專題14導數的應用-【好題匯編】備戰2023-2024學年高二數學上學期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第二冊）含解析專題14導數的應用函數的單調性問題1．（2023上·寧夏銀川·高二銀川一中校考期末）已知定義在上的函數滿足：函數的圖象關于直線對稱，且當時，（是函數的導函數）成立.若，，，則的大小關系是（

）A． B． C． D．2．（2023上·陜西西安·高二校考期末）函數的圖象如圖，則導函數的圖象可能是下圖中的（

）A． B．C． D．3．（2023上·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考期末）已知函數在定義域內單調遞減，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023上·山西陽泉·高二統考期末）函數的單調遞增區間為（

）A． B． C． D．5．（2023上·江蘇南京·高二南京師大附中校考期末）設m為實數，已知函數，則不等式的解集為6．（2023上·浙江寧波·高二統考期末）設函數（m為實數），若在上單調遞減，則實數m的取值范圍．7．（2023上·福建福州·高二福州三中校考期末）寫出一個同時具備下列性質①②的函數：．①；②．8．（2023上·江蘇南京·高二南京大學附屬中學校考期末）已知函數，其中.(1)當時，求曲線在點處切線的方程；(2)試討論函數的單調區間.函數的極值問題9．（2023上·湖南張家界·高二統考期末）若函數有兩個不同的極值點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．（2023上·江蘇·高二統考期末）在等比數列中，是函數的極值點，則a5＝（

）A．或 B． C． D．11．（2023上·北京朝陽·高二統考期末）已知函數有兩個極值點，則（

）A．或B．是的極小值點C． D．12．（2023上·內蒙古赤峰·高二統考期末）已知，則（

）A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．有極大值，無極小值 D．有極小值，無極大值13．（2023上·寧夏銀川·高二銀川一中校考期末）已知函數，則的極大值為14．（2023上·四川資陽·高二統考期末）函數在區間上的極大值點是.15．（2023上·吉林·高二校聯考期末）若是函數的極大值點，則的取值范圍是．16．（2023上·山西晉中·高二山西省平遙中學校校考期末）已知函數．(1)求的單調區間；(2)求的極值．函數的最值問題17．（2023上·北京·高二北京市十一學校校考期末）已知函數，，若成立，則n－m的最小值為（

）A． B．C． D．18．（2023上·江蘇徐州·高二統考期末）已知，則（

）A． B．C． D．19．（2023上·浙江杭州·高二杭州高級中學校考期末）已知函數．則下列結論中正確的是（

）A．函數既有最小值也有最大值 B．函數無最大值也無最小值C．函數有一個零點 D．函數有兩個零點20．（2023上·福建南平·高二統考期末）已知函數的最小值為－1，過點的直線中有且只有兩條與函數的圖象相切，則實數b的取值范圍為（

）A． B．C． D．21．（2023上·陜西寶雞·高二統考期末）若函數在上的最小值是1，則實數的值是（

）A．1 B．3 C． D．22．（2023上·江蘇常州·高二常州市第一中學校考期末）已知正實數x，y滿足，則的最大值為.23．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）若函數在上有最小值，則實數的取值范圍是.24．（2023上·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考期末）已知函數，且.(1)求函數的圖象在點處的切線方程；(2)求函數在區間上的值域.25．（2023上·云南昆明·高二昆明一中校考期末）定義在R上的函數的導函數為，且，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．26．（2023上·陜西商洛·高二統考期末）已知函數的一個極值點為1，則（

