專題7.2平行線中的動點問題1．直線、被直線所截，，點是平面內一動點．設，，．（1）若點在直線上，如圖①，，則50；（2）若點在直線、之間，如圖②，試猜想、、之間的等量關系并給出證明；（3）若點在直線的下方，如圖③，（2）中、、之間的關系還成立嗎？請作出判斷并說明理由．【解答】解：（1），，故答案為：50；（2），證明：過點作，，，，；（3），證明：過點作，，，，，．2．動手操作：如圖①：將一副三角板中的兩個直角頂點疊放在一起，其中，，．（1）若，求的度數；（2）試猜想與的數量關系，請說明理由；（3）若按住三角板不動，繞頂點轉動三角板，試探究當時，等于多少度，并簡要說明理由．【解答】解：（1），，；（2），理由如下：，，，；（3）當時，或；理由如下：①當時，，如圖2所示：；②當時，；如圖3所示：；綜上所述，當時，或．3．如圖1，已知，點在上，連接．過點作，連接．（1）若，則；（2）如圖2，平分，射線的反向延長線交的平分線于點，試探究與之間的數量關系并說明理由．（3）在（1）的條件下，點為直線上的一動點，連接，直接寫出與之間的數量關系．（題中所有角都是大于且小于的角）【解答】解：（1），，，，，故答案為：；（2），理由如下：平分，，，，，平分，，，，，，；（3）分三種情況討論，①如圖，，，，；②如圖，，，，③如圖，，，，，，，，綜上所述，或或．4．已知直線與互相垂直，垂足為，點在射線上運動，點在射線上運動，點，均不與點重合．（1）如圖1，平分，平分．若，則135．（2）如圖2，平分交于點，平分，的反向延長線交的延長線于點．①若，則．②在點，的運動過程中，的大小是否會發生變化？若不變，求出的度數；若變化，請說明理由．（3）如圖3，已知點在的延長線上，的平分線，的平分線與的平分線所在的直線分別相交于點，．在中，如果有一個角的度數是另一個角的3倍，請直接寫出的度數．【解答】解：（1），，，平分，平分，，，；（2）①，，，平分，平分，，，，②不變，理由：平分，平分，，，，（3）平分，平分，，，，平分，，，分兩種情況：當時，，，當時，，，綜上所述，為或．5．如圖1，點、分別在射線、上運動（不與點重合），、分別是和的角平分線，延長線交于點．（1）若，則；（直接寫出答案）（2）若，求出的度數；（用含的代數式表示）（3）如圖2，若，過點作交于點，求與的數量關系．【解答】解：（1），，、分別是和的角平分線，，，，，故答案為：；（2），，、分別是和的角平分線，，，，；（3），，．6．已知：如圖所示，直線，另一直線交于，交于，且，點為直線上一動點，點為直線上一動點，且．（1）如圖1，當點在點右邊且點在點左邊時，的平分線交的平分線于點，求的度數；（2）如圖2，當點在點右邊且點在點右邊時，的平分線交的平分線于點，求的度數；（3）當點在點左邊且點在點左邊時，的平分線交的平分線所在直線交于點，請直接寫出的度數，不說明理由．【解答】解：（1）如圖1，過點作．．．平分．．，（兩直線平行，內錯角相等）．同理可證．．．（2）如圖2，過點作．．．平分．．，（兩直線平行，同旁內角互補）．平分．（兩直線平行，內錯角相等）．．（3）如圖3，過點作．平分．（兩直線平行，內錯角相等）．平分．．．（兩直線平行，同旁內角互補）．；如圖4，同理得：，，；如圖5，，；綜上，的度數為或．7．如圖，已知，．點是射線上一動點（與點不重合），、分別平分和，分別交射線于點，．（1）的度數是，的度數是；（2）當點運動時，與之間的數量關系是否隨之發生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由；若變化，請寫出變化規律；（3）當點運動到使時，的度數是多少？【解答】解：（1），，，；平分，平分，，，，，故答案為：，；（2）不變，，，，，平分，，；（3），，當時，則有，，由（1），，，，故答案為：．8．如圖1，直線與直線垂直相交于，點在直線上運動，點在直線上運動，、分別是和的角平分線．