有理數(shù)

☆知識(shí)體系:

正數(shù)、負(fù)數(shù)、0

有理數(shù)分類一按定義

有理數(shù)的概念與分類

有理數(shù)分類一按性質(zhì)

數(shù)軸的定義

數(shù)軸數(shù)軸三要素

數(shù)軸的畫(huà)法

相反數(shù)的定義

相反數(shù)相反數(shù)的性質(zhì)與判定

有理數(shù)—數(shù)軸、相反數(shù)與絕對(duì)值

相反數(shù)的幾何意義

絕對(duì)值的幾何意義

絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義

絕對(duì)值的非負(fù)性

有理數(shù)的加減法

有理數(shù)的乘除法

有理數(shù)的運(yùn)算

有理數(shù)的乘方科學(xué)記數(shù)法

◎章節(jié)概述：

本章節(jié)，我們會(huì)分三個(gè)部分進(jìn)行學(xué)習(xí).

第一部分，我們將會(huì)學(xué)習(xí)與有理數(shù)相關(guān)的概念，包括正數(shù)、負(fù)數(shù)、0,以及

有理數(shù)的概念和分類；我們要能根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)去對(duì)有理數(shù)進(jìn)行正確地分類；

第二部分，我們會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)軸、相反數(shù)和絕對(duì)值.數(shù)軸、相反數(shù)和絕對(duì)值不

單是本章節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在我們以后實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)中仍然會(huì)大量應(yīng)用.

第三部分，我們將學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算法則，包括加、減、乘、除及乘

方.我們首先要理解并掌握運(yùn)算法則，進(jìn)而熟練進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算.運(yùn)算

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中尤為重要，考試過(guò)程中，80%的考察都需要運(yùn)算，所以運(yùn)

算不過(guò)關(guān)，數(shù)學(xué)學(xué)不好.最后我們將基于乘方運(yùn)算的知識(shí)學(xué)習(xí)科學(xué)記數(shù)法，科

學(xué)記數(shù)法是中考的必考考點(diǎn)，所以我們必須理解并掌握.

國(guó)知識(shí)清單:

有理數(shù)

一、有理數(shù)的相關(guān)概念和分類

1.正數(shù)、負(fù)數(shù)、0

(1)正數(shù)：比0大的數(shù)，叫做正數(shù);

正數(shù)前面常有一個(gè)符號(hào)“+”叫正號(hào)，通常可以省略不寫.

(2)負(fù)數(shù)：比0小的數(shù)，叫負(fù)數(shù);

在正數(shù)前添上負(fù)號(hào)“-”便成了負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)與正數(shù)表示意義相反的量;

注意：負(fù)號(hào)不可以省略不寫.

(3)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn).

2.有理數(shù)的概念與分類

(1)有理數(shù)的概念：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

(2)有理數(shù)的分類

①按有理數(shù)的定義分類:②按有理數(shù)的性質(zhì)分類:

,正整數(shù)正整數(shù)

正有理數(shù)

整數(shù)，零正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)負(fù)整數(shù)有理數(shù)零

.正分?jǐn)?shù)'負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù),負(fù)有理數(shù)，

‘負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

(3)小數(shù)的分類:

f有限小數(shù)

小數(shù),’無(wú)限循環(huán)小數(shù)

無(wú)限小數(shù)4

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，例：乃、1.010010001...

二、數(shù)軸、相反數(shù)與絕對(duì)值

1.數(shù)軸的定義與畫(huà)法

（1）數(shù)軸的定義：

規(guī)定了原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度和正方向的直線叫數(shù)軸，任何一個(gè)有理數(shù)都可以用

數(shù)軸上的點(diǎn)表示.

注意：數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù).

（2）數(shù)軸三要素：原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度,正方向.

（3）數(shù)軸的畫(huà)法：

①畫(huà)一條水平的直線；

②選擇合適的位置作為原點(diǎn)；

③選擇向右的方向?yàn)檎较颍眉^表示；

④選擇合適的長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，向右標(biāo)正、向左標(biāo)負(fù).

2.相反數(shù)

（1）相反數(shù)的定義：

如果兩個(gè)數(shù)區(qū)有符號(hào)不同，則我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也

稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；特別地，0的相反數(shù)是0.

