正弦定理和余弦定理引入思考1：如圖固定的邊CB及，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，的大小與它的對(duì)邊AB的長度之間有怎樣的關(guān)系？能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？思考2：在Rt△ABC中(若C=90°)有：那么在斜三角形中一邊的平方與其余兩邊平方和及其夾角還有什么關(guān)系呢？解讀1、直角三角形中各元素間的關(guān)系：在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a．（1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2．(勾股定理)（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關(guān)系：(銳角三角函數(shù)定義)sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝．2、斜三角形中各元素間的關(guān)系：在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊．（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π．（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等．．(R為外接圓半徑)（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．3、三角形的面積公式：（1）S△＝aha＝bhb＝chc(ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高)；（2）S△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）S△＝＝＝；（4）S△＝2R2sinAsinBsinC．(R為外接圓半徑)（5）S△＝；（6）S△＝；；(海倫公式)4、正余弦定理的邊角互換功能①，，②，，③==④⑤=6\*GB3⑥設(shè)是的角A、B、C的對(duì)邊（假設(shè)C為最大的角）若，則，為直角三角形．若，則，為銳角三角形．若，則，為鈍角三角形．=7\*GB3⑦若，則或．=8\*GB3⑧5、三角形中的基本關(guān)系式：，探究已知在ΔABC中,c=,A=450，a=2,求C；請(qǐng)同學(xué)們思考兩個(gè)問題：角C有幾個(gè)解？答：兩個(gè)．當(dāng)a=1時(shí)C有幾個(gè)解；當(dāng)a=時(shí)C有幾個(gè)解；當(dāng)a=3時(shí)C有幾個(gè)解答：當(dāng)a=1時(shí)無解；當(dāng)a=時(shí)有一個(gè)解；當(dāng)a=3時(shí)有一個(gè)

典例精講一．選擇題（共14小題）1．（2018?北京模擬）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果a=10，A=45°，B=30°，那么b等于（）A．522 B．52 C．102．（2018春?山西期末）已知△ABC中，AB=2，AC=4，∠A=30°，則△ABC的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2018春?萍鄉(xiāng)期末）在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosC=3A．1 B．2 C．4 D．224．（2018春?海淀區(qū)期中）在△ABC中，已知a=3，b=4，sinB=2A．34 B．16 C．15．（2018?石景山區(qū)一模）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=23，則△A．43 B．4 C．23 6．（2018?惠州模擬）如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）尺．A．5.45 B．4.55 C．4.2 D．5.87．（2018?新鄉(xiāng)二模）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知absinC=20sinB，a2+c2=41，且8cosB=1，則b=（）A．6 B．42 C．358．（2017秋?天心區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)直角三角形的一條直角邊為3cm，斜邊上的高為2.4cm，則這個(gè)直角三角形的面積為（）A．7.2cm2 B．6cm2 C．12cm2 D．24cm29．（2018?順德區(qū)一模）△ABC中，tanA=3，AC=23，BC=4，則AB=（）A．23﹣7 B．7﹣3 C．7+3 D．23+710．（2018春?西城區(qū)校級(jí)期中）△ABC中，給出以下條件，有唯一解的是（）A．a(chǎn)=4，b=5，A=30° B．a(chǎn)=5，b=4，A=60° C．a(chǎn)=3，b=2，B=120° 11．（2018春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）甲船在B島的正南方向A處，AB=10千米，甲船以4千米/小時(shí)的速度向正北方向航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6千米/小時(shí)的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ叫袝r(shí)間不超過2.5小時(shí)，則當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們航行的時(shí)間是（）A．2小時(shí) B．157小時(shí) C．514小時(shí) D．12．（2018秋?武平縣校級(jí)月考）在△ABC中，A=60°，c=4，23＜a＜4，則這樣的三角形的解有（）A．兩解 B．一解 C．無解 D．無窮多解13．（2018秋?醴陵市期中）根據(jù)下列情況，判斷三角形解的情況，其中正確的是（）A．a(chǎn)=8，b=16，A=30°，有兩解 B．b=18，c=20，B=60°，有一解 C．a(chǎn)=5，c=2，A=90°，無解 D．a(chǎn)=30，b=25，A=150°，有一解14．（2018?青島二模）如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為（）A．502m B．503m C．252m 二．填空題（共5小題）15．（2018秋?會(huì)寧縣校級(jí)月考）在△ABC中，化簡bcosC+ccosB=．16．（2018春?啟東市校級(jí)期中）在△ABC中，若b2﹣3bc=a2﹣c2，則A=．17．（2017春?啟東市校級(jí)期中）在△ABC中，BC=1，B=2π3，△ABC面積S=3，則邊AC長為18．（2018春?昆山市期中）一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30°和60°，若30°角所對(duì)的邊長為2，則60°角所對(duì)的邊長為19．（2016春?啟東市校級(jí)月考）若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC=BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的．三．解答題（共4小題）20．（2018?正定縣校級(jí)模擬）△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a（3sinB﹣cosC）=（b+c）cosA（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若c=2b，a=15，設(shè)a，b，c三條邊上的高分別為ha，hb，hc，求ha，hb，hc．21．（2017春?西城區(qū)校級(jí)期末）設(shè)△ABC中的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，且cosB=45（Ⅰ）當(dāng)a=53（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．22．（1951?全國）當(dāng)太陽的仰角是60°時(shí)，若旗桿影長為1丈，則旗桿長為若干丈？23．（2018秋?上杭縣校級(jí)月考）在某次軍事演習(xí)中紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢(shì)，在兩個(gè)相距為3a2的軍事基地C和D，測得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在A處和B處，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，歸納總結(jié)1、三角形中的邊角關(guān)系:（1）邊的關(guān)系：1）兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊2）在直角三角形中：a2+b2=c2（2）角的關(guān)系：1）A+B+C=18002）（3）邊角關(guān)系：1）大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊，等邊對(duì)等角2）在直角三角形ABC中,C=900,則3）在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==注意：定理適合任意