）A．6 B． C．3 D．27．（2023上·陜西·高二校聯考期末）定義在上的函數的導函數為，且恒成立，則（

）A． B．C． D．28．（2023上·江蘇蘇州·高二常熟中學校考期末）若函數在區間上既有極大值又有極小值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．29．（2023上·山西運城·高二統考期末）若函數有小于0的極值點，則a的范圍是．30．（2023上·山西晉中·高二山西省平遙中學校校考期末）已知函數是定義在上的可導函數，其導函數為，若，且對任意的恒成立，則不等式的解集為．31．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）若函數在上有最小值，則實數的取值范圍是.32．（2023上·安徽·高二校聯考期末）已知函數.(1)求函數的單調區間；(2)求函數在上的最大值和最小值.33．（2023上·浙江杭州·高二杭州高級中學校考期末）已知函數（k為常數，且）．(1)當時，求在處的切線方程；(2)若函數在區間上存在極值，求實數k的取值范圍．34．（2023上·山西臨汾·高二統考期末）已知函數在處取得極小值1.(1)求實數的值；(2)求函數在區間上的值域.專題14導數的應用函數的單調性問題1．（2023上·寧夏銀川·高二銀川一中校考期末）已知定義在上的函數滿足：函數的圖象關于直線對稱，且當時，（是函數的導函數）成立.若，，，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得的圖象關于軸對稱，令，可得是奇函數，利用導數可得單調性，由此能求出結果．【詳解】的圖象關于直線對稱，的圖象關于軸對稱，，令，，是奇函數，當時，，在單調遞減，則在也單調遞減，∵，，，∴，∴，故選：D．2．（2023上·陜西西安·高二校考期末）函數的圖象如圖，則導函數的圖象可能是下圖中的（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據函數的奇偶性及單調性，判斷導函數的奇偶性及函數值的正負即可求解.【詳解】由函數圖象知為偶函數，則，因為的導數存在，兩邊取導數可得，由復合函數的求導公式可得，故，即為奇函數，排除CD，由原函數圖象可知當時，先遞增再遞減，故在時，函數值先正后負，故排除B，故選：A3．（2023上·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考期末）已知函數在定義域內單調遞減，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得在上恒成立，可轉化為.求出的最小值，即可得出實數a的取值范圍.【詳解】由已知，函數的定義域為，.由在定義域內單調遞減，所以在上恒成立，即，可轉化為在上恒成立，所以．因為，所以，所以．因此實數a的取值范圍是．故選：D．【點睛】思路點睛：求出函數的導函數，然后根據函數的單調區間得到不等式恒成立的問題.分離參數或二次求導求出最值即可得出答案.4．（2023上·山西陽泉·高二統考期末）函數的單調遞增區間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對函數求導，然后令導函數大于0解出不等式，并結合函數的定義域，即可得到本題答案.【詳解】因為，所以，令，得或，又函數的定義域為，所以函數的單調遞增區間為，故選：C5．（2023上·江蘇南京·高二南京師大附中校考期末）設m為實數，已知函數，則不等式的解集為【答案】【分析】根據給定條件，利用導數探討函數的單調性，再利用單調性解不等式作答.【詳解】函數的定義域為R，求導得：，而，當且僅當時取等號，，當且僅當時取等號，因此，即函數在R上單調遞增，則，所以不等式的解集為.故答案為：6．（2023上·浙江寧波·高二統考期末）設函數（m為實數），若在上單調遞減，則實數m的取值范圍．【答案】【分析】首先根據題意得到，，再根據的單調性即可得到答案.【詳解】，因為函數在區間上單調遞減，所以，恒成立，即，.又在上單調遞減，所以，故，即，所以m的取值范圍為.故答案為：.7．（2023上·福建福州·高二福州三中校考期末）寫出一個同時具備下列性質①②的函數：．①；②．【答案】（答案不唯一）【分析】根據題目的要求分析函數的類型，再從中選一個.【詳解】因為是加變乘，所以考慮指數函數類型，又是減函數，滿足要求；故答案為：（答案不唯一）.8．（2023上·江蘇南京·高二南京大學附屬中學校考期末）已知函數，其中.(1)當時，求曲線在點處切線的方程；(2)試討論函數的單調區間.【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）利用導數幾何意義結合條件即得；（2）求函數的導函數,得到導函數的零點,討論的范圍，由導函數的零點對函數定義域分段,利用導函數在各區間段內的符號判斷原函數的單調性.【詳解】（1）當時，,則，，又，在點處切線的方程為；（2）由題可得，令，解得或，若，，當變化時，，的變化情況如表：,00增函數減函數增函數的單調增區間為和,，單調減區間為；②若，，當變化時，，的變化情況如表：,00增函數減函數增函數的單調增區間為和，單調減區間為；③若，則，函數的單調增區間為；綜上，當時，的單調增區間為和,，單調減區間為；當時，的單調增區間為和，單調減區間為；當時，函數的單調增區間為.函數的極值問題9．（2023上·湖南張家界·高二統考期末）若函數有兩個不同的極值點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據導函數有2個不同的零點，且兩個零點均大于零可求解.【詳解】函數的定義域為，因為函數有兩個不同的極值點，所以有兩個不同正根，即有兩個不同正根，所以解得，故選:A.10．（2023上·江蘇·高二統考期末）在等比數列中，是函數的極值點，則a5＝（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根據題意可知：是方程的兩根，利用韋達定理和等比數列的性質即可求解.【詳解】因為，所以.又因為是函數的極值點，即是方程的兩根，則有，由為等比數列可知：，因為，且，所以，則有，所以，故選：.11．（2023上·北京朝陽·高二統考期末）已知函數有兩個極值點，則（