（2）相反數(shù)的性質(zhì)與判定：

①相反數(shù)的性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；

②相反數(shù)的判定：如果兩個(gè)數(shù)的和為0,則這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

（3）相反數(shù)的幾何意義：

在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)（零除外）的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且到

原點(diǎn)的距離相等.

3.絕對(duì)值

（1）絕對(duì)值的幾何意義：

把一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，一個(gè)數(shù)

a的絕對(duì)值表示為同;

(2)絕對(duì)值的代數(shù)意義：

一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)

值是零，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等.

-Q(Q<0)

-a^a<0)

即：同=<0(a-0)=+

a(a20)

>0)

(3)絕對(duì)值的非負(fù)性:

任何數(shù)的絕對(duì)值都不是負(fù)數(shù),即時(shí)20(〃為任何數(shù)).

三、有理數(shù)的運(yùn)算

1.有理數(shù)的加法法則

(1)同號(hào)兩數(shù)的加法：取與加數(shù)相同的符號(hào)，再把它們的絕對(duì)值相加.

(2)異號(hào)兩數(shù)的加法：絕對(duì)值相等時(shí)和為0；絕對(duì)值不相等時(shí)，取絕對(duì)值較大的

加數(shù)符號(hào),并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.

(3)加法運(yùn)算律：

①交換律：a+b=b+a

②結(jié)合律：a+h+c=a+^b+c^

2.有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

3.去括號(hào)法則

(1)括號(hào)前是‘‘加號(hào)"：去掉“加號(hào)”及括號(hào)，括號(hào)內(nèi)每個(gè)數(shù)前面的“加減號(hào)”不改變；

即：a+^b+c+d)-a+b+c+d

(2)括號(hào)前是“減號(hào)”：去掉“減號(hào)”及括號(hào)，括號(hào)內(nèi)每個(gè)數(shù)前面的“加減號(hào)”均改

變.即：ci—(Z?+c+d)=a—h—c一d

4.有理數(shù)的乘法法則

(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù),并把絕對(duì)值相乘；

(2)任何數(shù)與零相乘，都得零.

5.有理數(shù)的除法法則

(1)除以一個(gè)不為零的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù);

(2)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù),并把絕對(duì)值相除；

(3)零除以一個(gè)不為零的數(shù)仍得零，零不能做除數(shù).

6.有理數(shù)的乘方

(1)乘方的定義：求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做嘉.

如：把〃個(gè)相同的因數(shù)。的乘積記作a",即=；

\____________________________/

”個(gè)a

屋讀作4的〃次方，也可以讀作。的〃次嘉；

在屋中，。叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù).

(2)乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律：

①正數(shù)的任何次任都是正數(shù);

②負(fù)數(shù)的奇次嘉是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次嘉是正數(shù)，簡(jiǎn)記為“奇負(fù)偶正”;

③。的任何正整數(shù)次募都是0.

7.有理數(shù)的混合運(yùn)算步驟

(1)先算乘方，再算乘除，最后算加減；

(2)如果有括號(hào)，先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào);

(3)同級(jí)運(yùn)算，按照從左到右的順序進(jìn)行.

8.科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)大于10的數(shù)表示成axlO"的形式（其中l(wèi)Wa<10,〃為正整數(shù)），叫做科

學(xué)記數(shù)法，對(duì)于小于-10的數(shù)也可以類似表示.

份專屬練習(xí)：

1.中國(guó)人很早開(kāi)始使用負(fù)數(shù)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的''方程"一

章，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引用負(fù)數(shù)，如果收入100元記作+100元，那么

-80元表示（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

2.某根店出售的三種品牌的面粉袋上，分別標(biāo)有質(zhì)量為（25±0.1）kg,

（25±0.2）kg,（25±（）.3）kg的字樣，從中任意拿出兩袋，它們的質(zhì)量最多相差

（）

A.0.8kgB.0.6kgC.0.5kgD.0.4kg

3.一。一定是（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.正數(shù)或負(fù)數(shù)D.正數(shù)、零或負(fù)數(shù)

4.下列說(shuō)法正確的是（）

A.有理數(shù)是指整數(shù)、分?jǐn)?shù)、零、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)這五類

B.一個(gè)有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)

C.一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)

D.以上說(shuō)法都正確

5.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.沒(méi)有最大的正數(shù)，但有最大的負(fù)數(shù)

B.沒(méi)有最小的負(fù)數(shù)，但有最小的正數(shù)

C.沒(méi)有最小的有理數(shù)，也沒(méi)有最大的有理數(shù)

D.有最小的自然數(shù)，也有最小的整數(shù)

6.把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：

51?.

