不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透新知初探·課前預(yù)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)(1)了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)等函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異．(2)會(huì)根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異選擇函數(shù)模型．教

材

要

點(diǎn)要點(diǎn)三種常見(jiàn)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)?y＝logax(a＞1)?y＝kx(k＞0)在(0，＋∞)上的增減性________________________圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定增長(zhǎng)速度不變形象描述指數(shù)爆炸對(duì)數(shù)增長(zhǎng)直線(xiàn)上升增長(zhǎng)速度y＝ax(a＞1)的增長(zhǎng)速度最終都會(huì)大大超過(guò)________的增長(zhǎng)速度；總存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，恒有________增長(zhǎng)結(jié)果存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有________增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)y＝kx(k>0)logax<kxax>kx>logax助

學(xué)

批

注批注?其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，常稱(chēng)之為“指數(shù)爆炸”．批注?其增長(zhǎng)的特點(diǎn)是開(kāi)始階段增長(zhǎng)得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來(lái)越慢，常稱(chēng)之為“蝸牛式增長(zhǎng)”．基

礎(chǔ)

自

測(cè)1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)增長(zhǎng)速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．(

)(2)對(duì)任意的x>0，kx>logax.(

)(3)對(duì)任意的x>0，ax>logax.(

)(4)在指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型、一次函數(shù)模型中增長(zhǎng)速度較慢的函數(shù)模型是對(duì)數(shù)函數(shù)模型．(

)√××√2．如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型是(

)A.一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對(duì)數(shù)函數(shù)模型x45678910y15171921232527答案：A解析：隨著自變量每增加1函數(shù)值增加2，函數(shù)值的增量是均勻的，故為線(xiàn)性函數(shù)即一次函數(shù)模型．3．下列函數(shù)中隨x的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)最快的是(

)A．y＝ex

B．y＝lnx

C．y＝x10

D．y＝2x答案：A解析：指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)最快．4．下列選項(xiàng)是四種生意預(yù)期的效益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，更為有前途的生意是________．(填序號(hào))①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x＋1)；④y＝50.①題型探究·課堂解透

答案：B

方法歸納比較函數(shù)增長(zhǎng)情況的3種方法

t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01答案：C解析：從表格中看到此函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，排除B，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，排除A和D.題型2函數(shù)模型的比較例2函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的圖象，如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)請(qǐng)指出示意圖中曲線(xiàn)C1，C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，比較f(8)，g(8)，f(2022)，g(2022)的大小．解析：(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，x≥0，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因?yàn)間(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，所以f(1)>g(1)，f(2)<g(2)．f(9)<g(9)，f(10)>g(10)．所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<8<x2<2022，由圖象知，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)<g(x)，所以f(8)<g(8)．當(dāng)x>x2時(shí)，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(8)<g(2022)<f(2022)．所以f(2022)>g(2022)>g(8)>f(8)．方法歸納由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)．鞏固訓(xùn)練2

已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝0.5x－1的圖象如圖所示．(1)指出圖中曲線(xiàn)C1，C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)．(2)借助圖象，比較f(x)和g(x)的大小．解析：(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.5x－1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lnx.(2)當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)<f(x)；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x＝x1或x2時(shí)，g(x)＝f(x)．綜上，當(dāng)x＝x1或x2時(shí)，g(x)＝f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)<f(x)；當(dāng)x∈(0，x1)或(x2，＋∞)時(shí)，g(x)>f(x)．題型3函數(shù)模型的選取例3某跨國(guó)飲料公司在對(duì)全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5～8千美元的地區(qū)銷(xiāo)售該公司A飲料的情況調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)：該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷(xiāo)售量最多，然后向兩邊遞減．(1)下列幾個(gè)模擬函數(shù)：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，單位：千美元，y表示年人均A飲料的銷(xiāo)售量，單位：L)．用哪個(gè)模擬函數(shù)來(lái)描述人均A飲料銷(xiāo)售量與