本章首先建立連續時間LTI系統的數學模型---常系數線性微分方程。然后，復習微分方程經典解法，即先求齊次解和特解，再由初始條件求待定系數。為了理解系統響應的物理特性，將系統的全響應分解為零輸入響應和零狀態響應。僅由起始狀態引起的零輸入響應，可通過求解齊次微分方程得到；零狀態響應的求解那么用卷積方法。沖激響應和階躍響應是兩種很重要的零狀態響應，在求解系統響應和進行系統特性分析都起到了很重要的作用。第2章系統的時域分析---導讀本章主要內容2.1連續LTI系統的數學模型2.2

經典的微分方程的求解方法2.3零狀態響應和零輸入響應2.4

系統的沖激響應和階躍響應2.5離散LTI系統的模型與求解第11講離散LTI系統的時域分析離散系統的時域分析

離散系統的差分方程描述離散系統的時域經典分析法離散系統的零輸入響應和零狀態響應離散系統的沖激響應和階躍響應離散系統與連續系統的比較連續系統離散系統描述微分方程差分方程求解系統分析運算卷積積分卷積和根本信號根本響應離散時間系統根本概念離散時間系統的定義：鼓勵、響應均為離散時間信號的系統。離散時間系統f(n)y(n)y(n)=T{f(n)}離散時間系統的分類：

線性系統非線性系統

因果系統非因果系統

時不變系統時變系統線性：齊次性、可加性均成立；時不變性離散系統的差分方程描述差分方程式中N為差分方程的階數，ai和bj為實常數LTI離散系統的數學模型是N階常系數線性差分方程離散系統的差分方程描述例1：某人每月初均存入銀行固定款f(n)，月息為a

，每月本息不取，試求第n個月初存入款時的本息之和y(n)為多少？y(n)=(1+a)y(n-1)+f(n)y(n)-(1+a)y(n-1)=f(n)差分方程的一般形式

〔1〕N階前向差分方程〔2〕N階后向差分方程差分方程的解法2.零輸入響應+零狀態響應零輸入響應：特征方程-特征根-齊次解形式-待定系數零狀態響應：卷積和1.時域經典法：齊次解+特解3.z變換法反變換y(n)差分方程時域經典分析法

與微分方程經典解類似，差分方程的解由齊次解和特解兩局部組成。

齊次解用yc(n)

表示；特解用yp(n)

表示，即:經典解法根本步驟1)寫出特征方程，并求出特征根；2〕根據特征根，求對應齊次方程齊次解yc(n)；3〕根據鼓勵形式、特征根，寫出差分方程的特解形式，代入差分方程，求非齊次方程特解yp(n)；4〕寫出差分方程通解y(n)=yc(n)+yp(n)；5〕根據初始值確定y(n)中yc(n)局部的待定系數；6〕將上步得到的系數帶入通解表達式。1.齊次解yc(n)〔自由響應〕齊次解是齊次差分方程的解。yc(n)

的函數形式差分方程的特征根確定。系統特征方程：1〕假設特征根為相異單根齊次解形式為：

2〕假設特征根包含一個m階重根p1，其它為單根齊次解形式為：

2.特解yp(n)〔強迫響應〕特解的函數形式與鼓勵信號的形式有關。鼓勵特解形式〔r與特征根重〕〔r與特征根不相重〕例：描述系統的差分方程為：

初始條件y(0)=0，y(1)=2，求系統的響應y(n)。代入差分方程：解：可得〔4〕代入初始條件：C1=2/3，C2=-1零輸入響應和零狀態響應

系統的全響應y(n)可以分解為零輸入響應yzi(n)和零狀態響應yzs(n)

。y(n)=yzi(n)+yzs(n)零輸入響應和零狀態響應可以分別求解。零輸入響應在零輸入條件下，系統差分方程可寫為齊次方程：其特征方程為

解得個特征根為、、…、。零輸入響應〔1〕假設這些特征根都是單根，那么零輸入響應為〔2〕假設特征根中含有重根，那么零輸入響應為待定系數可利用個起始狀態值得到。

零狀態響應在零狀態情況下，系統的差分方程的形式為類似于連續系統，離散LTI系統的零狀態響應為強迫函數為特征函數為零輸入響應與零狀態響應求零輸入響應、零狀態響應和全響應。

解〔1〕求零輸入響應。特征方程為

那么零輸入響應為利用初始條件，

零輸入響應與零狀態響應求零輸入響應、零狀態響應和全響應。

解〔2〕求零狀態響應。系統的特征函數為

那么零狀態響應為強迫函數為

零輸入響應與零狀態響應求零輸入響應、零狀態響應和全響應。

解〔3〕全響應。

離散LTI系統的沖激響應與階躍響應離散系統對單位序列

(n)的零狀態響應，稱為系統的單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為h(n)

。

沖激響應：〔單位沖激響應〕

(n)h(n)階躍響應：〔單位階躍響應〕離散系統對單位序列的零狀態響應，稱為系統的單位階躍響應，簡稱階躍響應，記為s(n)

。

s(n)離散LTI系統的沖激響應與階躍響應單位沖激響應與單位階躍響應都是零狀態響應。根據零狀態響應的求法易得沖激響應與單位階躍響應的關系

利用h(n)求解零狀態響應yzs(n)

任意序列的時域分解：任意離散序列f(n)可表示為：任意序列作用下的零狀態響應

(n)h(n)

(n-k)

f(k)

(n-k)f(k)h