5—、0>0.56、—3、-25.8、—、-0.0001、+2、—600、n、0.3

75

(1)正整數(shù)：{};

⑵負(fù)整數(shù)：(};

⑶正分?jǐn)?shù)：{}；

(4)負(fù)分?jǐn)?shù)：(}.

7.下列說(shuō)法正確的是()

A.有原點(diǎn)、正方向的直線是數(shù)軸

B.數(shù)軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)可以表示同一個(gè)有理數(shù)

C.有些有理數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來(lái)

D.任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示

8.已知實(shí)數(shù)a,。在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

a01b

A.|a|<1<|Z?|B.1<-a<bC.1<|a|<Z?D.-b<a<-\

9.已知點(diǎn)A、B、P均在數(shù)軸上，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是一2,AP=3,AB=6,則

點(diǎn)8到原點(diǎn)。的距離為.

10.下列各對(duì)數(shù)中互為相反數(shù)的是()

A.一(+7)和+(—7)B.一(―5)和+(—5)

C.一(+6,和-6D.+，-8)和一8

11.若2a-4與-2互為相反數(shù)，則。=.

12.有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：|a+c|—|。-可一年|.

b0

13.計(jì)算:

173

⑴(―7)-(T)-(+9)+(+2)-(-5)⑵-5——(-9.5)+4—+7.5

37L'74.

(3)-1x^8-l1-0.04

14.計(jì)算:

522目+9xj￡|-"

⑴——+-x(2)—23+

635

整式的加減

☆知識(shí)體系:

單項(xiàng)式的概念

單項(xiàng)式單項(xiàng)式的系數(shù)

單項(xiàng)式的次數(shù)

多項(xiàng)式的概念

。章節(jié)概述：

本章節(jié)，我們會(huì)分兩個(gè)部分進(jìn)行學(xué)習(xí).

第一部分，我們將會(huì)學(xué)習(xí)與整式相關(guān)的概念，包括單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整

式.其中，單項(xiàng)式要熟練掌握如何求單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)，幫助理解后面方程

和函數(shù)相關(guān)概念；對(duì)于多項(xiàng)式，我們除了要學(xué)習(xí)概念之外，還要掌握項(xiàng)的相關(guān)

概念，以及常數(shù)項(xiàng)的定義、多項(xiàng)式的次數(shù).

第二部分，我們將學(xué)習(xí)整式的加減.我們首先要學(xué)會(huì)如何判斷同類項(xiàng)并掌

握合并同類項(xiàng)的方法，這是整式加減的基礎(chǔ).本部分的學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)就是去

括號(hào)，可以說(shuō)整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算都有去括號(hào)的身影.通過(guò)學(xué)習(xí)整式的加減運(yùn)

算，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)含有字母的數(shù)學(xué)式子，并為一元一次方程等后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打

下基礎(chǔ).

國(guó)知識(shí)清單：

整式的加減

一、整式

1.單項(xiàng)式

（1）單項(xiàng)式的概念：由數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項(xiàng)式；

注意：?jiǎn)为?dú)的數(shù)或字母是單項(xiàng)式.

（2）單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)就是它的系數(shù)；

注意：系數(shù)包括符號(hào);

兀是數(shù)字，不是字母.

（3）單項(xiàng)式的次數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和就是它的次數(shù).

注意：兀是數(shù)字，不是字母；

沒(méi)標(biāo)指數(shù)是省略了1,計(jì)算時(shí)要加上.

2.多項(xiàng)式

（1）多項(xiàng)式的概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.

（2）多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).

多項(xiàng)式的項(xiàng)是幾次就叫幾次項(xiàng)，次數(shù)最高的項(xiàng)叫最高次項(xiàng)

注意：多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都要連同它前面的符號(hào)

（3）常數(shù)項(xiàng)：不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng).

（4）多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

3.整式

整式的概念：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.

