說課流程

一教材分析二學情分析五教學過程

四教法分析三教學目標數系的擴充和復數的概念第一頁第二頁，共23頁。

數系的擴充與復數的引入是高中生必備的基礎知識．

在本節中，學生將在問題情境中了解數系擴充的過程以及引入復數的必要性，學習復數的一些基本知識，體會人類理性思維在數系擴充中的作用。

一、教材分析數系的擴充和復數的概念第二頁第三頁，共23頁。二、學情分析數系的擴充和復數的概念

在此前，學生已經對數的擴充史有了一定的了解。接受和理解虛數，對學生來說又是一大挑戰和跨越，這是我們這節課可利用的有利因素和挑戰性。第三頁第四頁，共23頁。知識與技能目標：

1．了解數的擴充史，滲透數學文化；

2．掌握復數的概念和復數相等的充要條件。情感目標：通過了解數的擴充過程，使學生體會到一種鮮活的數學思維過程，激發學生對數學的興趣，培養他們的探索精神。教學重點：了解數的擴充史，掌握復數的概念和復數相等的充要條件教學難點：對虛數產生的必要性的理解三、教學目標數系的擴充和復數的概念第四頁第五頁，共23頁。

本節運用大量的數學史材料激發學生的求知欲，使學生主動到參與教學活動中來，在教師的指導下發現、分析解決問題、總結方法、總結規律，培養學生積極探索的科學精神。四、教法分析數系的擴充和復數的概念第五頁第六頁，共23頁。（一）情景引入設計意圖

卡爾丹(Cardano,1501--1576)解：設其中一個數是x,則另一個數為10-x.化簡得:

x2-10x+40=0五百年前意大利的卡爾丹遇到這樣一個問題將10分成兩個部分，使它們的乘積等于40.該方程無實數解則x(10-x)=40即

(x-5)2=-15那么他遇到了什么問題呢？他想：負數為什么不能開方？那么他是怎么解決的呢？

利用司空見慣的問題進行懸疑引入，激發學生的好奇心。然后師生一道回顧數的發展史來尋求靈感和答案教學過程數系的擴充和復數的概念第六頁第七頁，共23頁。設計意圖數學文化之旅——數的歷史

遠古的人類，為了統計捕獲的野獸和采集的野果，用手指或石子數個數，歷經漫長的歲月，創造了自然數1、2、3、4、5、…自然數是現實世界最基本的數量，是全部數學的發源地．

古代印度人最早使用了“0”

公元5世紀時，“0”已經傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用“0”。有一位羅馬學者在筆記中記載了關于使用“0”的一些好處和說明，就被教皇召去，砍去了雙手

自然數的產生

對真理的追求是永無止境的，我們可能會為自己的夢放棄一切。——蘇格拉底

培養學生追求真理的堅定信念和無畏精神教學過程數系的擴充和復數的概念（二）懸疑探究第七頁第八頁，共23頁。設計意圖

為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數法的需要，人類引進了負數．負數概念最早產生于我國，東漢初期的“九章算術”中就有負數的說法．公元3世紀，劉徽在注解“九章算術”時，明確定義了正負數：“兩算得失相反，要令正負以名之”．不僅如此，劉徽還給出了正負數的加減法運算法則．千年之后，負數概念才經由阿拉伯傳人歐洲。負數的引入，解決了在自然數集中不夠減的矛盾負數的出現

了解我國在數學上的成就，可激發學生民族自豪感。教學過程數系的擴充和復數的概念數學文化之旅——數的歷史（二）懸疑探究第八頁第九頁，共23頁。設計意圖

隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？于是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數

分數的出現

了解我國在數學上的成就，可激發學生民族自豪感。

教學過程數系的擴充和復數的概念數學文化之旅——數的歷史（二）懸疑探究分數的引入解決了在整數集中不能整除的矛盾第九頁第十頁，共23頁。關于無理數的發現

2500年古希臘的畢達哥拉斯學派認為,世間任何數都可以用整數或分數表示,并將此作為他們的一條信條.有一天,這個學派中的一個成員希伯斯突然發現邊長為1的正方形的對角線是個奇怪的數,于是努力研究,終于證明出它不能用整數或分數表示.但這打破了畢達哥拉斯學派的信條,于是畢達哥拉斯命令他不許外傳.但希伯斯卻將這一秘密透露了出去.畢達哥拉斯大怒,將他扔入了大海.

希伯斯發現的這類數,被稱為無理數.畢達哥拉斯約公元前560—480年教學過程數系的擴充和復數的概念數學文化之旅——數的歷史（二）懸疑探究無理數的引入解決了開方開不盡的矛盾第十頁第十一頁，共23頁。設計意圖①負數的引入，解決了在自然數集中不夠減的矛盾。②分數的引入，解決了在整數集中不能整除的矛盾。③無理數的引入，解決了開方開不盡的矛盾。

④那么我們引入什么樣的數，才能解決負數不能開平方的矛盾呢？

重新引導學生回到引題，轉入難點突破環節教學過程數系的擴充和復數的概念數學文化之旅——數的歷史（二）懸疑探究

對前面的探究過程進行整理第十一頁第十二頁，共23頁。（三）建構新知設計意圖1545年，卡爾丹在《大衍術》中寫道：“要把10分成兩部分，使二者乘積為40，這是不可能的，不過我卻用下列方式解決了．”能作為“數”嗎？歷史回顧教學過程數系的擴充和復數的概念1637年，法國數學家笛卡爾把這樣的數叫做“虛數”1777年，瑞士數學家歐拉在其論文中首次用符號“i”規定:i2=-1稱i為虛數單位