（1）；（2）如圖2，若是的外角的角平分線，與相交于點，點、在運動的過程中，的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出其值；（3）如圖3，過作直線與交于，且滿足，求證：．【解答】（1）解：，，、分別是和的角平分線，，，，，故答案為：；（2）解：的大小不發生變化，是的外角，，，，平分，，是的外角，，；（3）證明：，，，是的外角，，，，，．9．（問題背景），點、分別在、上運動（不與點重合）．（問題思考）（1）如圖①，、分別是和的平分線，隨著點、點的運動，．（2）如圖②，若是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點．①若，則．②隨著點、的運動，的大小會變嗎？如果不會，求的度數；如果會，請說明理由；（問題拓展）（3）在圖②的基礎上，如果，其余條件不變，隨著點、的運動（如圖③，．（用含的代數式表示）【解答】解：（1），，、分別是和角的平分線，，，，；故答案為：；（2）①，，，，是的平分線，，平分，，，故答案為：45；②的度數不隨、的移動而發生變化，設，平分，，，，平分，，，；（3）設，平分，，，，平分，，，；故答案為：．10．問題情境（1）如圖1，已知，，，求的度數．佩佩同學的思路：過點作，進而，由平行線的性質來求，求得80；問題遷移（2）圖2，圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，，，與相交于點，有一動點在邊上運動，連接，，記，．①如圖2，當點在，兩點之間運動時，請直接寫出與，之間的數量關系；②如圖3，當點在，兩點之間運動時，與，之間有何數量關系？請判斷并說明理由．【解答】解：（1）過點作，則，由平行線的性質可得，，又，，，故答案為：80；（2）①如圖2，與，之間的數量關系為；②如圖3，與，之間的數量關系為；理由：過作，，，，，．11．，點，分別在射線、上運動（不與點重合）．（1）如圖①，、分別是和的平分線，隨著點、點的運動，135；（2）如圖②，若是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點．①若，則；②隨著點，的運動，的大小是否會變化？如果不變，求的度數；如果變化，請說明理由．【解答】解：（1）直線與直線垂直相交于，，，、分別是和角的平分線，，，，；故答案為：135；（2）①，，，，是的平分線，，平分，，，故答案為：45；②的度數不隨、的移動而發生變化，設，平分，，，，平分，，，．12．如圖所示，有一塊直角三角板（足夠大），其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經過、．（1）若，則140，．（2）若，則．（3）請你猜想一下與所滿足的數量關系．【解答】解：（1）在中，，，在中，，，；故答案為：140；90；50．（2）在中，，，在中，，，，故答案為：35；（3）與之間的數量關系為：．證明如下：在中，．在中，．．，故答案為：．13．已知直線與互相垂直，垂足為，點在射線上運動，點在射線上運動，點、均不與點重合．【探究】如圖1，平分，平分．①若，則25．②在點、的運動過程中，的大小是否會發生變化？若不變，求出的度數；若變化，請說明理由．【拓展】如圖2，平分交于點，平分，的反向延長線交的延長線于點．在點、的運動過程中，的大小是否會發生變化？若不變，直接寫出的度數；若變化，直接寫出的度數的變化范圍．【解答】解：【探究】①，，，，平分，；故答案為：25；②不變，．平分，平分，，，，直線與互相垂直，垂足為，，．【拓展】不變，，理由如下：平分，平分，，，，，，點、在運動的過程中，．14．已知：如圖，，點是射線上的一個動點，點是射線上的一個動點，是的平分線，的反向延長線與的平分線相交于點．