注：?jiǎn)雾?xiàng)式、多項(xiàng)式必定是整式；整式不一定是單項(xiàng)式，還有可能是多項(xiàng)式.

分母中含字母的式子既不是單項(xiàng)式也不是多項(xiàng)式，所以不是整式.

二、整式的加減

1.同類項(xiàng)

(1)同類項(xiàng)：

同類項(xiàng)的兩個(gè)條件：①所含字母相同②相同字母的指數(shù)相同

注意：與字母的順序無(wú)關(guān)；

所有常數(shù)項(xiàng)均為同類項(xiàng)；

同類項(xiàng)至少是兩項(xiàng).

(2)合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).

L一相加：同類項(xiàng)的系數(shù)相加

法則：一

一兩不變：雯母不變、字母的指數(shù)不變

系數(shù)互為相反數(shù)的兩個(gè)同類項(xiàng)合并結(jié)果為0.

注意：將同類項(xiàng)用加法交換律移到一起，要帶著符號(hào).

2.去括號(hào)

括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)：去括號(hào)后，原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同

括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)：去括號(hào)后，原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反

注意：有多重符號(hào)時(shí)，一般按小括號(hào)一中括號(hào)一大括號(hào)的順序進(jìn)行.

3.整式的加減

法則：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，在合并同類項(xiàng)

注意：幾個(gè)多項(xiàng)式相減，減式一定要先用括號(hào)括起來(lái)；

結(jié)果要最簡(jiǎn)，不能含有同類項(xiàng)；

不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù).

0專屬練習(xí)：

1.若X表示一個(gè)兩位數(shù)，把數(shù)字3放在X的左邊，組成一個(gè)三位數(shù)是（）

A.3xB.3x1004-xC.100x+3D.10x4-3

2.當(dāng)x取2時(shí)，代數(shù)式當(dāng)R的值是（）

A.0B.1C.2D.3

3.下列式子中，符合代數(shù)式書(shū)寫形式的是（）

C301b

A.2-xyzB.bcrc-5D.-axb-i-c

~7~

4.下列各式：a,a..b、a[b+c^=ah+ac,4f、（加+〃）一、1一3加、0其中代

數(shù)式有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

5.已知4、匕互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，加是絕對(duì)值等于3的負(fù)數(shù)，求

2

/7?+（a+Z?）x/〃+（cxd嚴(yán)2的值.

6.代數(shù)式-2尤的系數(shù)是，代數(shù)式-工a%3c的系數(shù)是,次數(shù)

3

是.

7.在下列式子中：左，現(xiàn)+3.2,』，四，土心，區(qū)巫，單項(xiàng)

32xy53

式有個(gè).

8.多項(xiàng)式（爐9，"1_（機(jī)+1力+；是關(guān)于x,y的三次二項(xiàng)式，則加的值是

9.若多項(xiàng)式—24/1+3必,2_1是加次”項(xiàng)式，則及一加的值為（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

10.把多項(xiàng)式‘//一3一3/6+5/按字母。的降嘉排列是________.

35

11.下列代數(shù)式是整式的有（）

①—3加〃；②y3—5），+2;③2;④N+C;⑤9；（6）^2；⑦〃7；

2y9b5+乃xy

@x2+2x+—

3

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

12.先化簡(jiǎn)，再求值2肛2+5/一2（2%2一肛2）+f,其中》=-g,y=g.

13.已知A=3力2+2Q/?—2,B=--a2-t-ab-l.求A—28.

2

14.一個(gè)多項(xiàng)式與Y-2x+l的和是3x-2,則這個(gè)多項(xiàng)式為（）

A.—5x4-3B.—+x—1

C.—x2+5x—3D.x~—5x-13

15.當(dāng)x=—2時(shí)，代數(shù)式雙3+笈-4的值是_2026,當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式

G?+區(qū)一4的值為（）

A.2017B.2018C.2019D.2020

16.當(dāng)2=時(shí)，多項(xiàng)式X?+（%一1）盯—3,2一2沖一5中不含孫項(xiàng).

17.若f+辦一2y+7—僅/_2x+9y-l）的值與x無(wú)關(guān)，求。一人的值.

