2024屆北京市西城區數學九年級第一學期期末監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．對于非零實數，規定，若，則的值為A． B． C． D．2．如圖，在蓮花山滑雪場滑雪，需從山腳下乘纜車上山，纜車索道與水平線所成的角為，纜車速度為每分鐘米，從山腳下到達山頂纜車需要分鐘，則山的高度為（）米.A． B．C． D．3．方程x2=x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=﹣1，x2=04．一個不透明的袋中有四張完全相同的卡片，把它們分別標上數字1、2、2、1．隨機抽取一張卡片，然后放回，再隨機抽取一張卡片，則兩次抽取的卡片上數字之和為偶數的概率是()A． B．C． D．5．從1，2，3，4四個數中任取一個數作為十位上的數字，再從2，3，4三個數中任取一個數作為個位上的數字，那么組成的兩位數是3的倍數的概率是（）A． B． C． D．6．四位同學在研究函數（是常數）時，甲發現當時，函數有最小值；乙發現是方程的一個根；丙發現函數的最小值為3；丁發現當時，，已知這四位同學中只有一位發現的結論是錯誤的，則該同學是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．的值等于（）A． B． C．1 D．8．將拋物線先向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的新拋物線的表達式為（）A． B．C． D．9．如圖，在下列四個幾何體中，從正面、左面、上面看不完全相同的是A． B． C． D．10．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，點E是AB邊上的動點，過點B作直線CE的垂線，垂足為F，當點E從點A運動到點B時，點F的運動路徑長為（）A． B． C．2 D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．方程的解為________.12．方程ax2+x+1=0有兩個不等的實數根，則a的取值范圍是________.13．如圖，點是反比例函數的圖象上一點，直線過點與軸交于點，與軸交于點.過點做軸于點，連接，若的面積為，則的面積為_______．14．一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情況_______．（表述正確即可）15．在一個不透明的袋中有2個紅球，若干個白球，它們除顏色外其它都相同，若隨機從袋中摸出一個球，摸到紅球的概率是，則袋中有白球_________個.16．二次函數圖像的頂點坐標為_________．17．如圖，身高為1.8米的某學生想測量學校旗桿的高度，當他站在B處時，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，并測得AB=2米，BC=18米，則旗桿CD的高度是______米．18．把拋物線y=2x2先向下平移1個單位，再向左平移2個單位，得到的拋物線的解析式是_______.三、解答題(共66分)19．（10分）現如今，“垃圾分類”意識已深入人心，如圖是生活中的四個不同的垃圾分類投放桶，分別寫著：有害垃圾、廚余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小麗投放了兩袋垃圾．（1）直接寫出小明投放的垃圾恰好是“廚余垃圾”的概率；（2）求小麗投放的兩袋垃圾不同類的概率．20．（6分）計算：（1）sin260°﹣tan30°?cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°21．（6分）如圖，折疊邊長為的正方形，使點落在邊上的點處（不與點，重合），點落在點處，折痕分別與邊、交于點、，與邊交于點.證明：（1）；（2）若為中點，則；（3）的周長為.22．（8分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠1至∠6是六個不同位置的圓周角．（1）分別寫出與∠1、∠2相等的圓周角，并求∠1+∠2+∠3+∠4的值；（2）若∠1－∠2=∠3－∠4，求證:AC⊥BD．23．（8分）如圖，直徑為AB的⊙O交的兩條直角邊BC，CD于點E，F，且，連接BF．（1）求證CD為⊙O的切線；（2）當CF=1且∠D=30°時，求⊙O的半徑．24．（8分）某校在基地參加社會活動中，帶隊老師考問學生：基地計劃新建一個矩形的生物園地，一邊靠舊墻（墻足夠長），另外三邊用總長69米的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留有一個寬為3米的出入口，如圖所示.如何設計才能使園地的面積最大？下面是兩位同學爭議的情境：小軍：把它圍成一個正方形，這樣的面積一定最大．小英：不對啦！面積最大的不是正方形．請根據上面信息，解決問題：（1）設米（）．①米（用含的代數式表示）；②的取值范圍是；（2）請你判斷誰的說法正確，為什么？25．（10分）某商店進行促銷活動，如果將進價為8元/件的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品的單價每漲1元，其銷售量就要減少10件，問將售價定為多少元/件時，才能使每天所賺的利潤最大．并求出最大利潤．26．（10分）問題探究：（1）如圖①所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發沿圓柱的側面爬行一周到達B點，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側面沿母線AB剪開，它的側面展開圖如圖①中的矩形則螞蟻爬行的最短路程即為線段的長）（2）如圖②所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發沿圓錐的側面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程．（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點出發沿圓錐的側面爬行一周到達母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解析】試題分析：∵，∴．又∵，∴．解這個分式方程并檢驗，得．故選A．2、C【分析】在中，利用∠BAC的正弦解答即可．【詳解】解：在中，，，(米)，∵，(米)．故選．【點睛】本題考查了三角函數的應用，屬于基礎題型，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵．3、C【解析】試題解析：x2-x=0，x（x-1）=0，x=0或x-1=0，所以x1=0，x2=1．故選C．考點：解一元二次方程-因式分解法．4、D【解析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果數，找出兩次抽取的卡片上數字之和為偶數的結果數，然后根據概率公式求解．【詳解】畫樹狀圖為：共有16種等可能的結果數，其中兩次抽取的卡片上數字之和為偶數的結果數為10，所以兩次抽取的卡片上數字之和為偶數的概率．故選D．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法．利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．5、B【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與組成的兩位數是3的倍數的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】畫樹狀圖得：

