得的公式，若a+b＝10，則a2+b2＝．（2）若x滿足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．【拓展】如圖③，某學校有一塊梯形空地ABCD，AC⊥BD于點E，BE＝CE．該校計劃在△AED和△BEC區域內種花，在△CDE和△ABE的區域內種草．經測量種花區域的面積和為，直接寫出種草區域的面積和．26．（10分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D．點P為邊BC上一動點，連接AP，使點Q在射線AC上，過點Q作QE⊥BC于點E．（1）AD的長為；（2）當點P在線段BD上時，求證：△APD≌△PQE；（3）若AP將△ABC分成面積比為1：3的兩部分，求DE的長；（4）若△PCQ的一個內角為15°，直接寫出∠APQ的大小．

2023-2024學年吉林省松原市前郭縣南部學區八年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題2分，共12分）1．（2分）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】根據分式有意義的條件可得2x﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由題意得：2x﹣1≠3，解得：x≠，故選：D．【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，關鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．2．（2分）下面所給的銀行標志圖中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【解答】解：選項A、C、D均不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合，選項B能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形，故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（2分）下列運算中，正確的是（）A．a2?a＝a3 B．（a3）3＝a6 C．a3+a3＝a5 D．a6÷a2＝a3【分析】根據合并同類項，同底數冪的乘除法以及冪的乘方法則逐項判斷即可．【解答】解：A、a2?a＝a，故該選項正確；B、（a3）6＝a9，故該選項不正確，不符合題意；C、a3+a4＝2a3，故該選項不正確，不符合題意；D、a6÷a2＝a4，故該選項不正確，不符合題意；故選：A．【點評】本題考查合并同類項，同底數冪的乘除法以及冪的乘方，熟練掌握運算性質和法則是解題的關鍵．4．（2分）經測算，一粒芝麻的質量約為0.00000201kg，數據0.00000201用科學記數法表示為（）A．20.1×10﹣3 B．2.01×10﹣4 C．0.201×10﹣5 D．2.01×10﹣6【分析】利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【解答】解：0.00000201＝2.01×10﹣6．故選：D．【點評】本題主要考查了用科學記數法表示較小的數，掌握形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10是關鍵．5．（2分）小華在利用完全平方公式計算一個二項整式的平方時，不小心用墨水把中間一項的系數染黑了，得到正確的結果為a2■ab+9b2，則中間一項的系數是（）A．6 B．﹣6 C．6或﹣6 D．18【分析】運用完全平方公式求出（a±3b）2對照求解即可．【解答】解：∵（a±3b）2＝a4±6ab+9b6，∴染黑的部分為±6．故選：C．【點評】本題主要考查完全平方公式，熟記完全平方公式是解題的關鍵．6．（2分）如圖，在△ABC中，點M，AM＝NM，BM⊥AC，且NM＝ND，若∠A＝70°（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據垂直定義可得∠AMB＝90°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠ABM＝20°，再根據已知易得BM是AN的垂直平分線，從而可得BA＝BN，然后根據等腰三角形的三線合一性質可得∠ABM＝∠NBM＝20°，再利用角平分線性質定理的逆定理可得BN平分∠MBD，從而可得∠NBM＝∠NBD＝20°，最后利用三角形內角和定理進行計算，即可解答．【解答】解：∵BM⊥AC，∴∠AMB＝90°，∵∠A＝70°，∴∠ABM＝90°﹣∠A＝20°，∵AM＝MN，∴BM是AN的垂直平分線，∴BA＝BN，∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣∠A＝20°，∵MN＝ND，NM⊥BM，∴BN平分∠MBD，∴∠NBM＝∠NBD＝20°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠NBM﹣∠NBD＝50°，故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，角的計算，熟練掌握是解題的關鍵．二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）計算：+20240＝5．【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【解答】解：+20240＝4+3＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了負整數指數冪，零指數冪，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．8．（3分）若分式的值為0，則x的值為﹣3．【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．