一元一次方程

☆知識(shí)體系:

方程的概念

。章節(jié)概述：

本章節(jié)，我們會(huì)分三個(gè)部分進(jìn)行學(xué)習(xí).

第一部分，我們將會(huì)學(xué)習(xí)從算式到方程相關(guān)的概念和等式的性質(zhì)，包括方

程的概念、一元一次方程的概念、方程解的概念、以及等式的概念和等式的兩

個(gè)性質(zhì).其中，方程解的概念和等式的性質(zhì)是重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要牢固理解和掌

握，等式的兩個(gè)性質(zhì)是下一部分解一元一次方程的基礎(chǔ)，所以需要我們靈活運(yùn)

用.

第二部分，我們將學(xué)習(xí)一元一次方程的解法以及解一元一次方程拓展知

識(shí).我們?cè)谡莆盏仁降男再|(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)而熟練進(jìn)運(yùn)用等式的性質(zhì)，對(duì)一元一

次方程進(jìn)行去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、未知數(shù)將系數(shù)化為1等步驟

解一元一次方程.解一元一次方程是本章的核心知識(shí)點(diǎn)，需要牢固掌握.在學(xué)

會(huì)了一元一次方程的解法的基礎(chǔ)上，我們會(huì)學(xué)習(xí)一元一次方程解的拓展知識(shí)，

解決一元一次方程的含參問(wèn)題.

第三部分，我們將運(yùn)用方程思想解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)分析配套問(wèn)

題、工程問(wèn)題、銷售問(wèn)題、分段計(jì)價(jià)問(wèn)題等常見(jiàn)實(shí)際問(wèn)題，學(xué)習(xí)如何將實(shí)際問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題以及用數(shù)學(xué)結(jié)論解釋實(shí)際問(wèn)題的思想.以及利用方程解決實(shí)

際問(wèn)題的過(guò)程，包括設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)所得結(jié)果、確定答

案.其中正確分析問(wèn)題中的相等關(guān)系是巧設(shè)未知數(shù)和列方程的基礎(chǔ)，是這部分

的重點(diǎn)和難點(diǎn).

國(guó)知識(shí)清單:

一元一次方程

一、從算式到方程：

1.一元一次方程

（1）方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程；

方程一定是等式，但等式不一定是方程.判斷是否是方程的步驟是先判定

是不是等式，再看是否含字母表示的未知數(shù).

（2）一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1,等號(hào)兩邊

都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程;

判斷一元一次方程步驟：

①判斷是否為整式方程；

②判斷是否只含有一個(gè)未知數(shù)（系數(shù)不為0）;

③判斷未知數(shù)的次數(shù)是否為1.

（3）方程的解：使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解.

2.等式的性質(zhì)

（1）等式：用“=”連接的式子叫做等式.

注意：含有和飛”等符號(hào)的不是等式；

（2）等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子）,結(jié)果仍相等；

即：如果a=那么a±c=匕士c；

（3）等式的性質(zhì)2：等式的兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù),結(jié)果

仍相等；

即：如果a=h,那么ac=bc；如果a=Mc，0）,那么巴=2.

二、解一元一次方程

1.解一元一次方程

(1)移項(xiàng)：把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng)：

注意：從等號(hào)一邊移到另一邊要變號(hào).

(2)合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng).

將未知數(shù)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，未知數(shù)和未知數(shù)的指數(shù)保持

不變.

(3)去分母：根據(jù)等式的性質(zhì)2,將方程中的每項(xiàng)都乘分母的最小公倍數(shù).

去分母的步驟是：

①確定各分母的最小公倍數(shù)；

②方程兩邊同乘這個(gè)最小公倍數(shù)；

去分母注意事項(xiàng)：

①不含分母的項(xiàng)，也要乘最小公倍數(shù)，不要漏乘；

②分子是一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)，去分母后需要加括號(hào)；

(4)去括號(hào)：

①括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)連同它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)不變符

號(hào)；

②括號(hào)前面是“-”號(hào)，把括號(hào)連同它前面的"-”號(hào)去掉，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都改變

符號(hào).

(5)解一元一次方程的一般步驟：

①去分母；

②去括號(hào)；

③移項(xiàng)；

④合并同類項(xiàng)；

⑤系數(shù)化為1.