∵共有12種等可能的結果，組成的兩位數是3的倍數的有4種情況，

∴組成的兩位數是3的倍數的概率是：．故選：B【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．6、B【分析】利用假設法逐一分析，分別求出二次函數的解析式，再判斷與假設是否矛盾即可得出結論．【詳解】解：A．假設甲同學的結論錯誤，則乙、丙、丁的結論都正確由乙、丁同學的結論可得解得：∴二次函數的解析式為：∴當x=時，y的最小值為，與丙的結論矛盾，故假設不成立，故本選項不符合題意；B．假設乙同學的結論錯誤，則甲、丙、丁的結論都正確由甲、丙的結論可得二次函數解析式為當x=2時，解得y=4，當x=-1時，y=7≠0∴此時符合假設條件，故本選項符合題意；C．假設丙同學的結論錯誤，則甲、乙、丁的結論都正確由甲乙的結論可得解得：∴當x=2時，解得：y=-3，與丁的結論矛盾，故假設不成立，故本選項不符合題意；D．假設丁同學的結論錯誤，則甲、乙、丙的結論都正確由甲、丙的結論可得二次函數解析式為當x=-1時，解得y=7≠0，與乙的結論矛盾，故假設不成立，故本選項不符合題意．故選B．【點睛】此題考查的是利用待定系數法求二次函數解析式，利用假設法求出b、c的值是解決此題的關鍵．7、A【分析】根據特殊角的三角函數值，即可得解.【詳解】.故選：A.【點睛】此題屬于容易題，主要考查特殊角的三角函數值.失分的原因是沒有掌握特殊角的三角函數值.8、D【分析】根據拋物線的平移規律：左加右減，上加下減，即可得解.【詳解】由題意，得平移后的拋物線為故選：D.【點睛】此題主要考查拋物線的平移規律，熟練掌握，即可解題.9、B【解析】根據常見幾何體的三視圖解答即可得．【詳解】球的三視圖均為圓，故不符合題意；正方體的三視圖均為正方形，故不符合題意；圓柱體的主視圖與左視圖為長方形，俯視圖為圓，故符合題意；圓錐的主視圖與左視圖為等腰三角形，俯視圖為圓，故符合題意，故選B.【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，解題的關鍵是熟練掌握三視圖的定義和常見幾何體的三視圖．10、B【分析】如圖，根據圓周角定理可得點F在以BC為直徑的圓上，根據菱形的性質可得∠BCM=60°，根據圓周角定理可得∠BOM=120°，利用弧長公式即可得答案.【詳解】如圖，取的中點，中點M，連接OM，BM，∵四邊形是菱形，∴BM⊥AC，∴當點與重合時，點與中點重合，∵，∴點的運動軌跡是以為直徑的圓弧，∵四邊形是菱形，，∴，∴，∴的長.故選：B.【點睛】本題考查菱形的性質、圓周角定理、弧長公式及軌跡，根據圓周角定理確定出點F的軌跡并熟練掌握弧長公式是解題關鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【解析】這個式子先移項，變成x2=9，從而把問題轉化為求9的平方根．【詳解】解：移項得x2=9，

解得x=±1．

故答案為．【點睛】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法，解這類問題要移項，把所含未知數的項移到等號的左邊，把常數項移項等號的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數的開方直接求解．注意：

（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數，先把系數化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．

（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．12、且a≠0【解析】∵方程有兩個不等的實數根，∴，解得且.13、【分析】先由△BOC的面積得出①，再判斷出△BOC∽△ADC，得出②，聯立①②求出，即可得出結論．【詳解】設點A的坐標為，

∴，

∵直線過點A并且與兩坐標軸分別交于點B，C，

∴，∴，，

∵△BOC的面積是3，

∴，

∴，

∴①

∵AD⊥x軸，

∴OB∥AD，

∴△BOC∽△ADC，

∴，

∴，

∴②，

聯立①②解得，(舍)或，

∴．故答案為：．【點睛】本題是反比例函數與幾何的綜合題，主要考查了坐標軸上點的特點，反比例函數上點的特點，相似三角形的判定和性質，得出是解本題的關鍵．14、有兩個正根【分析】將原方程這里為一元二次方程的一般形式直接解方程或者求判別式與0的關系都可解題．【詳解】解：(x+1)(x-3)=2x-5整理得：，即，配方得：，解得：，，∴該一元二次方程根的情況是有兩個正跟；故答案為：有兩個正根．【點睛】此題考查解一元二次方程，或者求判別式與根的個數的關系．15、6【分析】根據概率公式結合取出紅球的概率即可求出袋中球的總個數.【詳解】解：設袋中有x個球.根據題意得，解得x=8（個），8-2=6個，∴袋中有8個白球.故答案為：6.【點睛】此題考查了概率的計算方法，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．16、（，）【分析】用配方法將拋物線的一般式轉化為頂點式，確定頂點坐標即可．【詳解】∵