兩個條件需同時具備，缺一不可．據此可以解答本題．【解答】解：因為分式的值為0＝0，化簡得x5﹣9＝0，即x8＝9．解得x＝±3因為x﹣8≠0，即x≠3所以x＝﹣4．故答案為﹣3．【點評】本題主要考查分式的值為0的條件，注意分母不為0．9．（3分）分解因式：3a2﹣27＝3（a+3）（a﹣3）．【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．【解答】解：3a2﹣27＝4（a2﹣9）＝6（a+3）（a﹣3）．故答案為：3（a+3）（a﹣3）．【點評】本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解決本題的關鍵．10．（3分）若一個n邊形的內角和正好是它的外角和的5倍，則n＝12．【分析】根據多邊形的內角和與外角和列得方程，解方程即可．【解答】解：由題意可得（n﹣2）?180°＝360°×5，解得：n＝12，故答案為：12．【點評】本題考查多邊形的內角和與外角和，結合已知條件列得正確的方程是解題的關鍵．11．（3分）如圖所示，∠A＝20°，則∠B+∠C+∠D+∠E＝200°．【分析】先根據三角形的內角和定理可得∠1+∠2＝180°﹣∠A，再根據兩個三角形的內角和為360°可得結論．【解答】解：如圖，∵∠A＝20°，∴∠1+∠2＝180°﹣20°＝160°，∵∠B+∠C+∠3＝180°，∠D+∠E+∠2＝180°，∴∠B+∠C+∠D+∠E＝360°﹣（∠1+∠5）＝360°﹣160°＝200°，故答案為：200．【點評】本題考查了三角形內角和定理，能求出∠1+∠2的度數是解此題的關鍵．12．（3分）如圖所示，AA′，BB′表示兩根長度相同的木條，BB′的中點，經測量AB＝9cm9cm．【分析】先證明OA＝OB＝OB′＝OA′，進而證明△AOB≌△A′OB′（SAS）得到A′B′＝AB＝9cm即可．【解答】解：∵AA′＝BB′，O是AA′，∴，在△AOB和△A′OB′中，，∴△AOB≌△A′OB′（SAS），∴A′B′＝AB＝9cm，故答案為：5．【點評】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，熟知全等三角形的性質與判定定理是解題的關鍵，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．13．（3分）如圖，在△ABC中，點E在AB的垂直平分線上，AD平分∠EAC．若AC＝3，CD＝14．【分析】根據等腰三角形的性質得到ED＝CD＝1，根據線段垂直平分線的性質得到BE＝AE＝3，計算即可．【解答】解：∵AC＝AE，AD平分∠EAC，CD＝1，∴ED＝CD＝1，AE＝AC＝5，∵點E在AB的垂直平分線上，∴BE＝AE＝3，∴BD＝BE+ED＝3+8＝4，故答案為：4．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．14．（3分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點E，若BC＝5，DE＝3，則四邊形ABCD的面積是21．【分析】過點D作DF⊥BC，交BC延長線于點F，證△DBE≌△DBF（AAS），得BE＝BF，再證Rt△AED≌Rt△CFD（HL），得AE＝CF＝2，則AB＝9，然后由三角形面積公式即可得出結論．【解答】解：如圖，過點D作DF⊥BC，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DE＝DF＝3，∠AED＝∠BED＝∠BFD＝90°，在△DBE和△DBF中，，∴△DBE≌△DBF（AAS），∴BE＝BF，在Rt△AED和Rt△CFD中，，∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），∴AE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝AE+BF＝AE+BC+CF＝2+5+2＝5，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB?DE+×9×3+，故答案為：21．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線定義以及三角形面積等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）解方程．【分析】本題的最簡公分母是（4﹣x），方程兩邊都乘最簡公分母，可把分式方程轉換為整式方程求解．【解答】解：方程兩邊都乘（4﹣x），得x﹣3﹣（6﹣x）＝﹣1，去括號、整理，解得x＝3，當x＝5時，4﹣x≠0．所以，x＝7是原方程的解．【點評】（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，方程兩邊都乘最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最簡公分母驗根．16．（5分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC的中點，DE⊥AC，連接CD．求證：△CDB是等邊三角形．【分析】根據等腰三角形的性質以及30°所對邊等于斜邊的一半得出BC＝BD，進而得出△CDB是等邊三角形．【解答】證明：∵E是AC的中點，DE⊥AC，∴AD＝CD，∵DE∥BC，∴AD＝BD，∴∠A＝∠DCA＝30°，∴∠CDB＝60°，∵∠A＝30°，∴BC＝AB，∴BC＝BD，∴△BDC是等邊三角形．【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定，得出AD＝BD是解題關鍵．17．（5分）先化簡，再求值：（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y），其中，．【分析】把x、y的值代入計算即可得到答案，熟練掌握整式的混合運算法則是解此題的關鍵．