第十六講一一特殊的平行四邊形

考向一矩形的性質

典例引領

1.（2020?廣東廣州市?中考真題）如圖，矩形ABC。的對角線AC,BD交于煎O,AB=6,BC=8,過

點。作。E_LAC，交AO于點E，過點E作EELBZ），垂足為尸，則OE+EP的值為（）

2.（2020?山東濟南市?中考真題）如圖，在矩形紙片A8CO中，A￡>=10,A8=8,將AB沿AE翻折，使點3

落在8'處，4E為折痕；再將EC沿EF翻折，使點C恰好落在線段上的點C處，E尸為折痕，連接AC'.若

CF—3,則tanZB'AC'—.

變式拓展

1.（2020?貴州畢節市?中考真題）如圖，在矩形A3CD中，對角線AC,8。相交于點。，點E，F分別

是A。，AO的中點，連接EF,若A8=6cm,BC=Scm,則EF的長是（）

1

A.2.2cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cm

2.（2020?內蒙古中考真題）如圖，在R/aABC中，ZACB=90°,。是AB的中點，BELCD,交C￡＞的

延長線于點E.若AC=2,BC=2丘，則3E的長為（）

C.V3D.0

考向二矩形的判定

典例引領

1.（2020?湖北中考真題）已知oABCD中，下列條件：

平分NR4。，其中能說明口ABQD是矩形的是（）

A.①B.②C.③D.④

2.（2020?北京中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是AD的中點，點F,G在

AB上，EF±AB,OG〃EF.（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10,EF=4,求OE和BG的長.

變式拓展

1.（2020?山東聊城?中考真題）如圖，在RtZ\ABC中，AB=2,NC=30°,將RtZVLBC繞點A旋轉

得到RtAA'B'C',使點3的對應點8'落在AC上，在8'。'上取點。，使3,。=2,那么點。到BC的距

離等于（）.

C.V3-1D.V3+1

2.（2020?山東聊城?中考真題）如圖，已知平行四邊形ABC。中，E是8c的中點，連接4E并延長，交。C

的延長線于點凡且AF=AO,連接BF,求證：四邊形A8FC是矩形.

4

考向三菱形的性質

典例引領

1.（2020?江蘇無錫市?中考真題）如圖，在菱形A8C。中，NB=5O。，點E在C￡＞上，若AE=AC,則

ABAE=.

2.（2020?廣西中考真題）如圖，在菱形4BCQ中，點E,F分別是邊A。，AB的中點.

（1）求證：△A5E四△APE；（2）若BE=垂）,NC=60°,求菱形ABC。的面積.

變式拓展

1.（2020?遼寧葫蘆島市?中考真題）一張菱形紙片A8C。的邊長為6cm,高AE等于邊長的一半，將菱形

紙片沿直線MN折疊，使點A與點8重合，直線MN交直線CO于點F,則DF的長為cm.

2.（2020?甘肅金昌市?中考真題）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構成，根據實際需要可以

調節AE間的距離，若AE間的距離調節到60C7M,菱形的邊長A6=20cm,則的度數是（）

5

/)

A.90°B.100°C.120°D.150°

考向四菱形的判定

典例引領

1.（2020?江蘇南通市?中考真題）下列條件中，能判定。ABCO是菱形的是（）

A.AC=BDB.ABA.BCC.AD=BDD.ACLBD

2.（2020?山東濱州市?中考真題）如圖，過oABCD對角線AC與BD的交點E作兩條互相垂直的直線，分別

交邊AB、BC.CD、DA于點P、M、Q、N.（1）求證：△PBE^AQDE；（2）順次連接點P、M、Q、N,

求證：四邊形PMQN是菱形.

變式拓展

1.（2020?內蒙古通遼市?中考真題）如圖，AO是△A6C的中線，四邊形ADCE是平行四邊形，增加下列

條件，能判斷是菱形的是（）

6

A.ABAC=90°B.ZDAE=9Q°C.AB^ACD.AB=AE

2.（202（）?湖南郴州市?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，將對角線AC分別向兩端延長到點E和尸，使

得A￡=CP.連接DE,DF,BE,BF.求證：四邊形BE。尸是菱形.