三、實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程

1.用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程:

實(shí)際問(wèn)題設(shè)未知數(shù)，列方程一元一次方程

解

方

程

一元一次方程解應(yīng)用題過(guò)程一般包括：設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程，檢驗(yàn)所得結(jié)

果，確定答案.正確分析問(wèn)題中的等量關(guān)系是列方程的基礎(chǔ).

解一元一次方程拓展

1.解的定義求參：

如果已知方程的解，那么把解代回方程等式必然成立，如果方程含有參數(shù)，就可

以借助已知解求參數(shù).

2.方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

方程6=〃解的個(gè)數(shù)分類討論：

①當(dāng)aw()時(shí)，方程的解是x=2；

a

②當(dāng)a=0且b=0時(shí)，方程的解是任意數(shù)；

③當(dāng)。=0且AwO時(shí)，方程無(wú)解.

3.整數(shù)解求參

整數(shù)解問(wèn)題解題步驟：

①帶著參數(shù)求方程的解；

②若分子為常數(shù)則找出分子的所有因數(shù)，注意包含正負(fù)；

③若分子含參則通過(guò)分離常數(shù)法使分子為常數(shù)，再找出分子的所有因數(shù);

④根據(jù)題干對(duì)參數(shù)或解的要求，選擇滿足要求的參數(shù)；

4.解的關(guān)系求參

利用解的關(guān)系求參數(shù)的操作步驟：

①明確兩個(gè)方程的解的數(shù)量關(guān)系（包括和差倍分及相反數(shù)等）；

②分別解出兩個(gè)方程；

③使兩個(gè)方程的解滿足要求的數(shù)量關(guān)系，形成新方程；

④求解新方程.

份專屬練習(xí)：

1.下列變形中，錯(cuò)誤的是（）

A.若W=5x,則工=5B.若一7x=7則工=一1

C.若^——l=x,則一x-\=xD.若二=),則ax=ay

0.22aa

2.如圖，天秤中的物體a,加c使天秤處于平衡狀態(tài)，則質(zhì)量最大的物體是

\EE/\（A）,@/\AAZ\/

ZKZK

3.關(guān)于x的方程3/3-3々=0是一元一次方程，則上的值是

4.方程（2a-l）f+3x+i=4是一元一次方程，則。=.

5.如果方程3%-2加=一2的解是x=2,那么m的值是（）

A.2B.-2C.4D.-4

6.解方程：5x+l=3x-5.

7.解方程：2x-(x+10)=5x+2(x-l).

8.解方程：Y匚—2―2x—1

46

5—0.lx%—0.1

9.解方程:--------------------=1.

1.22.4

10.已知x=-l是關(guān)于X的方程2a+2=—l-笈的解.

（1）求代數(shù)式2a-匕的值；

⑵求代數(shù)式5（2。-㈤-2a+b+2的值.

11.若關(guān)于X的方程匕生+山=1一生蟲(chóng)與x+如二q=0—3x同解，則”的值

63436

為_(kāi)_______

12.若方程4%=3（%-1）-4（%+3）的解比關(guān)于x的方程or-5=3a的解小1,求a

的值.

13.關(guān)于x方程一-3Z-2=2x的解與方程2-3（%+1）=0的解互為倒數(shù)，求攵

的值.

14.已知關(guān)于x的方程辦+3a=x+l的解為整數(shù)，則整數(shù)。的所有可能的取值為

15.求關(guān)于x的方程2x-5+a=Z?x+l.

(1)有唯一解的條件；

(2)有無(wú)數(shù)解的條件；

(3)無(wú)解的條件.

16.某企業(yè)為嚴(yán)重缺水的甲、乙兩所學(xué)校捐贈(zèng)礦泉水共2()(2箱.已知捐給甲校

的礦泉水箱數(shù)比捐給乙校箱數(shù)的2倍少400箱.求該企業(yè)捐給甲、乙兩所學(xué)校

的礦泉水各多少箱？

17.甲、乙兩車從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，某時(shí)刻將相遇，如果甲車提前一段時(shí)

間出發(fā)，兩車將提前3()分鐘相遇.已知甲車每小時(shí)行60千米，乙車每小時(shí)行

40千米，那么甲車需提前多少分鐘出發(fā)？

幾何圖形初步

☆知識(shí)體系:

幾何圖形基本概念

。章節(jié)概述：

幾何是研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科，本章我們學(xué)習(xí)了圖形與

幾何的一些最基本的知識(shí)，這些知識(shí)都是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ).