【解答】解：（3x﹣y）2﹣（2x+2y）（3x﹣3y）＝9x2﹣8xy+y2﹣（9x6﹣4y2）＝3x2﹣6xy+y6﹣9x2+6y2＝5y7﹣6xy，當，，原式＝．【點評】本題考查了整式的化簡求值，根據完全平方公式、平方差公式、合并同類項把原式化簡，熟練掌握整式的混合運算法則是解此題的關鍵．18．（5分）已知：P是線段AB的中點，∠1＝∠2，PD＝PC【分析】先根據線段AB的中點的定義得PA＝PB，再根據∠1＝∠2得∠APD＝∠BPC，據此可依據“SAS”判定△APD和△BPC全等，然后根據全等三角形的性質可得出結論．【解答】證明：∵P是線段AB的中點，∴PA＝PB，∵∠1＝∠2，∴∠4+∠EPF＝∠2+∠EPF，即∠APD＝∠BPC，在△APD和△BPC中，，∴△APD≌△BPC（SAS），∴∠D＝∠C，即∠C＝∠D．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，準確識圖，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．四、解答題（每小題7分，共28分）19．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫格點．線段AB的端點A、B均在格點上，分別按下列要求畫圖．（1）在圖①中畫一個△ABC，使△ABC的面積是10；（2）在圖②中畫一個△ABD，使△ABD是軸對稱圖形；（3）在圖③中畫一個△ABE，點E在格點上，且∠E大于90°．【分析】（1）利用三角形面積公式，把B點向右平移4格得到C點，則△ABC滿足條件；（2）以過A的鉛垂線為對稱軸，作出B點的對稱點D，則△ABD滿足條件；（3）把B點向右平移1格得到E點，則△ABE滿足條件．【解答】解：（1）如圖①，△ABC為所求．（2）如圖②，△ABD為所求．（3）如圖③，△ABE為所求．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：作軸對稱后的圖形的依據是軸對稱的性質，掌握其基本作法是解決問題的關鍵（先確定圖形的關鍵點；利用軸對稱性質作出關鍵點的對稱點；按原圖形中的方式順次連接對稱點）．20．（7分）先化簡：（1﹣）÷，再從1、2、0中選擇一個合適的數代入求值．【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把a的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答．【解答】解：＝?＝，∵a≠0，a﹣3≠0，∴a≠0，a≠3，∴當a＝2時，原式＝．【點評】本題考查了分式的化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．21．（7分）已知三角形的底邊長為（2x+1）cm，高是（x﹣2），若把底邊和高各增加5厘米，那么三角形面積增加了多少？并求出x＝3時三角形增加的面積．【分析】根據題意可得面積增加（2x+1+5）（x﹣2+5）﹣（2x+1）（x﹣2）＝x+10，將x的值代入求解可得．【解答】解：根據題意，面積增加（2x+3）（x﹣2）＝（2x2+3x+6x+18）﹣（2x2﹣5x+x﹣2）＝x2+3x+9﹣（x2﹣x﹣1）＝x+10，當x＝3時，原式＝7）．【點評】本題主要考查整式的化簡求值，熟練掌握整式的乘法運算法則和順序是解題的關鍵．22．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，BC與AD的延長線交于點E．（1）求證：AD＝CD；（2）若AE＝BE，∠B＝72°，直接寫出圖中所有的銳角等腰三角形．【分析】（1）根據平行線的性質和角平分線的定義解答即可；（2）根據等腰三角形的判定解答即可．【解答】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACD＝∠DAC，∴AD＝CD；∠CAD，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD．（2）解：∵AE＝BE，∠B＝72°，∴△ABE是等腰三角形，∴∠E＝36°，∠BAE＝72°，∵對角線AC平分∠BAD，∴∠CAE＝36°，∴AC＝CE，∴△ACE是等腰三角形，∴∠ACE＝108°，∴∠ACB＝72°，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠B＝72°，∴∠CDE＝72°，∴△CDE是等腰三角形，∴所有的銳角等腰三角形是△ABC，△CDE．【點評】此題考查等腰三角形的判定，關鍵是根據平行線的性質和角平分線的定義和等腰三角形的判定解答即可．五、解答題（每小題8分，共16分）23．（8分）某中學為了止學生體驗農耕勞動，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動，市場上每捆A種菜苗的價格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少5捆．（1）求菜苗基地每捆A種菜苗的價格；（2）菜苗基地每捆B種菜苗的價格是30元，學校決定在菜苗基地購買A、B兩種菜苗共100捆，所花的費用不超過2400元【分析】（1）設菜苗基地每捆A種菜苗的價格是x元，根據用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少5捆，列方程可得菜苗基地每捆A種菜苗的價格是20元；（2）設購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗（100﹣m）捆，由本次購買花費不超過2400元得：20m+30（100﹣m）≤2250解即可得答案．【解答】解：（1）設菜苗基地每捆A種菜苗的價格是x元，根據題意得：﹣＝4，解得x＝20，經檢驗，x＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A種菜苗的價格是20元；（2）設購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗（100﹣m）捆，20m+30（100﹣m）≤2400，解得：m≥60，∴所花的費用不超過2400元，在菜苗基地購買A種菜苗至少60捆．