考向五正方形的性質

典例引領

1.（2020?浙江金華市?中考真題）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形A8C。與正方

形EFG，.連結EG,BD相交于點O,8。與"C相交于點P.若GO=GP,則沁①?的值是（）

?正方形

A.1+V2B.2+5/2C.5-V2D.:

2.（2020?內蒙古呼和浩特市?中考真題）如圖，正方形ABC。，G是8c邊上任意一點（不與B、C重合），

￡>E_LAG于點E,BF//DE,且交AG于點F.（1）求證：AF—BF=EF：（2）四邊形麻DE是否可

能是平行四邊形，如果可能請指出此時點G的位置，如不可能請說明理由.

7

變式拓展

1.（2020?廣西中考真題）如圖，在AABC中，BC=120,高4）=60,正方形EFG”一邊在8c上,

點分別在AB,AC上，AD交EF干點、N,則AN的長為（）

C.25D.30

2.（2020?山東濱州市?中考真題）如圖，點P是正方形ABCD內一點，且點P到點A、B、C的距離分別為

2百,、后,4則正方形ABCD的面積為

8

考向六正方形的判定

典例引領

1.（2020?山東濱州市?中考真題）下列命題是假命題的是（）

A.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形.B.對角線互相垂直的矩形是正方形.

C.對角線相等的菱形是正方形.D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形.

2.（2020?廣西玉林市?中考真題）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O,且

萬

OA=OB=OC=OD=—AB.（1）求證：四邊形ABCD是正方形；

2

（2）若H是AB上的一點（H與A,B不重合），連接DH,將線段DH繞點H順時針旋轉90度，得到線

段HE,過點E分別作BC及AB的延長線的垂線，垂足分別是F,G,設四邊形BGEF的面積為,以HB,

BC為鄰邊的矩形面積為邑，且￡=邑，當A3=2時，求AH的長；

9

10

變式拓展

1.（2020?四川眉山市?中考真題）下列說法正確的是（）

A.一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

C.對角線相等的四邊形是矩形D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

2.（2020?山東威海市?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCQ中，對角線89L4D，A3=l（）,AD=6,

。為BO的中點，E為邊AB上一點，直線EO交CO于點F,連結。E,3尸.下列結論不成立的是（）

A.四邊形。瓦步'為平行四邊形B.若AE=3.6,則四邊形為矩形

C.若4￡=5,則四邊形/為菱形D.若A￡=4.8,則四邊形OEBE為正方形

考向七中點四邊形

典例引領

1.（2020?山東蒲澤?中考真題）如果順次連接四邊形的各邊中點得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對

角線一定滿足的條件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分

2.（2020?山東德州市?中考模擬）我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中

點四邊形.

11

（1）如圖1,四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點.求證：中點四邊形

EFGH是平行四邊形；

（2）如圖2,點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB,PC=PD,ZAPB=ZCPD,點E,F,G,H分

別為邊AB,BC,CD,DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；

（3）若改變（2）中的條件，使NAPB=NCPD=90。，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀.（不

必證明）

12

變式拓展

1.（2020?全國九年級其他模擬）如圖，四邊形ABC。中，AC=m,BZ）=〃，且AC_LBQ,順次連接四邊形

ABC。各邊中點，得到四邊形再順次連接四邊形4BG出各邊中點，得到四邊形4282c26……，

如此進行下去，得到四邊形A5B5C56的周長是（)

A

m+nmnin-vn

A.B.C.D.

42552”

2.（2020?廣東珠海市?九年級二模）順次連接菱形四邊的中點得到的四邊形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.以上都不對

考向八特殊四邊形的動態問題

典例引領

1.（2020?江蘇南通市?中考真題）如圖①，E為矩形488的邊AO上一點，點P從點B出發沿折線8-E

-O運動到點。停止，點。從點B出發沿8C運動到點C停止，它們的運動速度都是lc7〃/s.現P,。兩點

同時出發，設運動時間為x（s）,ZX8PQ的面積為y（o病），若y與x的對應關系如圖②所示，則矩形A8CQ

的面積是（）

D.56CT??2

13

2.（2020?四川雅安市?中考真題）己知，等邊三角形ABC和正方形DEFG的邊長相等，按如圖所示的位置

擺放（C點與E點重合），點6、C.尸共線，△A6C沿BE方向勻速運動，直到B點與F點重合.設運動

時間為f,運動過程中兩圖形重疊部分的面積為S,則下面能大致反映s與，之間關系的函數圖象是（）

變式拓展

1.（2020?貴州銅仁市?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,動點P沿折線BCD從點B開