（1）當時，求的度數；（2）試問動點，分別在射線，上的運動過程中，的大小是否發生變化？如果保持不變，請給出證明；如果隨點，的運動發生變化，請求出變化的范圍．【解答】解：（1），，，平分，平分，，，，，的度數為；（2）的大小不變化．理由：平分，平分，，，，，，，的大小不發生變化．15．將一副三角板中的兩個直角頂點疊放在一起（如圖），其中，，．（1）若，求的度數；（2）試猜想與的數量關系，請說明理由；（3）若三角板保持不動，繞頂點轉動三角板，在轉動過程中，試探究等于多少度時，？請你直接寫出答案．【解答】解：（1），，，；（2），理由如下：，，；（3）當或時，．如圖②，根據同旁內角互補，兩直線平行，當時，，此時；如圖③，根據內錯角相等，兩直線平行，當時，．16．如圖1，已知兩條直線，被直線所截，分別交于點，點，平分交于點，且．（1）猜想直線與直線有怎樣的位置關系？說明你的理由；（2）若點為直線上一動點（不與點，重合），平分交于點，過點作于點，設，．①如圖2，當點在射線上運動時，若，求的度數；②當點在直線上運動時，請直接寫出和的數量關系．【解答】解：（1）結論：．理由：如圖1中，平分交于點，，．，．（2）①如圖2中，，，，，，，，，．②結論：或．理由：當點在的右側時，可得．，，，，，，，，．當點在上時，可得．理由：，，又平分，平分，，，，又，中，，即；當點在點的左側時，可得．理由：，，又平分，平分，，，，又，中，，即．17．，點，分別在射線、上運動（不與點重合）．（1）如圖1，平分，平分，若，求的度數．（2）如圖2，平分，平分，的反向延長線交于點．①若，則45；②點、在運動的過程中，是否發生變化，若不變，試求的度數；若變化，請說明變化規律．【解答】解：（1），，，，平分，平分，，，．（2）①，平分，平分，，，，，故答案為：45．②不變，理由：，點、在運動的過程中，．18．已知：直線，為直線上的一個定點，過點的直線交于點，點在線段的延長線上．，為直線上的兩個動點，點在點的左側，連接，，滿足．點在上，且在點的左側，點在直線上．（1）如圖1，若，，直接寫出的度數；（2）射線為的角平分線．①如圖2，當點在點右側時，用等式表示與之間的數量關系，并證明；②當點與點不重合，且時，直接寫出的度數．【解答】解：（1）如圖所示：，，，，，，故答案為：；（2）①，證明：，，，又平分，，，，．即；②Ⅰ、如圖所示：點在點右側，此時有，，，又，，；Ⅱ如圖所示，點在點左側，點在點右側，平分，，，，，，，，，，又，，；Ⅲ如圖，、均在點左側，此時，，，，．綜上所述：或．故答案為：或．19．在中，射線平分交于點，點在邊上運動（不與點重合），過點作交于點．（1）如圖1，點在線段上運動時，平分①若，，則；若，則；②試探究與之間的數量關系？請說明理由；（2）點在線段上運動時，的角平分線所在直線與射線交于點試探究與之間的數量關系，并說明理由．【解答】解：（1）①若，，則，，，平分，平分，，，，；若，則，平分，平分，，，，；故答案為：；；②；理由如下：由①得：，，，，；（2）如圖2所示：；理由如下：由（1）得：，，，，．20．如圖，，定點，分別在直線，上，在平行線，之間有一個動點，滿足．（1）試問：，，滿足怎樣的數量關系？解：由于點是平行線，之間一動點，因此需對點的位置進行分類討論．①如圖1，當點在的左側時，猜想，，滿足的數量關系，并說明理由；②如圖2，當點在的右側時，直接寫出，，滿足的數量關系為．（2）如圖3，，分別平分，，且點在左側．①若，則的度數為；②猜想與的數量關系，并說明理由．【解答】解：（1）①如圖1，當點在的左側時，過點作，則，，，，當點在的右側時，過點作，則，，，，即，；故答案為：；（2）①，則，由（1）知，，分別平分和，，，故，故答案為；②．理由：如圖3，，分別平分和，設：，，則，，即：．21．點在射線上，點、為射線上兩個動點，滿足，，平分．