答：菜苗基地購買A種菜苗至少60捆．【點評】本題考查分式方程和一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程及函數關系式．24．（8分）【問題】如圖①，在等邊△ABC中，點D、E在BC、AC上，AD、BE交于點O，則∠BOD＝60度；【探究】如圖②，在等邊△ABC中，點D、E分別在BC、CA的延長線上，求∠BOD的度數；【應用】如圖③，在△ABC中，點D、E分別在AB、BC的延長線上，若AB＝AC＝BD＝AO，BC＝EC，則∠AOD＝76度．【分析】【問題】利用SAS證明△BAE≌△ACD，根據全等三角形的性質及三角形外角性質求解即可；【探究】根據等邊三角形的性質得到AB＝AC，∠BCA＝∠CAB＝60°，則∠BAE＝∠ACD＝120°，推出△BAE≌△ACD（SAS），根據全等三角形的性質得到∠E＝∠D，根據三角形外角性質即可求出∠BOD；【應用】利用SAS證明△ACE≌△DBC，根據全等三角形的性質得到∠E＝∠BCD，再根據三角形外角性質及等腰三角形的性質推出∠AOD＝2∠BCD，∠AOD＝114°﹣∠BCD，據此求解即可．【解答】解：【問題】∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB，∠BAE＝∠ACD＝60°，在△BAE和△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠CBE＝∠ACD，∴∠BOD＝∠CBE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝∠BCA＝60°，故答案為：60；【探究】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BCA＝∠CAB＝60°，∴∠BAE＝∠ACD＝120°，在△BAE與△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠E＝∠D，∵∠BOD＝∠E+∠EAO，∠D+∠CAD＝∠BCA＝60°，∴∠BOD＝60°；【應用】∵AB＝AC，∠ABC＝66°，∴∠ACB＝∠ABC＝66°，∴∠ACE＝∠DBC＝114°，在△ACE和△DBC中，，∴△ACE≌△DBC（SAS），∴∠E＝∠BCD，∵∠AOD＝∠E+∠OCE，∠OCE＝∠BCD，∴∠AOD＝2∠BCD，∵AC＝AO，∴∠AOD＝∠ACO＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠BCD﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣∠BCD＝114°﹣∠BCD，∴2∠BCD＝114°﹣∠BCD，∴∠BCD＝38°，∴∠AOD＝76°，故答案為：76．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質，熟記全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．六、解答題（每小題10分，共20分）25．（10分）【教材原題】觀察圖①，用等式表示圖中圖形的面積的運算為（a+b）2＝a2+2ab+b2．【類比探究】觀察圖②，用等式表示圖中陰影部分圖形的面積和為a2+b2．【應用】（1）根據圖②所得的公式，若a+b＝10，則a2+b2＝90．（2）若x滿足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．【拓展】如圖③，某學校有一塊梯形空地ABCD，AC⊥BD于點E，BE＝CE．該校計劃在△AED和△BEC區域內種花，在△CDE和△ABE的區域內種草．經測量種花區域的面積和為，直接寫出種草區域的面積和．【分析】【教材原題】觀察圖①，可得等式；【類比探究】陰影部分由兩個正方形組成；【應用】（1）根據完全平方公式可得；（2）運用完全平方公式可得；【拓展】已知種花區域面積和AC＝7，可得AE?CE，即可求出種草區域的面積和．【解答】解：【教材原題】：觀察圖①可得，（a+b）2＝a2+7ab+b2，故答案為：（a+b）2＝a7+2ab+b2；【類比探究】：觀察圖②可得，圖中陰影部分圖形的面積和＝a7+b2，故答案為：a2+b5；【應用】：（1）a2+b2＝（a+b）6﹣2ab＝100﹣10＝90，故答案為：90；（2）（11﹣x）2+（x﹣4）2＝[（11﹣x）+（x﹣8）]7﹣2（11﹣x）（x﹣8）＝2﹣4＝5，∴（11﹣x）7+（x﹣8）2的值是4；【拓展】：∵AC⊥BD，AE＝DE，∴S△ADE＝AE6，S△BEC＝CE5，∵種花區域的面積和為，∴AE2+CE5＝25，∵AC＝7，∴AE?CE＝12，∴AE?BE＝DE?CE＝12，∴種草區域的面積和＝（AE?BE+DE?CE）＝12．【點評】本題考查了完全平方公式，關鍵是熟練掌握并學會運用完全平方公式解決問題．26．（10分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D．點P為邊BC上一動點，連接AP，使點Q在射線AC上，過點Q作QE⊥BC于點E．（1）AD的長為2；（2）當點P在線段BD上時，求證：△APD≌△PQE；（3）若AP將△ABC分成面積比為1：3的兩部分，求DE的長；（4）若△PCQ的一個內角為15°，直接寫出∠APQ的大小．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質得BD＝CD，再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論；（2）證∠PAD＝∠QPE，再證∠QED＝∠PDA＝90°，然后由AAS證△APD≌△PQE即可；（3）分兩種情況，①點P在線段BD上時，②點P在線段CD上時，分別求出DE的長即可；（4）分兩種情況，①點P在線段BD上時，∠QPC＝15°，證△