始運動到點D,設點P運動的路程為X,AADP的面積為y,那么y與x之間的函數關系的圖象大致是（）

14

2.（2020?甘肅金昌市?中考真題）如圖①，正方形A3CD中，AC,BO相交于點。，E是8的中點，

動點P從點E出發，沿著EfOf3fA的路徑以每秒1個單位長度的速度運動到點A，在此過程中線

段AP的長度》隨著運動時間x的函數關系如圖②所示，則AB的長為（）

D.2夜

、亨點沖關上

1.（2020?山東德州市?中考真題）下列命題：

①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；②對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形;

③一個角為90。且一組鄰邊相等的四邊形是正方形；④對角線相等的平行四邊形是矩形.

其中真命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2020?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在菱形ABCO中，對角線AC、相交于點為BC中點,

AC=6,BD=S.則線段OH的長為：（）

C.3D.5

15

3.（2019?遼寧中考真題）如圖，AC,3。是四邊形A8C￡＞的對角線，點E，/分別是AD，3c的中

點，點A/,N分別是AC，8D的中點，連接MF，FN,NE,要使四邊形￡MRV為正方形,

則需添加的條件是（）

A.AB=CD,ABA.CDB.AB-CD,AD-BC

C.AB=CD,AC1BDD.AB=CD,AD/IBC

4.（2020?湖南株洲?中考模擬）如圖，點E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中

點，則關于四邊形EFGH,下列說法正確的為（）

A.一定不是平行四邊形B.一定不是中心對稱圖形C.可能是軸對稱圖形D.當AC=BD時它是矩形

5.（2020?山東棗莊市?中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3,點E在邊BC上，將AABE沿直線AE折

疊，點B恰好落在對角線AC上的點F處，若NEAC=NECA,則AC的長是（）

A.3上B.6C.4D.5

6.（2020?浙江臺州市?中考真題）下是關于某個四邊形的三個結論：①它的對角線相等；②它是一個正方形;

③它是一個矩形.下列推理過程正確的是（）

A.由②推出③，由③推出①B.由①推出②，由②推出③

C.由③推出①，由①推出②D.由①推出③，由③推出②

16

7.（2020?河南中考真題）如圖，在AABC中，ZACB=90°.邊在x軸上，頂點A,B的坐標分別為（-2,6）

和（7,0）.將正方形。CDE沿％軸向右平移當點E落在A8邊上時，點。的坐標為（）

A.1|,2）B.（2,2）C.（NJD.（4,2）

8.（2020?湖北黃岡市?中考真題）若菱形的周長為16,高為2,則菱形兩鄰角的度數之比為（）

A.4:1B.5:1C.6:1D.7:1

9.（2020?寧夏中考真題）如圖，菱形ABCO的邊長為13,對角線AC=24,點￡、F分別是邊CO、BC

的中點，連接EF并延長與的延長線相交于點G,則EG=（）

A.13B.10C.12D.5

10.（2020?貴州遵義市?中考真題）如圖，在菱形48C。中，AB=5,AC=6,過點。作。交BA的

延長線于點E,則線段OE的長為（）

BC

17

11.（2020?四川眉山市?中考真題）如圖，正方形ABCO中，點尸是邊上一點，連接A尸，以A尸為對

角線作正方形AEFG,邊FG與正方形ABC。的對角線AC相交于點”，連接OG.以下四個結論：①

ZEAB=ZGAD；②AAECSAAGD；?2AE2=AH-AC^?DG±AC.其中正確的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

12.（2020?遼寧沈陽市?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，AB=6,BC=B,對角線AC,BD相交于

點。，點尸為邊AO上一動點，連接OP,以O尸為折痕，將AAOP折疊，點A的對應點為點E，線段PE

與8相交于點若△P￡）匠為直角三角形，則。尸的長.