）A．或 B．是的極小值點 C． D．【答案】A【分析】根據函數有兩個極值點，則導數為有兩個根,由單調性及根與系數的關系等逐個判斷即可.【詳解】因為函數有兩個極值點，所以有兩個根,所以,,故選項錯誤;因為有兩個根,所以,即得,解得或,故選項正確;因為有兩個根,在上單調遞增,在上單調遞減,所以是的極大值點,故選項錯誤;故選:A.12．（2023上·內蒙古赤峰·高二統考期末）已知，則（

）A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．有極大值，無極小值 D．有極小值，無極大值【答案】C【分析】求出函數的導函數，即可求出函數的單調區間，從而求出函數的極值.【詳解】因為，所以，則當時，當時，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，當時函數有極大值，無極小值.故選：C13．（2023上·寧夏銀川·高二銀川一中校考期末）已知函數，則的極大值為【答案】【分析】求出函數導數，令導數等于0，判斷出極大值點，進而求得極大值，即得答案.【詳解】由函數得函數，令，則或，當時，，當時，，當時，故為函數的極大值點，極大值為，故答案為：14．（2023上·四川資陽·高二統考期末）函數在區間上的極大值點是.【答案】【分析】求出函數的導函數，即可求出函數的單調區間，從而求出函數的極大值點.【詳解】因為，，所以，令，即，解得，當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，即極大值點為.故答案為：15．（2023上·吉林·高二校聯考期中）若是函數的極大值點，則的取值范圍是．【答案】【分析】求導后，得導函數的零點，比較兩數的大小，分別判斷在兩們的導數符號，確定函數單調性，從而確定是否在處取到極大值，即可求得的范圍．【詳解】因為，，，令，解得或，當，即，則當或時，當時，此時在區間上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，符合是函數的極大值點，反之，當，即，則當或時，當時，此時在區間單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，所以是函數的極小值點，不符合題意；當，即，恒成立，函數在上單調遞增，無極值點．綜上得：，即的取值范圍是．故答案為：．16．（2023上·山西晉中·高二山西省平遙中學校校考期末）已知函數．(1)求的單調區間；(2)求的極值．【答案】(1)單調遞增區間為和，單調遞減區間為；(2)極大值為，極小值為0．【分析】（1）求出導函數，在定義域內由得增區間，由得減區間；（2）由單調性得極值點，計算得極值．【詳解】（1）的定義域為，，令，解得或，令，解得，所以的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（2）由（1）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．又，，所以的極大值為，極小值為0．函數的最值問題17．（2023上·北京·高二北京市十一學校校考期末）已知函數，，若成立，則n－m的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，得到關于t的函數式，進而可得關于t的函數式，構造函數利用導數研究單調性并確定最值，即可求的最小值.【詳解】令，則，，∴，，即，若，則，∴，有，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；∴，即的最小值為.故選：A.【點睛】關鍵點睛：令確定關于t的函數式，構造函數并利用導數求函數的最小值.18．（2023上·江蘇徐州·高二統考期末）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設，利用導數可得在上單調遞減，從而有，即；令，利用導數可得在上單調遞減，從而有，即，即可得答案.【詳解】設，則有，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以，即有，故；令，則，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，即，故，綜上所述，則有.故選：B【點睛】方法點睛：對于比較大小的題目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用函數的單調性進行比較.19．（2023上·浙江杭州·高二杭州高級中學校考期末）已知函數．則下列結論中正確的是（