（1）如圖1，當點在右側時，求證：；（2）如圖2，當點在左側時，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，為延長線上一點，平分，交于點，平分，交于點，連接，若，，則的度數為．【解答】證明：（1）平分，．又，．．．，．．（2）過點作，交于點，如圖，，．，，，．（3）設，則，．．平分，．．．，．．，．，，解得：．，故答案為：．22．如圖1，已知兩條直線，被直線所截，分別交于點，點，平分交于點，且．（1）判斷直線與直線是否平行，并說明理由；（2）如圖2，點是射線上一動點（不與點，重合），平分交于點，過點作于點，設，．①當點在點的右側時，若，求的度數；②當點在運動過程中，和之間有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明．【解答】解：（1）平分，又，，；（2）①如圖2，，，又平分，平分，，，又，中，，即；②點是射線上一動點，故分兩種情況討論：如圖2，當點在點的右側時，．證明：，，又平分，平分，，，又，中，，即；如圖3，當點在點的左側時，．證明：，，又平分，平分，，，又，中，，即．23．【課本再現】（1）如圖1，在中，線經過點且．求證：．【變式演練】（2）如圖2，在中，，點在邊上，交于點．若，求的度數．【方法應用】（3）如圖3，直線與直線相交于點，夾角的銳角為，點在直線上且在點右側，點在直線上且在直線上方，點在直線上且在點左側運動，點在射線上運動（不與點、重合）．當時，平分，平分交直線于點，求的度數．【解答】解：【課本再現】（1）如圖1中，，，，，．【變式演練】（2）如圖2中，，，，；【方法應用】當點在點的上方時，，，平分，平分，，，由三角形外角的性質可得：，，，即．當點在點的下方時，如圖中，可得綜上所述，或．24．如圖，，點．分別在、上運動（不與點重合）．（1）如圖1，，是的平分線，的反方向延長線與的平分線交于點．①若，則45．②猜想：的度數是否隨，的移動發生變化？并說明理由．（2）如圖2，”，，，其余條件不變，則（用含、的代數式表示）【解答】解：（1）①、，，平分、平分，，，，故答案為：45；②的度數不變．理由是：設，平分，，，，平分，，；（2）設，，，，，，，，故答案為：．25．（1）如圖1，，，．求度數；（2）如圖2，，點在射線上運動，當點在、兩點之間運動時，，．、、之間有何數量關系？請說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點在、兩點外側運動時（點與點、、三點不重合），請你寫出、、間的數量關系，并說明理由．【解答】解：（1）如圖1，過點作．．，．．．．．（2）如圖2，過點作．，即．，，．，即．．．（3）當在的左側，如圖3．，．又，，即．當在的右側，如圖4．，．又，．．26．如圖1，于點，．（1）求證：；（2）如圖2，點從點出發，沿線段運動到點停止，連接，．則，，三個角之間具有怎樣的數量關系（不考慮點與點，，重合的情況）？并說明理由．【解答】解：（1）如圖1，于點，，又，，．（2）如圖2，當點在，之間時，過作，，，，，；如圖所示，當點在，之間時，過作，，，，，；如圖所示，當點在，之間時，過作，，，，，．27．新定義：在中，若存在一個內角是另外一個內角度數的倍為大于1的正整數），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為2倍角三角形．（1）在中，，，則為3倍角三角形．（2）如圖1，直線與直線相交于，，點、點分別是射線、上的動點；已知、的角平分線交于點，在中，如果有一個角是另一個角的2倍，請求出的度數．（3）如圖2，直線直線于點，點、點分別在射線、上，已知、的角平分線分別與的角平分線所在的直線交于點、，若為3倍角三角形，試求的度數．【解答】解：（1），，，，為3倍角三角形，故答案為：3；（2）解：，．又平分，平