13.（2020?廣西玉林市?中考真題）如圖，將兩張對邊平行且相等的紙條交叉疊放在一起，則重合部分構成

的四邊形ABCD菱形（是，或不是）.

18

14.（2020?黑龍江哈爾濱市?中考真題）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長為1,線段AB和線段CD的端

點均在小正方形的頂點上.（1）在圖中畫出以AB為邊的正方形鉆所，點E和點F均在小正方形的頂點上；

（2）在圖中畫出以CD為邊的等腰三角形CDG,點G在小正方形的頂點上，且ACDG的周長為10+JM，

連接EG,請直接寫出線段EG的長.

15.（2020?四川自貢市?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E在BC邊的延長線上，點尸在CO邊

的延長線上，且CE=Z）F,連接AE和8尸相交于點M.

求證：AE=BF.

19

16.（2020?江蘇徐州市?中考真題）我們知道：如圖①，點3把線段AC分成兩部分，如果生=空.那

ABAC

么稱點B為線段AC的黃金分割點.它們的比值為叵］

2

（2）如圖②，用邊長為20c7〃的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABC。得折痕所，連接CE，將

CB折疊到CE上，點5對應點H,得折痕CG.試說明G是AB的黃金分割點；

（3）如圖③，小明進一步探究：在邊長為。的正方形ABCD的邊上任取點￡（AE>DE）,連接5E,

作交A6于點尸，延長￡尸、CB交于點P.他發現當依與BC滿足某種關系時￡、尸恰好

分別是40、AB的黃金分割點.請猜想小明的發現，并說明理由.

20

18.（2020?江蘇宿遷市?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E,F在AC上，且AF=CE.求證：四邊

形BEDF是菱形.

19.（2020?湖北咸寧市?中考真題）如圖，在中，以點3為圓心，84長為半徑畫弧，交BC于點、E,

在AO上截取A尸=3E，連接X（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）請用無刻度的直尺在口ABCZ）

內找一點P,使乙4尸6=90。（標出點P的位置，保留作圖痕跡，不寫作法）

21

20.(2020?黑龍江鶴崗市?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，矩形A3C0的邊45長是方程

d—3x—18=()的根，連接30，ZDBC=3O°,并過點。作CN_LBD,垂足為N,動點P從點8以

每秒2個單位長度的速度沿3。方向勻速運動到點D為止；點M沿線段DA以每秒G個單位長度的速度

由點。向點A勻速運動，到點A為止，點P與點M同時出發，設運動時間為/秒。＞。)

(1)線段CN=；(2)連接PM和MN,求"肱7的面積s與運動時間/的函數關系式;

(3)在整個運動過程中，當AOMN是以PN為腰的等腰三角形時，直接寫出點P的坐標.

22

21.(2020?湖北荊州市?中考真題)如圖矩形ABCD中，AB=20,點E是BC上一點，將△/面沿著AE折

疊，點B剛好落在CD邊上的點G處，點F在DG上，將△AOF沿著AF折疊，點D剛好落在AG上點H

處，此時：5AA切=2:3.(1)求證：AEGC?4GFH(2)求AD的長：(3)求tanNG/77的值.

23

._直通一中考

1.（2020?四川瀘州市?中考真題）下列命題是假命題的是（）

A.平行四邊形的對角線互相平分B.矩形的對角線互相垂直

C.菱形的對角線互相垂直平分D.正方形的對角線互相垂直平分且相等

2.（202（）?湖北襄陽市?中考真題）已知四邊形ABCO是平行四邊形，AC,BO相交于點O,下列結論錯誤

的是（）

A.OA=OC,OB=ODB.當=時，四邊形ABC。是菱形

C.當NABC=90°時，四邊形4BC。是矩形D.當AC=8。且AC_LBD時，四邊形ABC。是正方形

3.（2020?黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，菱形A8C￡＞的對角線AC,相交于點0,過點。作DH±AB