）A．函數既有最小值也有最大值 B．函數無最大值也無最小值C．函數有一個零點 D．函數有兩個零點【答案】C【分析】求導得到導函數，確定函數的單調區間，得到函數有最大值，無最小值，AB錯誤，設，函數單調遞增，，故函數有一個零點，C正確，D錯誤，得到答案.【詳解】，，，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.故函數有最大值，無最小值，AB錯誤，設，則恒成立，函數單調遞增，且，故函數有一個零點，C正確，D錯誤.故選：C20．（2023上·福建南平·高二統考期末）已知函數的最小值為－1，過點的直線中有且只有兩條與函數的圖象相切，則實數b的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用導數求出函數的最小值，結合題意可得，設過點的直線與函數的圖象相切的切點為，利用導數的幾何意義求出切線方程，根據切線過點建立方程，再結合過點的直線有兩條與函數的圖象相切可得，解之即可求解.【詳解】因為，則，令可得．當時，，是增函數．當時，，是減函數．所以當時，有最小值，所以，設過點的直線與函數的圖象相切的切點為，則切線方程為，又切線過點，所以，即，即．過點的直線有兩條與函數的圖象相切，則，即，解得：或．故選：.21．（2023上·陜西寶雞·高二統考期末）若函數在上的最小值是1，則實數的值是（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】，先求得極值，再求得端點值比較求解.【詳解】解：令，解得或，當時，，時，，又，，顯然，所以，所以，故選：B22．（2023上·江蘇常州·高二常州市第一中學校考期末）已知正實數x，y滿足，則的最大值為.【答案】/【分析】把已知等式變形為，利用函數的單調性得的關系，從而將轉化為的函數，再利用導數求得其最大值即可．【詳解】由得，所以，則，因為，，，所以，令，則，所以在上單調遞增，所以由，即，得，所以，所以，令，則，令，得；令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即的最大值為．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵對已知等式進行同構變形，從而利用函數的單調性得出變量間的關系，由此得解.23．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）若函數在上有最小值，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】求導得到導函數，確定函數的單調區間，計算，得到，解得答案.【詳解】，，取得到，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；，取，則或，函數在上有最小值，則，解得，即.故答案為：24．（2023上·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考期末）已知函數，且.(1)求函數的圖象在點處的切線方程；(2)求函數在區間上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用可構造方程求得的值，結合可求得切線方程；（2）利用導數可求得的單調性，結合區間端點值和極值可求得的最值，由此可得的值域.【詳解】（1），，解得：，，則，在點處的切線方程為：，即.（2）由（1）知：，則，當時，；當時，；在，上單調遞增，在上單調遞減，又，，，，，，的值域為.25．（2023上·云南昆明·高二昆明一中校考期末）定義在R上的函數的導函數為，且，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意分析可得，構建，求導，結合函數單調性解不等式.【詳解】∵，且，可得，故原不等式等價于，構建，則，∵，則恒成立，∴在定義域內單調遞減，且，則對于，解得，故不等式的解集為.故選：B.26．（2023上·陜西商洛·高二統考期末）已知函數的一個極值點為1，則（

）A．6 B． C．3 D．【答案】D【分析】根據可導函數在極值點的導數為0求得，而，，再利用導數的定義即可求解.【詳解】求導得因為的一個極值點為1，所以，解得當時，，則1是函數的一個極值點.所以，此時.因為而所以故選：D27．（2023上·陜西·高二校聯考期末）定義在上的函數的導函數為，且恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據已知含導數的不等式，構造函數，，求導確定函數的單調性，即可得函數值大小，從而得答案.【詳解】設函數，，則，所以在上單調遞減，從而，即，則.故選：A.28．（2023上·江蘇蘇州·高二常熟中學校考期末）若函數在區間上既有極大值又有極小值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求函數的極值點，由條件列不等式，求的取值范圍.【詳解】因為，所以當時，即時函數取最大值，當時，即時函數取最小值，故函數的極大值點為，極小值點為，因為函數在區間上既有極大值又有極小值，所以，故，所以的取值范圍為.故選：A.29．（2023上·山西運城·高二統考期末）若函數有小于0的極值點，則a的范圍是．【答案】【分析】由函數解析式，求導，將問題轉化為導數求零點問題，構造新函數，再求導，研究函數在小于上的值域，利用函數平移規律，可得答案.【詳解】由函數，則求導可得，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故，由恒成立，則當時，恒成立，因此，當時，，由函數有小于0的極值點，則有小于的零點，且零點的左右符號不同，根據函數的平移變換，可得，故答案為：.30．（2023上·山西晉中·高二山西省平遙中學校校考期末）已知函數是定義在上的可導函數，其導函數為，若，且對任意的恒成立，則不等式的解集為．【答案】【分析】由已知構造函數，并得出函數在上單調遞減，再求解不等式即可.【詳解】令，則在上恒成立，所以在上單調遞減.又，即，又，即，所以，解得，所以不等式的解集為．故答案為：.【點睛】方法點睛：構造函數是解決抽象不等式的基本方法，根據題設的條件，并借助初等函數的導數公式和導數的基本運算法則，相應地構造出輔助函數.通過進一步研究輔助函數的有關性質，給予巧妙的解答.利用導數構造函數時，不僅要牢記兩個函數u(x)和v(x)的積、商的導數公式的特點，還需要牢記常用函數的導數的特征.31．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）若函數在上有最小值，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】求出函數的單調性，結