從1545~1777232年，人們終于認可了虛數，但讓學生在幾分鐘之內認可，他們一定有好多想法。在適當的時刻給予學生討論的機會，這是化解難點的關鍵步驟討論你對虛數是怎么看呢？第十二頁第十三頁，共23頁。設計意圖

(3)全體復數所形成的集合叫做復數集，一般用字母C

表示.(1)形如a+bi的數叫復數,用字母

z表示.2．復數的概念實部虛部其中稱為虛數單位.(2)教學過程數系的擴充和復數的概念

難點突破了，接下來就是本節課的而重點內容，本環節分四個部分（三）建構新知1．新數i

叫做虛數單位,并規定：

（1）i2

1；

（2）實數可以與i進行四則運算,在進行四則運算時,原有的加法與乘法的運算律仍然成立(1)復數的概念第十三頁第十四頁，共23頁。i5i+41、對于復數z=a+bi（a∈R，b∈R）0特別的，當a=0

且b=0

時，z=0當b=0時，z為實數當b≠0

時，z為虛數當a=0且b≠0時，z為純虛數非純虛數的虛數：a≠0,b≠0設計意圖教學過程數系的擴充和復數的概念（三）建構新知(2)復數的分類

解決復數的分類問題第十四頁第十五頁，共23頁。復數相等的定義

復數a+bi和c+di相等規定為

:a+bi=c+di

1、復數問題實數化的基本方法2、解決復數的相等問題

設計意圖教學過程數系的擴充和復數的概念*復數問題可轉化為實數范圍內的代數問題．

（三）建構新知（3）復數相等的定義第十五頁第十六頁，共23頁。設計意圖復數集實數集有理數集自然數集整數集虛數復數整數負整數自然數分數有理數無理數實數教學過程數系的擴充和復數的概念（三）建構新知（4）復數的定位

本環節是本節課的重點部分，但不是難點，給學生八分鐘時間自學整理，教師進行補充。目的：培養學生獨立思考的良好習慣和品質。課堂不是教師一個人表演的舞臺，要體現學生的主體地位

第十六頁第十七頁，共23頁。設計意圖1．說明下列復數的實部和虛部,并指出哪些是實數,哪些是虛數,哪些是純虛數.教學過程數系的擴充和復數的概念

這里我們設置了一般習題和挑戰習題，以滿足不同學生多層次的學習需求，使他們得到最全面的發展練習鞏固（四）2

已知其中求x與y?挑戰習題：1-13計算B4（湖南卷）Z=i+i2+i3+i4的值是（）

A.-1B.0C.1D.i第十七頁第十八頁，共23頁。

數的概念發展到虛和復數以后，在很長一段時間內，連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了，數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了“四元數”的概念。四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時，人們還開展了對“多元數”理論的研究。多元數已超出了復數的范疇，人們稱其為超復數。由于科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。這些概念也都應列入數字計算的范疇，但若歸入超復數中不太合適，所以，人們將復數和超復數稱為狹義數，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數。盡管人們對數的歸類法還有某些分歧，但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一致的。到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。（五）課堂拓展——數的發展展望設計意圖從自然數到復數，高中階段我們對數的認識已經結束，但數的發展已經到了盡頭了嗎？本環節的設置，就是要讓學生明白:科學探索的道路是無止境的我們的教育更需要要給學生啟發出巨大的想象空間，吸引他們不斷地向前探索。教學過程數系的擴充和復數的概念第十八頁第十九頁，共23頁。（1）擴充原因：①滿足實際問題解決的需要；②滿足數學自身完善和發展的需要．（2）擴充特征：①引入新的數；②原數集中的運算規則在新數集中得到保留和擴展．（3）提出新的問題：如何對實數集進行擴充，使方程

在新的數集中的解？（4）引入虛數單位（5）學習復數的概念．（6）規定復數相等的意義．（7）研究復數的分類．（8）①兩個復數只能說相等②

如果兩個復數都是實數，則可以比較大小；否則，不能比較大小．課堂小結（六）設計意圖教學過程數系的擴充和復數的概念小結方式學生整理教師補充既是對整節課堂教學的回顧，又能對教學效果起到及時反饋的目的第十九頁第二十頁，共23頁。作業一、課后練習4、5、6二撰寫小論文（題目自擬）完成一個學習總結報告。對數發展的歷史軌跡、自己感興趣的歷史事件與人物，寫出自己的研究報告如《如果世界沒了數》《數的歷史》《數的未來》

可參考書籍資料、網絡資源等（七）設計意圖

這里我們特意安排了一個撰寫小論文的環節。目的：加深理解，也許他們會寫的不好，但只要他們思考，我們的目的就達到了。只要我們堅持讓學生多寫，誰能說其中就沒有思想的金子呢？這就是教育的本質：以智慧啟迪智慧，而不僅僅是以知識武裝頭腦。教學過程數系的擴充和復數的概念第二十頁第二十一頁，共23頁。板書設計與時間安排1、板書設計2、時間安排

課題引入約3分鐘，數的擴充史約7分鐘，復數概念形成及復數相等約10分鐘，實踐應用約15分鐘，小結約5分鐘，作業約5分鐘.數系的擴充和復數的概念

數系的擴充和復數的概念

教學目標復數的概