∴拋物線頂點坐標為．

故本題答案為：．【點睛】本題考查了拋物線解析式與頂點坐標的關系，求頂點坐標可用配方法，也可以用頂點坐標公式．17、1．【詳解】解：∵BE⊥AC，CD⊥AC，∴△ABE∽△ACD，解得：故答案為1.點睛：同一時刻，物體的高度與影長的比相等.18、y＝2（x＋2）2﹣1【解析】直接根據“上加下減、左加右減”的原則進行解答即可．【詳解】由“左加右減”的原則可知,二次函數y＝2x2的圖象向下平移1個單位得到y＝2x2?1，由“上加下減”的原則可知,將二次函數y＝2x2?1的圖象向左平移2個單位可得到函數y＝2(x＋2)2?1，故答案是：y＝2(x＋2)2?1.【點睛】本題考查的是二次函數圖象與幾何變換，熟練掌握規律是解題的關鍵.三、解答題(共66分)19、（1）；（2）．【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是“廚余垃圾”的概率；（2）首先利用樹狀圖法列舉出所有可能，進而利用概率公式求出答案．【詳解】解：（1）將有害垃圾、廚余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分別記為A，B，C，D，∵小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是B類：廚余垃圾的概率為：；（2）畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，小麗投放的垃圾共有16種等可能結果，其中小麗投放的兩袋垃圾不同類的有12種結果，所以小麗投放的兩袋垃圾不同類的概率為＝．【點睛】本題考查樹狀圖法求概率，正確利用列舉出所有可能是解題關鍵．20、（1）；（2）2.【解析】根據特殊角的銳角三角函數的值即可求出答案．【詳解】（1）原式＝（）2﹣×+1＝﹣+1＝，（2）原式＝（cos245°+sin245°）+（sin254°+cos254°）＝1+1＝2【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，解題的關鍵是熟練運用特殊角的銳角三角函數的定義．21、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【分析】（1）根據折疊和正方形的性質結合相似三角形的判定定理即可得出答案；（2）設BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性質證明即可得出答案；（3）設BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性質即可得出答案.【詳解】證明：（1）∵四邊形是正方形，∴，∴，∵為折痕，∴，∴，∴，在與中∵，，∴；（2）∵為中點，∴，設，則，在中，，∴，即，∴，∴，，由（1）知，，∴，∴，，∴；（3）設，則，，在中，，∴，即，解得：，由（1）知，，∴，∵，∴.【點睛】本題考查的是相似三角形的綜合，涉及的知識點有折疊的性質、正方形的性質、勾股定理和相似三角形，難度系數較大.22、（1）∠6=∠1，∠5=∠2，1°；（2）詳見解析【分析】（1）根據圓的性質可得出與∠1、∠2相等的圓周角，然后計算∠1+∠2+∠3+∠4可得；（2）先得出∠1+∠4=90°，從而得出∠6+∠4=90°，從而證垂直．【詳解】（1）∵∠1和∠6所對應的圓弧相同，∴∠1=∠6同理，∠2=∠∠5∵∠1=∠6，∠2=∠5∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠6+∠5+∠3+∠4=1°；（2）∵∠1－∠2=∠3－∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3∵∠1+∠2+∠3+∠4=1°∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°∵∠1=∠6∴∠6+∠4=90°∴AC⊥BD．【點睛】本題考查圓周角的特點，同弧或等弧所對應的圓周角相等，解題關鍵是得出∠1+∠2+∠3+∠4=1．23、（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接OF，只要證明OF∥BC，即可推出OF⊥CD，由此即可解決問題；（2）連接AF，利用∠D=30°，求出∠CBF=∠DBF=30°，得出BF=2，在利用勾股定理得出AB的長度，從而求出⊙O的半徑．【詳解】(1)連接OF，∵，∴∠CBF=∠FBA，∵OF=OB，∴∠FBO=∠OFB，∵點A、O、B三點共線,∴∠CBF=∠OFB，∴BC∥OF，∴∠OFC+∠C=180°，∵∠C=90°，∴∠OFC=90°，即OF⊥DC，∴CD為⊙O的切線；(2)連接AF，∵AB為直徑，∴∠AFB=90°，∵∠D=30°，∴∠CBD=60°，∵，∴∠CBF=∠DBF=∠CBD=30°，在，CF=1，∠CBF=30°，∴BF=2CF=2，在,∠ABF=30°，BF=2，∴AF=AB，∴AB2=(AB)2+BF2，即AB2=4，∴，⊙O的半徑為；【點睛】本題考查切線的判定、直角三角形30度角的性質、勾股定理，直徑對的圓周角為90°等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．24、（1）①；②；（2）小英的說法正確，理由見解析【分析】(1)①根據題意表示出來即可;②由題意列出不等式解出即可.(2)先用公式算出面積,再利用配方法求最值即可判斷.【