于點H,連接OH，若0A=6,0/7=4.則菱形ABC。的面積為（）

D

A.72B.24C.48D.96

4.（2020?廣西貴港市?中考真題）如圖,動點M在邊長為2的正方形ABCD內，且AA7L8W,P是CD

邊上的一個動點，E是4）邊的中點,則線段PE+QW的最小值為（）

A.V10-1B.0+1c.V10D.75+1

24

5.（2020?浙江紹興市?中考真題）如圖，點O為矩形A8C￡＞的對稱中心，點E從點A出發沿AB向點8運動,

移動到點B停止，延長E。交CO于點凡則四邊形AEC尸形狀的變化依次為（）

A.平行四邊形一正方形一平行四邊形一矩形B.平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形

C.平行四邊形f正方形一菱形一矩形D.平行四邊形一菱形一正方形一矩形

6.（2020?湖北恩施土家族苗族自治州?中考真題）如圖，正方形43CD的邊長為4,點E在上且6石=1,

產為對角線AC上一動點，則周長的最小值為（）.

A.5B.6C.7D.8

7.（2020?廣東中考真題）如圖，在正方形48co中，A8=3,點￡,尸分別在邊AB，CDk,

NEFD=60。.若將四邊形￡?C廠沿成折疊，點B恰好落在A￡）邊上，則屬的長度為（）

夜C.>/3D.2

25

8.（2020?湖南懷化?中考真題）在矩形A3CO中，AC,80相交于點。，若AAQB的面積為2,則矩形

A8CD的面積為（）

C.8D.10

9.（2020?遼寧錦州市?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，P是對角線4c上一動點，過點P作于

點E.于點F.若菱形ABC。的周長為20,面積為24,則PE+P尸的值為（）

10.（2020?四川綿陽市?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中,AD〃BC,ZABC=90°,AB=2?,AD=2,

將AABC繞點C順時針方向旋轉后得A/l'B'C,當力'B，恰好經過點D時，AB'CD為等腰三角形，若BB'=2,

C.V13D.V14

26

11.（2020?黑龍江大慶市?中考真題）如圖，在邊長為2的正方形EFG”中，M，N分別為EF與G”的

中點，一個三角形ABC沿豎直方向向上平移，在運動的過程中，點A恒在直線MN上，當點A運動到線

段的中點時，點E，/恰與AB，AC兩邊的中點重合.設點4到Eb的距離為了,三角形A8C與

正方形瓦6”的公共部分的面積為丁，則當y=g時，x的值為（）

人7叵口而fc也「c母門7V10

A.一或2+JB.--或2-JC.2±—D.—

4222242

12.（2020?廣西中考真題）如圖，在邊長為2G的菱形A8CO中，NC=60°,點瓦產分別是AB,A。上

的動點，且AE=D尸,。E與BE交于點P.當點E從點A運動到點3時，則點P的運動路徑長為.

13.（2020?柳州市柳林中學中考真題）如圖，在矩形紙片48C。中，AB=6,BC=10,點E在CZ）上，將4

8CE沿BE折疊，點C恰好落在邊AQ上的點尸處，點G在AF上，將△ABG沿8G折疊，點4恰好落在線

段BF上的〃處，有下列結論：①NE8G=45°；②2sABFG=5SAFGH;③△OEFS^ABG；?4CE=5ED.其

中正確的是.（填寫所有正確結論的序號）

27

14.（2020?遼寧營口市?中考真題）如圖，在菱形48C。中，對角線AC,3。交于點O,其中OA=1,OB=

2,則菱形A8CO的面積為.

k

15.（2020?福建中考真題）設A,B,C,O是反比例函數>=一圖象上的任意四點，現有以下結論：

x

①四邊形A8CD可以是平行四邊形；②四邊形ABC。可以是菱形；③四邊形ABCD不可能是矩形；④四

邊形ABC。不可能是正方形.其中正確的是.（寫出所有正確結論的序號）

16.（2020?陜西中考真題）如圖，在菱形ABC。中，A8=6,/3=60°,點E在邊AO上，且AE=2.若

直線/經過點E,將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點F,則線段E尸的長為.

17.（2020?福建中考真題）如圖，點瓦戶分別在菱形A3CD的邊BC,CO上，且BE=DF.求證:

ZBAE=ZDAF-