本章內(nèi)容分為三大部分，包括幾何圖形、直線射線與線段、角.

在學(xué)習(xí)幾何圖形中的一些基本概念時(shí)，我們要注意幾何圖形之間的聯(lián)系，

如點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體，這種聯(lián)系有助于我們理解和掌握知識(shí).同

時(shí)，我們常常采用類比的方法研究幾何，比如類比線段的大小比較與角的大小

比較，線段中點(diǎn)與角平分線等，類比的方法引導(dǎo)我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，也幫助我們找

到解決問(wèn)題的途徑.

國(guó)知識(shí)清單：

幾何圖形初步

一、幾何圖形：

1.幾何圖形基本概念

(1)幾何圖形的定義：

從實(shí)物中抽象出的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形.

(2)立體圖形的定義：

有些幾何圖形(如長(zhǎng)方體、正方體等)的各部分不都在同一平面內(nèi)，他們是

立體圖形.

(3)平面圖形的定義：

有些幾何圖形(如線段、正方形等)的各部分都在同一平面內(nèi)，他們是平面

圖形.

(4)點(diǎn)、線、面、體的概念

①幾何體也簡(jiǎn)稱為體，例如長(zhǎng)方體、正方體等.

②包圍著體的是面，面有平面和曲面兩種.

③面與面相交的地方形成線，線有直線和曲線兩種.

④線與線相交形成點(diǎn).

(5)幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體構(gòu)成的，慮是構(gòu)成圖形的基本元素.遍費(fèi)

成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體.

2.常見(jiàn)的幾何圖形及其分類

(1)常見(jiàn)的幾何圖形：

常見(jiàn)的幾何體名稱特征

由三個(gè)面組成，上、下兩個(gè)底面是半徑相同的圓,

圓柱

側(cè)面是曲面.

棱柱分為直棱柱和斜棱柱，一般只討論直棱柱，

棱柱其上、下兩個(gè)面為形狀、大小相同的多邊形，其

余各面為長(zhǎng)方形，底面為〃邊形的棱柱叫〃棱柱.

由兩個(gè)面圍成，有一個(gè)底面是圓形，一個(gè)頂點(diǎn)，

圓錐

A側(cè)面為曲面.

由底面與側(cè)面組成，底面為多邊形，側(cè)面為三角

棱錐

A形，底面為〃邊形的棱錐叫”棱錐.

?球由一個(gè)曲面圍成.

由三個(gè)面圍成，上、下兩個(gè)底面是大小不等的圓

圓臺(tái)

形，側(cè)面為曲面.

月棱臺(tái)上、下兩個(gè)底面為多邊形，側(cè)面均為梯形.

(2)常見(jiàn)幾何體的分類:

分類標(biāo)準(zhǔn)圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、球

柱圓柱、棱柱

按柱、錐、球分類錐圓錐、棱錐

球球

直面體棱柱、棱錐

按是否有曲面

曲面體圓柱、圓錐、球

是棱柱、圓錐、棱錐

按是否有頂點(diǎn)

否圓柱、球

3.立體圖形的三視圖

（1）三視圖的定義：

將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對(duì)著物體看過(guò)去，將所見(jiàn)物體的輪

廓繪制出來(lái)的平面圖形稱為視圖.

從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖；

從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖；

從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖；

三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總稱.

（2）由視圖到立體圖形：

①主視圖反映物體的長(zhǎng)和直，主要提供正面的形狀；

②左視圖反映物體的直和寬，主要提供左側(cè)面的形狀；

③俯視圖反映物體的笠和寬，主要提供上面的形狀.

4.展開(kāi)圖

（1）展開(kāi)圖的定義：

有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開(kāi)，可以展

開(kāi)成平面圖形.這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開(kāi)圖.

