新授課6.5正態(tài)分布

前面討論了離散型隨機(jī)變量，它們的取值是可以一一列舉的.但在實(shí)際問(wèn)題中，還有許多隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間中的所有值.例如：1.某一自動(dòng)裝置無(wú)故障運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間X是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取區(qū)間(0，+∞)內(nèi)的所有值.2.某種產(chǎn)品的壽命(使用時(shí)間)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取區(qū)間[0,b]或[0，+∞)內(nèi)的所有值.怎樣描述這樣的隨機(jī)變量的分布情況呢？1.利用實(shí)際問(wèn)題的頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義.2.了解正態(tài)分布的均值、方差及3σ原則，會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問(wèn)題.

設(shè)X表示某產(chǎn)品的壽命(單位：h)人們對(duì)該產(chǎn)品有如下的了解：壽命小于500h的概率為0.71，壽命在500h~800h的概率為0.22，壽命在800h~1000h的概率為0.07，怎樣描述X的分布情況呢？根據(jù)已知可畫(huà)出圖1的頻率分布直方圖.圖1缺點(diǎn)：比較粗糙.將區(qū)間分得更細(xì)圖2將區(qū)間無(wú)限細(xì)分，得到一條曲線(xiàn).圖3這條曲線(xiàn)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布密度曲線(xiàn)，這條曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為X的分布密度函數(shù)，記為f(x).如果知道了隨機(jī)變量X的分布密度曲線(xiàn)，則X取值于區(qū)間(a，b]的概率是該曲線(xiàn)下相應(yīng)“曲邊梯形”(如圖3中的陰影部分)的面積.

人們把具有分布密度函數(shù)的隨機(jī)變量稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，最常見(jiàn)的一類(lèi)連續(xù)型隨機(jī)變量是由誤差引起的.一般地，誤差在0附近的概率大，遠(yuǎn)離0的概率小，誤差大于0的概率與小于0的概率相同，即誤差的分布具有對(duì)稱(chēng)性.因此，這一類(lèi)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度曲線(xiàn)一般是形狀像“鐘”的光滑曲線(xiàn)(如圖4)圖4概念生成

由誤差引起的連續(xù)型隨機(jī)變量其分布密度函數(shù)圖象如圖4，對(duì)應(yīng)的分布密度函數(shù)解析式為其中實(shí)數(shù)μ，σ(σ>0)為參數(shù)，這一類(lèi)隨機(jī)變量X的分布密度(函數(shù))稱(chēng)為正態(tài)分布密度(函數(shù))，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)分布，對(duì)應(yīng)的圖象為正態(tài)分布密度曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為正態(tài)曲線(xiàn).

正態(tài)分布是最常見(jiàn)、最重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，是刻畫(huà)誤差分布的重要模型，因此也稱(chēng)為誤差模型.如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，那么這個(gè)正態(tài)分布完全由參數(shù)μ，σ(σ>0)確定，記為X~N(μ，σ2).其中EX=μ,DX=σ2.曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1.

正態(tài)分布的特點(diǎn)：如果一個(gè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，那么對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X在區(qū)間(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)來(lái)表示.它的幾何意義就是隨機(jī)變量X的分布密度曲線(xiàn)在區(qū)間(a,b]對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的值(如圖).

正態(tài)曲線(xiàn)有如下性質(zhì)：(1)曲線(xiàn)在x軸的上方，與x軸不相交.(2)曲線(xiàn)是單峰的，關(guān)于直線(xiàn)x=μ對(duì)稱(chēng).(3)曲線(xiàn)的最高點(diǎn)位于x=μ處.(4)當(dāng)x<μ時(shí)，曲線(xiàn)上升；當(dāng)x>μ時(shí)，曲線(xiàn)下降；并且當(dāng)曲線(xiàn)向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近線(xiàn)(如圖).

思考：一個(gè)正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，這兩個(gè)參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線(xiàn)的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?(1)當(dāng)參數(shù)σ取定值時(shí)：μ3=-1μ1=0μ2=1xy若σ固定，圖像位置隨μ值的變化而沿x軸平移σ=1

為位置參數(shù)

2

=0.5

1

=1

3=2μ=0

xy(2)當(dāng)參數(shù)μ取定值時(shí)：若μ固定，σ越大，曲線(xiàn)越“矮胖”，表示總體的分布越分散； σ越小，曲線(xiàn)越“高瘦”，表示總體的分布越集中.

為形狀參數(shù)

一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示，下列說(shuō)法中正確的是（）A.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B.丙科總體的平均數(shù)最小C.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都比甲小，比丙大D.甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同練一練A

(μ-σ，μ+σ]：68.3%,(μ-2σ，μ+2σ]：95.4%,(μ-3σ，μ+3σ]：99.7%.在區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ]外取值的概率為：1-99.7%=0.3%.

特別地，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，認(rèn)為是小概率事件.因此，在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ)的隨機(jī)變量X只取區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ]之間的值，并稱(chēng)之為3σ原則.例1根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的函數(shù)解析式，找出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ.(1);(2)(1)μ=0,σ=1;解:將所給的函數(shù)解析式與正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式對(duì)照可得.(2)μ=1,σ=.例2某設(shè)備在正常運(yùn)行時(shí)，產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，其參數(shù)分別為μ=500g,σ=1g.為了檢查設(shè)備運(yùn)行是否正常，質(zhì)量檢查員需要隨機(jī)地抽取產(chǎn)品，測(cè)量其質(zhì)量.當(dāng)檢查員隨機(jī)地抽取一個(gè)產(chǎn)品，測(cè)得其質(zhì)量為504g時(shí)，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備，他的決定是否有道理？解:∵產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，μ=500g,σ=1g,∴根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知產(chǎn)品質(zhì)量在區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ],即（497,503]之間的概率約為99.7%，而產(chǎn)品的質(zhì)量超出這個(gè)范圍的概率只有0.3%，這是一個(gè)幾乎不可能發(fā)生的事件.而504g不在這個(gè)范圍內(nèi),這說(shuō)明設(shè)備的運(yùn)行可能不正常，因此檢查員的決定是有道理的. 某廠(chǎng)生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4,0.52).質(zhì)檢人員從該廠(chǎng)生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查1件，測(cè)得它的外直徑為5.7cm，試問(wèn)：該廠(chǎng)生產(chǎn)的這批零件是否合格？解:由于外直徑X~N(4,0.52)，則X在[4-3×0.5,4+3×0.5]之內(nèi)取值的概率為99.7%，在[2.5,5.5]之外