（2）正方體的11種展開(kāi)圖:

①1+4+1型，共6種：

②2+3+1型，共3種:

③2+2+2型，共1種:

④3+3型，共1種:

二、直線、射線、線段

1.直線、射線、線段的概念及性質(zhì)

名稱直線射線線段

圖形ahm

ABOMP0

表不直線AB(BA)或射線0M或射線b線段PQ(QP)或

方法直線a線段利

端點(diǎn)012

性質(zhì)向兩旁無(wú)限延伸；只向一旁無(wú)限延伸；不能延伸；

不存在延長(zhǎng)；可反向延長(zhǎng)；可向兩旁任意延長(zhǎng)；

不可度量.不可度量.可度量.

2.兩個(gè)公理

(1)兩點(diǎn)確定一條直線.

(2)兩點(diǎn)之間線段最短.

3.線段的和差

(1)線段的比較

①疊合法：

使兩線段共線且一端點(diǎn)重合，觀察另兩端點(diǎn)的位置，

若兩端點(diǎn)也重合，則兩線段長(zhǎng)度相等；

若某線段另一端點(diǎn)在另一條線段內(nèi)部，則該線段較短；

若某線段另一端點(diǎn)在另一條線段外部，則該線段較長(zhǎng).

②度量法

用刻度尺測(cè)出線段的長(zhǎng)度(單位相同)，再根據(jù)長(zhǎng)度的數(shù)量判定線段的大

小關(guān)系，

(2)線段的中點(diǎn)及等分點(diǎn)的概念：

把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，另外線段還有三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)

等.

三、角

1.角的相關(guān)概念

(1)角的概念：

有公共端點(diǎn)的兩條射線構(gòu)成的圖形叫做角，公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，兩條

射線叫做角的邊.

(2)角的表示方法：

用一個(gè)大寫英文字母及符號(hào)“N”表示，如圖①，記作

(注意：點(diǎn)。為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)時(shí)才可以用此方法表示)；

用三個(gè)大寫英文字母及符號(hào)“N”表示，如圖②，記作NA03；

用一個(gè)希臘字母(如a、4、八加弧線表示，如圖③，記作Na；

用一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示，如圖④，記作N1.

（3）角的分類:

名稱銳角直角鈍角平角周角

范圍0°<?<90°a=90。90°<a<180°a=180°a=360。

（4）角度換算:

1度=60分，1分=60秒，1秒=-!-分，1秒=」一度

603600

2.角的比較與運(yùn)算

（1）角的大小比較：

①用量角器量出它們的度數(shù)，再進(jìn)行比較；

②將兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一條邊重合，另一條邊放在重合邊的同側(cè)就可以比

較大小.

（2）角平分線的定義：

從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫

做這個(gè)角的角平分線.

3.余角和補(bǔ)角

（1）余角的定義：

如果兩個(gè)角的和等于（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角.即其中一個(gè)角

是另一個(gè)角的余角.

（2）補(bǔ)角的定義：

如果兩個(gè)角的和等于（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.即其中一個(gè)角

是另一個(gè)角的補(bǔ)角.

（3）余角和補(bǔ)角的性質(zhì):

同角（等角）的補(bǔ)角相等；同角（等角）的余角相等.

專屬練習(xí):

1.如圖，將正方體的平面展開(kāi)圖重新折成正方體后，“會(huì)"字對(duì)面的字是

()

A.秦B.淮C.源D.頭

2.如圖，它是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，也就是說(shuō),如圖形狀的方格式紙片可

以折成一個(gè)正方體，所折成的正方體應(yīng)是（）

4.下列日常現(xiàn)象：

①用兩根釘子就可以把一根木條固定在墻上

②把彎曲的公路改直，就能夠縮短路程

③體育課上，老師測(cè)量某個(gè)同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績(jī)

④建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常先在兩端立樁拉線，然后沿著線砌墻

其中，可以用“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)解釋的現(xiàn)象是（）

A.①④B.②③C.③D.④

5.下列生活實(shí)例中，數(shù)學(xué)原理解釋錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（）

A.從一條河向一個(gè)村莊引一條最短的水渠.其數(shù)學(xué)原理是：在同一平面內(nèi)，

過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線

B.兩個(gè)村莊之間修一條最短的公路.其數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)之間線段最短

C.把一個(gè)木條固定到墻上需要兩顆釘子.其數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)確定一條直線

D.從一個(gè)貨站向一條高速路修一條最短的公路.其數(shù)學(xué)原理是：連結(jié)直線外

一點(diǎn)與直線上